第17讲 对数讲义（知识清单+6题型讲解练+强化训练）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版必修第一册）

第17讲 对数 知识清单 知识点01：对数的概念 1 知识点02：对数的相关性质 2 知识点03：对数的运算性质 2 题型归纳 题型01 对数的概念判断与求值 3 题型02 指数式与对数式的互化 4 题型03 对数的运算 6 题型04 对数的运算性质的应用 8 题型05 运用换底公式化简计算 10 题型06 运用换底公式证明恒等式 14 强化训练 15 知识点01：对数的概念 1.对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 注意点： (1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换． (2)logaN的读法：以a为底N的对数． 2.两类特殊对数 (1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N. (2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N. 知识点02：对数的相关性质 (1)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (2)logaa＝1(a>0，且a≠1)． (3)负数和0没有对数． (4)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 知识点03：对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 注意点： (1)性质的逆运算仍然成立． (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而 log2(－2)与log2(－3)都没有意义． (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*. 题型01 对数的概念判断与求值 【例1-1】（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，解得或， 由，得，则，解得，所以方程的解集为. 故选：D. 【例1-2】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）若为奇函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【详解】因为为奇函数，当时，， 所以. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【详解】. 故选：D 【变式1-2】（24-25高一上·浙江·阶段练习）若，则（    ） A．1 B．5 C．8 D．27 【答案】C 【详解】因为，，所以. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一上·广东广州·期中），，，则下列正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的定义可得，根据指数函数单调性可得，，即可得结果. 【详解】因为，，，即， 所以. 故选：B. 题型02 指数式与对数式的互化 【例2-1】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，. 故选：A. 【例2-2】（24-25高一上·上海宝山·期末）方程的解 . 【答案】 【详解】方程的解. 故答案为：. 【例2-3】将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 【变式2-1】（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数幂运算法则，可得. 再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以. 已知，根据对数与指数的关系，可得. 同理，因为，所以. 将和代入中计算结果 把，代入可得：. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·全国·单元测试）若，则 ． 【答案】15 【详解】由题意得，则，解得． 故答案为：15. 【变式2-3】（22-23高一下·海南海口·期末）已知，则 ． 【答案】 【详解】因为，得到， 又，所以， 故答案为：. 题型03 对数的运算 【例3】若且，，，那么： （1） ；（2） ； （3） ． 【答案】 【变式3-1】（25-26高一上·全国·单元测试）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】． 故选：C. 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）设a，b为实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，，所以，． 对于A，．则A正确， 对于B，，则B不正确， 对于C，，则C不正确， 对于D，，则D正确. （另解  利用换底公式的一个推论： ，得）． 故选：AD 【变式3-3】（25-26高一上·全国·单元测试）若函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】方法一：令，得， 则． 方法二：令，则， 所以，即， 则． 故答案为：. 题型04 对数的运算性质的应用 【例4-1】（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）已知，，用含、的式子表示 ． 【答案】 【详解】，， 则，故，， 则. 故答案为：. 【例4-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）设函数，. (1)设，用表示，并指出的取值范围； (2)求的最值，并指出取得最值时对应的的值. 【详解】（1）设，因为，所以. 此时，， 即，其中 （2）由第(1)问可得，. 因为，函数在单调递增， 在单调递减，所以当，即， 即时，取得最大值； 当，即， 即时，取得最小值. 【变式4-1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式的解集是，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，、为关于的方程的两根， 由韦达定理可得，解得，故. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期中）若 (且)，则等于 【答案】/0.2 【详解】由得 所以，所以，所以loga. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高一上·上海·期中）已知函数，则三者的大小关系为 【答案】 【详解】因为，所以. 因为是R上的减函数，所以． 故答案为：. 题型05 运用换底公式化简计算 【例5-1】（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【例5-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，取，，， ，， 则，故A错误； 对于B，取，，， ，， 则，故B错误； 对于C，由对数的运算性质可知，，故C正确； 对于D，对数的底数不能为负数，则表示错误，故D错误； 故选：C. 【例5-3】（25-26高一上·全国·单元测试）计算下列各式： (1)； (2)． 【详解】（1）原式 ． 故答案为：0 （2）原式 ． 故答案为：-7 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）若，则 .（用表示） 【答案】 【详解】因，则. 故答案为： 【变式5-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）下列指数或对数运算中不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项 A：因为 ，所以 . 使用换底公式得：（因为 ）。 因此，，故选项A正确； 对于选项 B： 左边：， 右边：. 两边均等于 ，故选项B正确； 对于选项 C：两边平方验证： 左边：， 右边：. 两边平方后相等，且 ，故选项C正确； 对于选项 D：， 故选项D错误. 故选：D 【变式5-3】（25-26高一上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 . 题型06 运用换底公式证明恒等式 【例6】设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 【详解】（1），所以等式成立； （2），所以等式成立. 【变式6-1】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）由，得，. 所以，， 则，故. 【变式6-2】（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【详解】（1），得证； （2）推广： 证明：． 【变式6-3】（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【详解】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据对数运算法则即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）若与互为相反数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为与互为相反数， 所以有， 于是有，当且仅当时取等号， 即时取等号， 于是有，即，当且仅当时取等号， 故选：D 3．（24-25高一上·山东威海·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用指数幂，同底数指数幂运算法则，对数运算法则化简计算即可. 【详解】因为，，， 所以原式. 故选：D 4．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到，利用对数运算法则计算出，得到答案. 【详解】， 则 ， 所以， 故选：C． 5．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数式与对数式的互化可得出、，再利用换底公式以及对数的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：D. 6．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时．当时，是位数．试用上述方法，判断的位数是（   ）（） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】C 【分析】计算的值，由此确定的位数. 【详解】， 是位数. 故选：C. 7．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】B 【分析】根据对数的运算可得，对A，根据判断即可；对B，由，可得，再根据，结合基本不等式求解即可；对C，根据，代入结合基本不等式求解即可；对D，根据代入可得原式，再根据求解范围即可. 【详解】若，则，，，即. 对于A，，当且仅当， 即，时，等号成立，可得，故A错误； 对于B，由，可得， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以， 当且仅当，时，等号成立，故C错误； 对于D，由，可得，可知， 故， 因为，故，，，故D错误. 故选：B 二、多选题 8．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质和基本不等式判断即可. 【详解】对于选项A:因为且，所以，当且仅当即时取等号，故A正确. 对于选项B：因为，得所以， 所以，故选项B正确. 对于选项C： ，当且仅当即时取等号，故选项C错误. 对于选项D：当且仅当即时取等号，所以，故选项D正确. 故选：ABD 9．（24-25高一上·河南郑州·期末）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若且，则 【答案】ABD 【分析】根据指数幂的运算可判断AB的正误，根据对数的运算性质可判断C的正误，根据指对数的转化可判断D的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，，故，故D正确； 故选：ABD. 10．（24-25高一上·山东·期末）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据对数运算判断A，应用指数对数运算化简求值判断B，应用换底公式及对数运算判断C，应用指数运算计算判断D. 【详解】，A选项错误； ，B选项正确； 若，，则，C选项正确； 若，则，所以，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题 11．（24-25高一上·山东淄博·期末） . 【答案】 【分析】根据对数、指数幂运算求解. 【详解】 . 故答案为： 12．（24-25高一上·四川广元·期末） ． 【答案】18 【分析】利用指数运算及指数式与对数式的互化关系计算得解. 【详解】. 故答案为：18 13．（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可. 【详解】由题意，， 又， 所以. 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】应用对数的运算性质得，再由指数运算求值. 【详解】由题设，则. 故答案为： 15．（24-25高一上·天津·阶段练习），则用和表示的结果为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 四、解答题 16．（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，，求ab的值. 【答案】（1）；（2）8 【分析】（1）利用对数的运算公式进行求解； （2）利用指数和对数的运算公式求解. 【详解】（1）原式 ； （2）由，，可得，． 所以. 17．（22-23高一上·陕西·期末）（1）求的值； （2）若，用表示. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据指数及对数的运算性质，即可求值； （2）根据对数的运算和换底公式，即可求解. 【详解】（1） （2）. 18．（25-26高一上·安徽合肥·期中）设函数，. (1)设，用表示，并指出的取值范围； (2)求的最值，并指出取得最值时对应的的值. 【答案】(1)，其中. (2)时，取得最大值；时，取得最小值. 【分析】先利用对数运算性质将函数转化为关于的表达式，再根据的范围确定的取值范围. 将关于的函数化为顶点式，再结合二次函数单调性求最值即对应的值. 【详解】（1）设，因为，所以. 此时，， 即，其中 （2）由第(1)问可得，. 因为，函数在单调递增， 在单调递减，所以当，即， 即时，取得最大值； 当，即， 即时，取得最小值. 19．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数； (1)求的解析式，并写出的单调性（无需证明单调性）； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，在上为减函数，理由见解析， (2). 【分析】（1）奇函数关于原点对称，可以求出，由奇函数的定义可以判断；由且，得，则在R上单调递减； （2）由奇函数的性质可以得到，求出的最大值就可以求出的取值范围. 【详解】（1）由定义域为的函数是奇函数， 可得，即，可得， 所以， 又，故为奇函数， 所以 设且， 则， 由，可得，所以， 即，则在上为减函数； （2）由于恒成立 故恒成立， 由在上为减函数，得恒成立， 由 ， 当即时，取得最大值， 所以，解得. 即的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 对数 知识清单 知识点01：对数的概念 1 知识点02：对数的相关性质 2 知识点03：对数的运算性质 2 题型归纳 题型01 对数的概念判断与求值 2 题型02 指数式与对数式的互化 3 题型03 对数的运算 4 题型04 对数的运算性质的应用 4 题型05 运用换底公式化简计算 5 题型06 运用换底公式证明恒等式 7 强化训练 8 知识点01：对数的概念 1.对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 注意点： (1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换． (2)logaN的读法：以a为底N的对数． 2.两类特殊对数 (1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N. (2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N. 知识点02：对数的相关性质 (1)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (2)logaa＝1(a>0，且a≠1)． (3)负数和0没有对数． (4)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 知识点03：对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 注意点： (1)性质的逆运算仍然成立． (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而 log2(－2)与log2(－3)都没有意义． (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*. 题型01 对数的概念判断与求值 【例1-1】（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）若为奇函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式1-1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【变式1-2】（24-25高一上·浙江·阶段练习）若，则（    ） A．1 B．5 C．8 D．27 【变式1-3】（24-25高一上·广东广州·期中），，，则下列正确的是 （    ） A． B． C． D． 题型02 指数式与对数式的互化 【例2-1】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一上·上海宝山·期末）方程的解 . 【例2-3】将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-1】（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·全国·单元测试）若，则 ． 【变式2-3】（22-23高一下·海南海口·期末）已知，则 ． 题型03 对数的运算 【例3】若且，，，那么： （1） ；（2） ； （3） ． 【变式3-1】（25-26高一上·全国·单元测试）（    ） A． B．3 C． D． 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）设a，b为实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·全国·单元测试）若函数，则的值为 ． 题型04 对数的运算性质的应用 【例4-1】（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）已知，，用含、的式子表示 ． 【例4-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）设函数，. (1)设，用表示，并指出的取值范围； (2)求的最值，并指出取得最值时对应的的值. 【变式4-1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式的解集是，那么（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期中）若 (且)，则等于 【变式4-3】（25-26高一上·上海·期中）已知函数，则三者的大小关系为 题型05 运用换底公式化简计算 【例5-1】（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则 . 【例5-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例5-3】（25-26高一上·全国·单元测试）计算下列各式： (1)； (2)． 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）若，则 .（用表示） 【变式5-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）下列指数或对数运算中不正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 题型06 运用换底公式证明恒等式 【例6】设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 【变式6-1】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【变式6-2】（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【变式6-3】（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（    ） A． B． C．4 D．5 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）若与互为相反数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东威海·期末）（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时．当时，是位数．试用上述方法，判断的位数是（   ）（） A．29 B．30 C．31 D．32 7．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 二、多选题 8．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知且，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·河南郑州·期末）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若且，则 10．（24-25高一上·山东·期末）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 三、填空题 11．（24-25高一上·山东淄博·期末） . 12．（24-25高一上·四川广元·期末） ． 13．（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，则 . 14．（25-26高一上·上海·阶段练习）已知，则 ． 15．（24-25高一上·天津·阶段练习），则用和表示的结果为 四、解答题 16．（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，，求ab的值. 17．（22-23高一上·陕西·期末）（1）求的值； （2）若，用表示. 18．（25-26高一上·安徽合肥·期中）设函数，. (1)设，用表示，并指出的取值范围； (2)求的最值，并指出取得最值时对应的的值. 19．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数； (1)求的解析式，并写出的单调性（无需证明单调性）； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $