21.5一元二次方程的应用（解能化成一元二次方程的分式方程）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

21.5 一元二次方程的应用（解能化成一元二次方程的分式方程） 题型一、换元法 1．用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（   ） A． B． C． D． 2．解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A． B． C． D． 3．用换元法解方程，如果设，则原方程可化为y的整式方程是 4．用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为关于的一元二次方程的形式是 ． 5．用换元法解方程时，如果设，那么变形后的整式方程为 ． 6．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程为 ． 7．用换元法解分式方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ． 题型二、解能化成一元二次方程的简单分式方程 8．方程：的根是 ． 9．方程的解是 ． 10．分式方程的解为 ． 题型三、解能化成一元二次方程的多项分式方程 11．解方程：． 12．解方程：． 13．解方程： 14．解方程： 15．解方程：． 16．解方程：． 17．解方程：． 18．解方程： 19．解方程：． 20．解方程：． 21．解方程：． 22．解方程：． 23．解方程：． 24．解方程：． 题型一、能化为一元二次方程的分式方程的实际应用 25．星期天早上小明从家出发到离家5千米的博物馆参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了10分钟，求小明原计划每小时走多少千米 26．小杰和小丽分别从相距的、两地同时同向出发，小杰经过地后再走2小时追上小丽，小杰走的总路程相当于小丽走8小时的路程，求小杰和小丽的速度分别是多少？ 27．某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 28．今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约为300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？ 29．学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 30．2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 1．关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 3．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ． 4．解方程： 5．随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． (1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 试卷第1页，共3页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.5 一元二次方程的应用（解能化成一元二次方程的分式方程） 题型一、换元法 1．用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握利用换元法，把一个式子做为整体进行替换，将分式方程化简为一元二次方程． 把代入原方程，得出，再进行整理即可． 【详解】解：整理，得， 把代入方程得：， 整理得：． 故选 B． 2．解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，设，将原方程中的分式项用表示，通过代数变形消去分母，转化为整式方程． 【详解】设，则， 因此． 原方程可化为： 两边同乘，消去分母： 移项整理得：． 故选：B． 3．用换元法解方程，如果设，则原方程可化为y的整式方程是 【答案】 【分析】本题考查了换元法解方程，正确变形是关键． 设，则，根据换元法解答即可，注意最后的形式是整式方程． 【详解】解：设，则原方程可变形为：， 即为； 故答案为： 4．用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为关于的一元二次方程的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程．设，则原方程化为，再整理即可． 【详解】解：设，则， 原方程化为：， 即， 故答案为：． 5．用换元法解方程时，如果设，那么变形后的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查用换元法解分式方程．设，则 ，原方程变为：，方程两边乘最简公分母y，可以把分式方程转化为整式方程． 【详解】解：设，那么 ， 原方程变为， 方程两边都乘y得． 故原方程可化为关于y的整式方程是． 故答案为：． 6．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整体换元法、去分母将分式方程化为整式方程．将原分式方程中的全部换为，最后再去分母化为整式方程即可． 【详解】解：设，则设， 把代入原方程得：， 方程两边同时乘以y整理得：． 故答案为：． 7．用换元法解分式方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的化简，根据题意可把原方程变成，根据分式的化简步骤一步步得到即可； 【详解】解：由题意得：， 两边同时乘以y得： 故答案为： 题型二、解能化成一元二次方程的简单分式方程 8．方程：的根是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次方程），解题关键是掌握解分式方程（化为一元二次方程）． 先去分母，再解整式方程，然后验根． 【详解】解： 去分母，得， 解得：或， 经检验，或都是原方程的根． 9．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得， 解得：， 当时，，则是原方程的增根 当时，，则是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 10．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母，方程的两边同时乘以得： 移项合并同类项得，， ∴ ∴或 解得， 检验：将代入；将代入，应舍去； ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 题型三、解能化成一元二次方程的多项分式方程 11．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 整理可得：， 解得或， 经检验，时增根，舍去， ∴． 12．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程．先将分式方程化为整式方程，再求解整式方程，最后检验即可． 【详解】解： 经检验，是方程的增根， 所以，原方程的根为． 13．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次），解题关键是不要忽视验根． 先去分母，再去括号，移项，合并同类项后解出方程的解，再验根． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得：，， 经检验，当时，原方程分母等于0，故是增根； 当时，原方程分母不等于0，故是原方程的解． 14．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是先去分母将分式方程转化为整式方程，求解后务必验根，确保解使原方程分母不为零． 先对原方程分母因式分解，确定最简公分母为；方程两边同乘最简公分母去分母，转化为整式方程；解整式方程得到未知数的值；将解代入最简公分母验根，排除增根． 【详解】解：原方程可化为 方程两边同乘，得 整理得 即 移项得 因式分解得 解得 检验：当时；当时 所以原方程的根是 15．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键．先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：，， 检验：把代入得：， 把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程的解为：． 16．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握分式方程和一元二次方程的解法和步骤是解题关键．将原分式方程化为整式 方程，再根据因式分解法解一元二次方程，最后检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 经检验：是原方程的增根，舍去：是原方程的解 所以原方程的解是． 17．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 整理得， 解得或， 检验，当时，；当时，， ∴是原方程的解，不是原方程的解． 18．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键．两边都乘以化为整式方程求解，然后检验． 【详解】解： 两边都乘以，得 解得 检验：当时，，符合题意 当时，，符合题意 ∴是原方程的解 19．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．去分母后求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 化简得：， 即， 解得：， 经检验，是原方程的根， 原方程的根是． 20．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的解法，解题的关键是熟练的掌握分式方程的解法.根据分式方程的解法步骤即可得到答案. 【详解】解： 去分母的得： 去括号并合并同类项得： 解得： 经检验，当时，， 当时， ∴方程的解为： 21．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握该知识点是关键．方程两边同时乘去分母化为一元二次方程再求解，最后检验即可得出结果． 【详解】解： 去分母得： 去括号，移项得： ∴ ∴或， ∴，； 检验：当时，； 当时，， ∴分式方程的解为． 22．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 23．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．先方程两边同乘以可得，再利用因式分解法解一元二次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 经检验，不是分式方程的解；是分式方程的解， 所以方程的解为． 24．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，去分母转化为一元二次方程是解题的关键；先去分母化为一元二次方程，再解一元二次方程并检验即可得解． 【详解】解：等式两边同乘以得， ， ， ， ，， 经检验：是原方程的增根，舍去； 所以原方程的解为． 题型一、能化为一元二次方程的分式方程的实际应用 25．星期天早上小明从家出发到离家5千米的博物馆参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了10分钟，求小明原计划每小时走多少千米 【答案】小明原计划每小时走5千米 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设小明原计划每小时行x千米，依题意得：，再解方程并检验即可． 【详解】解：设小明原计划每小时行x千米，依题意得： 解得：或（舍） 经检验是原方程的根，且符合题意． 答：小明原计划每小时走5千米． 26．小杰和小丽分别从相距的、两地同时同向出发，小杰经过地后再走2小时追上小丽，小杰走的总路程相当于小丽走8小时的路程，求小杰和小丽的速度分别是多少？ 【答案】小杰和小丽的速度分别是， 【分析】此题考查了分式方程的应用，解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程组． 设小杰和小丽的速度分别是，，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设小杰和小丽的速度分别是， 根据题意得， 解得（舍去）， 经检验，是原方程的解 ∴小杰和小丽的速度分别是，． 27．某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 【答案】10人 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划医疗队每分钟多检测x人，根据若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务建立方程可求出，设现在每分钟还要多检测y人，根据要再提早小时完成任务建立方程求解即可． 【详解】解：设原计划医疗队每分钟检测x人， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 设现在每分钟还要多检测y人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：现在每分钟还要多检测10人才能去增援另一小区． 28．今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约为300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？ 【答案】60分钟 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要x分钟，根据已知上海到南京全程约300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来的“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，可列方程求解． 【详解】解：设新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要x分钟，则原来“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要60分钟． 29．学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【答案】(1)奖品的单价8元，则奖品的单价是17元 (2)购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键： （1）设奖品的单价x元，则奖品的单价是元，根据“用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个”列方程求解即可； （2）设购买奖品a个，则购买奖品个，根据“种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍”列不等式求出a的取值范围，设总费用为w元，则可求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设奖品的单价x元，则奖品的单价是元， 根据题意，得， 去分母，并化简得， 解得，， 经检验，，都是原方程的解，但不符合实际意义， ∴，， 答：奖品的单价8元，则奖品的单价是17元； （2）解：设购买奖品a个，则购买奖品个， ∵种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍， ∴， 解得， 设总费用为w元， 根据题意，得， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值，最小值为，此时， 即购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 30．2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可． 【详解】解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：松延动力机器人的平均速度是． 1．关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题．将分式方程转化为整式方程，利用增根的定义，将增根代入整式方程求解参数即可． 【详解】解：原方程两边同乘以公分母，得： 展开并整理： 两边化简得： ∵原方程的增根为 ∴ 解得：， 故选：B． 2．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 3．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先根据题意得到，则原方程可化为，再把方程化为整式方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∴原方程可以化为，即， 故答案为：， 故答案为：． 4．解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程、一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．方程两边同乘以可得一个关于的一元二次方程，利用因式分解法解方程可得的值，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得，即， 合并同类项，得，即， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 经检验，和都是分式方程的解， 所以方程的解为或． 5．随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． (1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 【答案】(1)款的进货单价为元，款的进货单价为元 (2)款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元 【分析】（）设款的进货单价为元，则款的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设款购进个，总利润为元，可得，再根据题意由不等式求得，进而根据一次函数的性质即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设款的进货单价为元，则款的进货单价为元， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：款的进货单价为元，款的进货单价为元； （2）解：设款购进个，总利润为元， 由题意得，， ∵款的数量不小于款的一半， ∴， 解得， ∵， ∴当取最小值时，取最大值， ∵为整数， ∴的最小值为， 即款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元． 试卷第1页，共3页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$