精品解析：广西南宁市第三十七中学2025-2026学年上学期九年级数学开学考试试卷

2025—2026学年秋季学期九年级开学 数学试卷 （形式：闭卷 时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1.本作业卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本作业卷上作答无效． 2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3.不能使用计算器． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 某居民小区电费标准为0.6元／千瓦时，收取的电费（元）和所用电量（千瓦时）之间的关系式为，则其中的常量是（ ） A. B. C. D. 和 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. 5 B. 2 C. D. 0 4. 在中，，，则边的中线长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投篮技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投篮技能占计算选手的综合成绩（百分制）．选手小林的控球技能得90分，投篮技能得80分．小林的综合成绩是（ ） A. 170分 B. 85分 C. 84分 D. 83分 8. 如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数的图象，那么无论为何值，函数值恒为正的条件是（ ） A. B. C. D. 11. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹．横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试．不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”大意是：一人拿着一根竹杆进屋内，竹杆比门宽多4尺，比门高多2尺，如果竹杆斜着进门，恰好通过．若设竹杆的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平行四边形中，对角线平分，，，在对角线上有一动点P，边上有一动点Q，使的值最小，则这个最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 14. 如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连结和，并分别找出它们的中点M、N．若测得，则A、B两点的距离为____． 15. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为x，根据题意，可列得方程为_______． 16. 甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示．货车出发______时，两车相距． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 某班成立了数学兴趣小组，对二次函数的图象与性质进行了探究．过程如下，请补充完整． （1）①列表：自变量为任意实数．下表是与的几组对应值，其中______，______； … 0 1 2 … … 7 2 … ②描点：根据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； （2）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 19. 某校为培养学生的数学思维，激发学生学习数学的兴趣，开展了学生说题比赛，分别从八年级和九年级学生中选出10位选手参赛，成绩（单位：分）如下： 八年级：，，，，，，，，，； 九年级：，，，，，，，，，． 数据整理如下表： 平均数 中位数 众数 方差 八年级 85 85 30 九年级 85 82.5 45 根据以上统计信息，回答下列问题： （1）表中______，______； （2）若该校八年级1500名学生都参加了本次比赛，估计该校八年级学生本次竞赛成绩在90分及以上的学生人数； （3）你认为此次说题比赛中，哪个年级的成绩更好？请说出一条理由． 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）尺规作图：作矩形，连接，求的长． 21. 某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． （1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 22. 综合与实践 在艺术创作中，透视法是基于数学原理，在二维的平面上刻画三维物体的艺术表现手法．消失点指在透视图中，在三维空间中原本平行的直线交汇于一点上．如图1是一幅关于公路的矩形图片，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“消失点”，为了让图片画面规整，平衡，突出公路本身的纵深感，“消失点”一般与图片中心重合，矩形的中心是对角线的交点． 【提出问题】 如何用数学方法，判断图1中的消失点是否与图片中心重合． 【分析问题】 如图2，将图1放置于平面直角坐标系内，矩形图片的一组邻边，分别在轴，轴上，点的坐标为，已知公路的左侧边界线所在的直线经过点和，右侧边界线所在的直线的函数表达式为，和相交于点，即点为“消失点”． 【思考探究】 （1）直接写出矩形的中心坐标，判断中心坐标是否在直线上； （2）求左侧边界线所在的直线的函数表达式； （3）求消失点的坐标； 【解决问题】 （4）判断图1中的消失点是否与图片中心重合，若重合，请说明理由；若不重合，请对该画作进行调整：保持直线的位置不变，将直线向上或向下平移，使得消失点与图片中心重合，求直线向上或向下平移了多少个单位长度． 23. 类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形中，，，． （1）①猜想与的数量关系，并证明你的结论； ②由①可得______，______（填“”，“”或“”）； （2）如图2，已知平行六边形满足．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年秋季学期九年级开学 数学试卷 （形式：闭卷 时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1.本作业卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本作业卷上作答无效． 2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3.不能使用计算器． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 某居民小区电费标准为0.6元／千瓦时，收取的电费（元）和所用电量（千瓦时）之间的关系式为，则其中的常量是（ ） A. B. C. D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了常量和变量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．根据常量和变量的定义来解答即可． 【详解】解：在这个问题中，x是自变量，y是因变量，0.6是常量． 故选：B． 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】解：A、∵，∴三条线段不能组成三角形，故A选项错误； B、 ∵，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误； C、 ∵，∴三条线段不能组成三角形，故C选项错误； D、 ∵，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项正确； 故选：D． 3. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. 5 B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，把握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键．根据定义即可得出答案． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为 5 故选：A． 4. 在中，，，则边的中线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．