专题3.2双曲线（高效培优讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题3.2 双曲线 教学目标 1、理解双曲线第一定义，掌握双曲线的标准方程，理解双曲线与椭圆的联系与区别； 2、掌握双曲线的简单的几何性质，能用性质解决有关问题； 教学重难点 1、重点：双曲线定义及标准方程，双曲线的几何性质； 2、难点：双曲线定义的理解，双曲线离心率、渐近线的理解； 知识点01 双曲线概念 1.与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注意：如果没有绝对值，则仅表示双曲线的一支. 2.双曲线表示为集合：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，M点不存在． 【即学即练1-1】(25-26高二上·全国·课后作业)与圆及圆都内切的圆的圆心在(    ) A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【答案】B【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 设所求圆的圆心为，半径为，如图所示，，， 所以，且， 所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的双曲线的左支．故选：B. 【即学即练1-2】(24-25高二上·浙江·期中)对于方程，表示的曲线，下列说法正确的是 (    ) A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则曲线的焦点在轴上 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线、二元二次方程表示的曲线与圆的关系【分析】对于A，根据的取值，即可判断；对于B若为负角，即，结合双曲线标准方程的形式，即可判断；对于C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对于D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项. 【详解】对于A，当，即时，曲线的方程为，即， 此时曲线为两条平行的直线，故A错误； 对于B，若为负角，即，则，此时曲线为双曲线，故B正确； 对于C，若为正角，即，当时，， 则曲线的方程为1，是圆，故C错误； 对于D，若为椭圆，当，，又可变形为， 则为焦点在轴上的椭圆，故D错误．故选：B. 知识点02 双曲线的标准方程 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 性质 图形 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0,a与b没有大小关系) 注意：1.谁的系数为正，焦点就在其对应轴上. 2.椭圆与双曲线统一方程： (1)当时，为椭圆； (2)当异号时，为双曲线。 【即学即练2-1】(25-26高二上·全国·课后作业)焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】由已知得，再由离心率和关系求，得到双曲线的标准方程. 【详解】 依题意，，，解得，，所以， 故该双曲线方程为．故选：A. 【即学即练2-2】(2025·天津·模拟预测)已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线定义的理解 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为.故选：A 知识点03 双曲线的基本量 1.焦点在x轴时：焦点，实轴顶点，虚轴顶点； 焦点在y轴时：焦点，实轴顶点，虚轴顶点； 2.焦距2c，实轴2，虚轴2b； 【即学即练3-1】(2025·吉林·二模)已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为(    ) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】利用给定条件求出，再设出双曲线方程，求解基本量，得到实轴长即可. 【详解】因为轴，且，双曲线的右焦点为， 所以，设双曲线方程为，且， 将代入双曲线方程，得到，联立解得(负根舍去)， 则双曲线的实轴长为，故B正确.故选：B 【即学即练3-2】(2024·浙江温州·一模)已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 . 【答案】【难度】0.85【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据双曲线方程可得，且焦点在x轴上，再结合椭圆方程列式求解即可. 【详解】对于双曲线，可知其半焦距，且焦点在x轴上， 对于椭圆可得，且，解得.故答案为：. 知识点04 双曲线的焦半径、焦点弦、焦点三角形 1.双曲线上点P(x0，y0)与焦点F1，F2之间的距离叫做双曲线的焦半径，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|: (1); (2)，(P在右支)， ，(P在左支)， 2.若双曲线方程为，半焦距为，焦点， (1)过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为:, (2)双曲线焦点，过倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点， 则: (3)若AB是过焦点F的弦,设, AB在同支时, AB在两支时,;(设) (4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则△ABF2的周长为4a＋2|AB|． (5)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为， 异支的弦中最短的为实轴，长为2a. 3.双曲线的焦点三角形：,记，有以下结论成立: (1)； (2)焦点三角形的面积： . 【即学即练4-1】(24-25高二上·北京·阶段练习)已知，是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，若，则 . 【答案】9【难度】0.85【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】由题设结合双曲线定义和焦半径的几何性质即可求解. 【详解】因为双曲线，所以，故， 所以，又， 所以P在双曲线左支上，.故答案为：9. 【即学即练4-2】(2024·陕西西安·模拟预测)双曲线的焦点弦长为的弦有(    ) A．8条 B．4条 C．2条 D．1条 【答案】B【难度】0.65【知识点】求双曲线的焦距、双曲线的对称性、双曲线中的通径问题 【分析】结合双曲线的通径、左右顶点的距离与对称性，分该弦与双曲线是否交于同一支讨论即可得. 【详解】由，可得其通径为，注意到左右顶点的距离为， 所以过一个焦点，可作满足题意与双曲线交于两支的弦有两条，交于一支的情况不存在， 结合双曲线的对称性，该双曲线满足题意的焦点弦共有4条.故选：B. 【即学即练4-3】(24-25高二上·上海·阶段练习)设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为 . 【答案】3【难度】0.85【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据题意可得，，利用勾股定理可得，即可得面积. 【详解】由题意可知：，则，， 若，则， 即，可得，所以的面积为.故答案为：3. 知识点05 双曲线的离心率 一般方法：根据条件，建立齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于e的方程求解． 1. ＝＝ (α,k为渐近线的倾斜角与斜率) 2. 焦点三角形中：P为双曲线上异于实轴端点的任一点,， 则； 3.过双曲线的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且＝λ, 则；即． (当双曲线焦点在轴上时，)；注:或者。 4. 若直线y＝kx与双曲线E交于A，B两点，P为双曲线上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝＝e2－1． 注：当焦点在y轴上时a，b对调． 5.直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与双曲线E交于A，B两点，P为弦AB的中点，k0，则k0·k＝＝e2－1． 注：当焦点在y轴上时a，b对调． 6.双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. 性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直； 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 7.与有相同离心率的双曲线方程为： 焦点在轴上时：; 焦点在轴上时：; 【即学即练5-1】(24-25高二下·湖南永州·期末)已知双曲线a的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C．2 D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数【分析】已知双曲线a的一个焦点为，可知焦点位于x轴上，半焦距.设双曲线方程为：，渐近线方程为.根据圆的方程可知圆心为焦点，半径为. 圆心到渐近线的距离d等于半径r，根据点到直线距离公式得到b，根据得到a，从而计算出离心率. 【详解】已知双曲线a的一个焦点为，故焦点位于x轴上，半焦距. 设双曲线方程为：，渐近线方程为. 已知圆得方程：，圆心即为焦点，半径为. 圆心到渐近线的距离d等于半径r，由点到直线的距离公式可得： ，代入得：.由. 所以离心率.故选：C. 【即学即练5-2】(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，则双曲线离心率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求点到直线的距离 【分析】由题可得，由可得，据此可得答案. 【详解】设直线，即．由点到直线的距离公式， 得点到直线的距离，点到直线的距离. 因，则. 由 ,则.故选：C． 知识点06 双曲线的渐近线 1.与共轭的双曲线方程为， (1)它们有公共的渐近线； (2)四个焦点都在以原点为圆心，为半径的圆上； (3)。 2.与有相同的渐近线的双曲线方程为：； 3.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为:; 4.双曲线焦点到渐近线的距离总是:. 实轴顶点到渐近线的距离为:； 双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值: 【即学即练6-1】(25-26高二上·全国·单元测试)直线是双曲线的一条渐近线，则(    ) A．1 B．4 C．16 D．18 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程【分析】根据渐近线的求法可直接求解. 【详解】令双曲线方程等号右侧的1变为0，可得双曲线的渐近线方程为， 又直线是双曲线的一条渐近线，所以，解得．故选：D. 【即学即练6-2】(24-25高三下·河北保定·阶段练习)已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝(    ) A．1 B． C．－4 D．1或－4 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知直线垂直求参数、已知方程求双曲线的渐近线、根据方程表示双曲线求参数的范围【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的焦点在y轴上，所以，， 所以，即.又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以， 即，解得或(舍).故选：C. 知识点07 双曲线的弦中点问题(点差法) 双曲线中有关点差法的经典结论(以下双曲线均为:) (1)M是的不平行于对称轴的弦AB的中点，则； (2)过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有； (3)过双曲线上任一点任作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则(常数) 【即学即练7-1】(2025·内蒙古包头·二模)直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设，，因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：，即， 所以，即，所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意.故选：A. 【即学即练7-2】(24-25高三上·贵州贵阳·期末)已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】设中点为，根据易知确定坐标值，再应用点差法及直线斜率的两点公式得到，进而得到双曲线参数的齐次方程求离心率. 【详解】设中点为，由题设易知，故， 因为，故，所以， 而，故，故，故.故选：A 知识点08 直线与双曲线的位置关系 1.判断方法一：通过解直线方程与双曲线方程联立得到的方程组进行判断. 判断方法二：通过直线与双曲线渐近线的位置关系进行判断. 2.弦长公式：， 或|AB|＝. 3.双曲线的切线： (1)以上点为切点的切线斜率为；则；切线方程:. (2)过外一点作两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2所在直线方程：. 【即学即练8-1】(24-25高二上·福建福州·期末)已知双曲线：(，)，两条直线，均过坐标原点，和交于，两点，和交于，两点.若的面积为，则的面积为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】求双曲线中三角形(四边形)的面积问题 【分析】根据对称性，结合图象来求得正确答案. 【详解】由于和都符合，所以曲线的图象关于原点对称， 由此画出曲线的大致图象如下图所示，两条直线、均过坐标原点，所以M、N两点关于原点对称， P、Q两点关于原点对称，根据对称性，不妨设位置如图， 可知，，所以，所以， 而和等底等高，面积相同，所以，所以.故答案为：. 【即学即练8-2】(24-25高二上·四川成都·期末)已知椭圆的左右顶点分别为，，且，为上不同两点(，位于轴右侧)，，关于轴的对称点分别为为，，直线、相交于点，直线、相交于点，已知点，则的最小值为 ． 【答案】【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据题意，求得点，的轨迹为双曲线的右支，进而根据双曲线的性质得解． 【详解】设点，则，， 则， ，，点的轨迹方程为，即点的轨迹方程为，   同理可得，点也在双曲线上， 点恰为双曲线的左焦点，双曲线的右焦点为， 根据双曲线定义可得：， 当且仅当三点共线时，即得， 的最小值为．故答案为:． 题型01 双曲线概念、基本量 【典例1-1】(2025·北京朝阳·一模)曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断方程是否表示双曲线 【分析】结合双曲线的标准方程，直接判断命题的充分性和必要性即可. 【详解】若，则，所以，即， 所以为焦点在轴上的双曲线；若为焦点在轴上的双曲线， 则对于，即，可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件.故选：A 【典例1-2】(24-25高一下·上海奉贤·期中)若双曲线的一个焦点为，则 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】根据双曲线方程求a、b、c【分析】根据双曲线即可求解． 【详解】由题得，，故答案为：4． 【典例1-3】(2025高二·全国·专题练习)若点为直线上的任意一点，，，则下列结论中正确的是(    ) A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C【难度】0.65【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】根据双曲线的定义求解出双曲线的方程，然后结合双曲线的渐近线的几何特征得到结果即可. 【详解】若，则点的轨迹是以，为焦点的双曲线，其方程为． 因为是该双曲线的一条渐近线，整条直线在双曲线的外部区域，所以，故选：C． 【变式1-1】(23-24高二下·浙江·期中)“”是“方程表示的曲线是双曲线”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断命题的充分不必要条件、判断方程是否表示双曲线、充要条件的证明 【分析】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解. 【详解】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A 【变式1-2】(25-26高二上·全国·单元测试)已知方程表示双曲线，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】利用双曲线的标准方程即可得到结果. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为．故选：B. 【点睛】对方程，我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要对参数m，n进行讨论．只有时，方程才表示双曲线，且当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上． 【变式1-3】(24-25高二上·天津蓟州·阶段练习)若双曲线与的焦距相等，则椭圆的焦点坐标为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据双曲线可得，可知可知椭圆焦点在y轴上，且，即可得结果. 【详解】因为与的焦距相等，则，可得，即， 对于椭圆可知其焦点在y轴上，且，所以椭圆的焦点坐标为. 故答案为：. 【变式1-4】(24-25高二上·全国·课后作业)对于方程表示的曲线，下列说法正确的是(    ) A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断方程是否表示椭圆、圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断方程是否表示双曲线【分析】对A，根据的取值，即可判断选项.；对B若为负角，即，双曲线标准方程的形式，即可判断；对C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项. 【详解】对A，当，即时，曲线的方程为， 此时曲线为两条平行的直线，故A错误； 对B，若为负角，即，则，此时曲线为双曲线，故B正确； 对C，若为正角，即，当时，，则曲线的方程为1，是圆，故C错误； 对D，若为椭圆，则，又可变形为， 则为焦点在轴上的椭圆，故D错误．故选：B． 【变式1-5】(2024·北京房山·一模)在平面直角坐标系中，已知两点．若曲线C上存在一点P，使，则称曲线C为“合作曲线”，给出下列曲线：①；②；③．其中“合作曲线”是( ) A．①② B．②③ C．① D．② 【答案】A【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程、判断方程是否表示椭圆、判断直线与圆的位置关系、判断方程是否表示双曲线【分析】根据题意，设点，由“合作曲线”的定义可知，曲线上存在点，使得，然后逐一判断，即可得到结果. 【详解】设点，则，由可得，即， 即曲线上存在点，使得，即为“合作曲线”， 对于①，由双曲线可得，则存在点满足，故①为“合作曲线”； 对于②，由椭圆可得，则存在点满足，故②为“合作曲线”； 对于③，因为圆心到直线的结论， 故直线上不存在一点满足，故③不为“合作曲线”；故选：A 【变式1-6】(23-24高二上·天津西青·期末)方程表示曲线的形状.①当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；②当时，方程表示焦点y在轴上的椭圆；③当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线；④当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.以上结论正确的序号是(    ) A．①③ B．①④ C．②③ D．② 【答案】A【难度】0.65【知识点】判断方程是否表示椭圆、已知角确定三角函数式的符号、判断方程是否表示双曲线【分析】利用角的范围可求得的符号，再依据椭圆以及双曲线的标准方程即可出结论. 【详解】若，将可整理成， 当时，可知，则，即；由椭圆标准方程可知， 即当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；所以①正确，②错误； 当时，，；由双曲线标准方程可得的实轴在y轴上， 所以当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即③正确，④错误；即①③正确.故选：A 题型02 双曲线的标准方程 【典例2-1】(23-24高二上·吉林·阶段练习)如图，已知点，，从点同时出发的两个质点，均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，从运动到A，从运动到B，且到达A的时间比到达B的时间晚3秒，则的轨迹方程为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】利用定义求方程【分析】分析点C到点A、B的距离之差，即可判断出C的轨迹为以A，B为焦点，且实轴长为6的双曲线的下支，即可求出C的轨迹方程. 【详解】，所以的轨迹是以A，B为焦点，且实轴长为6的双曲线的下支. 由，，得，所以的轨迹方程为.故答案为：. 【典例2-2】(24-25高二上·全国·课后作业)已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线方程求a、b、c【分析】根据已知可得，再结合双曲线定义得出，计算求出，即得双曲线方程. 【详解】由过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上， 可知，则，即， 又因为，得解得，故双曲线方程为.故答案为：. 【典例2-3】(22-23高三下·北京·开学考试)已知圆锥曲线的一个顶点为，焦距为4，则的值为(    ) A．7或1 B．或 C．7或 D．或1 【答案】B【难度】0.65【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据方程表示椭圆求参数的范围、根据方程表示双曲线求参数的范围、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】先代入点坐标待定，再分类讨论根据焦距求即可. 【详解】将代入曲线方程，解得；故曲线方程为. 由焦距为4，得，.由题意知，且，方程可化为， 当时，曲线为椭圆， ,故焦点在轴上，故，则，解得； 当时，曲线为双曲线，且焦点在轴上，双曲线的标准方程为， 所以，则有，解得； 综上所述，或.故选：B. 【变式2-1】(24-25高二下·浙江·开学考试)已知双曲线的焦距为，则m的值为(   ) A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据已知条件得出及双曲线的性质，即可求出m的值. 【详解】由焦距为，，则，解得：，故m的值为1.故选：C. 【变式2-2】(2024高三·全国·专题练习)一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、利用双曲线定义求方程【分析】设，根据圆过点及与圆B外切得，利用双曲线的定义即可求解轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为点，连接PB，PA，则，则， 所以点P的轨迹是以，为焦点，且实轴长为4的双曲线的左支． 设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则，． 所以动圆圆心的轨迹方程为．故选：A 【变式2-3】(23-24高二上·北京·阶段练习)化简方程的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】利用双曲线定义求方程【分析】由双曲线定义即可求解. 【详解】设动点，则由题意可得， 所以动点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数8，又， 所以由双曲线定义可知P点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以双曲线的方程为.故选：D. 【变式2-4】(24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习)一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心的轨迹，然后再求方程即可. 【详解】圆与圆外切，如图，，即， ，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支， 其中，，．故所求轨方程为：． 故选：C． 【变式2-5】(24-25高二上·河南平顶山·阶段练习)在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、利用双曲线定义求方程 【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案. 【详解】如图，设与圆的切点分别为，则有， 所以.所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(右顶点除外)， 即，又，所以，所以方程为.故选：B. 