第二十一章 一元二次方程 复习课-2025-2026学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

复习课 典例精析 【例1】(1)已知关于x的一元二次方程 ∴.所求的代数式的值为3或19.故选D. (a一1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的 答案：(1)B(2)D 值为() 点拨：(1)代解、求解是解决与方程的根有 A.1 B.-1 关的问题的两种基本方法：(2)要注意关于x的 C.1或-1 D号 方程与关于x的一元二次方程的区别，后者必 须满足二次项系数不能为0. (2)关于x的方程(m+2)2x2十3m2x+ 【例2】当m为何值时，关于x的一元二次 m2一4=0有一个根为0，则2m2一4m+3的值 方程(m十1)x2-(2m-3)x十m十1=0： 为() (1)有两个不相等的实数根？ A.3 B.19 (2)有两个相等的实数根？ C.±2 D.3或19 (3)没有实数根？ 思路分析：根据方程的根的定义可知0都 解：，此方程是关于x的一元二次方程， 满足方程，但不同的是第(1)题给出的是关于x .m十1≠0，∴.m≠一1. 的一元二次方程，而第(2)题是关于x的方程， ,a=m+1,b=-(2m-3),c=m+1. 即后者有可能是关于x的一元二次方程，也有 可能是关于x的一元一次方程，即(m十2)2有 .b2-4ac=[-(2m-3)]2-4×(m+1) 可能为0，也有可能不为0，前者的二次项系数 ×(m+1) (a-1)-一定不为0. =-20m+5. (1)将x=0代入方程(a一1)x2+x+a （1)当-20m+5>0时，解得m<号 1=0得 a2-1=0. 即当m<且m≠-1时，原方程有两个不 .a=1或a=-1. 相等的实数根 又，关于x的方程(a-1)x2+x十a2-1= 0是关于x的一元二次方程， (2)当-20m+5=0时，解得m= 4 .a一1≠0，即a≠1， 1 即当m=时，原方程有两个相等的实 ∴a=一1.故选B. 数根。 (2)将x=0代入原方程得m2一4=0，.m ±2. (3)当-20m十5<0时，解得m>} 当m=2时，2m2一4m+3=3. 当m=一2时，此时方程为一元一次方程， 即当m>}时，原方程没有实数根 符合题意，且此时2n2一4m十3=19. 点拔：此类题目需要根据一元二次方程的 根的多少来确定方程中的字母系数的取值范 所以月销售利润为(x一40)[500一10× 围，但一定要注意一4ac(即根的判别式)的使 (x-50)]元. 用前提：方程必须是一元二次方程. 即(-10x2+1400.x-40000)元， 【例3】某商店经销一种销售成本为每千克 .月销售利润y=一10x2十1400.x一 40元的水产品.据市场分析，若按每千克50元 40000. 销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨 (3)要使月销售利润达到8000元，即y= 1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品 8000, 的销售情况，请解答以下问题： ∴.-10x2+1400x-40000=8000, (1)当销售单价定为每千克55元时，计算 即x2-140x十4800=0，解得=60，x2=80. 月销售量和月销售利润： 当销售单价定为每千克60元时， (2)设销售单价为每千克x元，试求出月销 月销售量为500一(60一50)×10=400（千克）， 售利润y(元)；（用含x的代数式表示，不必写出 月销售成本为40×400=16000（元）： x的取值范围) 月销售单价定为每千克80元时， (3)商店想在月销售成本不超过10000元 月销售量为500一(80一50)×10=200（千克）， 的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售 月销售成本为40×200=8000（元）： 单价应定为多少？ 由于8000<10000<16000，而月销售成本 解：(1)当销售单价定为每千克55元时， 不能超过10000元， 月销售量为500-10×(55-50)=450（千克）， .销售单价应定为每千克80元. 月销售利润为(55一40)×450=6750（元）. 