21.5一元二次方程的应用（实数范围内因式分解）（题型专练）数学沪教版五四制2024八年级上册

21.5 一元二次方程的应用（实数范围内因式分解） 题型一、寻找能因式分解的二次三项式 1．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即．若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的值，根据的符号判断即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 2．下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（　　） A．x2﹣3x+2 B．2x2﹣2x+1 C．2x2﹣xy﹣y2 D．x2+3xy+y2 【答案】B 【分析】利用十字乘法把选项A，C分解因式，可判断A，C，利用一元二次方程根的判别式计算的值，从而可判断B，D，从而可得答案. 【详解】解： 故A不符合题意； 令 所以在实数范围内不能够因式分解，故B符合题意； 故C不符合题意； 令 所以在实数范围内能够因式分解，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，一元二次方程的根的判别式的应用，掌握“利用一元二次方程根的判别式判断二次三项式在实数范围内能否分解因式”是解本题的关键. 3．下列关于的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式的因式分解，涉及了一元二次方程根的情况与判别式的关系，解题的关键是将因式分解问题转化为一元二次方程根的情况与判别式的关系．对每个选项，令值为0，得到一元二次方程，计算判别式的值，即可判断在实数范围内一定能分解因式的二次三项式． 【详解】解：A、当时，，在实数范围内不能因式分解，不符合题意； B、当时，，在实数范围内不能因式分解，不符合题意； C、时，，在实数范围内能因式分解，符合题意； D、当时，，在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意； 故选：C． 4．下列二次三项式在实数范围内一定能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化一元二次方程根的判别式计算判断即可． 【详解】A. ∵中，， ∴无实数根， 故在实数范围内不能因式分解，不符合题意； B. ∵中，， ∴有两个不相等的实数根， 故在实数范围内能因式分解，符合题意； C.∵中，，无法确定属性， ∴不一定有实数根， 故在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意； D. ∵中，， ∴无实数根， 故在实数范围内不能因式分解，不符合题意； 故选Ｂ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 5．下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一定能在实数范围内因式分解可知必须满足，分别进行判断即可； 【详解】的，故A错误； 的，可能大于0，也可能小于0，故B错误； 的，故C正确； 的，故D错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件，根据题意判断出判别式的符号，认真计算，熟练掌握任何数的平方都是非负数是解题的关键． 题型二、对二次三项式因式分解 6．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】由时，解得，根据求根公式的分解方法和特点即可得到答案． 【详解】解：当时， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式的知识，当无法用十字相乘法分解时可以使用求根公式法进行分解． 7．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解：， 根据平方差公式可得， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止是解题的关键． 8．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解一元二次方程，正确的解一元二次方程是解题的关键． 先解方程，再写成因式分解的形式即可． 【详解】解：令， ∴， 则， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 9．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，令，求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：令， 解得或， ∴， 故答案为：． 10．在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【分析】先求出方程的两个根，再因式分解． 【详解】∵的根为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，正确计算方程的两个根是解题的关键． 11．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】根据“当、是一元二次方程的两个根时，可以分解为”，求出方程的两个根即可． 【详解】解：根据，其中、是一元二次方程的两个根， ， ， 根据， 解得：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数范围内因式分解，掌握“当、是一元二次方程的两个根时，可以分解为”是解决问题的前提，求出的两个根是正确解答的关键． 12．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】先解方程，求得方程的两个根，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解，正确的求得方程的两根是解题的关键． 13．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】结合题意，当时，通过求解一元二次方程，得，结合，即可得到答案． 【详解】解：， 当时，得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 14．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】根据公式法解，得出，再根据因式分解即可得出答案． 【详解】解：由，得：， 原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解一元二次方程；，公式法解一元二次方程，进而求得，即可将代数式写成因式分解的形式，即可求解． 【详解】解：设 ∵， ∴ 解得： ∴实数范围内因式分解： 故答案为：． 16．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】令先利用公式法求解一元二次方程的根，再分解因式即可. 【详解】解：令 故答案为： 【点睛】本题考查的是在实数范围内分解因式，利用公式法解一元二次方程，掌握“利用公式法求解一元二次方程的根，再把代数式分解因式”是解本题的关键. 17．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解及一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解及一元二次方程的解法是解题的关键；可令，然后根据求根公式可得出方程的根，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可令， 则， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 18．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用求根公式求出方程的根，然后根据题目中所说的方法进行分解因式即可，解题关键是熟练掌握求方程的根再分解因式的方法． 【详解】解：令， 解得：，， ∴， 故答案为：． 19．在实数范围内因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数范围内分解因式．利用公式法求出方程的解，从而得出答案． 【详解】解：方程的，，， △， ， ， 故答案为：． 20．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用解一元二次方程分解因式．先解方程，然后把已知的多项式写成的形式即可． 【详解】解： ， 解得：； ∴． 故答案为：． 题型一、二次三项式因式分解求字母取值范围 21．如果二次三项式能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出的范围即可． 【详解】解：二次三项式能在实数范围内分解因式， ， 解得：， 故选：A． 22．二次三项式可在实数范围内因式分解，则的取值范围 【答案】且且且 【分析】本题考查根的判别式的应用，根据二次三项式的定义给出各系数不为0，再根据“可在实数范围内因式分解”得出，从而得解，掌握“可在实数范围内因式分解”即是是解题的关键，注意系数不为0． 【详解】解：∵是二次三项式， ∴且 ∴且且 ∵二次三项式可在实数范围内因式分解， ∴ 解得：， ∴且且且． 23．若关于x的方程在实数范围内没有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据方程没有实数根得出且，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴且， 解得，， 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的根判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 24．若二次三项式ax2+3x+4在实数范围内可以因式分解，那么a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由二次三项式ax2+3x+4在实数范围内可以因式分解，可得是一元二次方程且在实数范围内有解，再根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得到答案. 【详解】解： 二次三项式ax2+3x+4在实数范围内可以因式分解， 是一元二次方程且在实数范围内有解， 解得：且 故答案为：且 【点睛】本题考查的是二次三项式在实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式，掌握“二次三项式在实数范围内可以因式分解的含义”是解本题的关键. 25．若多项式x2﹣3x+m+2在实数范围内可以因式分解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，解不等式求解即可． 【详解】解：∵多项式x2﹣3x+m+2在实数范围内可以因式分解， ∴x2﹣3x+m+2=0有实数根， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是由题意得出x2﹣3x+m+2=0有实数根． 题型二、主元法因式分解 26．在实数范围内分解因式：= ． 【答案】 【分析】首先将原式等于0，解关于x的方程，进而分解因式得出即可． 【详解】解：令 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确解方程得出是解题关键． 27．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是在实数范围内分解因式，一元二次方程的解法，本题令，用含y的代数式表示x，再分解因式即可． 【详解】解：令， ∴， ∴， 解得：，， ∴； 故答案为：． 28．在实数范围内因式分解： 【答案】 【分析】令，则式子可化为，令，求解即可． 【详解】解：令，则式子可化为， 令 则，， 则， 故答案为： 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根． 29．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解，分解的因式一般要分解分到无理数为止．本题中利用二次三项式进行因式分解即可． 【详解】当， ， ， ， ∴ ∴， 故答案为：． 30．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】令，则式子可化为，令，求解即可． 【详解】解：令，则式子可化为， 令， ，， 即， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根． 31．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，把y看做常数，解关于x的一元二次方程，求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：当时， 令， ∴， ∴， 解得或， ∴， 故答案为：． 32．二次三项式在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确解方程是解题关键． 首先解关于的方程，进而分解因式得出即可． 【详解】解：当时， 解得：， 则． 故答案为：． 33．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内因式分解，先令，利用求根公式求出两个根，根据分解即可． 【详解】解：令， ， ， ， ∴， 故答案为：． 34．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，一元二次方程的解法，令，将看作常数解得的值，是解题的关键．令，将看作常数，利用公式法解得的值，继而求得答案． 【详解】解：令，将看作常数， 则，，， 那么， 则， ∴． 1．若二次三项式能在实数范围内分解因式，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，因二次三项式在实数范围内能分解因式，所以有实数根，据此求解即可． 【详解】解：解：二次三项式在实数范围内能分解因式，就是对应的二次方程有实数根， ∴且， 解得且． 故选：C． 2．将二次三项式在实数范围内分解因式，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可． 【详解】解：令， 解得：， 所以， 故选：A． 3．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解、解一元二次方程，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用提取公因式法分解因式可得，然后利用公式法解一元二次方程，求出方程的两个根，由此即可得． 【详解】解： ， 令，则， ∴可转化为， ∴， 故答案为：． 4．若二次三项式在实数范围内可分解因式为，则该二次三项式对应一元二次方程的值分别为 ． 【答案】， 【分析】利用平方差公式计算后，再利用平方差公式计算，再和二次三项式比较即可． 【详解】解： = ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查二次三项式的因式分解、一元二次方程的一般式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式能灵活运用是解题关键． 5．在实数范围内，已知，则的值是 ． 【答案】-3 【分析】直接利用换元法解方程，再利用一元二次方程的解法分析得出答案． 【详解】解：设， 则， ， 故， 解得：，， 当时， 则， 此时△， 此方程无解， 故， 故的值是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了换元法解方程，正确解一元二次方程是解题关键． 6．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则 ；（2）方程的两根为 ．（根用表示）． 【答案】 ， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，实数的运算， （1）利用同底数幂的乘法法则和材料中的方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程—配方法即可解答； 准确熟练地进行计算及掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ∴，， 故答案为：，． 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.5 一元二次方程的应用（实数范围内因式分解） 题型一、寻找能因式分解的二次三项式 1．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（　　） A．x2﹣3x+2 B．2x2﹣2x+1 C．2x2﹣xy﹣y2 D．x2+3xy+y2 3．下列关于的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．下列二次三项式在实数范围内一定能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型二、对二次三项式因式分解 6．在实数范围内分解因式： ． 7．在实数范围内分解因式： ． 8．在实数范围内分解因式： ． 9．在实数范围内因式分解： ． 10．在实数范围内分解因式 ． 11．在实数范围内因式分解： ． 12．在实数范围内分解因式： ． 13．在实数范围内因式分解： ． 14．在实数范围内分解因式： ． 15．在实数范围内因式分解： ． 16．在实数范围内分解因式： ． 17．在实数范围内因式分解： ． 18．在实数范围内因式分解： ． 19．在实数范围内因式分解 ． 20．在实数范围内分解因式： ． 题型一、二次三项式因式分解求字母取值范围 21．如果二次三项式能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．二次三项式可在实数范围内因式分解，则的取值范围 23．若关于x的方程在实数范围内没有实数根，则k的取值范围是 ． 24．若二次三项式ax2+3x+4在实数范围内可以因式分解，那么a的取值范围是 ． 25．若多项式x2﹣3x+m+2在实数范围内可以因式分解，则m的取值范围是 ． 题型二、主元法因式分解 26．在实数范围内分解因式：= ． 27．在实数范围内分解因式： ． 28．在实数范围内因式分解： 29．在实数范围内因式分解： ． 30．在实数范围内因式分解： ． 31．在实数范围内因式分解： ． 32．二次三项式在实数范围内因式分解： ． 33．在实数范围内因式分解： ． 34．在实数范围内分解因式： ． 1．若二次三项式能在实数范围内分解因式，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 2．将二次三项式在实数范围内分解因式，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 3．在实数范围内分解因式： ． 4．若二次三项式在实数范围内可分解因式为，则该二次三项式对应一元二次方程的值分别为 ． 5．在实数范围内，已知，则的值是 ． 6．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则 ；（2）方程的两根为 ．（根用表示）． 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$