【变式2-6】(24-25高二上·全国·课后作业)已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、向量夹角的计算、利用双曲线定义求方程【分析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求． 【详解】，即，． 则．．即． ，．则该双曲线的方程是：．故选：A 题型03 双曲线的焦半径、焦点弦、焦点三角形 【典例3-1】(24-25高二上·浙江·阶段练习)已知双曲线的方程是，它的两个焦点分别是与是双曲线上的一点，且，则的值为(   ) A．1 B．13 C．1或13 D．4或10 【答案】B【难度】0.85【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据题意，由条件可得是双曲线左支上的点，再由双曲线的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】由双曲线的标准方程可得，则， 则，所以点是双曲线左支上的点， 由双曲线的定义可得，所以.故选：B 【典例3-2】(24-25高二上·湖南·期中)设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】1【难度】0.85【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据题意结合双曲线对于可得，，结合勾股定理可得，即可得面积. 【详解】由双曲线方程可得，不妨设， 则，， 若，则，可得， 即，则，所以的面积为.故答案为：1. 【典例3-3】(24-25高二下·湖北·阶段练习)、是双曲线的上、下焦点，过的直线与的上、下两支分别交于、两点．若，，又，则双曲线的实轴长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】作图，在直角中，利用锐角三角函数的定义可求出，利用勾股定理可求得，利用双曲线的定义可得出关于的等式，解出的值，进而利用双曲线的定义可求得该双曲线的实轴长. 【详解】如下图所示： 因为，，则， 因为，则，故， 由双曲线的定义可得， 即，解得， 因此，该双曲线的实轴长为.故选：B. 【变式3-1】(23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习)双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于(    ) A．9 B．9或1 C．1 D．6 【答案】A【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】因为，所以，所以，解得， 根据双曲线定义可得，所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，.故选：A 【变式3-2】(2024·河北邢台·二模)若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的(    ) A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D【难度】0.85【知识点】双曲线定义的理解、充要条件的证明、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解. 【详解】， 当点在左支时，的最小值为，当点在右支时，的最小值为， 因为，则点在双曲线的左支上，，解得； 当，点在左支时，；在右支时，；推不出； 故为充分不必要条件，故选：D. 【变式3-3】(23-24高三下·上海·期中)设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则 . 【答案】3【难度】0.85【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】由双曲线定义可得，结合条件可求. 【详解】因为点在的右支上，为双曲线左、右焦点，所以， 又，，所以.故答案为：. 【变式3-4】(24-25高二上·全国·课后作业)已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】设，根据，列出方程，求得，代入双曲线的方程，即可求解. 【详解】由双曲线的方程，可得，则， 设，则，解得， 因为点在双曲线上，代入可得，解得，故.故答案为：. 【变式3-5】(24-25高二下·上海宝山·阶段练习)若椭圆()和双曲线()有相同的焦点和，而P是这两条曲线的一个交点，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、椭圆定义及辨析 【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出与的和与差，变形求得积． 【详解】设为半焦距，由题意知不妨设点是两曲线在第一象限内的交点，可得： ，解得：， 则，故A项正确.故选：A. 【变式3-6】(24-25高二下·江苏南京·开学考试)设为曲线的左，右两个焦点，P是曲线与的一个交点，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的焦点、焦距【分析】求出的坐标，由椭圆、双曲线的定义求出，，再由余弦定理求出，即可求出. 【详解】由曲线：的方程得，由椭圆的定义得， 又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，不妨设在双曲线右支上， 双曲线的定义得，，， 在中，由余弦定理可得， .故选：D 题型04 双曲线的离心率 【典例4-1】(24-25高二上·天津滨海新·期中)双曲线的左焦点为，，点为双曲线右支上的动点且周长的最小值为14，则双曲线的离心率为(    ) A． B．2 C． D．3 【答案】A【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】利用双曲线的定义将转化为，然后利用三点共线时取最小值求解即可. 【详解】∵，， ∵周长的最小值为14，∴的最小值为14，即的最小值为， 设右焦点为，则，即， 则，即三点共线且依次排列时等号成立， 此时，即最小值为，得， ∵，∴离心率.故选：A. 【典例4-2】(2025·浙江·二模)如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】双曲线定义、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆及双曲线定义，结合等腰直角三角形，计算求解离心率. 【详解】设左焦点为，则，，，， 在中用勾股定理，化简得， 所以所以，所以.故选:C. 【典例4-3】(2025·湖南湘潭·一模)已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、由直线与圆的位置关系求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】的右焦点为，则，即，且渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得，即， 所以点在直线上，因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为.故选：B. 【典例4-4】(25-26高三上·重庆·阶段练习)已知双曲线，右焦点，过点且斜率为的直线交于、两点，且，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】由题可设直线的方程为：，，.联立方程组，消去得，则由韦达定理结合，得到关于和的齐次方程即可求解双曲线的离心率. 【详解】由题可设直线的方程为：，，. 联立方程组，消去化简整理得，则， 所以， 化简得，即，即， 所以，解得.故选：B. 【变式4-1】(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是(    ) A． B．1 C． D．2 【答案】C【难度】0.94【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】结合题意建立方程，求解离心率即可. 【详解】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的一条渐近线平行， 所以，化简得，解得，故C正确.故选：C 【变式4-2】(25-26高三上·广东肇庆·开学考试)若双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据双曲线方程求a、b、c、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】由椭圆和双曲线的方程及离心率计算公式可得结果. 【详解】由题意得椭圆的焦点为和， 而双曲线和椭圆有公共焦点，则双曲线的焦点也为和， 由双曲线方程可得，解得，又，得到， 则双曲线的离心率为.故选：B. 【变式4-3】(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线，过原点的直线的倾斜角为，且，若与没有交点，则的离心率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】直线的倾斜角、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】先求出双曲线的渐近线，根据条件计算直线的斜率，因为直线与双曲线没有交点得到不等式，最后根据双曲线的离心率求得范围； 【详解】易知渐近线方程为，因为，所以． 又l与C没有交点，所以，则，所以．故选：C. 【变式4-4】(2025·四川达州·模拟预测)已知双曲线(，)的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为(   ) A． B．2 C． D．4 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、双曲线定义的理解、余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】求出、、和，接着由在和中运用余弦定理列方程即可求解. 【详解】因为，两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得，， 又，解得，，又，可得，， 在中，根据余弦定理得， 在中，根据余弦定理得， 因为，所以， 化简整理得，解得.故选：B. 【变式4-5】(25-26高三上·安徽·开学考试)已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】根据给定条件，设，可得点，再代入双曲线方程并整理求得，进而求出离心率范围. 【详解】由关于原点对称，且是等边三角形，得， 设，则，即点， 因此，整理得，由，得，则，于是， 解得，即，则的离心率，所以的离心率的取值范围为.故选：A 【变式4-6】(25-26高三上·重庆·开学考试)已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点)的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C．2 D．3 【答案】B【难度】0.65【知识点】双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】取左焦点，证明为平行四边形，推得，由相似比，结合题设条件得到，即可求得离心率. 【详解】如图，因直线与直线为坐标原点)的交点在双曲线上，则点与点关于原点对称， 设点为双曲线的左焦点，连接，因，则四边形为平行四边形， 故，易得， 则，化简得，故.故选：B. 【变式4-7】(2025·广东佛山·二模)已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.15【知识点】双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】延长交双曲线于点，连接，由已知条件得到四边形为矩形，再由双曲线的定义和勾股定理求出的关系，即可求解. 【详解】如图所示，连接，延长交双曲线于点，连接， 因为，且以为直径的圆恰好过点， 所以由对称性可知点也在圆上，且四边形为矩形. 设，则，，， 因为点都在双曲线右支上，所以由双曲线的定义可知，，， 所以，，所以在直角，中，由勾股定理可得， ，解得， 所以双曲线的离心率.故选：C 【点睛】本题有两个关键点：关键一：由双曲线的定义得到，， 关键二：在直角，中，由勾股定理列出方程组. 题型05 双曲线的渐近线 【典例5-1】(24-25高二下·河南洛阳·阶段练习)双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为(   ) A．1 B． C．2 D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离 【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解. 【详解】，，焦点坐标为，，渐近线方程为，， 所以焦点到渐近线的距离.故选：B. 【典例5-2】(25-26高二上·全国·单元测试)已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】D【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】由双曲线的定义求出a，再根据双曲线与双曲线N共渐近线设出双曲线M的方程，分焦点在x轴上与焦点在y轴上两种情况进行分类讨论即可. 【详解】由题意易知． 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为， 则，解得，所以，双曲线的方程为； 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为， 则，解得，所以，双曲线的方程为．故选：D 【典例5-3】(2025·山东聊城·模拟预测)已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 . 【答案】【难度】0.4【知识点】求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、基本不等式求和的最小值【分析】设，，根据双曲线的性质得到，的关系，再结合基本(均值)不等式求的最小值. 【详解】根据题意作图如下设，，. 因为双曲线的方程为所以，.易知 所以 而，则.所以，即. 所以 当且仅当时，等号成立;故的最小值为.故答案为：. 【点睛】本题的关键是探索，存在的数量关系，再利用基本不等式求最值.探索，的数量关系时，可利用，结合三角形的面积公式和双曲线的性质列式. 【变式5-1】(24-25高二下·贵州遵义·期末)已知双曲线，则它的渐近线方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据给定的双曲线方程，直接求出渐近线方程即可. 【详解】双曲线，则它的渐近线方程为.故选：A 【变式5-2】(25-26高三上·安徽·开学考试)已知双曲线C：(m＞0)的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解 【分析】由双曲线定义可得，从而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线定义可知，所以，即， 所以双曲线C：，则渐近线方程为.故选：B． 【变式5-3】(24-25高三下·天津南开·阶段练习)设为双曲线的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为，且满足，则双曲线的焦距为(    ) A． B．2 C． D．4 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的焦距、求点到直线的距离【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式及题目条件可求得的值，再根据渐近线的倾斜角关系得的值即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即. ∵，分别为的两条渐近线的倾斜角，∴. 又∵，∴，∴，∴. 又双曲线的右焦点到其中一条渐近线(不妨取这条)的距离为， ∴，∴，， 双曲线的焦距为.故选：C. 【变式5-4】(25-26高二上·全国·课后作业)已知为双曲线上一点，分别为其左、右焦点，则下列说法正确的是(    ) A．有最大值 B．的内心到轴的距离为1 C．若为双曲线的右顶点，则点到一条渐近线的距离为 D．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的定值问题【分析】根据双曲线方程画出双曲线简图，结合双曲线定义，依次判断各选项.要注意双曲线上的点到焦点距离的最小值. 【详解】由双曲线方程可知，，． A选项：由双曲线的对称性，不妨设点P是双曲线C右支上一点，由双曲线的定义知：， 所以， 令，则，所以， 因为在上单调递增，所以. 所以，此时，即有最大值.所以A选项正确. B选项：设在右支上，的内切圆半径为.由双曲线方程知：， 设三角形内切圆与三边的切点分别为，如图，    由几何关系可得，，， 所以，又， 所以，，所以,即点在双曲线右支上时，焦点三角形内切圆与轴切于右顶点. 又因为轴，所以到轴的距离为1,所以B选项正确. C选项：两条渐近线的方程分别为：，， 所以右顶点到两条渐近线的距离均为，所以C选项错误. D选项：两条渐近线方程分别为：，， 设，则点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离，所以， 因为点在双曲线上，所以即：.所以. 即点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值．所以D选项正确.故选：ABD. 【变式5-5】(2025·河南·二模)已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设双曲线的半焦距为，结合双曲线的渐近线方程为，可得，设，结合双曲线定义，余弦定理列关系式可得，结合角平分线性质求结论. 【详解】设的半焦距为，因为双曲线的渐近线方程为， 所以，故，.设，，， 由余弦定理有，化简得，则， 因为为的角平分线，所以，又，所以， 所以.故选：D. 【变式5-6】(24-25高二上·湖北咸宁·期末)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则(    ) A．若到渐近线的距离为1，则 B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 C．若，则点的纵坐标为 D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，若，则曲线的渐近线方程为 【答案】ABC【难度】0.4【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】选项A，根据题意，进而可得； 选项B，由双曲线的定义和内切圆的性质，可得，即得，进而可得； 选项C，设， 由，联立 可得； 选项D，当点坐标为时，由得，进而可判断错误. 【详解】选项A：因到渐近线的距离为1，故，故，故A正确； 选项B：如图，的内切圆的圆心为，分别与切于点, 则,由双曲线的定义，故， 故，即，又，故，故, 故的内切圆的圆心总在定直线上，故B正确； 选项C：设，则，， 因，故，故， 代入可得得，得，故C正确； 选项D：当点坐标为时，切线方程为，双曲线的渐近线方程为， 联立得，联立得， 故，得，此时渐近线方程为，故D错误，故选：ABC 题型06 与双曲线有关的最值与范围问题 【典例6-1】(23-24高二下·广西南宁·期末)若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、利用函数单调性求最值或值域、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】设，由双曲线定义可得，代入结合二次函数性质分析求解. 【详解】由题意可知：，且， 设，则， 可得在上单调递增， 所以当时，取得最小值3．故答案为：3. 【典例6-2】(24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习)过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为(   ) A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、双曲线定义的理解 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则，因为，， 所以， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立，故选：B. 【典例6-3】(2025高三·全国·专题练习)已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为(    )． A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、数量积的运算律、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、数量积的坐标表示 【分析】由得，代入坐标，表示出点的从标，代入双曲线中化简，结合已知条件可得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，且， 则有，得， 将点代入双曲线中得，所以  ①． 因为，即同向，所以，所以， 将①代入上式并整理得， 即，则，等号能取到， 所以．故选：B． 【变式6-1】(24-25高二下·福建宁德·开学考试)已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】10【难度】0.85【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值【分析】记双曲线的右焦点为，由双曲线的定义得，则结合三点共线求解即可． 【详解】如图所示：记双曲线的右焦点为，则，得， 圆的圆心，半径为1， 则， 等号成立时，四点共线．故的最小值是：10．故答案为：10 【变式6-2】(2025高二·全国·专题练习)已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为(    ) A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A【难度】0.65【知识点】双曲线中线段和、差的最值、双曲线定义的理解【分析】求出上焦点的坐标，由双曲线的定义可得，求得的值，即得结果． 【详解】由得，，，所以下焦点，上焦点为， 由双曲线的定义得， 当，，三点共线时，取得最小值9．故选：A． 【变式6-3】(2025·浙江绍兴·二模)已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C【难度】0.65【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、双曲线定义的理解 【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程()，可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则， 即；同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 【变式6-4】(24-25高二下·四川成都·阶段练习)过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为(    ) A．28 B．30 C．31 D．32 【答案】B【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、数量积的运算律、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由双曲线方程可知： 可知双曲线方程的左、右焦点分别为， 圆的圆心为(即)，半径为； 圆的圆心为(即)，半径为． 连接，则 可得 ，当且仅当为双曲线的右顶点时，取得等号， 即的最小值为30．故选：B． 【变式6-5】(24-25高二上·河南南阳·期中)已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为．故选：D. 【变式6-6】(2025高三·全国·专题练习)已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 . 【答案】6【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 设是的下焦点，则，由双曲线定义可得，如图：    所以，又， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是.故答案为：6 题型07 直线与双曲线的位置关系 【典例7-1】(24-25高三上·江苏镇江·阶段练习)双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为(   ) A． B．1 C． D．2 【答案】B【难度】0.85【知识点】双曲线的对称性、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据直角三角形的性质可得，由双曲线的定义及对称性可得，由此可求，进而可得的面积． 【详解】因为双曲线，所以，设左焦点为， 由题意可知，关于原点对称，所以， 由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得， 所以，可得， 又，所以， 所以的面积为．故选：B． 【典例7-2】(24-25高三上·河南·开学考试)已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点(点在的同一支上)，且，则(    ) A．6 B．8 C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】求双曲线的焦点坐标、求双曲线中的弦长、由向量共线(平行)求参数、根据韦达定理求参数【分析】首先由双曲线方程求出点的坐标，并设出过点的直线方程，然后借助直线与双曲线联立，得到和与积的关系，再由，得到的等量关系，从而解出的值，最后根据弦长公式求出得长. 【详解】由可得.根据对称性，不妨设过点的直线为， 联立可得.设，则.① 由，则，又所以.② 由①②可得，所以， 解得或(舍)，， 所以.故选：D. 【典例7-3】．(25-26高二上·全国·课后作业)已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线的对称性 【分析】方法一，由双曲线第三定义可求； 方法二，由离心率得，再由点差法和斜率公式可求. 【详解】方法一，  由双曲线的性质可得，且，． 方法二，  由题易知解得，双曲线的方程为． 由题知关于坐标原点对称，设，，， 由得．直线的斜率分别为，且， ，，，． 【变式7-1】(23-24高二下·广东·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则(    ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】A【难度】0.85【知识点】求直线与双曲线的交点坐标、数量积的坐标表示、求双曲线的焦点坐标 【分析】求出焦点坐标，再联立直线与双曲线方程，求出交点的坐标，再由数量积的坐标表示计算可得. 【详解】双曲线的左、右焦点分别为，， 由，解得或，所以，则，， 所以.故选：A 【变式7-2】(2024·全国·模拟预测)已知椭圆与双曲线有公共焦点，记与在轴上方的两个交点为，，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，若，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】求双曲线的焦距、双曲线的对称性、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】依题将椭圆与双曲线方程联立求出点坐标，计算出，再由两曲线共焦点得出，最后由双曲线的通径，代入，消去，得到，将值替换并化成的方程分解因式即得. 【详解】如图，由联立消去可得：，不妨设， 由题意，，则①； 又因椭圆与双曲线有公共的焦点，故有，即② 将代入可求得利用对称性可得③  ， 将① 、③代入可得， 化简得，将②式代入并化简，， 将代入并化简得，即， 分解因式得：，解得，舍去另两个负值.故选：D. 【变式7-3】(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，点P在C上且在第一象限内，设直线AP与BP的斜率分别为，，则的最小值为(    ) A． B． C．1 D．2 【答案】D【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、求双曲线的顶点坐标、直线斜率的定义 【分析】求出和两点的坐标，再设出点的坐标，写出两条直线的斜率，最后利用均值不等式即可求出. 【详解】由题意，双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，，， 设，则直线的斜率；直线的斜率，， 又因为点P在C上，，即，， 又P在第一象限，，，， 当且仅当，即，时，等号成立，的最小值为2.故选：. 【变式7-4】(2025·安徽合肥·模拟预测)已知双曲线(，)，斜率为1的直线l与双曲线C的两支分别交于M，N两点，且M，N的中点为，若右顶点A在以线段为直径的圆内，则此双曲线的实半轴a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、数量积、求双曲线的实轴、虚轴【分析】先应用点差法计算得出，再应用为直径应用数量积公式计算求解范围. 【详解】设，，则，， ，N两点均在双曲线C上，，由①-②得， 知，，即，即，， 设直线MN的方程为，即，联立得， 消去y并整理得，，则，． ， 令，解得或，因为故．故选:C． 【变式7-5】(2024·全国·模拟预测)已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，，则直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】设直线的方程，联立双曲线方程，设，可得根与系数的关系式，结合，推出，结合根与系数的关系式，化简求值，即可求得答案. 【详解】由题意知直线分别与双曲线的左、右两支交于点， 不妨设的斜率大于0，图形如图所示，    设直线的方程为，联立方程可得， 得，则需满足， 得.设，则，， ，O为的中点，是的中点，， ，， 化简得，由对称性可知直线的斜率为，故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用推出，进而结合根与系数的关系化简求值. 【变式7-6】(2025·湖南岳阳·三模)已知，分别是双曲线：(，)的左、右焦点，为双曲线右支上一点，的最小值为1，且当轴时，，则(    ) A．双曲线的焦距为4 B．双曲线的一条渐近线被圆：截得的弦长为2 C．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则 D．为圆：上一点，的最大值为3 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、已知方程求双曲线的渐近线、圆的弦长与中点弦、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值【分析】对于A，由题干条件可得，，再结合双曲线中的平方关系，联立可解得，则双曲线的焦距为，由此可判断A；对于B，由A可得双曲线的方程，进而得到渐近线方程，利用点到直线的距离公式和垂径定理可算得弦长，由此可判断B；对于C，由对称性取任意一条渐近线，先求出垂线方程，与渐近线方程联立求得垂足坐标，再利用两点间的距离公式即可判断；对于D，由双曲线的定义可知，再由三角形两边之和大于第三边可得，由此可判断D. 【详解】对于A，双曲线右支上点到右焦点的最小距离为右顶点到右焦点的距离，即， 当轴时，此时点的横坐标为，代入双曲线方程可得， 由双曲线中的平方关系，联立解得， 所以双曲线的焦距为，故A正确； 对于B，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 圆：的圆心为，半径为，且经过原点， 则圆和两条渐近线关于轴对称，二者所截的弦长相等，取其中一条渐近线， 则圆心到渐近线的距离为， 由垂径定理可知所截的弦长为，故B正确； 对于C，由对称性，过点作双曲线的一条渐近线的垂线， 则垂线方程为，与联立可解得垂足， 则，故C错误； 对于D，圆：的圆心为，半径为1， 由双曲线的定义可知， 则，当且仅当在线段的延长线上取等， 即的最大值为，故D正确.故选：ABD. 题型08 双曲线的弦中点问题 【典例8-1】(24-25高二上·福建泉州·期末)斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【详解】设，则，两式相减并化简得， (负根舍去).故选：B 【典例8-2】(2024·陕西西安·模拟预测)已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点(非顶点)，则的内切圆恒过定点(    )． A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由双曲线的几何性质，圆的切线长定理，可得的内切圆与的切点为定点. 【详解】双曲线，，则长轴长为，焦距为， 为双曲线右支上的动点(非顶点)，为双曲线的两个焦点， 设的内切圆与分别切于，如图所示，    则根据双曲线的定义及圆的性质可知：， 又，得，故为双曲线的右顶点. 同上分析，当双曲线方程为时， 为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点(非顶点)， 设的内切圆与分别切于， 可知为双曲线的右顶点，此时双曲线长轴长为，右顶点坐标. 所以此时的内切圆恒过定点.故选：B. 【典例8-3】(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，若(e为C的离心率)，O为坐标原点，G为的重心，则斜率的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】双曲线的离心率或离心率的取值范围、弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】由题可得直线的斜率，的中点为M，利用点差法可得，再得到斜率，利用基本不等式求最值即可. 【详解】，则，所以直线AB的斜率为． 设，，的中点为M，则点G在直线OM上，则，， 两式作差，得，即， 则， 当且仅当时等号成立，所以直线的斜率的最小值为．故选：B. 