利用直角三角形斜边的中线求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴边的中线长为， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键．利用二次根式的加、减、乘、除运算法则逐一对选项进行判断即可． 【详解】解：A中，和不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，故不符合题意； B中，，故选项错误，故不符合题意； C中，，故选项错误，故不符合题意； D中，，故选项正确，故符合题意； 故选：D． 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是，对称轴是． 直接根据顶点式的特点作答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：B． 7. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投篮技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投篮技能占计算选手的综合成绩（百分制）．选手小林的控球技能得90分，投篮技能得80分．小林的综合成绩是（ ） A. 170分 B. 85分 C. 84分 D. 83分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的求法，正确进行计算是解题关键． 根据加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：（分）， 故选： C． 8. 如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识解决问题的关键．根据勾股定理可求出，则题目可求． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键． 直接利用函数图象，找出一次函数图象在的图象上方的部分即可得出x的取值范围． 【详解】解：由图可得：不等式的解集为： 故选：A． 10. 著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数的图象，那么无论为何值，函数值恒为正的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象在x轴上方，可得抛物线开口向上，与x轴无交点，即可判断 ． 【详解】解：二次函数的图象在x轴上方， 抛物线开口向上，与x轴无交点， 即，， 解得， 故选：C． 11. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹．横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试．不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”大意是：一人拿着一根竹杆进屋内，竹杆比门宽多4尺，比门高多2尺，如果竹杆斜着进门，恰好通过．若设竹杆的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），勾股定理等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．若设竹杆的长为尺，则由题意得，门高为尺，门宽为尺，然后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：若设竹杆的长为尺， 则由题意得：门高为尺，门宽为尺， 根据勾股定理可得：， 故选：． 12. 如图，在平行四边形中，对角线平分，，，在对角线上有一动点P，边上有一动点Q，使的值最小，则这个最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，得到平行四边形ABCD是菱形，推出点A，C关于BD对称，过A作AQ⊥BC于Q交BD于P，则PQ＋PC最小值＝AQ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴点A，C关于BD对称， 过A作AQ⊥BC于Q交BD于P， 则PQ＋PC最小值＝AQ， ∵∠ABC＝45°， ∴△ABQ是等腰直角三角形， ∵AB＝BC＝8， ∴AQ＝AB＝， ∴这个最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，准确的找到P与Q的位置是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 14. 如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连结和，并分别找出它们的中点M、N．若测得，则A、B两点的距离为____． 【答案】##32米 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的应用，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半． 根据三角形的中位线等于第三边的一半，由此即可计算． 【详解】解：、分别是和的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 15. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为x，根据题意，可列得方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该社区六月份绿化投入金额=该社区四月份绿化投入金额平均每月绿化投入的增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 16. 甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示．货车出发______时，两车相距． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度，时间，路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． 轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算得出轿车和货车的平均速度；根据题意两车相距 ，可分两种情况讨论，相遇前和相遇后，利用待定系数法求出当时关于的函数关系式，将代入关系式，求出相应的值是相遇前两车相距时的时间，两车相遇后，求出轿车到达终点时，货车离终点的距离为；当时，两车相距，可得方程，解方程即可得到相遇后两车相距时的时间，从而得到答案． 【详解】解：轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 两车相遇前，即时，设与的函数关系式为：， 将和代入得：， 解得：， ， 当时，即， 解得：； 两车相遇后，轿车到达终点时，货车离终点的距离为， ∴当时，两车相距， ， 解得：， ∴货车出发 或，两车相距． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及解一元二次方程． （1）先算二次根式的乘除法，再计算二次根式的加减法即可． （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ∴或， ∴，． 18. 某班成立了数学兴趣小组，对二次函数的图象与性质进行了探究．过程如下，请补充完整． （1）①列表：自变量为任意实数．下表是与的几组对应值，其中______，______； … 0 1 2 … … 7 2 … ②描点：根据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； （2）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①②见详解③见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的画法，二次函数性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①分别令，，求出相应的函数值即可； ②以表格里每组数据为坐标描点即可； ③用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象即可． （2）根据图像解答即可． 【小问1详解】 解：①当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：； ②③ 【小问2详解】 由图象知，． 