21.1一元二次方程知识梳理+精选题练习-2025-2026学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程核心知识点，系统梳理定义（含整式方程、单未知数、最高次2三个条件）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解的意义，构建从概念辨析到应用的学习支架。 资料通过分层练习设计，如定义判断（选择题1）、系数确定（填空题9）、综合探究（解答题21“美妙方程”），培养抽象能力与推理意识。参考答案解析详尽，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，提升运算能力和应用意识。

21.1一元二次方程知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 精选题练习 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•虎林市期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A． B．3x2+x＝20 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1 2．（2025春•雨花区校级期末）若一元二次方程（k﹣5）x2+3x+k2﹣25＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．0 B．5 C．﹣5 D．5或﹣5 3．（2025春•合肥校级期末）已知关于x的方程：3x2+5x+m﹣1＝0的一个根是x＝﹣2，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 4．（2025春•福州校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x＝7的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．1，﹣6，7 B．1，6，﹣7 C．1，6，7 D．1，﹣6，﹣7 5．（2025•东莞市模拟）若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 6．（2025春•桐城市校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足a﹣b+c＝0，则方程必有根（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝±1 7．（2025•昆明校级一模）若x＝a是方程x2+2x﹣2＝0的一个根，则代数式2a2+4a+2019的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．﹣2023 8．（2025•游仙区三模）若关于x的方程x2+x﹣6＝0与有一个解相同，则a的值为（　　） A．6 B．﹣3 C．6或﹣3 D．﹣3或2 二．填空题（共8小题） 9．（2025春•惠州期末）一元二次方程3x2＝x+2的一次项系数是 　 　 ． 10．（2025春•长沙校级期末）关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+3x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 11．（2025春•大连期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx＝0的一个根是2，则k的值是　 　 ． 12．（2025春•嘉兴期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项是﹣6；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是　 　 ．（写出一个即可） 13．（2025•罗湖区校级模拟）已知n是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的一个根，则n2﹣5n+2024的值为　 　 ． 14．（2025春•淄川区期末）若正数a是关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0的一个实数根，﹣a是关于x的一元二次方程x2+7x﹣m＝0的一个实数根，则a的值为 　 　 ． 15．（2025春•高邮市期末）已知关于x的方程ax2+bx﹣c＝0的一个根为x＝2025，那么关于x的方程cx2+bx﹣a＝0的一个根为 　 　 ． 16．（2025春•温州期末）小马同学在解方程时，等号左边的一个数字不小心被墨水污染了，如右式：x2﹣＝0．已知一个根x1＝3，则另一个根x2＝　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025春•濉溪县期末）已知关于x的方程x2+mx+2m﹣n＝0的根为2，且根的判别式为0，求m+n的值． 18．（2025春•包河区校级月考）若m是关于x的一元二次方程x2﹣7x+9＝0的根，求代数式（m+4）（m﹣4）﹣7（m﹣1）的值． 19．（2024秋•蓝山县期中）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 20．（2025•湘桥区二模）已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 21．（2025春•镇海区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程． 22．（2025春•浙江月考）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 21.1一元二次方程知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D D C C B 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•虎林市期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A． B．3x2+x＝20 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1 【解答】解：A．该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意； B．3x2+x＝20，是一元二次方程，故本选项符合题意； C．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．x2+2x＝x2﹣1整理可得2x+1＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意． 故选：B． 2．（2025春•雨花区校级期末）若一元二次方程（k﹣5）x2+3x+k2﹣25＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．0 B．5 C．﹣5 D．5或﹣5 【解答】解：由条件可知k2﹣25＝0， 解得：k＝5或k＝﹣5， ∵k﹣5≠0， ∴k≠5， ∴k＝﹣5． 故选：C． 3．（2025春•合肥校级期末）已知关于x的方程：3x2+5x+m﹣1＝0的一个根是x＝﹣2，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：将x＝﹣2代入方程得：3×（﹣2）2+5×（﹣2）+m﹣1＝0， 解得m＝﹣1， 故选：A． 4．（2025春•福州校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x＝7的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．1，﹣6，7 B．1，6，﹣7 C．1，6，7 D．1，﹣6，﹣7 【解答】解：方程整理得：x2﹣6x﹣7＝0， 则二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，﹣6，﹣7． 故选：D． 5．（2025•东莞市模拟）若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【解答】解：∵x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解， ∴1+m+1＝0，解得m＝﹣2， 故选：D． 6．（2025春•桐城市校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足a﹣b+c＝0，则方程必有根（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝±1 【解答】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c＝0得a﹣b+c＝0， 所以方程必有一根为x＝﹣1． 故选：C． 7．（2025•昆明校级一模）若x＝a是方程x2+2x﹣2＝0的一个根，则代数式2a2+4a+2019的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．﹣2023 【解答】解：由条件可知a2+2a﹣2＝0，即a2+2a＝2， ∴2a2+4a+2019＝2（a2+2a）+2019＝2×2+2019＝2023， 故选：C． 8．（2025•游仙区三模）若关于x的方程x2+x﹣6＝0与有一个解相同，则a的值为（　　） A．6 B．﹣3 C．6或﹣3 D．﹣3或2 【解答】解：解关于x的方程得：x1＝2，x2＝﹣3， 由条件可得，解得：a＝﹣3； 当x＝﹣3时，此时分母x+3＝﹣3+3＝0，分式方程无意义， 所以x＝﹣3不是方程的解． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．（2025春•惠州期末）一元二次方程3x2＝x+2的一次项系数是 　﹣1　 ． 【解答】解：化成一般形式，得3x2﹣x﹣2＝0， ∴一次项系数是﹣1． 故答案为：﹣1． 10．（2025春•长沙校级期末）关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+3x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 　﹣3　 ． 【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+3x﹣2＝0是一元二次方程， ∴|m+1|＝2，且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 11．（2025春•大连期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx＝0的一个根是2，则k的值是　2　 ． 【解答】解：由题意得：把x＝2代入x2﹣kx＝0中得：4﹣2k＝0， 解得：k＝2， 故答案为：2． 12．（2025春•嘉兴期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项是﹣6；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是　x2+x﹣6＝0（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【解答】解：由题意可得，方程可以为：（x+3）（x﹣2）＝0， 即x2+x﹣6＝0． 故答案为：x2+x﹣6＝0（答案不唯一）． 13．（2025•罗湖区校级模拟）已知n是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的一个根，则n2﹣5n+2024的值为　2027　 ． 【解答】解：∵n是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的一个根， ∴n2﹣5n﹣3＝0， ∴n2﹣5n＝3， ∴n2﹣5n+2024＝3+2024＝2027． 故答案为：2027． 14．（2025春•淄川区期末）若正数a是关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0的一个实数根，﹣a是关于x的一元二次方程x2+7x﹣m＝0的一个实数根，则a的值为 　7　 ． 【解答】解：∵正数a是关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0的一个根， ∴a2﹣7a+m＝0①， ∵﹣a关于x的方程一元二次方程x2+7x﹣m＝0的一个根， ∴a2﹣7a﹣m＝0②， 由①②可得m＝0， ∴a2﹣7a＝0， ∴a＝0或a＝7， ∵a是正数， ∴a＝7， 故答案为：7． 15．（2025春•高邮市期末）已知关于x的方程ax2+bx﹣c＝0的一个根为x＝2025，那么关于x的方程cx2+bx﹣a＝0的一个根为 　x　 ． 【解答】解：关于x的方程cx2+bx﹣a＝0可变形为a（）2+b（）﹣c＝0， ∵关于x的方程ax2+bx﹣c＝0的一个根为x＝2025， ∴关于（）的方程a（）2+b（）﹣c＝0的一个根为2025， 即x， 即关于x的方程cx2+bx﹣a＝0的一个根为x． 故答案为：x． 16．（2025春•温州期末）小马同学在解方程时，等号左边的一个数字不小心被墨水污染了，如右式：x2﹣＝0．已知一个根x1＝3，则另一个根x2＝　﹣3　 ． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣＝0．已知一个根是x1＝3， ∴将x＝3代入x2﹣＝0中，得9﹣＝0，解得＝9， ∴解一元二次方程x2﹣9＝0，得x＝3或﹣3， ∴方程的另一个根为﹣3， 故答案为：﹣3． 三．解答题（共6小题） 17．（2025春•濉溪县期末）已知关于x的方程x2+mx+2m﹣n＝0的根为2，且根的判别式为0，求m+n的值． 【解答】解：设方程的两个根为x1，x2， 由条件可知x1＝x2＝2， ∴x1+x2＝﹣m＝4，x1x2＝2m﹣n＝4， 解得m＝﹣4，n＝﹣12， 原式＝﹣16． 18．（2025春•包河区校级月考）若m是关于x的一元二次方程x2﹣7x+9＝0的根，求代数式（m+4）（m﹣4）﹣7（m﹣1）的值． 【解答】解：由条件可得m2﹣7m+9＝0， ∴m2﹣7m＝﹣9， ∴（m+4）（m﹣4）﹣7（m﹣1） ＝m2﹣7m﹣9 ＝﹣9﹣9 ＝﹣18． 19．（2024秋•蓝山县期中）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【解答】解：（1）只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：m2﹣1＝0且m+1≠0， ∴m＝1． 当m＝1时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：m2﹣1≠0， ∴m≠±1． 当m≠±1时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为m2﹣1，常数项为m． 20．（2025•湘桥区二模）已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 【解答】解：（1） • • • ＝a（a﹣3） ＝a2﹣3a； （2）∵a为方程的一个解， ∴a2﹣a﹣5＝0， ∴a2﹣3a﹣15＝0， ∴a2﹣3a＝15， ∴P＝15． 21．（2025春•镇海区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程． 【解答】解：（1）是美妙方方程． ∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣8， ∴3a﹣2b+c＝6﹣（﹣2）+（﹣8）＝0． 故此方程为美妙方程． （2）将x＝﹣1代入原方程得， a﹣2+c＝0①， ∵此方程为美妙方方程， ∴3a﹣4+c＝0②， 由①②得， ∴这个美妙方程为x2+2x+1＝0． 22．（2025春•浙江月考）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 【解答】解：（1）是“C方程”，理由如下： ∵x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1， ∵c＝3， ∴一元二次方程x2﹣4x+3＝0是“C方程”； （2）∵关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”， ∴4c2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴b＝﹣4c﹣1， ∴b2﹣4c﹣1＝b2+b＝（b）2， ∵（b）2≥0， ∴b2﹣4c﹣1的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$