精品解析：广东省深圳市宝安中学（集团）初中部2025-2026学年上学期八年级开学考数学试卷

2025-2026学年第一学期八年级开学数学作业练习 一．选择题：（3分×8=24分，请把答案写在答题框） 1. 截止2025年3月，我国已全面掌握14纳米芯片量产技术，7纳米工艺进入风险试产阶段．已知1纳米米，则14纳米用科学记数法表示为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据用科学记数法表示绝对值小于1的方法，进行解答即可． 【详解】解：14纳米用科学记数法表示为 米，故B正确． 故选：B． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根，立方根，二次根式性质解答即可． 本题考查了算术平方根，立方根，二次根式性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：A. ，原式计算错误，不符合题意； B. ，原式计算错误，不符合题意； C. ，原式计算错误，不符合题意； D. ，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 若最简二次根式与能合并，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数必须相同，由此建立方程求解. 【详解】解：最简二次根式与能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，即：， ∴，即， 两边同时除以， ∴， 当时，被开方数为，此时是最简二次根式，符合题意； 因此，的值为， 故选：A 4. 线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成三角形，更不能组成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D 5. 一个正数的两个平方根是和，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系是解题的关键．根据平方根的定义可得，解方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：C． 6. 如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（ ） A. 1cm B. 4cm C. 9cm D. 12cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边的关系的应用，根据三角形的三边关系可以求出的范围，即可得到答案． 【详解】解：连接， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 观察四个选项，只有C选项符合题意， 故选：C． 7. 如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，再结合三角形的外角性质可得，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：由条件可知， 在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ． 故选：C． 8. 如图，在中，于点于点和交于点，若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质. 证明，得到，则，则，，，根据得到，即可得答案． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选D． 二．填空题（3分×5=15分，请把答案写在答题框） 9. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 10. 已知：，则x的值是________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查利用平方根解方程，等号两边分别开平方，得到两个一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：， 或， 解得或， 故答案为：或． 11. 如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为，和，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为___________； 【答案】##5米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．将台阶展开为矩形，然后利用勾股定理计算的值，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度． 【详解】解：如下图，将台阶展开为矩形，线段恰好是直角三角形的斜边， 由题意得，，， 在中，， 即它所走的最短路线长度为， 故答案为：． 12. 学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为____________． 【答案】12 米 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， ∴， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 故答案为：12米． 13. 如图，中，，，，点D、E分别是、上的动点，满足，则的最小值为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段最短问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 过点A作，使，连接、，过点F作，交的延长线于H，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，故当点C、D、F在同一直线上时，的值最小，即线段的长度，证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作，使，连接、，过点F作，交的延长线于H，如图所示： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴的最小值为线段的长， 即的最小值为线段的长， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 三．解答题（共61分） 14. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）8 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式，零次幂，负整数次幂，再计算加法； （2）先化简二次根式，再计算二次根式除法； （3）计算平方差、完全平方，结合二次根式运算法则进行计算； （4）先计算二次根式的乘法、除法，再计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 15. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把，代入进行计算，即可作答． （2）先整理，再把，代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵，且，， ∴． 16. 图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图中，边上找点D，使 （2）在图中，边上找点 E，使 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题格点作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等． （1）如图中，取格点E，连接交于点D，线段即为所求．根据三边对应相等可判定，推出，进而可证； （2）如图中，利用格点构造等腰直角三角形，交于点E，点E即为所求 【小问1详解】 解：如图中，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图中，构造等腰直角三角形，交于点E，点E即为所求． 17. 在四边形中， （1）求证：为直角三角形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在中，，， 由勾股定理得：，即 在中，，， 是直角三角形 （2）36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）由勾股定理求出，进而根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据割补法计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若时，求出此时的值； （2）若点恰好在的角平分线上（点除外），求的值； 【答案】（1）秒或秒； （2）秒． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 根据勾股定理可以求出，当点在上时，则，，利用勾股定理可得：，解方程求出；当点在中点时，可得：秒； 过作，因为点恰好在的角平分线上，可证，根据全等三角形的性质可知，则，设，则，利用勾股定理可得，解方程可得：，所以可得． 【小问1详解】 解：中，，，， ， 当点在上时， 如下图所示：连接， 当时，则，， 在中，， ， 解得：， 当秒时，； 当点在中点时，， 秒， 当秒或秒时，； 【小问2详解】 解：如下图所示，过作， 又点恰好在的角平分线上，且，，， ， 在和中，， （）， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， 综上，若点恰好在的角平分线上，的值为秒． 19. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式 的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】（1）13 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 【小问2详解】 解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 20. 综合与实践 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． （1）【初步尝试】如图1，已知中，，，，为上一点，当______时，与为积等三角形； （2）【理解运用】如图2，与为积等三角形；若，，且线段的长度为正整数，求的长； （3）【综合应用】如图3，已知中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为积等三角形． 【答案】（1）1.5 （2）2或3 （3） 证明：如图，过点作，交延长线于点H， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与为积等三角形． 【解析】 【分析】（1）利用三角形中线的性质即可解决问题 （2）证明，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题． （3）过点作，交延长线于点H，先证明，则，，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可． 【小问1详解】 如图，在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∵与不全等与为积等三角形， ∴．， ∴． 当时，与为积等三角形． 【小问2详解】 如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴． ∴的长为2或3． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质．理解并掌握积等三角形的定义，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级开学数学作业练习 一．选择题：（3分×8=24分，请把答案写在答题框） 1. 截止2025年3月，我国已全面掌握14纳米芯片量产技术，7纳米工艺进入风险试产阶段．已知1纳米米，则14纳米用科学记数法表示为（ ）米 A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若最简二次根式与能合并，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个正数的两个平方根是和，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 无法确定 6. 如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（ ） A. 1cm B. 4cm C. 9cm D. 12cm 7. 如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，于点于点和交于点，若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 二．填空题（3分×5=15分，请把答案写在答题框） 9. 的平方根是_______． 10. 已知：，则x的值是________． 11. 如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为，和，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为___________； 12. 学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为____________． 13. 如图，中，，，，点D、E分别是、上的动点，满足，则的最小值为 ________________． 三．解答题（共61分） 14. 计算： （1） （2） （3） （4） 15. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 16. 图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图中，边上找点D，使 （2）在图中，边上找点 E，使 17. 在四边形中， （1）求证：为直角三角形； （2）求四边形的面积． 18. 如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若时，求出此时的值； （2）若点恰好在的角平分线上（点除外），求的值； 19. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式 的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 20. 综合与实践 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． （1）【初步尝试】如图1，已知中，，，，为上一点，当______时，与为积等三角形； （2）【理解运用】如图2，与为积等三角形；若，，且线段的长度为正整数，求的长； （3）【综合应用】如图3，已知中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为积等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $