第二十三章 旋转 复习课-2025-2026学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

复习课 典例精析 【例1】下列各组图形中，图形甲变成图形 点拔：经过对称中心的任意一条直线都将这 乙，既能用平移，又能用旋转的是( 个中心对称图形分成面积相等的两部分，本题提 供三种方法把钢板变成两个中心对称图形.其中 ①②是用“割”的方法，③是用“补”的方法 【例3】如图23一3①，已知△ABC的面积 为6，且点A(1,0)、B(0,3),点C在x轴的负半 轴上. O● (1)求点C的坐标： (2)若△AB,C与△ABC关于点A对称，请 D 画出对称图形，并求出点B的对称点B,的坐标 思路分析：由平移和旋转变换的特点可知， 思路分析：由于A、C两点在x轴上，故以 A能由旋转或轴对称得到：B只能由平移得到： AC为底，OB为高列方程求C点坐标 C可由平移或旋转得到：D只能由旋转得到，故 选C. 答案：C 【例2】如图23一1，有一块L形钢板，工人 师傅想把它分成面积相等的两部分，请你在图 图23-3 中画出分割痕迹. 解：(1)设点C的坐标为(a,0),则AC=1一a. :S△A=6, 图23-1 ÷2×1-a)×3=6, 思路分析：因为过对称中心的每一条直线 ∴.a=一3，故点C的坐标为(3,0). 都将这个中心对称图形分成面积相等的两部 (2)如图23-3②，△ABC,即为所求， 分，所以可运用它来割补中心对称图形，再运用 方法一：过B,作B,D⊥AC于点D, “两点确定一条直线”就可以将它分割成面积相 :B、B1关于点A对称，AB=AB, 等的两部分 又：∠BOA=∠B,DA=90°，∠BAO 解：如图23-2①②③. =∠BAD, .△AOB≌△ADB, ∴.AD=OA=1,DB1=OB=3, ② .OD=2,∴.点B1的坐标为(2，-3) 图23-2 方法二：将y轴向右平移1个单位，则点A 即为坐标原点，点B的坐标为（一1,3），点B 题，以上给出了两种解决方案：①利用证明三角 的坐标为(1，一3)， 形全等得出点到坐标轴的距离，因此要过对称 AD=1,BD=3,因此点B关于点A的对称 的两个点分别作垂线；②利用平移坐标轴，将对 点B,的坐标为(2，一3). 称中心变为坐标原点，再利用“关于原点对称的 点拔：本题中出现了关于非原点对称的问 两个点的横、纵坐标均互为相反数”求解。 综合复习 1.如图23一4所示的图形旋转一定角度后能与 ：5.如图23-7，△ABC绕点B逆时针方向旋转 自身重合，则旋转的角度可能是( 到△EBD的位置，若∠A=15°，∠C=10°，E, A.30 B.60 B,C在同一直线上，则旋转角为 度. C.90° D.120 2.若点P(3,一n),Q(m,一4)关于原点对称，则 P、Q两点间的距离是() A.5 B.10 图23-7 图23-8 C.20 D.102 6.如图23-8所示，△ABC以点A为旋转中 心，按逆时针方向旋转90°得到△ABC',则 △ABB'是 三角形 7.如图23一9所示，线段AB,CD互相平分于 点O,过O作EF交AC于E,交BD于F,则 图23一4 图23-5 图23-6 这个图形是中心对称图形，对称中心是O,图 3.如图23-5所示，Rt△ABC的边BC绕点C 形中的对应点是 ,对应线段是 旋转到CE的位置，则下列说法正确的 ,对应三角形是 是() A.点B与点D为对应点，且∠ACD=∠BCE B.∠ACB=∠BCE C.AB=DE D.线段AB与线段CE是对应线段 图23一9 图23-10 4.如图23一6所示，面积为12cm2的△ABC沿 8.如图23一10所示，已知面积为1的正方形 BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离 ABCD的对角线相交于点O,过点O作任一 是边BC长的2倍，则图中的四边形ACED 条直线分别交AD,BC于点E,F,则阴影部 的面积为( 分的面积是 A.24 cm2 B.36 cm2 9.在如图23一11所示的方格纸中，每个小方格 C.48 cm2 D.无法确定 都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三 个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫 10.如图23一12，已知点C是AB上一点，分别 格点) 以AC,BC为边，在AB的同侧作等边 (1)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后 △ACD和△BCE. 的△A1B,C1: (1)证明：△ACE以点C为旋转中心，顺时 (2)求点A旋转到A,所经过的路线长 针方向旋转60°后得到的三角形 是△DCB; (2)若AE与BD相交于点O,求∠AOD的 度数 图23-11 图23-12 聚焦中考 1.(宜昌)我国古代数学的许多创新与发明都曾 3.(天津)如图23-14，在△ABC中，∠B=30°， 在世界上有重要影响.下列图形“杨辉三角” 将△ABC绕，点C顺时针旋转60°得到△DEC, “中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中， 点A,B的对应点分别为D,E,延长BA交DE 中心对称图形是( 于点F,下列结论一定正确的是( A.∠ACB=∠ACD B.AC∥DE C.AB=EF D.BF⊥CE B 2.(山东省四市)如图23一13，一个平面截正方 体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称 图形又是中心对称图形的是() 2 3456* 图23-14 图23-15 4.(杭州)如图23一15，在平面直角坐标系中，已 知点P(0,2),点A(4,2),以点P为旋转中 心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B.在 图23-13 M(-5o),M(-.-1,M1,4. M(2,号)四个点中，直线PB经过的点是 () A.M B.M2 C.M D.M 5.(江西)如图23一16，在□ABCD中，∠B 60°，BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转角 a(0°<a<360)得到AP,连接PC,PD.当 图23-18 △PCD为直角三角形时，旋转角a的度数 (1)操作发现 为 如图23-18乙，固定△ABC,使△DEC 绕点C旋转.当点D恰好落在AB边 上时： ①线段DE与AC的位置关系是 图23-16 ②设△BDC的面积为S,△AEC的面积为 6.(眉山)如图23一17，在方格纸中，已知格点 S,则S与S的数量关系是 △ABC和点O. (2)猜想论证 (1)画出与△ABC关于点O成中心对称的 当△DEC绕点C旋转到图23一18丙所 △AB'C': 示的位置时，小明猜想(1)中S,与S,的 (2)请在方格网中标出所有使以点A、O、C、D 数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 为顶点的四边形是平行四边形的D点， △BDC和△AEC中BC,CE边上的高， 请你证明小明的猜想： (3)拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上 一点，BD=CD=4,DE∥AB交BC于点 E(如图23-18丁).若在射线BA上存在 点F,使S△px=S△DE,请直接写出相应 的BF的长. 图23-17 7.(河南)如图23一18甲，将两个完全相同的三 角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C 90°，∠B=∠E=30 B(E) A(D) 甲精彩一题 解：(1)①Sm=平(a2-)。 ②如答图23一5一2甲，连接PP',证 △PBP为等腰直角三角形， 从而PC=6. (2)如答图23-5-2乙，将△PAB绕点 B顺时针旋转90°到△P'CB的位置， 由勾股定理的逆定理证出∠P'CP=90°， 再证∠BPC+∠APB=180°， 即点P在对角线AC上. 答图23-5-2 复习课 【综合复习】 1.C点拨：整个图形是由4个基本图形组成 的，所以至少旋转0=90，故选℃ 2.B3.C 4.B点拨：因为平移的距离是BE的长度， 而平移的距离等于BC长的2倍，所以C 为BE的中点，所以S四边形ED=3S△ABc,又 因为S△ABc=12Cm”,所以S四边形ED=3X 12=36(cm2). 5.25 6.等腰直角点拨：由旋转的性质可得AB AB,∠BAB=90°，故△ABB是等腰直角 三角形. 7.A与B,E与F,C与DAE与BF,CE与 DF,AC与BD,AO与BO,EO与FO,CO与 DO△AEO与△BFO,△CEO与△DFO, △ACO与△BDO 8.是点拨：△BOF与△DOE关于点O成中 心对称，.S△BOF=S△DOE,∴.S刚影=S△c= 9.解：(1)如答图23一1所示， 答图23-1 (2),点A旋转到点A,所经过的路线长为 以OA为半径的圆的周长的}，“点A旋 转到点A,所经过的路线长为}×2r 2×2+3- 2. 10.(1)证明：，△ADC与△BCE都是等边三 角形， ∴.AC=DC,EC=BC,∠ACD=∠ECB= 60°， '.∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE, 即∠ACE=∠DCB, .∴.△ACE≌△DCB(SAS). .△ACE以点C为旋转中心，顺时针方 向旋转60后得到的三角形是△DCB. (2)解：根据外角的性质可得∠AOD= ∠OAC+∠OBC, 又.'∠OBC=∠AEC, ∴.∠AOD=∠OAC+∠AEC=60° 【聚焦中考】 1.D2.D 3.D点拨：对于A,由旋转，知∠ACD=60°， 又无法确定∠ACB的度数，∴.无法确定 ∠ACB与∠ACD的大小，故选项A不符 合题意；对于B,若AC∥DE,则∠ACE= ∠E,由旋转，知∠B=∠E,而∠ACE不 定等于∠B,∴.AC与DE不一定平行，故选 项B不符合题意；对于C,由旋转，知AB= DE,无法确定DE与EF的大小，.无法确 定AB与EF的大小，故选项C不符合题 意；对于D,设BF交CE于点O,由旋转， 知∠BCE=60°，又∠B=30°，则∠BOC= 180°-30°-60=90°，即BF⊥CE,故选项D 符合题意，故选D. 4.B点拨：本题考查点的旋转、直线上的点的 坐标特征.以点P为旋转中心，把点A按逆 时针方向旋转60°得点B(2,2+2√3).设直 线PB的解析式为y=kx十b,把P(0,2), b=2, B(2,2+23)代入得 解 2k+b=2+23, 得k=√3，b=2,∴.直线PB的解析式为y= 3x+2.把M1,M2,M,M四点坐标代入 y=√3x十2中，易得只有点M2符合题意， 故选B 5.90°或180°或270°点拨：过点A作AE BC于点E,连接AC.设AB=x,则BC 2x,在Rt△ABE中，，∠B=60°， 六∠BAE=30,BE=7AE=, 2 CE=BC-BE=在R1△ACE中， AC=√AE+CE= (+( 5x,.AB+AC=BC,∴.∠BAC ∠ACD=90°.①当∠PCD=90时，如答图a, 点P在AC上，此时∠a=∠BAP=90°；如 答图b,点P在CA的延长线上，此时∠a ∠BAC+∠CAP=270°；②当∠PDC=90 时，如答图c,此时点P在BA的延长线上， .∠a=∠BAP=180°；③由题知∠DPC 不可能为90°.综上，旋转角α的度数为90 或180°或270°. 答图23-2 6.解：(1)如答图23-3. 答图23-3 (2)根据题意画图如答图23一4. 答图23-4 7.解：(1)①DE∥AC②S1=S (2).∠DCE=∠ACB=90°， .∠DCM+∠ACE=180° 又.'∠ACN+∠ACE=180°. .∠ACN=∠DCM 又，'∠CNA=∠CMD= 90°，AC=CD, ∴.△ANC≌△DMC. ∴.AN=DM. 又.CE=CB,.S1=S2. 答图23-5 (3)告或万 点拨：如答图23一5示，作DF1∥BC交 BA于点F1,作DF2⊥BD交BA于点F:, BF,BFz即为所求. 第二十四章圆 24.1圆的有关性质 第1课时圆 【基础巩固】 1.C2.C3. 4.B点拨：连接AO,则0=a+∠BAO+3+ ∠CAO=2a+23. 5.40°6.40 7.解：OE=OF.证明如下： 如答图24一1-1， 连接OA、OB. 答图24一1一1 OA=OB,.∠A=∠B. ,AE=BF,∴.△OAE≌△OBF, ∴.OE=OF. 【能力提升】 1.A点拨：连接CD,则AD=BD=CD= BC=5,易得AC=5√3 2.B点拨：由矩形的性质可知OM=NH= c.OA=BC=a,OD=EF=6.OM= OA=OD,..a=b=c. 3.B点拨：由点P运动的轨迹可知，当点P 在NK上运动时，y保持不变；又MN= MK,则两端的x的变化量相同，即选项B 正确。 4.3cm或7cm点拨：此题易出现漏解的现 象.其原因是只考虑一种情况，点在圆内或 在圆外.在题目没有明确的情况下，点在圆 内和圆外两种情况都要考虑 5.108°点拨：设∠C=x,则∠AOB=180°- x,∠C0D=180°-2x,∠A=受由题意，得 180°-2x=受，即x=72,故∠A0B= 108°. 6.解：OE=OF.理由如下： ,OC⊥AB,.∠AOF=∠COE=90° 又AD⊥CE,.∠C+∠CEO=∠CEO+ ∠A=90°. ∴.∠C=∠A.又.OA=OC, ∴.可将△AOF绕点O顺时针旋转90°得 到△COE. .OE与OF重合，即OE=OF. 精彩一题 解：(1)点C在以AB为直径的圆上 理由如下： 如答图24一1一2，连接MC,MD. ,AB∥CD,.∠DCA=∠BAC. '∠DAC=∠BAC,∴.∠DAC=∠DCA, ∴，AD=CD. .'AD=AM,..CD=AM, ∴.四边形AMCD是平行四边形， ∴.MC=AD.同理MD=BC .AD=BC, ..MC=MD=AD=BC=MA=MB, 点C在以AB为直径的圆上 (2)由(1)得△AMD是等边三角形，如答 图24-1-2，过点D作DE⊥AB于点E,由