19. 某校为培养学生的数学思维，激发学生学习数学的兴趣，开展了学生说题比赛，分别从八年级和九年级学生中选出10位选手参赛，成绩（单位：分）如下： 八年级：，，，，，，，，，； 九年级：，，，，，，，，，． 数据整理如下表： 平均数 中位数 众数 方差 八年级 85 85 30 九年级 85 82.5 45 根据以上统计信息，回答下列问题： （1）表中______，______； （2）若该校八年级1500名学生都参加了本次比赛，估计该校八年级学生本次竞赛成绩在90分及以上的学生人数； （3）你认为此次说题比赛中，哪个年级的成绩更好？请说出一条理由． 【答案】（1）85，80 （2）450 （3）八年级，理由两个年级的平均分相同，但八年级的方差更小，成绩更稳定． 【解析】 【分析】本题考查了统计表、中位数、众数、平均数和方差，熟练掌握中位数、众数的定义，用样本估计总体等知识是解答此题的关键． （1）根据中位数、众数的定义直接求解即可； （2）用 1500 乘以八年级学生本次竞赛成绩在90分及以上的学生人数所占的比例即可； （3）根据平均数、中位数、众数以及方差的意义判断即可． 【小问1详解】 解：八年级10名学生的成绩从小到大排序：75，80，80，85，85，85，85，90，90，95， ∵中间的两个数是85，85 ， ∴中位数， ∵九年级10 名学生的成绩中，80出现次数最多， ∴这组数据的众数是80，即， 故答案为：85，80 ； 【小问2详解】 解：∵八年级10 名学生的竞赛成绩有3人在90分及以上， ∴（人）， 答：估计该校八年级1500名学生本次竞赛成绩在90分及以上的学生人数为450人； 【小问3详解】 解：八年级， 理由：两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，八年级学生竞赛成绩的中位数、众数比九年级大，而八年级学生竞赛成绩的方差小，成绩稳定， ∴八年级成绩比九年级成绩好． 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）尺规作图：作矩形，连接，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）作图见详解， 【解析】 【分析】该题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是正确作出图形． （1）根据，，即可证明． （2）作，即可得出，再根据，即可得出矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：矩形如图： 作， 则， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． ∴， ∵，，， ∴． 21. 某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． （1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【答案】（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元 （2）1390元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键. （1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元，根据“甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒，根据“该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70个”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润，则购进甲羽毛球越多，利润越大，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元． 【小问2详解】 解；设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒， 依题意得：， 解得：． ∵， ∴每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润 ∴购进甲羽毛球越多，利润越大， ∴购进78筒甲种羽毛球，122筒乙种羽毛球时，利润最大，最大为（元）. 22. 综合与实践 在艺术创作中，透视法是基于数学原理，在二维的平面上刻画三维物体的艺术表现手法．消失点指在透视图中，在三维空间中原本平行的直线交汇于一点上．如图1是一幅关于公路的矩形图片，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“消失点”，为了让图片画面规整，平衡，突出公路本身的纵深感，“消失点”一般与图片中心重合，矩形的中心是对角线的交点． 【提出问题】 如何用数学方法，判断图1中的消失点是否与图片中心重合． 【分析问题】 如图2，将图1放置于平面直角坐标系内，矩形图片的一组邻边，分别在轴，轴上，点的坐标为，已知公路的左侧边界线所在的直线经过点和，右侧边界线所在的直线的函数表达式为，和相交于点，即点为“消失点”． 【思考探究】 （1）直接写出矩形的中心坐标，判断中心坐标是否在直线上； （2）求左侧边界线所在的直线的函数表达式； （3）求消失点的坐标； 【解决问题】 （4）判断图1中的消失点是否与图片中心重合，若重合，请说明理由；若不重合，请对该画作进行调整：保持直线的位置不变，将直线向上或向下平移，使得消失点与图片中心重合，求直线向上或向下平移了多少个单位长度． 【答案】（1），中心坐标在直线上；（2）直线的函数表达式为；（3）；（4）消失点P与图片中心不重合，理由见解析，直线向上平移了个单位 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，求两直线的交点坐标等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中点坐标公式即可求解中心坐标；将中心坐标代入直线表达式即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）联立直线函数表达式即可求解； （4）根据消失点P与矩形中心坐标比较即可判断不重合；设直线向上平移了个单位，则此时，然后用表示出坐标，再假设当消失点P与矩形中心坐标重合，即可求出． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴矩形的中心坐标为， 将代入得：， ∴中心坐标在直线上； （2）设直线的函数表达式为，代入点点和， 则， 解得， ∴直线的函数表达式为； （3）联立， 解得， ∴消失点的坐标为； （4）消失点P与图片中心不重合，理由如下： ∵消失点的坐标为，中心坐标为， ∴消失点P与图片中心不重合， 设直线向上平移了个单位，则此时， 联立， 解得：， ∵要使得消失点P与图片中心重合， 则 解得， ∴直线向上平移了个单位． 23. 类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形中，，，． （1）①猜想与的数量关系，并证明你的结论； ②由①可得______，______（填“”，“”或“”）； （2）如图2，已知平行六边形满足．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】（1）①， 证明：连接，如图 1， ， ， ， ． ②， （2）证明：如图2，延长交于点，延长交于点， ， ∴四边形为平行四边形，， ， ∵， ∴， ∴， 由（1）得，， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）①连接，根据平行线的性质即可解决问题；同①，根据平行线的性质即可解决问题； （2）延长交于点，延长交于点，可得四边形为平行四边形，证明，得，进而可以解决问题； （3）过点作的平行线，过点作的平行线，两条线交于点，连接，可得四边形是平行四边形，然后证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，进而可以解决问题． 【小问1详解】 解：①略 ②同①，连接， ， ， ， ， 即． 连接， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据（2）可得，，， ， ， 如图3，过点作的平行线，过点作的平行线，两条线交于点，连接， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， ∴平行六边形的面积的， ∴与平行六边形的面积之比是． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $