21.5一元二次方程的应用（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制） 数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的应用，系统梳理列方程解应用题的审题、设元、列方程等六步一般步骤作为基础支架，再通过增长率、面积、利润等常见应用类型，结合具体实例构建等量关系，形成从步骤到应用的完整学习脉络。 资料特色在于针对基础薄弱学生设计，融入思维导图辅助知识梳理，通过流感传播、商品利润等现实情境问题培养数学眼光，规范步骤训练强化推理意识，等量关系建模提升模型意识。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖多种类型，帮助学生查漏补缺。

21.5一元二次方程的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 审题：仔细阅读题目，明确题意，找出已知量和未知量，理解题目中涉及的等量关系。 2. 设元：根据题意设出未知数，通常有直接设元（直接设所求的量为未知数）和间接设元（设与所求量相关的其他量为未知数）两种方法。 3. 列方程：根据题目中的等量关系，列出一元二次方程。这是解决问题的关键步骤，需要将文字描述转化为数学表达式。 4. 解方程：运用合适的方法（如因式分解法、配方法、公式法）求解所列出的一元二次方程，得到方程的解。 5. 检验：检验方程的解是否符合实际意义，即检查解是否满足题目中的条件，是否为合理的数值（如长度不能为负，人数不能为小数等）。 6. 作答：根据检验后的结果，写出完整的答案，回答题目所提出的问题。 二、常见应用类型及等量关系 1. 增长率（降低率）问题 · 基本等量关系：若原来的量为(a)，平均增长率为(x)，经过(n)次增长后，现在的量为(b)，则有；若为平均降低率，则有。 · 例如：某工厂去年的利润为(100)万元，今年的利润比去年增长了(x)，预计明年的利润将在今年的基础上再增长(x)，若明年的利润为(121)万元，可列出方程。 2. 面积问题 · 常见图形：长方形、正方形、三角形、圆形等，利用相应图形的面积公式作为等量关系。 · 例如：用一根长(20m)的绳子围成一个长方形，若长方形的面积为，设长方形的长为(xm)，则宽为((10 - x)m)，可列出方程。还可能涉及到图形的拼接、切割等，此时需要根据图形变化后的尺寸关系列出方程。 3. 利润问题 · 基本等量关系：总利润 = 单个利润×销售量，单个利润 = 售价 - 进价。 · 例如：某商品的进价为每件(40)元，售价为每件(60)元，每月可卖出(300)件。如果调整价格，每涨价(1)元，每月少卖出(10)件，设每件商品涨价(x)元，每月的利润为(y)元，则，若已知利润为某个具体值，可列出相应方程求解。 4. 数字问题 · 两位数的表示：设十位数字为(a)，个位数字为(b)，则这个两位数可表示为(10a + b)。 · 例如：一个两位数，十位数字与个位数字之和为(8)，将十位数字与个位数字对调后得到的新两位数比原两位数大(18)，设原两位数的十位数字为(x)，则个位数字为(8 - x)，原两位数为(10x + (8 - x))，新两位数为(10(8 - x) + x)，可列出方程。 5. 行程问题（特殊类型） · 一般行程问题多涉及一次方程，但某些涉及往返、相遇后继续行驶等情况，且路程、速度、时间之间关系复杂时可能会用到一元二次方程。 · 例如：甲、乙两人分别从相距(30km)的(A)、(B)两地同时出发，相向而行。经过(3h)后两人相遇，相遇后甲立即返回(A)地，乙继续向(A)地前进，甲返回(A)地时，乙离(A)地还有(6km)，设甲的速度为(xkm/h)，乙的速度为(ykm/h)，根据相遇时路程和为(30km)可得，甲返回(A)地所用时间也为(3h)（因为路程相同，速度不变），此时乙行驶的路程为，离(A)地还有(6km)，则，联立方程组可求解，但如果题目中只涉及一个未知数的平方关系等，就会列出一元二次方程。（注：行程问题中一元二次方程应用相对少些，需根据具体题目分析） 6. 工程问题（特殊类型） · 基本等量关系：工作总量 = 工作效率×工作时间，一般工程问题用一次方程解决，但当工作效率发生变化且变化关系涉及平方时可能用到一元二次方程。 · 例如：一项工程，甲单独做需要(10)天完成，乙单独做需要(15)天完成，现在甲先做了若干天后，因另有任务，剩下的工程由乙单独完成，从开始到完成共用了(12)天，设甲做了(x)天，则乙做了((12 - x))天，可列出方程（此为一元一次方程，仅作对比）。若题目中涉及甲、乙工作效率变化，如甲工作效率提高(x)后，与乙合作完成工程的时间满足某种平方关系，则可能列出一元二次方程。（注：工程问题中一元二次方程应用也相对少，需具体问题具体分析） 型 习 练 题 传播问题 1．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． 初始1人患流感，每轮传染中平均一人传染x人，则第一轮后总人数为，第二轮后总人数为，然后根据两轮后共有81个人患了流感列方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， ∵初始患病人数为1， ∴第一轮传染后，总患病人数为， 第二轮传染时，有人每人传染x人， ∴新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为． 故选：B． 2．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据传染模型正确列出方程．初始有人患流感，每轮传染中平均一个人传染人，经过两轮传染后总人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人． 初始患病人数为， 第一轮后患病人数为：， 第二轮新增患病人数为：， 两轮后总患病人数为：． 故选：B． 3．某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支，进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，主干长出的支干数目与每个支干长出的小分支数目相同，故支干的数量也为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：B． 4．在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达到，每轮传播人，列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每轮传播中平均一人传播了x人，根据经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得：， 即：． 故选：D． 5．全球十大恐怖病毒之一——汉坦病毒，有非同寻常的多样性，可以通过各种动物传染给人，传染速度较快，人类感染后会出现高热、出血、肾脏损伤等症状．某地有1头猪得了汉坦病毒，经过两轮传染后共有144头猪得了这种病毒，每轮传染中平均1头猪传染了几头猪？设每轮传染中平均1头猪传染了x头猪，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每轮传染中平均1头猪传染了头猪，根据经过两轮传染后共有144头猪得了这种病毒，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设每轮传染中平均1头猪传染了头猪， 根据题意可得：， 故选：C． 增长率问题 6．某种手机经过四、五月份连续两次降价，每部手机由元降到元．设平均每月降价的百分率为，则根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题，理解题意并正确列出方程是关键；根据连续两次降价，每次降价百分率为x，则两次降价后价格为原价乘以，据此列方程． 【详解】解：设平均每月降价的百分率为x， ∵第一次降价后价格为元， 第二次降价后价格为元， 又∵最终价格为2500元， ∴． 故选：A． 7．福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程应用中的增长率问题，根据平均每月增长率模型，从一月至三月经过两个月增长，三月份产量应为一月份产量乘以，即可解答． 【详解】解：设该厂二、三月份平均每月的增长率为， 根据题意，得． 故选：C． 8．某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是正确理解增长率公式． 根据年平均增长率模型，增长后的量等于增长前的量乘以增长率的次方，其中为年数． 【详解】解：∵从2022年到2024年，经过2年， ∴2024年投入年投入增长率， 即， ∴方程是． 故选：C． 9．根据重庆市统计局数据，2022年重庆市GDP为2.91万亿元，2024年增至3.22万亿元．若2023年和2024年GDP保持相同的年平均增长率，设平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了增长率问题的一元二次方程应用，解题的关键是掌握“增长后的量增长前的量（为增长次数）”的数量关系． 年为万亿元，年平均增长率为，则年为年为，结合年为万亿元列方程． 【详解】解：年为万亿元，经2次增长后年为，对应万亿元， ∴方程为， 故选：B． 10．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘，若每天“遗忘”的百分比是一样的，设百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每天遗忘百分比为x，最初知识量为1．根据每天遗忘百分比相同，两天后剩余知识为一半，列出方程． 【详解】解：设每天遗忘百分比为x，最初知识量为1． ∵第一天后剩余知识为，第二天后剩余知识为， 又∵两天后剩余知识为一半，即， ∴． 故选A． 数字问题 11．两个连续奇数的积是.下列的各数中，是这两个数中的一个的是（   ） A． B．5 C．17 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字问题(一元二次方程的应用)，设两个连续奇数为和，则，据此即可求解． 【详解】解：设两个连续奇数为和，   ∴ ，   即 ∴或 ； 当时，奇数为和；   当时，奇数为和； 故选：C． 12．两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是（   ） A． B．5 C．17 D．51 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设较小的奇数为， 那么较大的奇数为， 那么， 求出n再求奇数即可． 【详解】解：设较小的奇数为， 那么较大的奇数为， ， 解得：或， 当时 奇数为15， 17； 当时奇数为， ． 故选：C． 13．阅读下面的诗词然后解题：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”请你算出周瑜去世时的年龄是（    ） A．25岁 B．30岁 C．35岁 D．36岁 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人30岁的年龄，说明周瑜去世时年龄是大于30岁的.设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为，根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论. 【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为，由题意得： 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意. 故选：D 14．如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知最小数为，然后可列出方程进行求解． 【详解】解：由题意可列方程为； 故选D． 15．一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，这个两位数是（   ） A．18 B．20 C．24 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及两位数的表示方法，解题的关键是通过设未知数将两位数转化为代数式，根据“两位数等于各位数字之积的3倍”建立方程，同时结合数字为整数的实际意义舍去非整数解． 设个位数字为，因十位数字比个位数字小2，故十位数字为；根据两位数的表示规则（十位数字个位数字），将该两位数表示为；再依据“两位数等于各位数字之积的3倍”列方程，求解后筛选出符合实际的整数解，进而确定这个两位数． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． ∵两位数可表示为“十位数字+个位数字”，且该两位数等于各位数字之积的3倍， ∴列方程：， 化简方程：，整理得． 因式分解：，解得或． ∵数字需为整数，故舍去 ∴个位数字，十位数字为， 该两位数为，对应选项C．   故选：C． 营销问题 16．某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了元，则满足的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．设纪念品的单价降了元，则每件盈利元，平均每天可售出件，根据每天盈利平均每天的销售量每件盈利建立方程即可得． 【详解】解：设纪念品的单价降了元，则每件盈利元，平均每天可售出件， ∵降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元， ∴可列方程为， 故选：C． 17．某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元，调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据利润计算公式：利润 (销售价进货价) 销量，结合降价后销售价和销量的变化，列出方程即可． 【详解】解：∵降价x元后，销售价为元，进货价为15元， ∴单件利润为元； ∵每降价1元多售出5个， ∴销量为个； ∴总利润为元， 依题意得，即， 故选：C． 18．某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销量，该商场准备降价销售.经市场调查发现，每件恤每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件T恤降价元，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意，每件利润为售价减进价，降价x元后每件利润为元；销售量因降价增加，为件，总利润为每件利润乘以销售量，据此列方程． 【详解】解：∵降价后每件利润为元，每周销售量为件， ∴由总利润3600元得方程：， 故选：A． 19．某商场在销售一种糖果时发现，如果以元的单价销售，则每天可售出，如果销售单价每增加元，则每天销售量会减少．该商场为使每天的销售额达到元，销售单价应为多少？设销售单价应为元，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据销售额售价销售量列方程，求解即可． 【详解】解：设销售单价应为元，则销售量为， 依题意得， 故选：C． 20．某超市销售一批羽绒服，平均每天可售24件，每件盈利50元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出3件，如果超市要保证平均每天盈利2520元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？设每件羽绒服应降价元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出每件羽绒服的盈利为元，平均每天的销量为件，再根据利润每件的盈利平均每天的销量列出方程即可得． 【详解】解：设每件羽绒服应降价元，则每件羽绒服的盈利为元，平均每天的销量为件， 则可列方程为． 故选：D． 握手、循环赛问题 21．为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6个队参赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 22．（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 【答案】（1）11支；（2）20件． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设应邀请支篮球队参加比赛，根据题意列方程求解即可； （2）由题意可知奖品数超过了10件，设购买的件数为，根据题意列方程求解，进而判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：设应邀请支篮球队参加比赛， 根据题意，可列方程： 整理得 解得或（舍去） 答：应邀请11支篮球队参加比赛； （2）解：， 奖品数超过了10件， 设购买的件数为，则每件商品的价格为：元，根据题意可得： 解得：， 当时，； 当时，，不合题意舍去； 答：王老师购买该奖品的件数为20件． 23．淮畔青春，“足”够精彩．10月18日，2025年淮南市高校足球联赛在市奥体广场中心开幕，已知在小组赛阶段，所有队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次），本次联赛计划安排55场比赛，请问共有多少支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛？ 【答案】共有11支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握握手、循环赛问题是解题的关键．设共有支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛，根据“所有参赛队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次）已知联赛计划安排55场比赛”建立方程求解即可． 【详解】解：（1）设共有x支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛， 根据题意可得：， 整理得：，， 解得：或（舍）． 答：共有11支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛． 24．为丰富学生校园生活，学校计划组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式，计划安排45场比赛，共有多少支球队参加比赛? 【答案】10 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数计算公式（其中为球队数量）是解题的关键．通过设球队数量为未知数，根据单循环赛制的比赛场数计算公式建立方程，进而求解球队数量． 【详解】解：设共有支球队参加比赛．由题意可得 ， ， 解得，（球队数量不能为负数，舍去）， 答：共有支球队参加比赛. 25．某县举办中学足球联赛，每个中学出一支球队，每两队之间都进行一场比赛，共要比赛场，请问该县共有多少个中学？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程； 根据比赛场数和球队数列出方程即可． 【详解】解：设该县共有个中学，可列方程为： ， 整理得：， 解得：（舍）， 答：共有个中学． 其它问题 26．某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． (1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； (2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 【答案】(1)20000 (2)45人 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（分段收费问题），解题的关键是根据人数范围确定收费标准，列方程并检验解的合理性． （1）判断25人在“不超过30人”的收费范围，用“人数人均收费”计算费用； （2）先判断人数超过30人，根据“人数×（原人均收费降低的费用）总费用”列方程，求解后检验人均收费是否符合“不低于550元”的条件，确定最终人数． 【详解】（1）解：由题意得（元） 应该支付20000元． 故答案为：20000 （2）设参加这次旅游的人数是人， （元），， ． 根据题意得：． 解得：，， 当时，人均旅游费用为，符合题意， 当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去． 答：参加这次旅游的有45人． 27．嘉峪关文物景区位于甘肃省嘉峪关市，是首批国家级旅游景区，有“天下第一雄关”“中外巨防”“河西锁钥”“丝路咽喉”之称．“十一”假期间，为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格为110元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于90元/人． (1)若某单位组织22人去嘉峪关文物景区旅游，购买门票费用为_____元； (2)若某单位支付该景区门票费用共计2500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【答案】(1)2332 (2)25名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用单价原价超出20人的人数，可求出22人去旅游时门票的单价，再利用总价单价数量即可求出结论； （2）设该单位这次共有名员工去该景区旅游，由总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，即可解答． 【详解】（1）解：， 故购买门票费用为2332元． （2）解：设该单位有名员工去该景区旅游， ， 故， 则可列方程：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时，， 故舍去， 该单位共有25名员工去该景区旅游． 28．某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． 某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元． (1)请求出参加这次旅游的人数； (2)若该公司又组织第二批员工50人到该风景区旅游并支付了这批员工的费用．如果这两批员工合并成一批去旅游，则该公司可节约旅游费用多少元？ 【答案】(1)参加这次旅游的有45人 (2)该公司可节约旅游费用元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及有理数四则运算的实际应用．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设参加这次旅游的人数是x人，求出人数为30时的旅游费用，比较后可得出，根据旅游费用人数人均费用，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）分别求出两批员工单独支付的费用和合并成一批支付的费用作差即可． 【详解】（1）解：设参加这次旅游的人数是x人， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：，， 当时，人均旅游费用为，符合题意， 当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去． 答：参加这次旅游的有45人． （2）解：∵， ∴第二批员工支付费用为（元）， 则两批员工单独支付的总费用为 （元）， 若这两批员工合并成一批去旅游，， ， 则两批员工合并成一批去旅游支付费用为（元）， 则该公司可节约旅游费为（元）， 答：该公司可节约旅游费用元． 29．2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．在分列式中，高擎国旗、党旗、军旗的仪仗方队作为第一个出场的徒步方队，接受检阅．已知仪仗方队共213人，其中擎旗手和护旗手共9人在前，其余人组成一个方阵，每一排的人数比每一列的人数多5人，求仪仗方队有多少排多少列． 【答案】仪仗方队有12排，17列 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设仪仗方队有x排，则有列，再根据方阵的人数建立方程求解即可． 【详解】解：设仪仗方队有x排，则有列， 由题意得， ， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 答：仪仗方队有12排，17列． 30．某果园有100棵桃树，每棵产桃，若每多种1棵桃树，每棵产量减少，要使总产量达，且每棵桃树的产量不低于，问应多种多少棵桃树？ 【答案】应多种棵桃树 【分析】本题考查一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于搞懂题意去列出方程和不等式即可，设应多种棵桃树，则每棵产桃，根据总产量达，列出一元二次方程求解，再根据每棵桃树的产量不低于，列出一元一次不等式求解，即可解答． 【详解】解：设应多种棵桃树，则每棵产桃， 根据题意，得， 整理得， 解得或， ∵每棵桃树的产量不低于，即， ∴， ∴， 答：应多种棵桃树． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.5一元二次方程的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 审题：仔细阅读题目，明确题意，找出已知量和未知量，理解题目中涉及的等量关系。 2. 设元：根据题意设出未知数，通常有直接设元（直接设所求的量为未知数）和间接设元（设与所求量相关的其他量为未知数）两种方法。 3. 列方程：根据题目中的等量关系，列出一元二次方程。这是解决问题的关键步骤，需要将文字描述转化为数学表达式。 4. 解方程：运用合适的方法（如因式分解法、配方法、公式法）求解所列出的一元二次方程，得到方程的解。 5. 检验：检验方程的解是否符合实际意义，即检查解是否满足题目中的条件，是否为合理的数值（如长度不能为负，人数不能为小数等）。 6. 作答：根据检验后的结果，写出完整的答案，回答题目所提出的问题。 二、常见应用类型及等量关系 1. 增长率（降低率）问题 · 基本等量关系：若原来的量为(a)，平均增长率为(x)，经过(n)次增长后，现在的量为(b)，则有；若为平均降低率，则有。 · 例如：某工厂去年的利润为(100)万元，今年的利润比去年增长了(x)，预计明年的利润将在今年的基础上再增长(x)，若明年的利润为(121)万元，可列出方程。 2. 面积问题 · 常见图形：长方形、正方形、三角形、圆形等，利用相应图形的面积公式作为等量关系。 · 例如：用一根长(20m)的绳子围成一个长方形，若长方形的面积为，设长方形的长为(xm)，则宽为((10 - x)m)，可列出方程。还可能涉及到图形的拼接、切割等，此时需要根据图形变化后的尺寸关系列出方程。 3. 利润问题 · 基本等量关系：总利润 = 单个利润×销售量，单个利润 = 售价 - 进价。 · 例如：某商品的进价为每件(40)元，售价为每件(60)元，每月可卖出(300)件。如果调整价格，每涨价(1)元，每月少卖出(10)件，设每件商品涨价(x)元，每月的利润为(y)元，则，若已知利润为某个具体值，可列出相应方程求解。 4. 数字问题 · 两位数的表示：设十位数字为(a)，个位数字为(b)，则这个两位数可表示为(10a + b)。 · 例如：一个两位数，十位数字与个位数字之和为(8)，将十位数字与个位数字对调后得到的新两位数比原两位数大(18)，设原两位数的十位数字为(x)，则个位数字为(8 - x)，原两位数为(10x + (8 - x))，新两位数为(10(8 - x) + x)，可列出方程。 5. 行程问题（特殊类型） · 一般行程问题多涉及一次方程，但某些涉及往返、相遇后继续行驶等情况，且路程、速度、时间之间关系复杂时可能会用到一元二次方程。 · 例如：甲、乙两人分别从相距(30km)的(A)、(B)两地同时出发，相向而行。经过(3h)后两人相遇，相遇后甲立即返回(A)地，乙继续向(A)地前进，甲返回(A)地时，乙离(A)地还有(6km)，设甲的速度为(xkm/h)，乙的速度为(ykm/h)，根据相遇时路程和为(30km)可得，甲返回(A)地所用时间也为(3h)（因为路程相同，速度不变），此时乙行驶的路程为，离(A)地还有(6km)，则，联立方程组可求解，但如果题目中只涉及一个未知数的平方关系等，就会列出一元二次方程。（注：行程问题中一元二次方程应用相对少些，需根据具体题目分析） 6. 工程问题（特殊类型） · 基本等量关系：工作总量 = 工作效率×工作时间，一般工程问题用一次方程解决，但当工作效率发生变化且变化关系涉及平方时可能用到一元二次方程。 · 例如：一项工程，甲单独做需要(10)天完成，乙单独做需要(15)天完成，现在甲先做了若干天后，因另有任务，剩下的工程由乙单独完成，从开始到完成共用了(12)天，设甲做了(x)天，则乙做了((12 - x))天，可列出方程（此为一元一次方程，仅作对比）。若题目中涉及甲、乙工作效率变化，如甲工作效率提高(x)后，与乙合作完成工程的时间满足某种平方关系，则可能列出一元二次方程。（注：工程问题中一元二次方程应用也相对少，需具体问题具体分析） 型 习 练 题 传播问题 1．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 2．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 3．某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 4．在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达到，每轮传播人，列出的方程是（   ） A． B． C． D． 5．全球十大恐怖病毒之一——汉坦病毒，有非同寻常的多样性，可以通过各种动物传染给人，传染速度较快，人类感染后会出现高热、出血、肾脏损伤等症状．某地有1头猪得了汉坦病毒，经过两轮传染后共有144头猪得了这种病毒，每轮传染中平均1头猪传染了几头猪？设每轮传染中平均1头猪传染了x头猪，可列方程（   ） A． B． C． D． 增长率问题 6．某种手机经过四、五月份连续两次降价，每部手机由元降到元．设平均每月降价的百分率为，则根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 7．福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 9．根据重庆市统计局数据，2022年重庆市GDP为2.91万亿元，2024年增至3.22万亿元．若2023年和2024年GDP保持相同的年平均增长率，设平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘，若每天“遗忘”的百分比是一样的，设百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程为（    ） A． B． C． D． 数字问题 11．两个连续奇数的积是.下列的各数中，是这两个数中的一个的是（   ） A． B．5 C．17 D． 12．两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是（   ） A． B．5 C．17 D．51 13．阅读下面的诗词然后解题：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”请你算出周瑜去世时的年龄是（    ） A．25岁 B．30岁 C．35岁 D．36岁 14．如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 15．一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，这个两位数是（   ） A．18 B．20 C．24 D．22 营销问题 16．某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了元，则满足的方程为（　　） A． B． C． D． 17．某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元，调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 18．某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销量，该商场准备降价销售.经市场调查发现，每件恤每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件T恤降价元，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 19．某商场在销售一种糖果时发现，如果以元的单价销售，则每天可售出，如果销售单价每增加元，则每天销售量会减少．该商场为使每天的销售额达到元，销售单价应为多少？设销售单价应为元，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 20．某超市销售一批羽绒服，平均每天可售24件，每件盈利50元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出3件，如果超市要保证平均每天盈利2520元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？设每件羽绒服应降价元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 握手、循环赛问题 21．为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 22．（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 23．淮畔青春，“足”够精彩．10月18日，2025年淮南市高校足球联赛在市奥体广场中心开幕，已知在小组赛阶段，所有队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次），本次联赛计划安排55场比赛，请问共有多少支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛？ 24．为丰富学生校园生活，学校计划组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式，计划安排45场比赛，共有多少支球队参加比赛? 25．某县举办中学足球联赛，每个中学出一支球队，每两队之间都进行一场比赛，共要比赛场，请问该县共有多少个中学？ 其它问题 26．某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． (1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； (2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 27．嘉峪关文物景区位于甘肃省嘉峪关市，是首批国家级旅游景区，有“天下第一雄关”“中外巨防”“河西锁钥”“丝路咽喉”之称．“十一”假期间，为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格为110元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于90元/人． (1)若某单位组织22人去嘉峪关文物景区旅游，购买门票费用为_____元； (2)若某单位支付该景区门票费用共计2500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 28．某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． 某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元． (1)请求出参加这次旅游的人数； (2)若该公司又组织第二批员工50人到该风景区旅游并支付了这批员工的费用．如果这两批员工合并成一批去旅游，则该公司可节约旅游费用多少元？ 29．2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．在分列式中，高擎国旗、党旗、军旗的仪仗方队作为第一个出场的徒步方队，接受检阅．已知仪仗方队共213人，其中擎旗手和护旗手共9人在前，其余人组成一个方阵，每一排的人数比每一列的人数多5人，求仪仗方队有多少排多少列． 30．某果园有100棵桃树，每棵产桃，若每多种1棵桃树，每棵产量减少，要使总产量达，且每棵桃树的产量不低于，问应多种多少棵桃树？ 学科网（北京）股份有限公司 $