第三章 函数的概念与性质（单元测试·基础卷）高一数学人教A版2019必修第一册

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由，得，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 3．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断． 【详解】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 4．若函数是区间内的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到的值，即得. 【详解】由题得，即，又是偶函数， 则，所以，故． 故选：B. 5．如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C 6．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性列不等式组求的取值范围. 【详解】易知函数在上单调递增， 由得，即，解得. 故的取值范围是. 故选：D. 7．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在区间内单调递增 C．在区间内的最大值为 D． 【答案】C 【分析】根据分母不为零建立不等式，可得函数的定义域，利用函数的单调性定义，可得函数的单调性，进而可得答案. 【详解】的定义域为，A错误； 任取，则， 当时，则，则； 当时，则，则， 因此在和上分别单调递减，即在区间内单调递减，B错误； 当时，，C正确； 结合B项可得，，D错误． 故选：C. 8．数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．200 D．600 【答案】B 【分析】首先求得分段函数的解析式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值． 【详解】解：当时，设，则，解得 于是 设车流量为q，则 当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有； 当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数， 因此恒有，等号成立当且仅当； 综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】对选项中的两函数通过定义域、值域、对应关系等三要素进行逐一分析判断，即可得出结论. 【详解】对于A，易知两函数定义域相同，均为，且对应关系相同，值域相同，所以A正确； 对于B，易知的定义域为，而的定义域为，两函数定义域不同，即B错误； 对于C，易知的定义域为，而的定义域为，两函数定义域不同，即C错误； 对于D，易知两函数定义域相同，均为，且对应关系相同，值域相同，所以D正确； 故选：AD 10．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是 C．的解集为 D．的值域为 【答案】AB 【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分及解不等式即可得；对D：分别求出当时，时，的取值范围即可得. 【详解】对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B正确； 对C：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为，故C错误； 对D：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故D错误； 故选：AB. 11．若定义在上的函数满足为奇函数，且对任意，，都有，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．在上是增函数 C． D．关于x的不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】由已知结合函数的对称性及单调性检验各选项即可求解. 【详解】若定义在上的函数满足为奇函数， 则的图象关于对称，即，A错误，C正确； 因为对任意，，都有， 所以在上单调递增， 根据函数的对称性可知，在上单调递增，B正确； 由可得，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，可求出结果. 【详解】令，则， 所以. 故答案为：. 13．已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据幂函数的性质求出的值，再根据幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减， 所以且为奇数， 又，所以， 则，即为， 因为函数的定义域为且为减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的有 ①取得最大值时每月产量为台； ②边际利润函数的表达式为 ③利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 ④边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少. 【答案】②③④ 【分析】对于①，表达出，根据单调性得到取得最大值时每月产量为台或台；对于②，计算出，②正确；对于③，计算出，；对于④，根据为减函数，得到④正确. 【详解】对于①，， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，①错； 对于②， ，②对； 对于③，， 因为函数为减函数，则，③对； 对于④选项，因为函数为减函数， 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，④对. 故答案为：②③④. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数. (1)求的定义域； (2)若，求的值； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数有意义求解即可； （2）将代入函数求解即可； （3）将代入函数表达式，化简验证即可求证. 【详解】（1）要使函数有意义，只需，解得， 所以函数的定义域为． （2）因为， 所以，解得. （3）因为， 所以， 而， 所以. 16．（15分） 已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式，并画出其图象； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1)，图象见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）设，代入，求出，得到解析式，并画出图象； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）设（为常数），则，所以， 所以函数的解析式为，定义域为，其图象如图所示. （2）函数在上单调递减.证明如下： 根据题意，得函数，定义域为. ，，且， . 因为，所以，所以， 所以，即， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减. 17．（15分） （1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）设的表达式为，由已知可得，解之即可； （2）利用换元法可求解析式； （3）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【详解】（1）设，∵，∴． 又∵，∴． 整理得． 由恒等式的性质知上式中对应项系数相等， ∴，解得 ∴所求函数的表达式为． （2）令，则．∴， ∴所求函数的表达式为． （3）在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为． 18．（17分） 某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为千件时，年利润最大，最大值为万元 【分析】（1）根据题意，分段求出年利润即可求解； （2）对每一段函数求出最大值，再进行比较即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 所以当时，利润取最大值， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时利润取最大值， 因为，所以该企业年产量为千件时，所获得的利润最大，为万元. 19．（17分） 定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有． (1)证明：当时，； (2)判断在上的单调性； (3)解不等． 【答案】(1)证明见解析 (2)增函数 (3) 【分析】（1）赋值法可直接求出结果； （2）利用单调性得定义即可判断； （3）根据题意原不等式等价于，然后利用函数得单调性解不等式即可. 【详解】（1）令，则，所以．    当时，，则．在中， 令，则，所以 （2）设，则，所以． 于是， 故在上是增函数． （3）由题意知，原不等式等价于   由（2），在上是增函数得到，，且， 解得． 故原不等式的解集是． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D B C D C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD AB BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】（1）要使函数有意义，只需，（1分） 解得，（4分） 所以函数的定义域为．（5分） （2）因为， 所以，（6分） 解得.（9分） （3）因为， 所以，（11分） 而，（12分） 所以.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）设（为常数），（1分） 则，所以，（4分） 所以函数的解析式为，定义域为，其图象如图所示. （7分） （2）函数在上单调递减.证明如下： 根据题意，得函数，定义域为.（8分） ，，且， .（12分） 因为，所以，所以，（13分） 所以，即，（14分） 所以函数在区间上单调递减.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）设，（1分） ∵，∴．（2分） 又∵，∴．（3分） 整理得．（4分） 由恒等式的性质知上式中对应项系数相等， ∴，解得（6分） ∴所求函数的表达式为．（7分） （2）令，则．∴，（9分） ∴所求函数的表达式为．（10分） （3）在原式中用替换，得，（11分） 于是有，（13分） 消去，得．（14分） ∴所求函数的表达式为．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）当时，，（3分） 当时，，（6分） 所以.（7分） （2）当时，， 所以当时，利润取最大值，（9分） 当时，，（13分） 当且仅当，即时等号成立，此时利润取最大值，（16分） 因为，所以该企业年产量为千件时，所获得的利润最大，为万元.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）令，则，所以．   （2分） 当时，，则．（4分） 在中，令，则，（6分） 所以（7分） （2）设，则，所以．（9分） 于是，（11分） 故在上是增函数．（12分） （3）由题意知，原不等式等价于  （13分） 由（2），在上是增函数得到，，且，（15分） 解得． 故原不等式的解集是．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．若函数是区间内的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在区间内单调递增 C．在区间内的最大值为 D． 8．数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．200 D．600 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是 C．的解集为 D．的值域为 11．若定义在上的函数满足为奇函数，且对任意，，都有，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．在上是增函数 C． D．关于x的不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的值域为 . 13．已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 14．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的有 ①取得最大值时每月产量为台； ②边际利润函数的表达式为 ③利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 ④边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数. (1)求的定义域； (2)若，求的值； (3)求证：. 16．（15分） 已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式，并画出其图象； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 17．（15分） （1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 18．（17分） 某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 19．（17分） 定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有． (1)证明：当时，； (2)判断在上的单调性； (3)解不等． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．若函数是区间内的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在区间内单调递增 C．在区间内的最大值为 D． 8．数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．200 D．600 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是 C．的解集为 D．的值域为 11．若定义在上的函数满足为奇函数，且对任意，，都有，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．在上是增函数 C． D．关于x的不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的值域为 . 13．已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 14．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的有 ①取得最大值时每月产量为台； ②边际利润函数的表达式为 ③利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 ④边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数. (1)求的定义域； (2)若，求的值； (3)求证：. 16．（15分） 已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式，并画出其图象； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 17．（15分） （1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 18．（17分） 某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 19．（17分） 定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有． (1)证明：当时，； (2)判断在上的单调性； (3)解不等． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$