点拨：用一元二次方程解决以生活、决策、 (2)当销售单价定为每千克x元时， 销售等为背景的实际问题是反映时代特色的热 月销售量为[500一10×(x一50)]千克， 点数学问题，解决此类问题，读懂问题、建立方 每千克的销售利润是(x一40)元， 程模型是关键。 综合复习 1.下列方程中，无论a取何值时，总是关于x的 B.若(x-1)2=9,则x一1=3，x=4 一元二次方程的是() C.若x2+4x十3=0，则(x+2)2=7 A.(2a-1)(x2+3)=2x2-2 D.若3x2-6.x-45=0,则(x-1)2=16 B.a.x2-2x-9=0 3.已知关于x的方程x2+b.x十a=0有一个根 C.a.x2+x=x2-1 是一a(a≠0)，则a一b的值为() D.(a2+1)x2=1 A.-1 B.0 C.1 D.2 2.下列解题过程正确的是( 4.将方程(x十2)(1一3x)=2x化成一般形式为 A,若4x=9,则4x=±3，x=±3 4 5.若方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根， 10.已知关于x的一元二次方程x2一6x一k=0 则k= (k为常数). 6.若x=1是一元二次方程(m十1)x2一m2x (1)求证：方程有两个不相等的实数根： 2m一1=0的一个根，则m= (2)设x1,x2为方程的两个实数根，且x1十 7.已知一元二次方程x2一6x一5=0的两根为 2x2=14,试求出方程的两个实数根和k a,6则日+的值是 的值。 8.一个小区用篱笆围成一 /R 个直角三角形花坛，花 坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用 的篱笆长之和恰好为21米，围成的花坛如图 所示，其中∠ACB=90°.若所修的直角三角 形花坛面积是54平方米，则直角三角形的斜 边AB的长为 米. 9.解下列方程： 11.某班家委会为每位学生准备了便携式免洗 (1)2x2+3x-1=0: 抑菌洗手液.去市场购买时发现：当购买量 不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为 8元：超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降 低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元. 设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液. (1)当x=80时，每瓶洗手液的价格是 元：当x=150时，每瓶洗手液的价格是 (2)7x(2-x)=3(x-2): 元： (2)若家委会购买洗手液共花费1200元，则 一共购买了多少瓶洗手液？ (3)9.x2-6x-2=0. 聚焦中考 1.（山东)方程x2一2x一24=0的解是( 9.(黄冈、孝感、咸宁)已知一元二次方程x A.x1=6,x2=4 B.x1=6,x2=-4 3.x十k=0的两个实数根为1·x2,若无1x2十 C.=-6,x2=4D.x=-6,x2=-4 2x1十2x2=1,则实数k= 2.(北京)若关于x的一元二次方程x2一3x十 10.(青海)为丰富学生课余生活，提高学生运算 m=0有两个相等的实数根，则实数m的值 能力，数学小组设计了如下的解题接力 为() 游戏： A.-9 B-号 c 2x-1<7,① D.9 (1)解不等式组： x+1>2:② 3.(呼和浩特)已知a,3是关于x的一元二次方 (2)当m取(1)的一个整数解时，解方程x2 程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的 一2x-n=0. 实数根，且满足】十 =一1，则m的值 是() A.3 B.1 C.3或-1 D.-3或1 4.（武汉)若x1,x2是一元二次方程x一3x十 2=0的两根，则x1十x2的值是() A.-2 B.2 C.3 D.1 5.(河南)定义运算m☆n=mn2一mn一1.例如： 4☆2=4×22一4×2-1=7.则方程1☆x=0 11.(四川南充)已知关于x的一元二次方程x”一 的根的情况为( (2m-1)x-3m2+m=0. A.有两个不相等的实数根 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根： B.有两个相等的实数根 (2)若工，x:是方程的两个实数根，且+ C.无实数根 D.只有一个实数根 =一多求加的值。 T? 6.(广东)若关于x的方程x2+2x+c=0有两 个相等的实数根，则c= 7.(衡阳)已知关于x的方程x2+m.x一20=0的 一个根是一4，则它的另一个根是 8.(重庆)为了加快数字化城市建设，某市计划 新建一批智能充电桩，第一个月新建了301 个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设 该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 x,根据题意，请列出方程7.解：(1)设ts时，S△p0=2cm,则2(3-t)· 2t=2. 即t一3t+2=0,解得t=1,t2=2. (2)设x8时，S△0=3cm,则2(3-x)· 2x=3. 即x2一3x十3=0，此时方程无实数根 所以S△PAo不能达到3cm, 8.解：(1)设矩形广场四角的小正方形的边长 为x米，根据题意，得 4.x2+(100-2.x)(80-2x)=5200, 整理，得x2一45x十350=0. 解得x1=35,x2=10, 经检验，x1=35,x2=10均符合题意. 答：要使铺白色地砖的面积为5200平方 米，那么矩形广场四角的小正方形的边长 为35米或10米. (2)设铺矩形广场地面的总费用为y元，广 场四角的小正方形的边长为x米，则 y=30×[4x2+(100-2x)(80-2x)]+ 20×[2x(100-2x)+2.x(80-2x)]. 即y=80x2-3600.x+240000, 配方，得y=80(x-22.5)2+199500. 当x=22.5时，y的值最小，最小值为 199500. 答：当矩形广场四角的小正方形的边长为 22.5米时，铺广场地面的总费用最少，最少 费用是199500元. 精彩一题 解：设第一个村民有x个鸡蛋，则第二个 村民有(100一x)个鸡蛋.第一个村民卖出的 单价为105，元第二个村民卖出的单价为 45=(100-x) 元，根据题意，得x·00 20 解得x=40或x=-200(舍去). 45 .100-40=60(个)，40×100=40= 30(元). 答：第一个村民有40个鸡蛋，第二个村 民有60个鸡蛋，都卖了30元. 复习课 【综合复习】 1.D2.D 3.A点拨：将x=一a代入方程得a一ba十 a=0,即a(a-b+1)=0..a≠0，∴.a-b+ 1=0,则a一b=-1. 4.3.x2+7x-2=05.±6 6.0点拨：将x=1代入方程得m十1一m2一 2m-1=0,即m(m十1)=0.又，m十1≠0， .m=0. 7.一5 6 8.15点拨：设直角三角形的直角边AC的 长为x米，则直角边BC的长为(21一x) 米.依题意，得x·(21一x)=54,整理得 x2-21x+108=0,解得x1=9,x2=12.当 x=9时，21-x=12:当x=12时，21-x= 9.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，.AB= √AC+BC=√/+12=15（米）. 9.解：(1)x=一3±3+4X2--3±17 2×2 x=-3+厘x,=二3应 4 4 (2)7.x(2-x)+3(2-x)=0,(2-x)(7x+3)=0, 2一x=0或7x十3=0， ∴=2=- (3)(3x-1)=3,3x-1=±√3， x,=1+3 3 ,1E 3 10.解：(1).-4ac=(一6)2一4×1× (-k2)=36+4k2>0, .方程有两个不相等的实数根。 (2)+=-b=-6=6. 1 又，x1+2x2=14, x1+x2=6, .可列方程组 x1+2x2=14, x1=-2, 解得 x2=8. 将五和代人6=后得一2X8=卡， 解得k=士4。 11.(1)87点拨：80<100，.每瓶洗手 液的价格是8元.当x=150时，每瓶洗手 液的价格是8一(150一100)÷10× 0.2=8-1=7(元). 解：(2)①0≤x≤100时，8×100=800< 1200(舍去). ②：(8-100×0.2)=5，解得x= 10 250, 六当100<x≤250时，x(8-100× 10 0.2）=1200. 解得x1=200,x2=300(舍去)， ③当x>250时，1200÷5=240（舍去）. 答：一共购买了200瓶洗手液. 【聚焦中考】 1.B点拨：本题考查解一元二次方程.由 x2一2x-24=0,得(x-6)(x十4)=0，解得 x1=6,x2=一4，故选B. 2.C点拨：△=(-3)2-4×1×m=9-4n= 9 0,得m=4,故选C 3.A点拨：由a、3是方程的两个不相等的实 数根，得a十B=一(2m十3)，a3=m,所以 1+1=肚g==(2m+3)=-1,解得 m1=3,m2=一1.因为原方程有两个不相 等的实数根，所以b2一4ac=(2m十3)2一 4m2=12m十9>0，所以m=一1不符合题 意，舍去.故选A 4.C点拨：由，x2是x2一3x十2=0的两 根，得x1十x2=3. 5.Λ 6.1点拨：：方程x2十2x十c=0有两个相 等的实数根，.△=0，即22一4c=0,解得 c=1. 7.5点拨：设一元二次方程x2十mx一20=0 的两个根为x1,x2,则x1x2=一20.又x1= 一4，则一4x2=一20，解得x2=5. 8.301(1+x)2=500 9.一5点拨：由题知，△=9一4k≥0，解得k≤ .十=3，西2=，又“12十2西月 2x2=1,.x1x2+2(x1十x2)=1,.k+2X 3=1,解得k=-5,满足长}k=-5 2x-1<7,① 10.解：(1) x+1>2,② 解不等式①，得x<4, 解不等式②，得x>1, .不等式组的解集为1<x<4. (2),m是(1)的一个整数解， n=2或m=3, 当m=2时，x2一2x一n=0可化为x2一 2x-2=0, .x2-2x+1=2+1, .(x-1)2=3, ,x1=1+3,x2=1√3； 当m=3时，x2一2x一m=0可化为x2 2x-3=0, .x2-2x+1=3+1, .(x-1)2=4, .x1=3,x2=-1. 11.(1)证明：△=(2m-1)2-4(-3+m) =16m2-8m+1 =(4m-1)2≥0. 无论m为何值，方程总有实数根. (2)解：由根与系数的关系得x1十x2= 2m-1, x1x2=一3m2十m. +五=+=+x)-2. 工1x2x12 TiT2 (2m-1)2 -2=-5 -3n2+m 2 整理得5m2一7m十2=0， 2 解得m=1或m= 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 第1课时二次函数 【基础巩固】 1.C2.B 3.C点拨：只有y=-3x2是形如y=ax2+ bx十c(a≠0)的函数，是二次函数.故选C. 4.A点拨：二次函数y=2x一3的二次项系 数是2，一次项系数是0，常数项是一3.故 选A. 5.-21-26y-号r1.00 k2十k=2, 8.解：由题意知 解得k=一2. k-1≠0， .当k=一2时，函数y=(k一1)x+#+1 为二次函数 点拨：此题中x的次数应为2，且二次项系 数不为0. 9.解：(1)原来的面积是3×4=12(cm), 现在的面积是(4十x)(3十x)cm, ∴.y=(4+x)(3+x)-12=x2+7x (2)由题意，得8=x十7x,∴.x1=1,x2= -8(舍去). 即当边长增加1cm时，面积增加8cm. 点拨：表示简单变量之间的函数关系，要找 到问题的切入点，即存在怎样的等量关系. 【能力提升】 1.D点拨：选项A中y=kx十b(k≠0)，是一 次函数；选项B中t=三(s为距离)，不是二 次函数；选项C中C=3a,是正比例函数： 选项D中S=πr2,是二次函数.故选D 2.B点拨：函数y=(m一5)x十x是二次函 数的条件是m为常数，且m≠5.故选B. 3.S=4πx2+12πx+9π4xx212元 4.y=30πR十πR 5.解：由题意得a十2≠0，a≠一2：m2一2=2， m=±2. .a的取值范围是a≠一2，m的值是士2， 点拨：解答本题的关键是二次函数的最高 次项的次数为2，且二次项系数不能为0. 6.解：(1)y=1000-20(x-25)=1500- 20x(25≤x75). (2)S=(x-20)(1500-20x)=-20x2+ 1900x-30000. (3)由题意知-20.x2十1900x-30000= 9000. 整理得20.x2-1900x+39000=0,即x2 95x+1950=0. .(x-30)(x-65)=0,解得x1=30,