精品解析：安徽省安庆市潜山市潜山市八校联考2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义．勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意； B、，这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2. 若与最简二次根式能合并，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式的定义，根据题意，判断与最简二次根式是同类二次根式，列等式求解即可得到答案，熟记同类二次根式及最简二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，且与最简二次根式能合并， 与最简二次根式是同类二次根式， ，解得， 故选：B． 3. 某校调查了200名学生的每日运动时间，绘制频数分布直方图时，若某一组的频数为40，则该组的频率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了频率的定义，频率等于频数除以数据总数．题目中频数为40，总数据为200，代入计算即可． 【详解】∵频率 = 频数 ÷ 总数． ∴频率． 因此，该组的频率为0.2 故选A． 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握算理是解决问题的关键．根据二次根式运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，计算正确，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，在中，与交于点O，已知，，则的周长为（ ） A. 11 B. C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等和对角线互相平分即可得到答案. 【详解】解：在中，， ∴， 即的周长为， 故选：B 6. 淇淇用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正n边形图案，那么n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，正多边形，解决本题的关键是掌握正多边形内角和与外角和公式．先根据正六边形计算一个内角为120度，可知各角的度数，从而得出图3中正多边形的内角的度数，可得结论． 【详解】解：正六边形每一个内角为， ， ， 图3中正多边形的每一个内角为， ． 故选C 7. 关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握、是的两根，则是解题的关键． 先根据题意得到一元二次方程的解为，再根据根与系数关系得到，从而可对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根， ∴一元二次方程的解为， ∴， ∴， ∴， ∴，，，故A、B、C正确，不符合题意； ∵，故D错误，符合题意； 故选：D． 8. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去 ， 故选：B． 9. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 10. 如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N，首先求出，然后证明出，得到，证明出四边形是平行四边形，得到，当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N ∵正方形的边长为3， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴四边形是矩形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形和平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是作出辅助线构造平行四边形． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件，分式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则=__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m-4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与-2，则有，然后两边平方得到=4． 【详解】由得，解得，可知两根互为相反数. ∵一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4， ∴m+1+2m－4=0，解得m=1， ∴一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是2和-2， ∴， ∴=4. 13. 如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据第一步马往外跳，第二步马再往回跳但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短． 【详解】解：如下图所示： 马第一步往外跳，可能的落点为A、B、C、D、E、F点， 第二步往回跳，但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短， 比如，第一步马跳到A点位置，第二步在从A点跳到G点位置，此时落点与出发点的距离最短为， 故答案为：． 【点睛】本题借助象棋中的“马走日”的规则考察了两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意． 14. 如图，在矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处． （1）的长为__________； （2）折痕的长为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，根据矩形的性质，折叠的性质，推出，进而得到； （2）设，则，，，在中，利用勾股定理求出的值，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图，连接， 为中点， ， 由折叠可得， ， 又 ， 又， ； （2）设，则，， 在中，，即， 解得 ． 在中，． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程． 【详解】解：原方程化为：， ∵， ∴， ∴， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，找一点P，使得以A，C，B，P为顶点的四边形为平行四边形； （2）在图2中，作出的平分线． 【答案】（1） 如图所示：四边形即为所求的平行四边形． （2） 如图所示，即为所求的角平分线． 【解析】 【分析】本题考查仅用无刻度的直尺作图问题，等腰三角形的三线合一，平行四边形的判定等知识，根据图中的信息求的长作于之平行且相等的线段和求的长构造等腰三角形是解题的关键． （1）由图可知，过点找到，且，即可求得结果； （2）有图可知，构造等腰三角形，根据三线合一可得的平分线． 【小问1详解】 解：由图可知，过点找到，且， ，， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：如图，根据勾股定理可得：， 延长到，使得，连接， 由图可得：是中点， 在等腰三角形中，由三线合一可得： 平分， 即为的平分线． 18. 如图，菱形的对角线与相交于点于点，点分别为、的中点，连接、． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1） 证明：∵菱形的对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可证明结论； （2）根据菱形的对角线互相平分可得的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到、的长，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形的对角线与相交于点， ∴， ∵， ∴， ∵点分别为、的中点， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某校为了解老师“在学校批改作业”这一项工作的时间简称“作业时间”情况，在本校随机调查了40名老师每天批改作业的时间，并进行统计，绘制了如下统计表： 组别 “作业时间”/分钟 频数 组内老师的平均“作业时间”/分钟 A 8 50 B 14 75 C 100 D 8 135 根据上述信息，解答下列问题： （1）__________； （2）这40名老师的“作业时间”的中位数落在__________组； （3）求这40名老师的平均“作业时间”． 【答案】（1）10 （2）B （3）这40名老师的平均“作业时间”为88.25分钟 【解析】 【分析】本题考查了中位数，平均数，频数分布表．从频数分布表中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用调查的总人数减去其他组的人数即可求出m的值； （2）利用中位数的定义解答即可； （3）根据平均数的定义解答即可． 【小问1详解】 ， 故答案为：10； 【小问2详解】 把40名老师的“作业时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在B组， 这40名老师的“作业时间”的中位数落在B组， 故答案为：B； 【小问3详解】 平均“作业时间”（分钟）， 答：这40名老师的平均“作业时间”为88.25分钟． 20. 已知实数，，，且满足，． （1）求证：的值为定值； （2）若，同号，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：，， ，为关于的方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，， 的值为定值． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解； （2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得，由，同号，解得：，再根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ，同号， ， 解得：， 又， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】 （1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）千米； （3）8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）略 （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 七、（本题满分12分） 22. 近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业．某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如下表： x（元/本） … 15 25 … y（本） … 700 500 … （1）根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价． （3）销售该书每天的利润能否达到9000元？请说明理由． 【答案】（1） （2）销售单价为20元/本 （3） 销售该书每天的利润不能达到9000元， 理由如下：依题意得， 整理得． ∵， ∴该方程没有实数根， ∴销售该书每天的利润不能达到9000元． 【解析】 【分析】（1）设y关于x的函数关系式为．将表中两个点代入求解即可； （2）根据题意及（1）中结论，列出方程求解即可； （3）与（2）类似，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数关系式为． 由题意得， 解得． ∴y关于x的函数关系式为； 【小问2详解】 依题意得， 整理得， 解得，． ∵， ∴． ∴若销售该书每天的利润为6000元，则该书的销售单价为20元/本； 【小问3详解】 略 【点睛】题目主要考查一次函数的应用及一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 八、（本题满分14分） 23. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 【答案】（1） 证明：∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：取的中点Q，连接， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵正方形，， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，证明即可； （2）取的中点Q，连接，证明即可； （3）过点B作于点B，交于点G，证明，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点B作于点B，交于点G， ∴． ∵，， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定和性质，三角形中位线，正切函数的应用，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确做出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 2. 若与最简二次根式能合并，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 某校调查了200名学生的每日运动时间，绘制频数分布直方图时，若某一组的频数为40，则该组的频率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，与交于点O，已知，，则的周长为（ ） A. 11 B. C. 13 D. 15 6. 淇淇用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正n边形图案，那么n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则=__________. 13. 如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为__________. 14. 如图，在矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处． （1）的长为__________； （2）折痕的长为__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，找一点P，使得以A，C，B，P为顶点的四边形为平行四边形； （2）在图2中，作出的平分线． 18. 如图，菱形的对角线与相交于点于点，点分别为、的中点，连接、． （1）求证：； （2）求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某校为了解老师“在学校批改作业”这一项工作的时间简称“作业时间”情况，在本校随机调查了40名老师每天批改作业的时间，并进行统计，绘制了如下统计表： 组别 “作业时间”/分钟 频数 组内老师的平均“作业时间”/分钟 A 8 50 B 14 75 C 100 D 8 135 根据上述信息，解答下列问题： （1）__________； （2）这40名老师的“作业时间”的中位数落在__________组； （3）求这40名老师的平均“作业时间”． 20. 已知实数，，，且满足，． （1）求证：的值为定值； （2）若，同号，求的取值范围． 六、（本题满分12分） 21. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 七、（本题满分12分） 22. 近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业．某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如下表： x（元/本） … 15 25 … y（本） … 700 500 … （1）根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价． （3）销售该书每天的利润能否达到9000元？请说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $