专题19 函数的零点与方程的解9种常见考法归类讲义( 49题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题19 函数的零点与方程的解9种常见考法归类（49题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求函数的零点 考点二 零点的个数问题 考点三 判断零点所在的区间 考点四 根据函数零点所在的区间求参数范围 考点五 已知零点个数求参数范围 考点六 比较零点大小 考点七 求零点的和 考点八 二次函数的零点问题 考点九 函数与方程综合 知识点1：函数零点的概念 1、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 注：函数的零点不是函数与x轴的交点，函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 知识点2：函数零点存在定理及其应用 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 注：（1）函数零点存在定理的条件有哪些？定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0. （2）在函数零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 知识点3：二次函数的零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 策略方法 1、求函数y＝f(x)的零点的方法 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数根就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法或性质法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点：因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　 2、判断函数零点个数的六种常用方法 (1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决． (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数． (3)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (4)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (5)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (6)转化成两个函数图象的交点个数问题． 3、确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 4、根据函数零点个数求参数值(范围)的方法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．　 考点一 求函数的零点 1．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点是 ． 【答案】1和5 【分析】令，解出即可. 【解析】令，解得函数的零点是1和5． 故答案为：1和5. 2．（25-26高一·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】直接解方程即得函数的零点. 【解析】令，即，解得, 所以函数的零点为或. 故选：D 3．（2025高二·陕西·学业考试）函数的零点是 (写出满足条件的一个零点即可). 【答案】（或填，答案不唯一） 【分析】求出函数的零点，写出一个即可. 【解析】当时，，解得， 当时，，解得. 故答案为：（或填，答案不唯一） 4．（2025高一·贵州遵义·期中）已知是函数的零点，则 . 【答案】 【分析】根据零点定义可得，根据，代入化简即可得解. 【解析】因为是函数的零点， 所以，所以， 所以. 故答案为： 5．（2025高三·全国·专题练习）已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（    ） A．1 B．2020 C．4040 D．4016 【答案】B 【分析】问题化为分别是与、的交点横坐标，再利用对称性得交点坐标，即可得. 【解析】由题意，是曲线与曲线交点的横坐标， 是曲线与曲线交点的横坐标， 显然关于对称，且函数与互为反函数， 故与关于直线对称，即，故或， . 故选：B 考点二 零点的个数问题 6．（2025高二·北京·学业考试）已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，求出直线与该图象交点个数即得. 【解析】由给定的图象知，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以方程的解的个数为1. 故选：B 7．（25-26高一·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，分析每一段零点个数，当时，易得一个零点，当，根据单调性及零点存在定理判断即可. 【解析】当时，令，解得， 当时，，， ，所以在上存在零点， 又因为在上单调递增，所以函数在上有唯一零点． 综上，的零点个数为2. 故选：C. 8．（25-26高一·全国·课前预习）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由和都在上连续且单调递增，得在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点．再根据,可知函数有且只有一个零点. 【解析】解：由和 都在上连续且单调递增，得 在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点． 因为,,所以函数有且只有一个零点. 故选：B. 9．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点个数是 ． 【答案】2 【分析】作出与的函数图象，根据图象交点个数得出答案. 【解析】令，， 则原函数的零点个数问题就转化为两个新函数图象的交点个数问题． 由图，可知原函数的零点个数为2． 故答案为：2. 10．（25-26高三·辽宁·开学考试）已知函数则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】作出函数的图象，设，首先得到与有三个交点，横坐标分别为，其中，，，然后将方程解的个数问题转化为方程，，解的个数之和即可得出答案. 【解析】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B 考点三 判断零点所在的区间 11．（25-26高三·陕西·阶段练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【解析】函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 而，所以函数的零点所在区间是. 故选：B 12．（25-26高一·全国·课前预习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理即可判断. 【解析】的定义域为． 因为和均在上单调递减，所以也在单调递减． 又，，，则，故零点位于区间内． 故选：B 13．【多选】（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则的可能取值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【分析】设， ，由函数单调性及零点存在定理可确定函数的零点所在区间是和，再确定选项即可. 【解析】设， ， 在上均单调递增， 且， ，， 即，， 所以函数的零点所在区间是和． 观察选项，可得的值可能为， 故选：BC. 14．（25-26高三·河北保定·开学考试）下列区间中，函数存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段讨论，通过求函数值的范围和解方程的方法，求出函数零点所在区间. 【解析】当时，，不存在零点. 当时，，由，可得. 因为，所以的零点在区间内. 故选：A. 15．（2025高一·湖北·期中）方程的根所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在定理可得出结果. 【解析】令， 故函数为定义在上的连续函数，且显然为增函数， 因为，，， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为. 故选：C. 考点四 根据函数零点所在的区间求参数范围 16．（25-26高一·全国·课前预习）若函数在区间内有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】因为在上单调递增，所以可由零点存在定理得，即，解关于的不等式可得的取值范围. 【解析】因为在上单调递增，所以在区间内单调递增，则由零点存在定理可得， 即，解得，故的取值范围是． 故答案为： 17．（25-26高一·全国·课后作业）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得. 【解析】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 18．（2025高一·全国·专题练习）若函数的零点，则整数的取值为 ． 【答案】或2 【分析】先将零点问题化为交点问题，再结合图象确定其中一个零点范围，再利用零点存在性定理确定另一个零点范围，最后求解参数即可. 【解析】由题意得的定义域为， 令，则， 可得函数的零点为函数的图象与的图象交点的横坐标， 如答图15-18，可知交点有两个，其中一个交点的横坐标满足．    而函数的零点，解得， 而，， 则，由零点存在性定理得存在作为零点， 因为该零点满足，且为整数，所以， 综上，或2. 故答案为：或2 19．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【解析】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 考点五 已知零点个数求参数范围 20．（2025高三·全国·专题练习）函数有两个不同的零点的一个充分不必要条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数有两个不同的零点，分类讨论，解得或，继而根据充分不必要条件的含义得出答案. 【解析】，则是的一个零点， 则有两个不同的零点有两种情形： ①若是方程的一个根， 则方程有两个不相同的实数根， 则， 此时方程，解得，，符合， 故时，有，两个不同的零点； ②若不是方程的根，则方程有两个相同的实数根， 则，解得， 此时，解得， 故时，有，两个不同的零点； 综上，函数有两个不同的零点，则或， 所以是有两个不同的零点的一个充分不必要条件， 故答案为：（答案不唯一）. 21．（2025高三·北京·开学考试）已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】或， 【分析】根据函数的单调性，作出函数图像，即可结合函数图像的交点个数求解. 【解析】由于为单调递增函数，且时，， 当时，，当时，， 作出的图像如下所示： 故只有一个交点，则直线与函数的图像只有一个交点， 故或， 故答案为：或， 22．（2025高一·浙江杭州·期中）若函数的图象与直线有两个交点，则a的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】令，则，结合对勾函数的性质求区间值域，再由交点情况，即自变量个数确定参数范围，即可得. 【解析】由，令，则， 由在上单调递减且值域为，在上单调递增且值域为， 所以在上值域为，在上的值域为， 则时，有2个不同的对应值，此时有3或4个不同值， 时，有1个对应值，此时有2个不同值， 要使函数的图象与直线有两个交点，则，最小. 故选：B 23．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）设若实数且满足，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 【答案】CD 【分析】由题意知直线与的图象有三个交点，且，根据图象可得并求出与的关系，整理可得，结合二次函数分析求解即得正确选项. 【解析】∵，且， ∴直线与的图象有三个交点， 作出的图象，如图所示， 由图可知 且解得 则 因为，则， 所以 所以的取值范围是． 故选：CD. 24．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数的图象与轴有唯一交点，则 ． 【答案】/0.5 【分析】分析得的图象关于直线对称，结合已知得即可求解. 【解析】因为的定义域为，且， 由此可知在上为偶函数，图象关于轴对称． 函数的图象关于直线对称， 所以的图象关于直线对称． 又的图象与轴有唯一交点，则交点为，即，解得． 故答案为：. 25．【多选】（2025高一·全国·专题练习）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】将函数有两个不同的零点，转化为的图象与直线有两个不同的交点，数形结合求解参数范围. 【解析】依题意，等价于． 令，则的图象与直线有两个不同的交点． 其图象如图,    由图可知，可知BC符合题意． 故选：BC． 26．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，若曲线与恰有三个交点，则（    ） A． B．或1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】依题意，均为偶函数，两函数恰有三个交点，可知轴左右两侧的交点必然成对出现，要使其有三个交点，，计算，解得.对分类讨论计算交点； 【解析】易知，均为偶函数，若曲线与恰有三个交点， 由，均为偶函数可知两函数在轴左右两侧的交点必然成对出现，要使其有三个交点， 则需在处也相交.所以，即，解得. 当时，，，此时只有一个交点，不符题意； 当时，，，此时有，，三个交点，故. 故选：C. 27．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合法：先对解析式分析函数单调性，求得端点值和最小值，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解即可 【解析】当时，在单调递减，在单调递增， 则，； 当时，在单调递增. 如图，作出的大致图象， 只需函数与的图象有三个交点，结合图象得的取值范围为. 故答案为：. 28．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，设在时直线与的图象有4个交点， ，令，只需方程有2个不同的解，根据一元二次方程根的分布，列不等式求解即可． 【解析】如图，作出函数的图象，易知， 当时，此时有4个不同的实数根， 当或时，此时有3个不同的实数根， 当时，此时有2个不同的实数根， 当时，此时有1个不同的实数根， 当时，此时没有实数根， 因此只有在时直线与的图象有4个交点， 所以要满足关于的函数有8个不同的零点， 令，则方程在上有两个不等实根， 则有解得． 故答案为：. 29．（2025高三·全国·专题练习）已知函数其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，，由和函数的单调性和值域可知，要使方程有4个不相等的实数根，则，解不等式即可得出答案. 【解析】当时，显然不符合题意； 当时，函数和函数都是定义域内的单调函数， 且函数的值域为， 则由题意得函数的值域为，所以， 则函数，即的值域为， 的大致图像如图所示，由函数图像易得要使方程有4个不相等的实数根， 则，即，又因为， 解得. 故选：C． 考点六 比较零点大小 30．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则正实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为函数图象的交点，画出图象数形结合即可. 【解析】分别作出函数，，，的图象如图所示， 其中是和图象交点的横坐标， 是和图象交点的横坐标， 是和图象交点的横坐标，由图可得．    故选：B 31．【多选】（2025高一·云南昆明·期末）若正数满足，则的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意令，分别作，，的图象，然后利用数型结合从而可求解. 【解析】由题意令，分别作，，的图象，如图， 当时，可得，故D正确； 当时，可得，故C正确； 当时，可得，故A正确； 因为都为正数，所以结合图形不存在这种情况，故B错误； 故选：ACD. 32．（2025高二·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，分别计算，由零点存在性定理得的范围，从而比较的大小关系. 【解析】令得，因为，所以即； ，因为，所以，所以， 又在R上单调递减，由零点存在性定理得； ，因为，所以，所以， 又函数在上单调递减，由零点存在性定理得， 所以， 故选：A. 33．（2025高一·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别作出函数及的图象，即可求解. 【解析】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．    由图象可知．故B正确. 故选:B． 34．（2025高一·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【解析】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B 考点七 求零点的和 35．（2025高一·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【解析】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 36．（2025·江西萍乡·模拟预测）已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】先求解方程的根，再求和即可求解. 【解析】当时，由，得 当时，由，得或， 所以四个零点和为， 故选：D 37．（2025高二·安徽合肥·期末）已知函数其中表示不超过x的最大整数，则关于x的方程的所有实数根之和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得，，和，方程的解，进而得到答案. 【解析】当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得， 如图所示，所以方程只有两个根，分别为和，所以两根之和为 故选：A.    38．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数与函数的图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.根据是方程的解得，再由对称性可知是方程的解，即可求解. 【解析】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则. 故选：C. 39．（2025高一·山西·阶段练习）已知定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（    ） A．12 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】根据已知有或，数形结合确定零点个数及其数量关系，进而求零点的和，最后求函数值. 【解析】关于的方程，解得或， 由函数图象如下， 当时，原方程有三个实根，其中一个根为，另两个根关于直线对称，则； 当时，原方程有两个实根，设为，，这两个根关于直线对称，则． 所以原方程一共有5个不同的实根， 所以， 故选：B 考点八 二次函数的零点问题 40．（2025高一·全国·专题练习）已知在上有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设函数在上的两个零点分别为，结合韦达定理得，据此可求其取值范围即可. 【解析】设函数在上的两个零点分别为， 则， 由根与系数的关系可知， 所以， 因此． 又，且，则． 故答案为： 41．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析函数的图象特征，列出不等式组求解即可． 【解析】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在点（2，0）的右侧， 如图． 根据图象可得，解得． 故答案为：． 42．（2025高一·辽宁盘锦·期中）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：根据函数的零点个数分类讨论，再结合零点存在性定理，解不等式组确定参数取值范围. 方法二：对解析式变形，在统一平面直角坐标系中画出函数图象，利用数形结合法求解. 【解析】解法一： 当函数只有一个零点且在区间内时， ； 当函数有两个零点时，，解得或， 当时，显然在上恒成立，此时无内的零点， 当时，又在内只有一个零点，则或或， 即或或， 解得或或． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C. 解法二： 由，得，又，所以， 所以， 令，，，要使在区间内只有一个零点， 只需直线与的图象在上只有一个交点，作出两函数图象如图所示， 由图可知或，解得或， 所以的取值范围是． 故选：C. 43．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当为何值时，方程的两根都大于0？ (2)当为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (3)当为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合图象与轴交点的位置讨论方程根的情况． 【解析】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为． 两根都大于0，如图1所示，则，解得． （2）一个根大于1，另一个根小于1，如图2所示，则，解得． （3）一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，如图3所示，则，解得． 44．（2025高三·全国·专题练习）若关于的方程在上： (1)有实根，求的取值范围； (2)有两个不同的实根，求的取值范围； (3)有一个实根，求的取值范围； (4)无实根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令 ，分离参数可得到，问题可转化为与在 有交点，作图数形结合即可. （2）令 ，分离参数可得到，问题可转化为与在 有2个不同的交点，作图数形结合即可. （3）令 ，分离参数可得到，问题可转化为与在 只有一个交点，作图数形结合即可. （4）令 ，分离参数可得到，问题可转化为与在 没有交点，作图数形结合即可. 【解析】（1）令 ，由于 ，有 ， 方程可化为：，可得， ， 令，， 作出的图象如图： 问题可转化为与在 有交点， 只需， 所以. （2）由第一问知：，， 问题可转化为：与在 有两个不同交点，作出图象： 由图可知，得 . （3）由第一问知：，， 问题可转化为：与在 上只有一个交点，作出图象： 由图可知：或， 故或. （4）由第一问知：，， 问题可转化为：与在 没有交点，作出图象： 由图可知：或， . 考点九 函数与方程综合 45．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知函数有两个零点，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数B．或 C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，运用偶函数定义判定；对于B，转化为的两根分别为，换元转化为对勾函数与函数的图象有两个交点，结合图像判定即可；对于C､D，运用换元，转化，结合二次方程，韦达定理计算判定即可. 【解析】对于A，由题意，的定义域为，∵，∴为偶函数．A正确； 对于B，有两个零点， 即的两根分别为，令，则， 即函数与函数的图象有两个交点， 由对勾函数的图象可知，当时，与的图象有两个交点．B错误； 对于C，D，由上可知，令后转化成①， 设，为①式的两根，则，即②，由②式可知，∴ 则，又，∴，则．C正确；D错误； 故选：AC. 46．【多选】（25-26高三·吉林延边·开学考试）已知函数的零点为，函数的零点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过零点的几何意义，从函数图象的特征入手，注意到交点的对称性，进而对选项进行判断. 【解析】设，，. 因为是的零点，所以是函数和的图象的交点的横坐标. 因为是的零点，所以是函数和的图象的交点的横坐标. 函数，故将函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位， 可得的函数图象，且由于图像的特点可知，的两条渐近线为和， 且关于直线对称，而与的图象也关于直线对称. 因此与图象的交点和与图象的交点关于对称. 通过画出，，的草图，易知，故选项A错误. 交点与关于直线对称，所以，故选项B正确. ，所以，化简得，故选项C错误. 交点与同样关于直线对称，同理. 因此，故选项D正确. 故选：BD 47．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知函数若存在四个不同的值，，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】作出函数的图象，设，则直线与的图象4个交点的横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项. 【解析】作出的图象，设， 则直线与的图象4个交点的横坐标分别为， 函数的图象如图所示， 对于A，因为的图象关于直线对称，所以．A错误； 对于B，因为，由图象可得， 所以，解得．B错误； 对于C，由图象可得，所以．C正确； 对于D，由图象可知，又，， 所以．D正确. 故选：CD. 48．【多选】（25-26高二·安徽·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有4个实数根，从小到大分别为，则 D．若有8个实数根，则 【答案】ABC 【分析】对于A，B只需代值计算，根据自变量范围进行取舍即得；对于C，则需要作出函数的图象，利用函数与方程的关系，结合函数的对称性和图象变换，由双勾函数的单调性即可判断C项，对于D，设，结合图象，将问题转化为方程在上有两个相异实根的问题，利用一元二次方程的根的分布列出不等式组计算即得参数范围. 【解析】对于A，由题意，，故A正确； 对于B，当时，由可得， 解得，因，故得； 当时，由可得，或，解得或， 故有、、共三个实数根，故B正确； 对于C，作出函数的图象，由时，， 且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，，当时，直线与函数均有两个交点， 故由有4个实数根可得，，由图知，， ，则，解得， 又由解得，由解得，则有， 于是，因函数在单调递减，故， 则，故C正确； 对于D，设，则方程即， 由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根， 且，，则由解得或， 设，依题意，需使，则得， 综上，可得，故D错误. 故选：ABC. 49．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，关于的方程，则下列判断中正确的是（    ） A．时，方程有2个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 【答案】CD 【分析】把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 【解析】程根的问题可以转化成直线和图象的交点问题， 如图，作出直线和函数的图象， A，由图可知：时，方程有3个不同的实数根，错误； B，当时，结合图象可知，方程无解，错误． C，由图可知直线和的图象有3个交点时，的取值范围为，正确． D，假设，结合图象可知，，所以，正确． 故选：CD. $【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题19 函数的零点与方程的解9种常见考法归类（49题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求函数的零点 考点二 零点的个数问题 考点三 判断零点所在的区间 考点四 根据函数零点所在的区间求参数范围 考点五 已知零点个数求参数范围 考点六 比较零点大小 考点七 求零点的和 考点八 二次函数的零点问题 考点九 函数与方程综合 知识点1：函数零点的概念 1、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 注：函数的零点不是函数与x轴的交点，函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 知识点2：函数零点存在定理及其应用 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 注：（1）函数零点存在定理的条件有哪些？定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0. （2）在函数零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 知识点3：二次函数的零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 策略方法 1、求函数y＝f(x)的零点的方法 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数根就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法或性质法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点：因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　 2、判断函数零点个数的六种常用方法 (1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决． (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数． (3)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (4)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (5)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (6)转化成两个函数图象的交点个数问题． 3、确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 4、根据函数零点个数求参数值(范围)的方法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．　 考点一 求函数的零点 1．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点是 ． 2．（25-26高一·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2025高二·陕西·学业考试）函数的零点是 (写出满足条件的一个零点即可). 4．（2025高一·贵州遵义·期中）已知是函数的零点，则 . 5．（2025高三·全国·专题练习）已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（    ） A．1 B．2020 C．4040 D．4016 考点二 零点的个数问题 6．（2025高二·北京·学业考试）已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高一·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（25-26高一·全国·课前预习）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点个数是 ． 10．（25-26高三·辽宁·开学考试）已知函数则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点三 判断零点所在的区间 11．（25-26高三·陕西·阶段练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一·全国·课前预习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 13．【多选】（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则的可能取值为（    ） A． B． C．1 D．2 14．（25-26高三·河北保定·开学考试）下列区间中，函数存在零点的是（    ） A． B． C． D． 15．（2025高一·湖北·期中）方程的根所在的区间为（   ） A． B． C． D． 考点四 根据函数零点所在的区间求参数范围 16．（25-26高一·全国·课前预习）若函数在区间内有零点，则的取值范围是 ． 17．（25-26高一·全国·课后作业）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2025高一·全国·专题练习）若函数的零点，则整数的取值为 ． 19．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点五 已知零点个数求参数范围 20．（2025高三·全国·专题练习）函数有两个不同的零点的一个充分不必要条件是 . 21．（2025高三·北京·开学考试）已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是 ． 22．（2025高一·浙江杭州·期中）若函数的图象与直线有两个交点，则a的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 23．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）设若实数且满足，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 24．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数的图象与轴有唯一交点，则 ． 25．【多选】（2025高一·全国·专题练习）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 26．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，若曲线与恰有三个交点，则（    ） A． B．或1 C．1 D．2 27．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若有三个零点，则的取值范围是 . 28．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 29．（2025高三·全国·专题练习）已知函数其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六 比较零点大小 30．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则正实数（    ） A． B． C． D． 31．【多选】（2025高一·云南昆明·期末）若正数满足，则的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 32．（2025高二·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 33．（2025高一·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 34．（2025高一·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 考点七 求零点的和 35．（2025高一·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 36．（2025·江西萍乡·模拟预测）已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 37．（2025高二·安徽合肥·期末）已知函数其中表示不超过x的最大整数，则关于x的方程的所有实数根之和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 38．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 39．（2025高一·山西·阶段练习）已知定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（    ） A．12 B． C．15 D． 考点八 二次函数的零点问题 40．（2025高一·全国·专题练习）已知在上有两个零点，则的取值范围是 ． 41．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是 ． 42．（2025高一·辽宁盘锦·期中）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 43．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当为何值时，方程的两根都大于0？ (2)当为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (3)当为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ 44．（2025高三·全国·专题练习）若关于的方程在上： (1)有实根，求的取值范围； (2)有两个不同的实根，求的取值范围； (3)有一个实根，求的取值范围； (4)无实根，求的取值范围． 考点九 函数与方程综合 45．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知函数有两个零点，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数B．或 C． D． 46．【多选】（25-26高三·吉林延边·开学考试）已知函数的零点为，函数的零点为，则（   ） A． B． C． D． 47．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知函数若存在四个不同的值，，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 48．【多选】（25-26高二·安徽·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有4个实数根，从小到大分别为，则 D．若有8个实数根，则 49．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，关于的方程，则下列判断中正确的是（    ） A．时，方程有2个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 $