专题16 指数函数9种常见考法归类讲义(100题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题16 指数函数9种常见考法归类（100题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 指数函数的概念 考点二 求指数函数的解析式或函数值 （1） 根据指数函数的概念求参数 （二）求指数函数的解析式 （三）指数函数求值 考点三 指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 考点四 指数型函数的定义域和值域 （一）指数型函数的定义域 （二）指数型函数的值域 考点五 指数函数的图象及应用 （1） 指数函数的图象特征 （2） 画指数函数的图象 （三）指数函数的图象变换 （四）指数函数过定点问题 （五）指数函数图象的应用 考点六 指数型函数的单调性及应用 （一）判断指数型函数的单调性 （二）比较大小 （三）解简单的指数不等式 （四）根据函数的单调性求参 考点七 指数型函数的最值 考点八 指数型函数的奇偶性 考点九 指数函数的综合应用 知识点1：指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 知识点2：指数函数的图象与性质 1、3、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 注：（1）指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限． （2）指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于底数a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势． 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 知识点3：指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 知识点4：指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 策略方法 1、判断一个函数是否为指数函数的方法 ①看形式:只需判断其解析式是否符合(a>0，且a≠1)这一结构特征； ②明特征：看是否具备指数函数解析式的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数． (1)底数的值是否符合要求．(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求． 2、已知某函数是指数函数求参数值的方法 ①依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程； ②求参数值：解不等式与方程求出参数的值． 注：解决指数函数问题时，要特别注意底数大于0且不等于1这一条件. 3、求指数函数的解析式或函数值 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． (2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式． 4、两类指数模型 （1）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型． （2）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型． 5、解决有关增长率问题的关键和措施 (1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较． (2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可． (3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 6、指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 注：（1）指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a>1时，y＝ax在定义域上是增函数，当0<a<1时，y＝ax在定义域上是减函数． （2）如何判断形如y＝f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性？①定义法，即“取值－作差－变形－定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律． (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性． (4)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． 7、函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 8、利用变换作图法作图要注意： ①选择哪个指数函数作为起始函数． ②平移的方向及单位长度． ③常用的变换作图法主要有：    此外，函数的图象关于y轴对称；函数y＝|ax－b|的图象可由函数y＝ax－b的图象保持在x轴上及其上方的部分不动，把x轴下方的部分翻折到x轴上方得到．　 9、处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 10、比较幂值大小的3种类型及处理方法 一般地，比较幂大小的方法有 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 11、指数方程的类型可分为： ①形如af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的方程化为f(x)＝g(x)求解； ②形如a2x＋b·ax＋c>0(<0)型不等式，用换元法求解． 12、简单的指数不等式的解法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，①当a>1时，化为f(x)>g(x)求解；②当0<a<1时，化为f(x)<g(x)求解． 若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． 16、指数型函数的奇偶性和单调性的判断方法： (1)奇偶性按照函数奇偶性的定义进行判断，注意定义域优先原则，判断过程中要进行必要的指数幂的运算． (2)单调性按照函数单调性的定义进行判断，先确定单调区间，作差变形后再进行符号的判断．　 考点一 指数函数的概念 1．（2025高一·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·课前预习）下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 4．（2025高一·上海·课堂例题）下列函数中， 是指数函数.①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥. 5．（2025高一·河北邢台·阶段练习）下列判断正确的是（    ） A．是幂函数，且是指数函数 B．是幂函数，且不是指数函数 C．不是幂函数，且是指数函数 D．不是幂函数，且不是指数函数 考点二 求指数函数的解析式或函数值 （一）根据指数函数的概念求参数 6．（25-26高一·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·课前预习）若函数是指数函数，则 ． 8．【多选】（2025高一·广东湛江·阶段练习）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·湖南·阶段练习）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025高一·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （二）求指数函数的解析式 11．（2025高一·北京丰台·期末）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 12．（2025高二·福建泉州·期末）若指数函数的图象经过点，则的值为 . 13．（2025高一·云南红河·期末）函数且的图象经过点，则 . 14．（2025高一·山东泰安·阶段练习）已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 15．（2025高三·全国·专题练习）设是的二次函数，，且，求函数和的解析式． （三）指数函数求值 16．（2025·浙江杭州模拟预测）已知函数，则 . 17．（2025·山东济宁模拟预测）已知函数，则 . 18．（2025高一·陕西商洛·期末）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 19．（2025高二·重庆·期末）已知函数，若，则实数 ． 20．（2025·江西模拟预测）已知函数，若，则的值为（    ） A．0或 B．0或 C． D． 考点三 指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 21．（2025·广东模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 22．（25-26高三·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 23．（25-26高一·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 24．（25-26高一·全国·课后作业）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金10万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为，若存期，本利和为11万元，若存期，本利和为12万元，若存期，求总利息为多少． 25．（2025高一·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点四 指数型函数的定义域和值域 （1） 指数型函数的定义域 26．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 27．（2025高一·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 28．（2025高一·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 29．（2025高二·江西·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 30．（2025高一·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． （2） 指数型函数的值域 31．（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三·四川广安·开学考试）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 33．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 34．（2025·云南昆明模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 35．（2025高二·湖南郴州·学业考试）定义一种运算则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 36.（2025·全国·高一专题练习）求函数，在上的值域. 37．（2025高一·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．（2025高一·江西宜春·阶段练习）已知函数（，）的值域为，则的取值范围是 . 39．（2025·四川成都模拟预测）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．（2023·全国·高一专题练习）已知的值域为，则x的取值范围可以为（    ） A． B． C． D． 考点五 指数函数的图象及应用 （1） 指数函数的图象特征 41．（2025·天津河东模拟预测）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 42．（25-26高一·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．  B．   C．  D．   43．（2026高三·全国·专题练习）函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   44．（2025·河南模拟预测）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 45．（2025·江苏模拟预测）当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． （2） 画指数函数的图象 46．（2025高一·全国·课堂例题）作出指数函数和的图象． 47．（2025高一·上海·课堂例题）在同一平面直角坐标系中分别作出下列函数的大致图象： (1)； (2)． 48．（2025高一·上海·课堂例题）在同一直角坐标系中作出下列函数的大致图像，并指出这些函数图像间的关系： （1）；        （2）；            （3）． 49．（2025高一·湖南·课后作业）在同一直角坐标系内作出函数与的图象. 50．（2025高三·江苏·专题练习）已知函数. (1)作出该函数的图象； (2)由图象指出函数的单调区间． （3） 指数函数的图象变换 51．（25-26高一·全国·课后作业）已知指数函数的图象经过点，则 ；将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的图象过定点 ． 52．（2025高二·四川绵阳·期末）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 53．（2025高一·北京·阶段练习）要得到函数的图象，可以将 A．函数的图象向左平移1个单位长度 B．函数的图象向右平移1个单位长度 C．函数的图象向左平移1个单位长度 D．函数的图象向右平移1个单位长度 54．（2025高三·北京西城·期中）函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 55．（2025高一·全国·课堂例题）利用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． （4） 指数函数过定点问题 56．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 57．（2025·全国模拟预测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 58．（25-26高一·全国·单元测试）当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 59．（25-26高一·全国·课前预习）已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 60．（2025高一·全国·专题练习）若函数（且）的图象恒过点，则 ， ；此时该图象所过的另外一个定点是 . （5） 指数函数图象的应用 61．（2025高三·全国·专题练习）设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 62．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 63．（2025高三·全国·专题练习）画出函数的图象，并利用图象回答：当为何值时，方程无解？有一解？有两解？ 64．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 65．（2025高三·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，，则与的图象交点的纵坐标之和为（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 考点六 指数型函数的单调性及应用 （1） 判断指数型函数的单调性 66．（2025高二·四川绵阳·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 67．【多选】（2025高一·广西柳州·期中）下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 68．（2025高一·广东汕头·期中）函数的单调增区间为 . 69．（2025高一·江苏·专题练习）函数的单调减区间为 ． 70．（2025高三·浙江金华·阶段练习）设函数，若，则实数 ，的单调增区间为 ． （二）比较大小 71．（25-26高一·全国·课堂例题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 72．（25-26高一·全国·单元测试）若，则（   ） A． B． C． D． 73．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 74．（2025高二·江苏无锡·阶段练习）若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 75．（2025·重庆模拟预测）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（   ） A． B． C． D． （三）解简单的指数不等式 76．（25-26高一·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 77．（2025高三·全国·专题练习）已知且，解关于的不等式：． 78．（25-26高三·重庆·开学考试）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为 . 79．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 80．（2025高三·全国·专题练习）设，若满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （四）根据函数的单调性求参 81．（2025·广东广州模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 82．（2025·陕西西安模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 83．（2025高一·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 84．（2025高二·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 85．（2025高二·天津南开·期末）已知分段函数对任意的且，均有，则实数的取值范围是 . 考点七 指数型函数的最值 86．（2025高一·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 87．（2025高一·全国·课后作业）已知函数满足，则在区间内的最小值为（    ） A． B． C． D． 88．（2025高三·四川绵阳·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 89．（2025高三·湖北武汉·期末）已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 90．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（    ） A． B．2或 C． D．或 91．（2025高一·全国·竞赛）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 考点八 指数型函数的奇偶性 92．（25-26高三·北京·阶段练习）已知函数，则（　　） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 93．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）若函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 94．（25-26高三·福建·开学考试）若函数是奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 95．（2025高一·重庆·期末）若函数是奇函数，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 96．（2025·河南模拟预测）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 97．（2025高一·云南玉溪·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 考点九 指数函数的综合应用 98．【多选】（25-26高三·吉林延边·开学考试）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递减 C．为奇函数 D．无最值 99．【多选】（25-26高三·重庆南岸·阶段练习）已知函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，函数满足：①对任意的实数x都有；②函数是R上的偶函数；③当时，则（   ） A．关于直线对称 B． C．的最大值是1，最小值为 D．当时， 100．【多选】（25-26高一·山西忻州·开学考试）已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 $$【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题16 指数函数9种常见考法归类（100题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 指数函数的概念 考点二 求指数函数的解析式或函数值 （1） 根据指数函数的概念求参数 （二）求指数函数的解析式 （三）指数函数求值 考点三 指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 考点四 指数型函数的定义域和值域 （一）指数型函数的定义域 （二）指数型函数的值域 考点五 指数函数的图象及应用 （1） 指数函数的图象特征 （2） 画指数函数的图象 （三）指数函数的图象变换 （四）指数函数过定点问题 （五）指数函数图象的应用 考点六 指数型函数的单调性及应用 （一）判断指数型函数的单调性 （二）比较大小 （三）解简单的指数不等式 （四）根据函数的单调性求参 考点七 指数型函数的最值 考点八 指数型函数的奇偶性 考点九 指数函数的综合应用 知识点1：指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 知识点2：指数函数的图象与性质 1、3、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 注：（1）指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限． （2）指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于底数a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势． 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 知识点3：指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 知识点4：指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 策略方法 1、判断一个函数是否为指数函数的方法 ①看形式:只需判断其解析式是否符合(a>0，且a≠1)这一结构特征； ②明特征：看是否具备指数函数解析式的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数． (1)底数的值是否符合要求．(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求． 2、已知某函数是指数函数求参数值的方法 ①依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程； ②求参数值：解不等式与方程求出参数的值． 注：解决指数函数问题时，要特别注意底数大于0且不等于1这一条件. 3、求指数函数的解析式或函数值 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． (2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式． 4、两类指数模型 （1）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型． （2）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型． 5、解决有关增长率问题的关键和措施 (1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较． (2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可． (3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 6、指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 注：（1）指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a>1时，y＝ax在定义域上是增函数，当0<a<1时，y＝ax在定义域上是减函数． （2）如何判断形如y＝f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性？①定义法，即“取值－作差－变形－定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律． (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性． (4)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． 7、函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 8、利用变换作图法作图要注意： ①选择哪个指数函数作为起始函数． ②平移的方向及单位长度． ③常用的变换作图法主要有：    此外，函数的图象关于y轴对称；函数y＝|ax－b|的图象可由函数y＝ax－b的图象保持在x轴上及其上方的部分不动，把x轴下方的部分翻折到x轴上方得到．　 9、处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 10、比较幂值大小的3种类型及处理方法 一般地，比较幂大小的方法有 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 11、指数方程的类型可分为： ①形如af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的方程化为f(x)＝g(x)求解； ②形如a2x＋b·ax＋c>0(<0)型不等式，用换元法求解． 12、简单的指数不等式的解法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，①当a>1时，化为f(x)>g(x)求解；②当0<a<1时，化为f(x)<g(x)求解． 若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． 16、指数型函数的奇偶性和单调性的判断方法： (1)奇偶性按照函数奇偶性的定义进行判断，注意定义域优先原则，判断过程中要进行必要的指数幂的运算． (2)单调性按照函数单调性的定义进行判断，先确定单调区间，作差变形后再进行符号的判断．　 考点一 指数函数的概念 1．（2025高一·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【解析】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 2．（2025高一·全国·课前预习）下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数定义可得答案. 【解析】只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 故选：C 3．（2025高一·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【分析】由指数函数定义可判断选项正误. 【解析】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D 4．（2025高一·上海·课堂例题）下列函数中， 是指数函数.①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥. 【答案】① 【分析】根据指数函数的定义，一一判断各函数，即得答案. 【解析】因为形如且的函数为指数函数，其中a为常数； 故①为指数函数；②不是指数函数； ③不是指数函数；④的底数不是常数，故不是指数函数； ⑤（是常数）为幂函数，不是指数函数； ⑥，由于取负值或0，1时，函数即不是指数函数，故不能确定为指数函数. 故答案为：①. 5．（2025高一·河北邢台·阶段练习）下列判断正确的是（    ） A．是幂函数，且是指数函数 B．是幂函数，且不是指数函数 C．不是幂函数，且是指数函数 D．不是幂函数，且不是指数函数 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合幂函数､指数函数的定义，即可求解. 【解析】解：由幂函数的定义可知，不是幂函数， 因为，所以是指数函数. 故选：C. 考点二 求指数函数的解析式或函数值 （一）根据指数函数的概念求参数 6．（25-26高一·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【解析】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 7．（2025高一·全国·课前预习）若函数是指数函数，则 ． 【答案】4 【分析】由指数函数定义可得答案. 【解析】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 故答案为：4 8．【多选】（2025高一·广东湛江·阶段练习）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值. 【解析】因为函数是指数函数， 则，解得. 故选：ACD. 9．（2025高一·湖南·阶段练习）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，是指数函数； 若是底数为的指数函数．则，且，解得， 故“”是“为指数函数”的充分不必要条件． 故选：C. 10．（2025高一·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解. 【解析】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. （二）求指数函数的解析式 11．（2025高一·北京丰台·期末）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】设出解析式，代入，求出，得到答案. 【解析】设（且），将代入得，解得，负值舍去， 故该指数函数的解析式为. 故答案为： 12．（2025高二·福建泉州·期末）若指数函数的图象经过点，则的值为 . 【答案】3 【分析】将点代入函数解析式计算即可求解. 【解析】因为指数函数的图象经过点， 所以，解得. 故答案为：3 13．（2025高一·云南红河·期末）函数且的图象经过点，则 . 【答案】 【分析】将点坐标代入函数求参数，即可得解析式. 【解析】因为函数且的图象经过点， 所以，解得，所以. 故答案为： 14．（2025高一·山东泰安·阶段练习）已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【解析】由指数函数的图象经过点，可得，解得， 所以， 故选：A. 15．（2025高三·全国·专题练习）设是的二次函数，，且，求函数和的解析式． 【答案】，． 【分析】设，根据，得到，比较系数，得到方程组，求出答案. 【解析】设，则． 由得：， 即， 即，这是关于的恒等式， 比较系数得，解得， 所以，． （三）指数函数求值 16．（2025·浙江杭州模拟预测）已知函数，则 . 【答案】 【分析】由分段函数解析式可得答案. 【解析】由题，，则. 故答案为： 17．（2025·山东济宁模拟预测）已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，先求出，再求出即可. 【解析】因为，所以. 故答案为： 18．（2025高一·陕西商洛·期末）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】求解析式，易知，代入数值即可求解. 【解析】因为，所以， 则. 所以. 故选：B. 19．（2025高二·重庆·期末）已知函数，若，则实数 ． 【答案】1 【分析】利用分段函数解方程即可． 【解析】若，则，无解； 若，则，解得， 故答案为：1． 20．（2025·江西模拟预测）已知函数，若，则的值为（    ） A．0或 B．0或 C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式，由的不同取值范围，分类讨论求解即可. 【解析】若，即，可得， 解得：，符合； 若，即，可得，解得：，符合； 综上可知：的值为0或， 故选：A 考点三 指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 21．（2025·广东模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】B 【分析】列出不等式，验证选项即可. 【解析】由题意，，整理得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，又，所以. 故选：B 22．（25-26高三·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 【答案】B 【分析】根据题意得到方程，求出，当时，，得到答案. 【解析】由题意得，即，其中，所以， 当时，. 故选：B 23．（25-26高一·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【解析】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C 24．（25-26高一·全国·课后作业）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金10万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为，若存期，本利和为11万元，若存期，本利和为12万元，若存期，求总利息为多少． 【答案】3.2（万元） 【分析】根据题意，得出方程组，两式相乘，得到本利和，进而得到利息的值，得到答案. 【解析】由题意，可得，则， 即存期，本利和为，则存期，总利息为（万元）． 25．（2025高一·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意得到方程组，联立求出，进而求出. 【解析】由题意得，当时，①， 当时，②， ②-①得，，解得，负值舍去， 所以，解得. 故选：A. 考点四 指数型函数的定义域和值域 （1） 指数型函数的定义域 26．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项． 【解析】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，由，得，故函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为． 故选：B． 27．（2025高一·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【解析】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 28．（2025高一·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 29．（2025高二·江西·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可. 【解析】由题意可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 30．（2025高一·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【答案】(1)定义域为，值域为. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. （2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【解析】（1）由，得， 函数的定义域为． ， ．的值域为． （2）函数的定义域为． ． 故的值域为． （2） 指数型函数的值域 31．（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【解析】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 32．（25-26高三·四川广安·开学考试）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数单调性得到值域. 【解析】，又在R上单调递减， 故，又，故值域为. 故选：A 33．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】利用换元法或反函数法求解得到答案； 【解析】解法1：换元拆分法 .令，所以 所以函数的值域为. 解法2：反函数法 由得，则， 故.所以函数的值域为. 34．（2025·云南昆明模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【解析】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 35．（2025高二·湖南郴州·学业考试）定义一种运算则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简函数的解析式，结合指数函数的值域可得出函数的值域. 【解析】由可得，解得；由可得，解得. 所以. 故当时，； 当时，则，. 综上所述，函数的值域为. 故选：B. 36.（2025·全国·高一专题练习）求函数，在上的值域. 【答案】 【分析】，令，再根据二次函数的性质即可得解. 【详解】， 令，函数 在上是单调减函数，∴， 的对称轴为， ∴当时，，即 当时，，即， ∴在上的值域为. 37．（2025高一·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质建立方程得到，再结合得到，最后再求解目标式的值即可. 【解析】因为，所以，则， 因为函数的值域为，所以， 此时，因为，所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 38．（2025高一·江西宜春·阶段练习）已知函数（，）的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由时的值域，将问题转化成在上恒成立即可求解； 【解析】当时，，又函数的值域为， 所以在上恒成立，所以 解得，即的取值范围是. 故答案为： 39．（2025·四川成都模拟预测）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【解析】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 40．（2023·全国·高一专题练习）已知的值域为，则x的取值范围可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据值域解不等式组可得t的范围，然后解指数不等式可得. 【详解】令，则， 由题知，，解得或， 即或，解得或. 故选：D 考点五 指数函数的图象及应用 （1） 指数函数的图象特征 41．（2025·天津河东模拟预测）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案. 【解析】解：由指数函数的性质可知： ①是的部分图象；③是的部分图象；④是的部分图象； 所以只有②不是指数函数的图象. 故选：B. 42．（25-26高一·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．  B．   C．  D．   【答案】A 【分析】先求出时函数的单调性和值域，再求出时函数的单调性和值域，从而采用排除法即可得到答案． 【解析】设， 当时，， ∴时，单调递增， 由，得， ， ∴选项C，D错误． 当时，， ∴时，单调递增， 由，得，即， ∴函数图象在轴下方，排除B选项，则选项A符合要求． 故选：A． 43．（2026高三·全国·专题练习）函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由题意可知当时，；当时，，结合指数函数的图象与性质即可判断. 【解析】函数定义域为，且 当时，函数是一个指数函数，因为， 所以函数在上是减函数；故排除A，C； 当时，函数图象与指数函数的图象关于轴对称， 在上是增函数．故排除B． 故选：D. 44．（2025·河南模拟预测）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据时函数值的符号排除A，故可得正确的选项. 【解析】的定义域为，排除D； 因为，所以为偶函数， 图象关于y轴对称，排除C； 当时，，排除A． 故选：B. 45．（2025·江苏模拟预测）当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各选项中的图象，由一次函数的图象确定的取值情况，再由指数型函数图象判断特征判断即可. 【解析】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A （2） 画指数函数的图象 46．（2025高一·全国·课堂例题）作出指数函数和的图象． 【答案】答案见解析 【分析】通过列表、描点连线（也可借助信息技术在计算机上作图）作图即可. 【解析】过列表、描点连线（也可借助信息技术在计算机上作图），得图4.2-3． … 0 1 2 … … 0.25 0.5 1 2 4 … … 0 0.5 1 … … 0.1 0.32 1 3.16 10 …    47．（2025高一·上海·课堂例题）在同一平面直角坐标系中分别作出下列函数的大致图象： (1)； (2)． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）（2）在同一平面直角坐标系中分别作出两个函数的大致图象即可. 【解析】（1）两个函数图象如下图所示： （2）（由于作图要求在同一个坐标系）见小问1详解. 48．（2025高一·上海·课堂例题）在同一直角坐标系中作出下列函数的大致图像，并指出这些函数图像间的关系： （1）；        （2）；            （3）． 【答案】答案见解析 【分析】先在同一直角坐标系中作出（1）（2）（3）的函数图象，由图象即可得到这些函数图像间的关系. 【解析】（1）（2）（3）的函数图象在同一直角坐标系中作出如图所示， 由图可知，函数与的图象关于轴对称， 函数的图象可由的图象向下平移一个单位得到. 49．（2025高一·湖南·课后作业）在同一直角坐标系内作出函数与的图象. 【答案】作图见解析 【分析】直接在平面直角坐标系中作出两个指数函数的图象即可. 【解析】解：作出函数与的图象如下图所示： 50．（2025高三·江苏·专题练习）已知函数. (1)作出该函数的图象； (2)由图象指出函数的单调区间． 【答案】见解析. 【分析】（1）去绝对值符号，利用函数图象变换分段画出函数图象；（2）根据函数图象的单调性得出单调区间. 【解析】(1)y＝|x＋1|＝ 其图象由两部分组成： 一部分是：y＝x(x≥0) y＝x＋1(x≥－1)；另一部分是：y＝3x(x＜0) y＝3x＋1(x＜－1)，函数图象如图所示． (2)由图象知函数的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)． 【点睛】指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． (3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． （3） 指数函数的图象变换 51．（25-26高一·全国·课后作业）已知指数函数的图象经过点，则 ；将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的图象过定点 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义及题目条件求得函数 的解析式，再利用“上加下减，左加右减”的图象平移原则进行计算，得到函数的解析式，即可得出结果. 【解析】由指数函数的图象经过点， 得，解得，所以． 将函数的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象， 再向上平移4个单位长度，得到的图象． 令，得，此时，所以的图象过定点. 故答案为：；. 52．（2025高二·四川绵阳·期末）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】利用函数图象的平移变换可得出结论. 【解析】因为，， 所以，为了得到函数的图象，只需将指数函数的图象向右平移个单位， 故选：D. 53．（2025高一·北京·阶段练习）要得到函数的图象，可以将 A．函数的图象向左平移1个单位长度 B．函数的图象向右平移1个单位长度 C．函数的图象向左平移1个单位长度 D．函数的图象向右平移1个单位长度 【答案】D 【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减” 进行判断即可. 【解析】将函数的图象向右平移个单位后可得的图象. 故选：D. 54．（2025高三·北京西城·期中）函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可． 【解析】解：关于轴对称的函数为，即， 然后向左平移一个单位得到， 得，即， 故选：C． 55．（2025高一·全国·课堂例题）利用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)作图见解析 (5)作图见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据，结合对应图象变换画出对应函数图象. 【解析】（1）将图象向右平移一个单位即得，如下图，    （2）将右侧图象以y轴为对称轴作出左侧图象，去掉原图象左侧部分即得，如下图，    （3）将图象向下平移一个单位即得，如下图，    （4）以x轴为对称轴，画出与对称的图象即得，如下图，    （5）将（3）所得图象在x轴下方部分，翻折到上方即得，如下图，    （4） 指数函数过定点问题 56．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由指数函数的性质确定定点坐标，即可得. 【解析】令，得，此时， 所以定点P的坐标为，即，，所以. 故选：C 57．（2025·全国模拟预测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到. 【解析】是幂函数，则，所以，． 在中，令，得，所以定点为， 故，又，解得． 故答案为： 58．（25-26高一·全国·单元测试）当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求的值和对应的函数值，即得图象所过的定点． 【解析】对于函数，令，解得， 则， 所以的图象恒过点． 故选：C. 59．（25-26高一·全国·课前预习）已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据函数恒过定点求出n，再根据函数图象过求出m，从而得到答案． 【解析】由函数（，且）恒过定点，可得， ∵函数图象过点， ∴，解得， 故． 故选：C． 60．（2025高一·全国·专题练习）若函数（且）的图象恒过点，则 ， ；此时该图象所过的另外一个定点是 . 【答案】 4 【分析】根据指数函数过定点的性质，即恒成立，即可得到结论． 【解析】由函数的图象恒过点， 则当时，由得，即， 由得； 令，得另一根为，， 故另一个定点是. 故答案为：；4；. （5） 指数函数图象的应用 61．（2025高三·全国·专题练习）设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用分段函数的形式写出的解析式，作出的图象，由数形结合可得的范围，结合，化简即可得到结果． 【解析】，其图象如图所示， 由图可知，在上单调递减，在上单调递增， 要使，且成立，则有且，故必有且， 又，即为，整理得， 故选：A． 62．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据分段函数和指数函数图象画出的图象，数形结合讨论的正负和大小关系，再结合且即可得出答案． 【解析】 则的图象如图所示：    ∵， ∴若，则，这与已知矛盾． 同理，也不成立，∴只有或这两种情况． ∴，故B一定不成立，A成立； 又，即， ∴，故D一定成立，C一定不成立． 故选：BC． 63．（2025高三·全国·专题练习）画出函数的图象，并利用图象回答：当为何值时，方程无解？有一解？有两解？ 【答案】答案见解析 【分析】作出函数图象，结合图象判断即可得解. 【解析】函数图象如图， 由图象可知，，无解； ，有一解； ，有两解． 64．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可. 【解析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示. 因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点， 故图象上关于原点对称的点有3对.      故选：C 65．（2025高三·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，，则与的图象交点的纵坐标之和为（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】由题可得对称中心相同，然后由大致图象可得答案. 【解析】注意到，因关于原点中心对称， 则图象关于对称. 因为奇函数，则 相当于把函数图象向右移动1个单位长度，向上移动2个单位长度得到. 则图象也关于对称. 又注意到均在R上递增，则在R上单调递增， 据此可得大致图象，再将图象向右平移一个单位长度，向上平移2个单位长度可得图象. 则如下图所示，共有2个交点，则两交点均关于对称，则与的图象交点的纵坐标之和为4. 故选：A 考点六 指数型函数的单调性及应用 （1） 判断指数型函数的单调性 66．（2025高二·四川绵阳·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由解析式判断函数奇偶性、单调性. 【解析】对于A，不是偶函数，故A错误； 对于B，不是偶函数，故B错误； 对于C，当时，，即在上不为减函数，故C错误； 对于D，经检验是偶函数又在上为减函数，故D正确. 故选：D. 67．【多选】（2025高一·广西柳州·期中）下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由幂函数的性质可得A正确；由指数函数的性质可得B错误；举反例可得C错误；由奇函数的性质结合复合函数的单调性可得D正确. 【解析】对于A，由幂函数的性质可得既是奇函数又在上单调递增，故A正确； 对于B，由指数函数的性质可得不是奇函数，故B错误； 对于C，当时，；当时，，所以函数在上不是单调递增，故C错误； 对于D，定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 由复合函数的单调性可得在上单调递增，故D正确. 故选：AD 68．（2025高一·广东汕头·期中）函数的单调增区间为 . 【答案】或二选一 【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得. 【解析】函数的定义域为R， 函数在上单调递增，在单调递减， 而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递减，在单调递增， 所以函数的单调递增区间是（或二选一）. 故答案为：或二选一 69．（2025高一·江苏·专题练习）函数的单调减区间为 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性服从同增异减原则即可. 【解析】令，则， 因为在上递增，在上递减， 又因为在上递增，所以的单调减区间为， 故答案为： 70．（2025高三·浙江金华·阶段练习）设函数，若，则实数 ，的单调增区间为 ． 【答案】 / 【分析】利用函数解析式结合可求得实数的值，再利用函数单调性的性质可求得函数的单调递增区间. 【解析】因为，则，则，解得. 所以，， 当时，，此时函数单调递减， 当时，由于函数、均为增函数，故函数也为增函数， 由于，则函数在连续， 所以，函数的单调递增区间为. 故答案为：；. （二）比较大小 71．（25-26高一·全国·课堂例题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解． 【解析】，在上单调递增， ，故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以． 故选：D 72．（25-26高一·全国·单元测试）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【解析】由， 因为在上单调递减，且， 所以． 故选：C. 73．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【解析】因为函数是减函数，所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 74．（2025高二·江苏无锡·阶段练习）若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数为偶函数可知在的单调性，再根据幂函数性质和指数函数性质判断出，根据函数的单调性即可判断大小. 【解析】为偶函数且在上单调递增，则在上单调递减. 根据幂函数在上单调递增，得，再 由指数函数单调递增可知，，则， 故，即. 故选：B. 75．（2025·重庆模拟预测）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数 在 上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到求解. 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数， 所以函数在上为减函数， 又 ，， 所以，则， 故选：B （三）解简单的指数不等式 76．（25-26高一·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【解析】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 77．（2025高三·全国·专题练习）已知且，解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】按照和分类讨论，根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【解析】当时，函数单调递增， 由得，即，解得或； 当时，函数单调递减， 由得，即，解得； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 78．（25-26高三·重庆·开学考试）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为 . 【答案】 【分析】由函数解析式可知，函数为奇函数，然后利用函数性质将不等式进行转化，最后解不等式即可. 【解析】已知函数,其定义域为,关于原点对称， 计算， 而， 所以，所以函数是上的奇函数， 对求导，根据求导公式得， ，所以在上单调递增， 由于是奇函数，可得， 等价于， 又因为在上单调递增，所以， 移项得，即， 解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为： 79．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数单调性分类讨论即可求解不等式的解集. 【解析】作出的图象如图所示. 当时，，， 所以，， 所以，符合题意； 当时，，， 所以，， 所以，符合题意； 当时，，， ， 令得，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：C. 80．（2025高三·全国·专题练习）设，若满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数得到性质，再将转化为，由函数的单调性解得. 【解析】由题意可列，得. 即关于点对称． 因为，所以是增函数，为减函数，为增函数， 故单调递增． 所以，， 即需满足，解得或. 故选：D． （四）根据函数的单调性求参 81．（2025·广东广州模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得. 【解析】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 82．（2025·陕西西安模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【解析】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 83．（2025高一·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【解析】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 84．（2025高二·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据条件判断函数在上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分界点处的值的大小关系，列不等式组求解即可． 【解析】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 85．（2025高二·天津南开·期末）已知分段函数对任意的且，均有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的单调性和复合函数的单调性,来判断二次函数的对称轴的范围以及分段点处的取值大小，从而可求解参数范围. 【解析】由对任意的且，不妨假设， 因为恒成立，所以， 则在上单调递减， 根据复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递减， 需满足在上单调递增，故需， 还需满足且，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 考点七 指数型函数的最值 86．（2025高一·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设，将此函数转化为一元二次函数的最值分析求解即可. 【解析】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，． 故选：A． 87．（2025高一·全国·课后作业）已知函数满足，则在区间内的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用求得，根据函数的单调性求得最小值. 【解析】当时，，则， 令，则，所以， 则是增函数，在区间内的最小值为． 故选：A 88．（2025高三·四川绵阳·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性求出函数的最小值，利用恒成立问题列出不等式求解. 【解析】因为，使得，所以 因为函数在上单调递减，所以， 因为函数在上单调递增，所以， ，解得，即实数的取值范围是. 故选：A. 89．（2025高三·湖北武汉·期末）已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】A 【分析】记，由，利用函数单调性知，结合，首先求出的解析式，可得函数，再利用配方法求最值即可求解. 【解析】记， 用y替换 中的x得，且， ， 因为函数在定义域上单调递减，所以， 因为， 所以 ， 或，又函数在定义域上单调递减 所以有满足题设条件. 所以，， 当即时，函数的最小值是 故选：A 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是用y替换 中的x，然后利用函数的单调性求出函数的解析式. 90．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（    ） A． B．2或 C． D．或 【答案】D 【分析】由的范围讨论单调性，确定最值即可求解． 【解析】当时，单调递增， 此时，所以，解得； 当时，单调递减，此时， 所以，解得． 所以实数的值为或． 故选：D. 91．（2025高一·全国·竞赛）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】分离参数得恒成立，由复合型指数函数的最值得，解一元二次不等式即可得解. 【解析】不等式可化为. 因为，所以，所以的最大值为. 所以，所以. 故选：C. 考点八 指数型函数的奇偶性 92．（25-26高三·北京·阶段练习）已知函数，则（　　） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性的定义和指数函数的单调性的性质判断即可. 【解析】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增. 故选：A. 93．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）若函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据函数定义域为，利用可求，再检验即可. 【解析】因为函数是奇函数，定义域为， 所以，解得， 时，， ， 所以函数是奇函数，则. 故选：C. 94．（25-26高三·福建·开学考试）若函数是奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质，结合指数运算即可求解. 【解析】的定义域为，关于原点对称， 则，即，故，解得， 故选：C 95．（2025高一·重庆·期末）若函数是奇函数，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数为奇函数求得，再确定其单调性即可求解； 【解析】是奇函数，又定义域为, 所以，得，经检验符合； 所以， 由在上单调递增，易知在上单调递减， 又， 所以等价于， 所以， 所以不等式的解集为， 故选：A 96．（2025·河南模拟预测）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的特点及题设函数画出函数的图象，进而结合图象求解即可. 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以， 结合题意作出的大致图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故选：B. 97．（2025高一·云南玉溪·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】D 【分析】先由奇函数确定的值，然后对变形得到其单调性，判断函数的奇偶性， 将不等式等价变形为对任意恒成立，故只需求出函数的最小值即可，由复合函数单调性，即可得出其单调性，进而得到其最小值. 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，得， 从而由复合函数单调性可知在上单调递增， 又， 所以是定义在上的奇函数， 所以不等式等价于， 即等价于，亦即， 该不等式对任意恒成立，则不大于的最小值. 因为由对勾函数和复合函数单调性可知在区间上单调递增， 所以当时，的最小值为 所以，等号成立当且仅当.所以有最大值 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是先结合已知得到在上单调递增，从而将不等式等价变形为对任意恒成立，进而即可求解. 考点九 指数函数的综合应用 98．【多选】（25-26高三·吉林延边·开学考试）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递减 C．为奇函数 D．无最值 【答案】ACD 【分析】根据判断A；根据奇函数的定义判断C；可判断B；利用定义求证在上的单调性并结合奇偶性得出在上的单调性可判断D. 【解析】，所以，故A正确； 因在处没有意义，故B 错误； ，则， 所以为奇函数，故C 正确； ，且， 则， 因，则，则，即， 则在上单调递减， 因为奇函数，则在上也单调递减， 当时，；当时，，故函数无最值， 故D选项正确. 故选：ACD. 99．【多选】（25-26高三·重庆南岸·阶段练习）已知函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，函数满足：①对任意的实数x都有；②函数是R上的偶函数；③当时，则（   ） A．关于直线对称 B． C．的最大值是1，最小值为 D．当时， 【答案】ABD 【分析】利用偶函数定义，结合轴对称判断A；求出函数的周期及在上单调性推理判断B；求出判断C；利用对称性求出指定区间上的解析式判断D. 【解析】对于A，由函数是R上的偶函数，得， 函数图象关于直线对称，A正确； 对于B，由，得，又， 则，，因此， 函数的周期为4，， 由当时，，得函数在上单调递增， 因为对任意的实数x都有， 所以函数图象关于点中心对称，则函数在上单调递增， 由题意得图象为一条连续不断的曲线， 于是函数在上单调递增，，则，B正确； 对于C，由当时，，得，由， 得，解得，C错误； 对于D，当时，， 则，D正确. 故选：ABD 100．【多选】（25-26高一·山西忻州·开学考试）已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 【答案】AC 【分析】A项，根据的性质易求出函数的值域；B项，写出的表达式，根据的单调性，即可求出的解集；C项，求出的表达式，得出与的表达式相同，即可得出结论；D项，设，利用函数的奇偶性定义即可判断. 【解析】对于A，因，则，即值域为，A正确； 对于B，因，由得，即， ∵函数为减函数，∴，解得，故的解集为，B错误； 对于C，由， 可得， 由图知，的图象与的图象关于轴对称，C正确； 对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数，故D错误. 故选：AC. $$