专题02 圆 7大高频考点（期中真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期

专题02 圆 7大高频考点概览 考点01 点与圆的位置关系 考点02 圆周角与圆心角 考点03 垂径定理 考点04 确定圆的条件 考点05切线的性质和判定 考点06 正多边形与圆 考点07 弧长与扇形面积、圆锥侧面积 地 城 考点01 点与圆的位置关系 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）若的半径为，，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．点P在内或上 【答案】C 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外．根据点到圆心的距离与半径比较即可得出答案． 【详解】解：∵的半径为，，， ∴点P在内， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知的半径为3，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键； 当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；据此即可得出答案． 【详解】解：∵的半径为3，, ∴点M到圆心的距离大于圆的半径， ∴点M在圆外． 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知的半径为3，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 设圆的半径为，点到圆心的距离为，根据与圆的位置关系的判定方法对点与位置关系进行判断． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴点到圆心的距离大于圆的半径， ∴点在圆外. 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，首先根据点的坐标，利用勾股定理得到的长，进而根据点到圆心的距离等于圆的半径时点在圆上即可判断求解，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵圆心的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴点在上， 故选：． 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若的半径为6，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（   ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外． 根据的半径为，点到圆心的距离为，即可求解． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为， ∴点在圆内， 故选：A． 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）的半径长为4，若点到圆心的距离为3，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径的大小比较实施判定：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：的半径长为4，点到圆心的距离为3， 由可知，点在的内部， 故选：A． 7．（24-25九年级上·江苏南通·期中）若点在外，的半径为，则的长可能是下列数值中的(   ) A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查点和圆的位置关系，根据题意可以求得的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：的半径为，点在外， ， 故选：A． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于半径，得到点在圆外． 【详解】点到圆心的距离为，的半径为， 点在圆外． 故选：C． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知的半径为6，在外取一点P，连接，则的长可以是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，牢记“①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内”是解题的关键． 由的半径及点P在外，可得出的长大于6，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：∵的半径为6，点P在外， ∴的长大于6． 故选：D． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知的半径是8，点A到圆心O的距离是7，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，能熟记点与圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知和一点A，点A到圆心O的距离为d， 的半径为r,①当时，点A在上，②当时，点A在内，③当时，点A在外，反之亦然． 根据点与圆的位置关系得出即可． 【详解】解：∵的半径是8，点A到圆心O的距离是7， ∴，， ∴， ∴点A在圆内， 故选：A． 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，半径为5，那么图中到圆心O距离为5的点是（   ） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆心的位置关系，根据图中的点在圆的分布位置，即可作答． 【详解】解：A、因为点P在圆上，所以点P到圆心O距离即为半径，为5，故该选项符合题意； B、因为点Q在圆内，所以点Q到圆心O距离小于半径5，故该选项不符合题意； C、因为点M在圆内，所以点M到圆心O距离小于半径5，故该选项不符合题意； D、因为点N在圆外，所以点N到圆心O距离大于半径5，故该选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 【答案】点P在外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．若点与圆心的距离d，圆的半径为r，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点P到圆心O的距离为，， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故答案为：点P在外． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知的半径为，如果在所在平面内有一点且，则点在 ． 【答案】外 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，若圆的半径为r，点与圆心的距离为d，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外．由题意可得，再根据点与圆的位置关系可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点P在外． 故答案为：外． 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知的半径为4，点P在上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，P到圆心的距离，则有：点P在圆上，据此求解即可． 【详解】解：∵的半径为4，点P在上， ∴． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P在 ．（填“内”“外”或“上”） 【答案】外 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外⇔；②点P在圆上⇔； ①点P在圆内⇔．根据的半径为r和点P到圆心的距离的大小关系判断即可． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为，， ∴点P在外， 故答案为：外． 三、解答题 16．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 【答案】(1)2 (2)8 (3)当，无距离等于3的点，当，有且只有一个距离为3的点，当，有且只有两个距离为3的点，当，有三个，当，有四个 【分析】本题主要考查了点与圆的关系，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据垂线段最短，则要使上有且只有一个点到直线l的距离等于3，则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点，此时圆的半径是； （2）根据点O到直线l的距离为5，要使上有且只有三个点到直线l的距离等于3，则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是； （3）结合上述两种特殊情况分、、、、五种情况即可解答． 【详解】（1）解：如图：上有且只有一个点到直线距离等于3，即． 故答案为：2． （2）解：如图：上有且只有三个点到直线距离等于3，即． 故答案为8． （3）（3）当时，上没有点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有1个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有2个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有3个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有4个点到直线l的距离等于3． 地 城 考点02 圆周角与圆心角 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，若是直径，为是的弦，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．先根据直径所对的圆周角是直角得到,进而利用三角形的内角和定理求得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理以及直角三角形中两个锐角互余．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，得，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，即得． 【详解】解：经过圆心． 是的直径， ∴， ∵， ， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是上的点，且．在这个图中，仅用无刻度的直尺画出下列度数的圆周角：，能画出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，作直径，连接，如图所示，利用圆内接四边形的性质得到，利用圆周角定理得到，根据互余可计算出．掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解本题的关键． 【详解】解：作直径，连接，如图所示： ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴． 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在优弧上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 根据题意得出，即可得到答案． 【详解】解：是的一条弦，， ， 点在优弧上．， 故选：C ． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．根据圆周角定理可得出的度数，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：B． 7．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，下列用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“直径所对的圆周角等于”判断即可．本题主要考查圆周角的概念及“直径所对的圆周角等于”，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：A. 角不是圆周角，故该工件不合格； B. 圆周角所对的弦不是直径，故该工件不合格； C. 圆周角所对的弦是直径，故该工件合格； D. 圆周角所对的弦不是直径，故该工件不合格； 故选：C． 8．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆中的相关性质是解题的关键．连接，，根据圆周角定理得，再根据垂径定理得，从而可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 的度数为， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，上三点B、C、D将圆三等分，弦，若，则 ． 【答案】 【分析】连接，作于点，作垂直延长线于点，设，，，在中，则，在中，则，最后可求解. 【详解】解：如图，连接，作于点，作垂直于延长线于点， ∵上三点B、C、D将圆三等分 ∴， ∵， 设，， 在中，， ∴ ∴， ∴ 在中，则 同理在中，则 ∴ 解得：或（不合题意，舍去） ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆的基本性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是与圆有关的综合题，难度适中，解答的关键是认真审题，找到相关联的信息，结合图形，掌握相关知识的运用是解答的关键． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，等边三角形，由圆周角定理可得 是解答本题的关键. 连接，，则，再证明，可得是等边三角形，即可求解. 【详解】解：如图；连接，，则 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∵的半径为5 ∴ 故答案为：5. 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在的内接四边形中，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．根据圆内接四边形的对角互补求得的度数，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵在的内接四边形中，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点、、、、在上，且为，则的度数为 ． 【答案】/160度 【分析】本题考查圆周角定理、弧度数与圆心角的关系，先根据圆周角定理得到，，再根据弧度数与圆心角关系得到，进而根据周角定义求得即可求解． 【详解】解：连接，，，则，， ∵为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）． (1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同一侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图②，若，画出的平分线； (3)在（2）的作图下，已知，交直径于点F，则　　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作直径，作射线即可，理由见解析； （2）连接，交于点，作直线交于点，作射线即可，由可得，从而得出，从而得出，再由等腰三角形性质得出，推出，最后得出结论． （3）过点F作于点M，于点N，勾股定理求出的长，根据角平分线的性质，得到，进而得到，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图①，即为所求的平分线；    证明：∵M是半圆的中点， ∴， ∴直径直径， ∴， ∴， 即平分． （2）如图2中，射线即为所求． （3）过点F作于点M，于点N． ∵是直径， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，直线与交于点、，，垂足为．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查圆内接四边形的外角性质、锐角三角形的两个锐角互余、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的外角性质是解答的关键．先根据圆内接四边形的外角性质，再根据圆周角定理得到，然后根据锐角三角形的两个锐角互余得到，进而根据等角的余角相等可得结论． 【详解】证明：∵是内接四边形的一个外角， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形内接于一圆，延长到点． (1)求证：； (2)连接、，若，平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． （1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据角平分线的定义得出，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于一圆， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ， ∴． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图， (1)如图2，是的直径，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接． ①求证：是的“相望角”； ②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“相望角”度数为 ； (2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为， ①求弦的长． ②当时，则 ． 【答案】(1)①见解析；②n (2)①；②6或8 【分析】（1）①利用垂径定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，得到，对顶角相等的性质得到，再“相望角”的定义解答即可； ②利用圆周角定理和新定义的规定求得，再利用平角的定义解答即可； （2）①连接，，设与交于点F，利用“相望角”的定义得到，利用垂径定理，等腰三角形的判定与性质得到，则；利用圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质解答即可； ②由①可得：为等腰直角三角形，则，，设，则，，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵是的直径，弦， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的“相望角”； ②解：∵弧的度数为n， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧的“相望角”度数为， 故答案为：n； （2）解：①连接，，设与交于点F，如图， ∵的“相望角”为， ∴， ∴， ∵是的直径，弦， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴； ②∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或8． 故答案为：6或8． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 17．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，四边形内接于，的延长线交于点F，的延长线交于点G，若，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了三角形的外角定理．先两次根据三角形的外角定理，得，再根据圆内接四边形的性质，得，即可得出结果． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点03 垂径定理 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的弦，于点，，，点为所在平面内一点，且，则点与的位置关系是(   ) A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据垂径定理可得，由含角的直角三角形的性质，可得，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，进而求出圆的半径，即可求解． 【详解】解：于点，， ， 又， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：（负值已舍去）， 半径为， ，且， 点在外， 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，含角的直角三角形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题实质是求圆中的弦的最大值的问题，圆中弦的弦心距越小，弦越大，所以当弦的弦心距最小时，的值最大．设的中点为O，连接并延长交于点F，连接，利用垂线段最短可知当时，弦心距最小，此时弦的值最大，利用勾股定理可求出的长，再利用等面积得到的长，再利用勾股定理结合垂径定理即可求出结果． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接并延长交于点F，连接， ∵为直径，且， ∴， 当时，最小，则弦心距最小，此时弦的值最大， 在中，，，， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为，则的长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理．连接，根据题意可证得，再根据角平分线的性质，得，过作，则，得四边形为矩形，设，在中，由勾股定理得．从而求得的值，由勾股定理得出的长． 【详解】解：连接，过作，垂足为． ． ， ． 平分， ． ． ． ， ． 四边形为矩形． ，． ， 设，则． 的直径为， ． ． 在中，由勾股定理得． 即． 解得， 大于0， 舍去． ． ，． ，由垂径定理知，为的中点 ． 故选∶A． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名，某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．设半径为，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意可知，，， ∴， ∴中， ，， 所以， 解得． 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，线段、、、都是圆O的弦，其中，最短的弦是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查垂径定理、垂线段最短问题．根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵是直径，， ∴圆O的弦、、、中最短的是， 故选：A． 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图所示，工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个槽孔的宽的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用、垂径定理，掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．设点O为圆心，过点O作，垂径定理可得，再利用勾股定理可求得，进而可求得答案． 【详解】解：如图，设点O为圆心，过点O作于C，连接，，    根据垂径定理可得：， ∵直径是， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，过的中点作，垂足为，，，则所在圆的半径长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理的推论及勾股定理是解题的关键． 由“点是的中点，”，根据垂径定理的推论可知，所在圆的圆心在所在的直线上，延长到圆心，连接，设所在圆的半径长为，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出所在圆的半径长． 【详解】解：如图，延长到圆心，连接， 设所在圆的半径长为，则， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 解得：， 所在圆的半径长为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图是圆柱形油罐的横截面，油面宽为，油的最大深度为，则圆形半径是 ． 【答案】50 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，学会利用垂径定理求线段长度是解题的关键．过点作交于点，交圆于点，连接，根据垂径定理求出的长，设圆形半径为，在中利用勾股定理建立方程，求解方程得到的值即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于点，交圆于点，连接， ， ， 由题意得，， 设圆形半径为，则， 在中，， ， 解得：， 圆形半径为． 故答案为：50． 9．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是，其中水面的宽为，则排水管内水的最大深度为 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 如图：过O作交于点C，垂径定理可得，进而勾股定理求得，进而求解即可． 【详解】解：如图：过O作交于点C，可得出， 由直径是，则半径， 在中，根据勾股定理得． 所以排水管内水的深度为：． 故答案为：2． 三、解答题 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． (1)求此圆弧形拱桥的半径； (2)若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【答案】(1)此圆弧形拱桥的半径为 (2)该船不能安全穿过桥洞，理由见解析 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并理解题意． （1）连接，设与交于点，由题意可得：，，，根据垂径定理求出，设半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂径定理和勾股定理求出当船宽时允许通过的最大高度，再与比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，设与交于点， 由题意可得：，，， ， 设半径为，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， 即此圆弧形拱桥的半径为； （2）该船不能安全穿过桥洞，理由如下： 如图，在矩形中，、交于点，，连接， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 该船不能安全穿过桥洞． 11．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）定义：关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： (1)请写出一个“经典方程”：____________________； (2)求证：关于的“经典方程”必有实数根； (3)如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“经典方程”，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考一元二次方程根的判别式，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握“经典方程”的定义，是解决问题的关键． （1）由“经典方程”满足的条件，即可写出一个“经典方程”； （2）由是“经典方程”，得且，，时，，方程有两个实数根，时，方程，，方程有实数根，得“经典方程”必有实数根； （3）作于，延长交于，根据垂径定理得，，，根据勾股定理得，根据“经典方程”得，再证推出； 【详解】（1）解：∵中，，， ，， ∴， ∴满足“经典方程”， ∴“经典方程”可以为：， 故答案为：； （2）证明：关于的方程是“经典方程”， 且， ①当时， ， 方程有两个实数根， ②当时， 方程为，， 该方程有实数根， “经典方程”必有实数根； （3）解：作于，延长交于， ， ， ∴， ，， ， ， 是“经典方程”， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)在上求作点，使与的长度比为；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若，上的点到的大距离为2，求所在圆的半径长．（如果需要图形，请使用备用图） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂直平分弦的直径平分弦所对的弧作图即可，连接作线段的垂直平分线交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）如图2中，设圆心为，半径于点，设，利用勾股定理构建方程求解． 本题考查作图复杂作图，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，点即为所求； （2）如图2中，设圆心为，半径于点，设， ， ， ∵上的点到的大距离为2， ∴，， ∵在△中， ∴， 解得． 所在圆的半径为5． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）近期，考古学家在一次考古工作中发现了一块古代圆形残片玉佩，如图所示，需要找出其圆心．已知弧上三点． (1)请用尺规作图画出该残片的圆心； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R 【答案】(1)见解析 (2)圆片的半径R为 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握这些性质和定理，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键； （1）作线段的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）连接交于点T，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，作线段的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）连接交于点T， ， 在中， 整理得 所以 即圆片的半径R为． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形组合而成的图形（点B、C在上），其中，已知的半径为，，，求香水瓶的高度h为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构造直角三角形解决问题．过点O作于点M交于点N，连接．利用垂径定理，勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图2中，过点O作于点M交于点N，连接． ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，以为直径的半圆O上有一点C，过点C作，垂足为点D，过点A作，垂足为点E（不与点O，C重合），的延长线交半圆O于点F．求证：． 【答案】见解析 【详解】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用垂径定理，得到，证明，得到，即可． 【解答】证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点04 确定圆的条件 一、填空题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆．解题的关键是正确的求出一元二次方程的根，注意分类讨论．先解方程求出方程的两个根，再根据较大的根为斜边和直角边，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解： ， ∴， ∴或 ∴，， ①当直角边分别为2，6时，斜边为， ∵直角三角形的外接圆的直径即为直角三角形斜边的长， ∴此时直角三角形外接圆的直径为，半径为； ②当斜边为6时， 此时直角三角形外接圆直径为6，半径为3， 故答案为：3或． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，勾股定理，能够根据三角形外心的性质来判断出外心的位置是解答此题的关键． 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心M（设的外心为M）必在直线上，由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到，连接，过M作作于点，由勾股定理即可求得M的半径长． 【详解】解：设的外心为， ∵，， ∴在直线上， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由图可知的垂直平分线经过点， ∴， 过点作于点，连接， ∵在中，， ∴由勾股定理得：， ∴外接圆半径的长为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了不共线三点确定一个圆，求一次函数解析式，解一元二次方程等知识；根据题意求出直线的解析式，把点C的坐标代入函数解析式中，求得m的值，则当m不取这些值时，三点不共线，能确定一个圆． 【详解】解：直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 把点C的坐标代入得：， 即， 解得：， ∴当或时，A、B、C三点能确定一个圆； 故答案为：4或． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形是外接圆与外心，掌握圆周角定理、直角三角形外心的定义是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A，点B的坐标，再根据直角三角形外心是斜边的中点解答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴直线于x轴的交点A的坐标为，于y轴的交点B的坐标为， ∵， ∴为直角三角形， ∴的外心为斜边的中点，即， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，在中，利用勾股定理可得，然后利用三角形的中位线定理可得：，，，从而利用平行线的性质可得，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】如图： ∵，，， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点D，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴外接圆半径， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的外接圆面积为 ． 【答案】 【分析】设这个直角三角形的斜边为，根据勾股定理，得到，将其代入，解得，即得到这个直角三角形的外接圆直径，进而求得这个直角三角形的外接圆面积． 【详解】解：设这个直角三角形的斜边为， 由题意得，， ∵， ∴， 令， 则有，， 整理得，， 解得，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵为直角三角形的斜边， ∴， ∵，， ∴， ∴这个直角三角形的外接圆直径为，半径为， ∴这个直角三角形的外接圆面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，换元法解一元二次方程以及三角形的外接圆的相关性质及面积，灵活运用以上知识点是解题的关键． 二、解答题 9．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知．    (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心；    （2）解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 地 城 考点05 切线的性质与判定 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆心的距离，则直线l与的位置关系是相离．据此即可作答．本题考查了直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为2，圆心到直线的距离为3，且， ∴直线与相离． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，的半径为5，弦的长为8，将劣弧沿直线折叠后的图形如图，则点O到弧所在圆的切线长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧所在圆的圆心是解题关键．根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧所在的圆和全等，且两个圆的圆心相距为6，又已知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解解：如图所示： 根据题意：，点为翻转过后的弧所在圆的圆心， 则有， 又∵，是的切线， ∴． 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，是的切线，交于点C，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形外角性质，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，再运用半径都相等以及三角形外角性质，得出，则，即可作答． 【详解】解：∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）在中，，，以点为圆心，为半径作圆与相切，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，理解切线的性质以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键．根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理可得， ， 如图，当与相切于点时，， 由三角形的面积公式可得， ， 即， ∴， 即半径为， 故选：． 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相切，则r的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理，根据题意画出草图，过点作于点，利用勾股定理求出，再根据直线与圆相切得到，最后利用等面积法求解，即可解题． 【详解】解：根据题意画图如下， 过点作于点， ，，， ， 以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线相切， ， ， 解得， 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，分别与相切于A，B两点，，则∠C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理．连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出∠的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵分别与相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，根据可得是的直径，则由圆周角定理可得，由切线的性质推出，据此根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，圆O是的外接圆， ∴是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知中，，，当最大时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的切线性质、勾股定理，得到与圆B相切时，最大是解答的关键．先根据题意，点C在以点B为圆心，为半径的圆上运动（不在直线上），当与圆B相切时，最大，然后利用切线性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，∵， ∴点C在以点B为圆心，为半径的圆上运动（不在直线上）， 当与圆B相切时，最大，此时，点C在点处，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的内切圆，若，则的度数为 ．    【答案】130 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，再根据三角形的周长进行计算即可． 【详解】解：切相切于点， ， 切相切于点， ， 切相切于点， ， 的周长为18， ， ， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系“直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离”，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．设，则，根据圆与直线相交可得，再根据求解即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵直线，以点为圆心，长为半径的圆与直线相交， ∴，即， 解得， 又∵点在线段上， ∴， 解得， ∴的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知内接于，点在的延长线上， (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，推导出三角形为等边三角形，利用等边三角形的性质求出，即可求出，根据切线的判定推出即可； （2）由垂径定理和线段垂直平分线的性质得到，则，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∴是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、等边三角形的性质和判定、垂径定理、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握切线的判定是解本题的关键． 13．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据直径经过圆心，作直线，交于点P即可； （2）根据切线的定义，连接，过点A作于点A，交点就是点Q解答即可． 【详解】（1）解：作直线，交于点P， 则是的直径， 则点P即为所求． （2）解：连接， 过点A作于点A，交点为Q，如图： 则点Q即为所求． 14．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中． (1)尺规作图：以边上一点O为圆心，线段的长为半径作，使得与边相切于点D；（保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，记与边的另一交点为E，，．求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）作的角平分线，交边于点，以为圆心，线段的长为半径作，则与边相切于点； （）设，根据（）的条件知，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线，交边于点，以为圆心，线段的长为半径作，则与边相切于点， （2）解：如图所示，设， 由（）可知， ∵，， 在中，，， ∴， 即， 解得：， ∴的半径为． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，其早在战国时期就已被发明是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为 ． (2)求的长． (3)求的长． 【答案】(1) (2) (3)20 【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、勾股定理，弧，弦，圆心角之间的关系等知识，熟练掌握圆中相关性质是解答的关键． （1）根据八个方位将圆形八等分直接求解即可； （2）根据圆周角定理和弧，弦角之间的关系，得到，利用勾股定理即可求解； （3）根据切线性质得到，再根据等腰直角三角形的判定与性质可求得． 【详解】（1）解：∵八个方位将圆形八等分， ∴相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为， 故答案为：． （2）解：∵为的直径， ∴，． 由题意知， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵为的切线， ∴． 由（2）知， ∴为等腰直角三角形， ∴． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心在边上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图㾗迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质和切线的判定，作的平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆，即为所求作； （2）设与的切点为，连接，根据切线长定理和切线性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，圆O即为所求． （2）解：设与的切点为，连接，则， 为的切线， ， ， ， ， 设，则， 在Rt中， 解得， ∴所作的半径为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握基本作图，圆切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，切线长定理是解决本题的关键． 17．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，以为直径的分别交边、于点、，连接，过点的直线与过点的直线互相垂直，垂足为点，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是是解题的关键． （1）先利用全等三角形判定定理推出，得到，从而得到，再利用平行线的性质得出，即可得出结论； （2）连接，先利用勾股定理求出的长，进而得到的长，利用圆周角定理得到，结合和三线合一性质得到即可解答． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 是的直径， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线与相切． （2）解：如图，连接， 由（1）中的结论得， 在中，， ， ， 在中，， 是的直径， ，即， 又， ， 的长为． 18．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，弦平分，，垂足为E．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】与相切，理由见解析 【分析】本题考查了证明某直线是圆的切线，连接，由得，由AD平分得，推出，，即可求证； 【详解】解：与相切，理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与相切． 19．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，为的直径，C是上一点，D在的延长线上，． (1)求证：是切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题考查的是切线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理． （1）连接，根据圆周角定理求出，求出，根据切线判定推出即可； （2）在中，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵为直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：的半径是2． 20．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，，P为延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)探究与的位置关系，并证明 (3)若，，求的长． 【答案】(1) (2)相切，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理和平角的定义即可得到结论； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理即可得到结论； （3）设与交于，根据垂径定理得到垂直平分，求得，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）连接， ， 是的直径， ， ； （2）与相切； 证明：， ， ，， ， ， ， 是的直径， 与相切； （3）设与交于， ， ， 是的直径， 垂直平分， ，， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判断，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 地 城 考点06 正多边形与圆 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是正九边形两条对角线的夹角，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正九边形的外接圆圆心为点，如图所示，根据正九边形的性质，圆的弦，弧，圆周角之间的关系，解答即可． 本题考查了正九边形的性质，内角计算，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设正九边形的外接圆圆心为点，如图所示， 根据题意，得，正九边形的内角为， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各边的距离相等，其中真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判定一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．也考查了正多边形，正六边形，确定圆的条件，三角形的外心等． 根据确定圆的条件判定①，根据正多边形的性质判定②，根据正方六边形的性质判定③，根据三角形的外心性质判断④． 【详解】解：A．不共线的三个点确定一个圆，故些项为假命题，不符合题意； B．正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此项是假命题，不符合题意； C．正六边形的半径与边长相等，故此项是真命题，符合题意； D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故此项为假命题，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，正六角形螺帽的边长为，则扳手的开口的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键． 根据正六边形的内角度数可得出，再通过含的直角三角形性质即可得出的值，进而可求出的值，此题得解． 【详解】解：如图，过点A作平行于线段b的直线，分别交上下两条射线于C、D两点， 由题意可得，，由图形的对称性可知：， 正六边形的内角和为， 正六边形的任一内角为， ∴， ， 又边长为，   ∴，， ． 故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】设正八边形的中心为点，连接、、、、、、，过点作于点，过点作于点，设正八边形的边长为，，根据正八边形的性质得，，点、、共线，且点是的中点，证明得，证明得，推出，可判断①；推出点与点重合，得，可得的度数，可判断③；在中，，得，根据等积法得，继而得到，，得，求解后可判断②；分别求出正八边形和四边形的面积，可判断④． 【详解】解：设正八边形的中心为点，连接、、、、、、，过点作于点，过点作于点，设正八边形的边长为，， ∵八边形是正八边形， ∴， 每个内角的度数是：，中心角的度数是：， ∴， ， ∴， ∴点、、共线，且点是的中点， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在四边形中，， 按同样的方法得， ∴， 在中，， ∴，故结论①正确； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴点是、的中点， ∴点与点重合， ∴， ∴，故结论③正确； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∴正确结论的序号是①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形的性质，正多边形的内角、中心角，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，多边形的面积和梯形的面积等知识点．解题的关键是掌握正多边形的性质． 5．（24-25九年级上·江苏南京·期中）正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）用长的篱笆围成正三角形或正方形或正六边形的绿地，其面积分别为，，，用“”号把，，连接起来为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是正三角形、正方形、正六边形面积的求法．根据题意得：正三角形的边长为，正方形的边长为，正六边形的边长为，分别求出正三角形，正方形，正六边形的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：正三角形的边长为，正方形的边长为，正六边形的边长为， 如图，在正中，边长为，于点D， ∴， ∴， ∴正的面积为； ∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为； 如图，在正六边形中，边长为，点O为中心，连接，于点G， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积为， ∴正六边形的面积为； ∴． 故答案为： 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，正六边形内接于，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了圆与正多边形的综合，弦与圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，圆心角的计算，掌握圆与正多边形的性质是解题的关键．根据圆、正多边形的性质可得，是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：∵正六边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：1 ． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，正五边形内接于，点P是劣弧上一点（不与点C重合），则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角的度数．连接．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，正六边形内接于，若边的长为6，则半径的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查圆内接正多边形，等边三角形的判定与性质，根据正多边形求出，即可得到是等边三角形，即可得到答案； 【详解】解：∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵的长为6， ∴， 故答案为：6． 10．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在正五边形中，点M是边的中点，连接、，交于点N，则 ． 【答案】/54度 【分析】连接，，先证明，得到，再利用等腰三角形的三线合一性质，三角形内角和定理，三角形外角性质解答即可． 【详解】解：连接，， ∵正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． ∵点M是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正六边形内接于，，则正六边形的面积为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接，，根据正六边形的性质可得，进而可得是等边三角形，则得，再求出等边的面积，进而可求解． 【详解】解：连接，，过F点作于点H，如图： 六边形是正六边形， ， ，且， 是等边三角形，且边长， ∴， ∴， 等边的面积为：， 正六边形的面积为：， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，将的圆周12等份，圆内接矩形的面积为20，则圆内接正六边形面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了正多边形与圆，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，交于，根据矩形的性质得到，求得，推出是等边三角形，得到边即为圆内接正六边形的边，即可求解． 【详解】解：连接，交于，如图所示： 四边形是矩形， ， ，是的直径， 将的圆周等份， ， 是等边三角形， 边即为圆内接正六边形的边， 圆内接矩形的面积为， ， 圆内接正六边形面积为， 故答案为：30． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）泰兴古城形制独特，状如西瓜，故俗称西瓜城．据《泰兴县志》记载，泰兴古城有桥梁54座，最钜者朝阳桥、阜成桥、文明桥、析津桥，因直通四城门，故称之为四门大桥．小明同学根据古籍自行设计了一幅简易的泰兴城县志全图．为城墙，城区为正方形，其内接于，四门大桥区为正方形、正方形、正方形、正方形，点在上，在正方形边上．若正方形边长为，则正方形的边长为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接，，过O点作于M点，交于N点，设正方形边长为x，进而得到，，，进而得到，利用勾股定理得到，解得． 【详解】解：连接，，过O点作于M点，交于N点，设正方形边长为x， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， 故正方形边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，正方形的性质，垂径定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∵连接，图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角等于， ∴的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键． 三、解答题 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，确定圆心，正多边形的性质，无刻度直尺作图； （1）根据圆周角所对弦是直径连接矩形对角线交点即为圆心； （2）连接和，分别与交于点，，连接和，此时根据对称性可得直线，是圆的对称轴，和的交点即为圆心； （3）延长正方形的边长、、对角线分别交圆于点、、，此时由正方形的性质可得是圆的对称轴，所对的弦是直径，连接与交点即为圆心． 【详解】（1）解：如图，连接矩形对角线交点即为圆心； （2）解：圆心的位置如图所示： （3）解：圆心的位置如图所示： 16．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）【给出问题】如图1，正方形内接于，是的中点，连接，．求证：； 【深入思考】如图2，正方形内接于，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明． 【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积． 【答案】[给出问题]见解析；[深入思考] ； [拓展应用] 【分析】[给出问题] 证明，即可得到； [深入思考]过点作交于点，取圆心，连接，，证明，进而根据全等三角形的性质，勾股定理，即可求解． [拓展应用]以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上，根据圆周角定理可得在上，进而通过勾股定理求出的长度，从而得出矩形的面积． 【详解】[给出问题]证明：四边形是正方形， ， 是的中点， ； [深入思考] ，理由如下， 过点作交于点，取圆心，连接，， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，即 [拓展应用] 解：以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上， ，， 点在上， ，， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 在中，， 在中，， 解得：（负值舍去） ， 矩形的面积． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，弧与弦的关系，圆周角定理，勾股定理，掌握圆的基本性质是解题的关键． 17．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； (1)在图①中画的一个内接正六边形． (2)在图②中画的一个内接正八边形． (3)图②中正八边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰直角三角形的性质与判定； （1）设的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F,同理∶在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接，如图，正六边形即为所求； （2）圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，根据正方形对角线能形成角，以此确定，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可． （3）根据网格，先计算，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 如图①，正六边形即为所求； （2）如图所示， 如图②，正八边形即为所求． （3）解：如图所示，过点作， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴图②中正八边形的面积为， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）正六边形的边长为4，求对角线的长和正六边形的面积． 【答案】；正六边形的面积为 【分析】本题考查的是正多边形与圆、三角函数、三角形面积的计算，连接，根据正六边形的性质推出，，再利用直角三角形的性质求得，由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的周长和面积． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴正六边形的面积． 地 城 考点07 弧长与扇形面积、圆锥的侧面积 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，弧三角形的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则弧三角形的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，根据弧长公式求出一段弧长，乘以3即可得出结果． 【详解】解：由题意，一段弧所对的圆心角为60度，半径为1， ∴弧三角形的周长等于； 故选B． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设圆锥的底面的半径为，则，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出，然后计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为，则，， 根据题意得， 解得， ． 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）某校九年级学生参加社团活动，学习编制圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为．底面圆的直径为，则该圆锥的全面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算．利用圆锥的侧面积圆锥母线圆锥底面圆的半径直接求出侧面积，然后求得底面积，二者的和即为全面积． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是， ∴底面圆的半径为， ∴圆锥的底面积为， 圆锥的侧面积， ∴圆锥的全面积为． 故选：B． 二、填空题 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：，其中是弧长，是扇形的半径，是扇形的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：设这个扇形的半径是， 则， 解得， 所以这个扇形的半径是2， 故答案为：2． 5．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知一个扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积等于 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 根据扇形面积的计算公式（为扇形圆心角的度数）计算即可． 【详解】解：一个扇形的半径为，圆心角为， ∴， 故答案为： ． 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积是 ．（结果可保留） 【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式：、弧长公式：是解题的关键．设扇形的半径为，根据弧长公式求出，根据扇形面积公式计算． 【详解】解：设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， 则， 解得，， 扇形的面积， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形三线合一得出点是的中点，从而得出是的中位线，于是，根据同底等高得到和的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算出扇形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接 ，， 为的直径， ， ， ， 即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，将半径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时点到了点，则图中涂色部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，旋转的性质，求扇形面积等知识点，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 根据进行求解即可． 【详解】解：∵半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求其他不规则图形的面积，涉及了旋转的性质以及圆周角定理等知识点，连接，可推出是等边三角形、是等边三角形，进而得；根据，可得图中阴影部分的面积，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径，， ∴的半径为，且， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）一圆锥的母线长为，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面半径r为 ． 【答案】2 【分析】本题考查圆锥的展开图、扇形的弧长公式，熟记弧长公式是解答的关键． 根据圆锥的展开图是扇形，母线长为扇形的半径，底面周长是扇形的弧长，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：根据题意，底面周长为， 由得， 故答案为：2． 11．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）在化学实验室中，可以通过过滤的方法净化溶液或水．如图，滤纸的折叠方法：取一直径为的圆形滤纸，对折两次，形成圆后，然后一边一层另外一边三层从中间拉开成锥形放入漏斗．当滤纸紧贴漏斗内壁时，倒入溶液的高度不能超过 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的相关知识，解题的关键是理解圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长．根据题意可知，圆锥母线长，圆锥底面周长为，结合“圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长”确定的值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，    由题意，可知，圆锥底面周长为， 则有，解得， 所以， 即倒入溶液的高度不能超过． 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知四边形内接于圆． (1)求的度数； (2)若的半径为6，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的对角互补．在同圆或等圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半以及弧长公式：，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的对角互补，算出，是等腰三角形，即可求出的度数． （2）算出根据圆周角定理求出用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形内接于圆， （2）连接， 故的长为：． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，且，为上一动点（不与点、重合）过点作的切线交延长线于点，为中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，由点E是的中点，得到，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，根据圆周角定理得到．求得，根据三角形的中位线性质和平行线的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∵经过的半径的外端， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题是圆的综合题，重点考查圆的切线的判定与性质、圆周角定理、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形中角所对的直角边等于斜边一半、勾股定理的应用、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知中，，以为直径作，交与点，过点作交于点，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，根据圆周角定理得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：与相切， 理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、全等三角形的判定和性质、圆周角定理、求不规则图形面积、扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定定理、不规则图形面积求法是解题的关键． 15．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，是直径，是弦，点C在上，于点E，，交的延长线于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键. （1）如图：连接，根据角平分线的判定定理可得，再结合等腰三角形的性质可得，可证明，利用平行线的性质可得，即可证明结论； （2）由角平分线的定义可得，进而得到，再运用角平分线的性质定理可得．再根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、，进而求得,最后根据求解即可. 【详解】（1）解：如图：连接， ∵，且， ∴是的平分线， ∴，        ∵， ∴， ∴， ∴，    ∴， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵于点E，， ∴， ∴在中，， ∴, ∵， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴,      ∴. 试卷第1页，共3页 4 / 102 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆 7大高频考点概览 考点01 点与圆的位置关系 考点02 圆周角与圆心角 考点03 垂径定理 考点04 确定圆的条件 考点05切线的性质和判定 考点06 正多边形与圆 考点07 弧长与扇形面积、圆锥侧面积 地 城 考点01 点与圆的位置关系 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）若的半径为，，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．点P在内或上 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知的半径为3，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知的半径为3，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若的半径为6，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（   ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）的半径长为4，若点到圆心的距离为3，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 7．（24-25九年级上·江苏南通·期中）若点在外，的半径为，则的长可能是下列数值中的(   ) A．5 B．4 C．3 D．2 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知的半径为6，在外取一点P，连接，则的长可以是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知的半径是8，点A到圆心O的距离是7，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，半径为5，那么图中到圆心O距离为5的点是（   ） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 二、填空题 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知的半径为，如果在所在平面内有一点且，则点在 ． 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知的半径为4，点P在上，则的长为 ． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P在 ．（填“内”“外”或“上”） 三、解答题 16．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 地 城 考点02 圆周角与圆心角 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，若是直径，为是的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是上的点，且．在这个图中，仅用无刻度的直尺画出下列度数的圆周角：，能画出的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在优弧上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，下列用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是（    ） A．B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，上三点B、C、D将圆三等分，弦，若，则 ． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为 ． 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在的内接四边形中，，则 ． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点、、、、在上，且为，则的度数为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）． (1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同一侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图②，若，画出的平分线； (3)在（2）的作图下，已知，交直径于点F，则　　　． 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，直线与交于点、，，垂足为．求证：． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形内接于一圆，延长到点． (1)求证：； (2)连接、，若，平分，求的度数． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图， (1)如图2，是的直径，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接． ①求证：是的“相望角”； ②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“相望角”度数为 ； (2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为， ①求弦的长． ②当时，则 ． 17．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，四边形内接于，的延长线交于点F，的延长线交于点G，若，，求的度数． 地 城 考点03 垂径定理 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的弦，于点，，，点为所在平面内一点，且，则点与的位置关系是(   ) A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为，则的长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名，某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，线段、、、都是圆O的弦，其中，最短的弦是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图所示，工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个槽孔的宽的大小为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，过的中点作，垂足为，，，则所在圆的半径长是 ． 8．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图是圆柱形油罐的横截面，油面宽为，油的最大深度为，则圆形半径是 ． 9．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是，其中水面的宽为，则排水管内水的最大深度为 cm． 三、解答题 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． (1)求此圆弧形拱桥的半径； (2)若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 11．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）定义：关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： (1)请写出一个“经典方程”：____________________； (2)求证：关于的“经典方程”必有实数根； (3)如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“经典方程”，求的度数． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)在上求作点，使与的长度比为；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若，上的点到的大距离为2，求所在圆的半径长．（如果需要图形，请使用备用图） 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）近期，考古学家在一次考古工作中发现了一块古代圆形残片玉佩，如图所示，需要找出其圆心．已知弧上三点． (1)请用尺规作图画出该残片的圆心； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R 14．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形组合而成的图形（点B、C在上），其中，已知的半径为，，，求香水瓶的高度h为多少？ 15．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，以为直径的半圆O上有一点C，过点C作，垂足为点D，过点A作，垂足为点E（不与点O，C重合），的延长线交半圆O于点F．求证：． 地 城 考点04 确定圆的条件 一、填空题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为 ． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，则的外心坐标是 ． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为 ． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的外接圆面积为 ． 二、解答题 9．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知． (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 地 城 考点05 切线的性质与判定 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，的半径为5，弦的长为8，将劣弧沿直线折叠后的图形如图，则点O到弧所在圆的切线长为（   ） A．3 B． C．4 D． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，是的切线，交于点C，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）在中，，，以点为圆心，为半径作圆与相切，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相切，则r的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，分别与相切于A，B两点，，则∠C的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是 ． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知中，，，当最大时，的长为 ． 9．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的内切圆，若，则的度数为 ． 10．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是 ． 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为 ． 三、解答题 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知内接于，点在的延长线上， (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 13．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 14．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中． (1)尺规作图：以边上一点O为圆心，线段的长为半径作，使得与边相切于点D；（保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，记与边的另一交点为E，，．求的半径． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，其早在战国时期就已被发明是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为 ． (2)求的长． (3)求的长． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心在边上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图㾗迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 17．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，以为直径的分别交边、于点、，连接，过点的直线与过点的直线互相垂直，垂足为点，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 18．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，弦平分，，垂足为E．试判断与的位置关系，并说明理由． 19．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，为的直径，C是上一点，D在的延长线上，． (1)求证：是切线； (2)若，，求的半径． 20．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，，P为延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)探究与的位置关系，并证明 (3)若，，求的长． 地 城 考点06 正多边形与圆 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是正九边形两条对角线的夹角，则的度数是（   ） A． B． C． D． 第1题 第3题 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各边的距离相等，其中真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，正六角形螺帽的边长为，则扳手的开口的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 第4题 第5题 5．（24-25九年级上·江苏南京·期中）正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）用长的篱笆围成正三角形或正方形或正六边形的绿地，其面积分别为，，，用“”号把，，连接起来为 ． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，正六边形内接于，，则的长为 ． 第7题 第8题 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，正五边形内接于，点P是劣弧上一点（不与点C重合），则的度数为 ． 9．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，正六边形内接于，若边的长为6，则半径的长为 ． 第9题 第10题 10．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在正五边形中，点M是边的中点，连接、，交于点N，则 ． 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正六边形内接于，，则正六边形的面积为 . 第11题 第12题 12．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，将的圆周12等份，圆内接矩形的面积为20，则圆内接正六边形面积为 ． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）泰兴古城形制独特，状如西瓜，故俗称西瓜城．据《泰兴县志》记载，泰兴古城有桥梁54座，最钜者朝阳桥、阜成桥、文明桥、析津桥，因直通四城门，故称之为四门大桥．小明同学根据古籍自行设计了一幅简易的泰兴城县志全图．为城墙，城区为正方形，其内接于，四门大桥区为正方形、正方形、正方形、正方形，点在上，在正方形边上．若正方形边长为，则正方形的边长为 ．（用含的代数式表示） 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为 ． 三、解答题 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）【给出问题】如图1，正方形内接于，是的中点，连接，．求证：； 【深入思考】如图2，正方形内接于，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明． 【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积． 17．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； (1)在图①中画的一个内接正六边形． (2)在图②中画的一个内接正八边形． (3)图②中正八边形的面积为______． 18．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）正六边形的边长为4，求对角线的长和正六边形的面积． 地 城 考点07 弧长与扇形面积、圆锥的侧面积 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，弧三角形的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则弧三角形的周长等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）某校九年级学生参加社团活动，学习编制圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为．底面圆的直径为，则该圆锥的全面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 5．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知一个扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积等于 ．（结果保留） 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积是 ．（结果可保留） 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为 ． 第7题 第8题 第9题 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，将半径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时点到了点，则图中涂色部分的面积为 ． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）一圆锥的母线长为，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面半径r为 ． 11．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）在化学实验室中，可以通过过滤的方法净化溶液或水．如图，滤纸的折叠方法：取一直径为的圆形滤纸，对折两次，形成圆后，然后一边一层另外一边三层从中间拉开成锥形放入漏斗．当滤纸紧贴漏斗内壁时，倒入溶液的高度不能超过 ． 三、解答题 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知四边形内接于圆． (1)求的度数； (2)若的半径为6，求的长． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，且，为上一动点（不与点、重合）过点作的切线交延长线于点，为中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知中，，以为直径作，交与点，过点作交于点，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 15．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，是直径，是弦，点C在上，于点E，，交的延长线于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$