【变式8-1】(2024·陕西宝鸡·一模)设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】中点弦、斜率求参数、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、C：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于D：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点，设直线的斜率为， 可得，因为在双曲线上，则， 两式相减得，所以. 对于选项A： 可得，则，联立，消去y得， 此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则，联立，消去y得， 此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：，则，联立，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确； 对于选项D：可得，则；由双曲线方程可得， 则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；故选：C. 【变式8-2】(24-25高二上·湖北·期末)已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，求出弦的中点坐标，再利用点差法列式求出离心率. 【详解】设，中点，则，， ，两式相减得，经检验成立. 所以该双曲线的离心率为.故选：B 【变式8-3】(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末)已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则双曲线的实轴长为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线的实轴、虚轴、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据点差法，结合斜率公式可得，即可根据的关系求解. 【详解】设，则且，相减可得， 故， 故， 又，故，解得，故长轴长为，故选：B 【变式8-4】(24-25高二上·浙江杭州·期末)已知斜率为的直线过双曲线的左焦点F，且与C的左，右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率(    ) A．2 B． C．3 D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由此求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，得，设， 由均在上，为的中点，得， 则，由分别在的左右两支，得， 直线的斜率分别为，， 设直线的倾斜角为，由，得， 由是以为底边的等腰三角形，得， 直线的倾斜角为，其斜率， 所以椭圆的离心率为.故选：B 【变式8-5】(2025·河北·模拟预测)过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率(    ) A． B． C．2 D．3 【答案】C【难度】0.4【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】根据双曲线中点弦的性质，可得，进而可得弦的垂直平分线方程，求得，进而可得，，根据，可得离心率. 【详解】设，弦的中点为，离心率为， 则，同理. 由，两式相减整理得， 所以弦的垂直平分线方程为，令，得，则， 此时在的右侧，因为，所以， 所以，， 由，得，所以.故选：C. 【变式8-6】(2024·全国·模拟预测)已知双曲线，直线与双曲线交于A，B两点，为坐标原点，若点在直线上且直线OP把分成面积相等的两部分，则下列不能作为点的坐标的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】根据题意知为线段AB的中点，设出，两点坐标，及AB的中点坐标，直线方程为：，应用点差法求得，根据此关系式求出直线斜率，联立直线方程与双曲线方程，验证判别式求直线与双曲线交点个数即可判断选项作为点是否合适. 【详解】由题可得点为线段AB的中点， 选项A：数形结合可知，直线为直线时，点为AB的中点，故可以作为点的坐标； 已知双曲线，直线斜率存在时设直线方程为： 与双曲线交于，两点，AB的中点为，则，， 两式相减可得，得 选项B：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，，可以作为点的坐标； 选项C：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，，可以作为点的坐标； 选项D：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，，不能作为点的坐标．故选：D 题型09 定点、定值问题 【典例9-1】(23-24高二上·河南开封·期末)已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线中的定值问题 【分析】由双曲线方程求出其渐近线方程，设，进而表示出点到双曲线的两条渐近线的距离之积的表达式，结合在双曲线上，化简，即可得答案. 【详解】由双曲线的方程知，渐近线方程为，即， 设，由题意，得，即， 点到渐近线的距离，点到渐近线的距离， 所以．故选：C． 【典例9-2】(2025·山东泰安·三模)设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值(   ) A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 【答案】A【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、双曲线中的定值问题【分析】设点，由两点间的距离公式得到P到y轴的距离与P到，距离之和的比为，再结合双曲线的定义即可判断. 【详解】不妨设点，且易有，，且，， 代入得P到y轴的距离与P到，距离之和的比值为 ， 由于P为双曲线C上一点，故等价于点到与的距离之差的绝对值，由双曲线定义知其等于2，故原式等价于，为定值.故选：A. 【典例9-3】(23-24高三上·云南楚雄·期中)双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的定值问题、余弦定理解三角形 【分析】设，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在和中利用余弦定理，求出以及，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求得答案. 【详解】由题意结合双曲线定义可知，且， 不妨设，则，，，. 在中，，由余弦定理得， 即，即，解得. 在中，由余弦定理得， 即，即，结合， 即得，故得，即. 又可设，则， 而，故，故选：A 【点睛】解答本题的关键在于根据所给，分别在和中利用余弦定理，求出，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求解. 【变式9-1】(24-25高二上·全国·课后作业)已知为坐标原点，双曲线的离心率为2，虚轴长为为圆：上一点，过点作的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、由直线与圆的位置关系求参数、双曲线中的定值问题【分析】根据双曲线性质先确定双曲线方程，设Q坐标及切线方程，联立双曲线方程，借助韦达定理得，计算即可. 【详解】由题意得，又，所以，所以的方程为， 设，过点的切线方程为， 联立得，则，即， 又，所以，所以， 又，且，所以．故选：B 【变式9-2】(24-25高三上·天津河西·期末)已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线、根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题【分析】先得到和渐近线方程，并设点，则，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到双曲线方程. 【详解】由题意得，解得，双曲线渐近线方程为，即， 设点，则，即， 则到两渐近线方程的距离分别为， 所以，解得， 故双曲线方程为.故选：A 【变式9-3】(2025·内蒙古呼和浩特·一模)已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为(    ) A． B． C． D．不确定 【答案】A【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、正、余弦齐次式的计算、双曲线中向量点乘问题、双曲线中的定值问题 【分析】设点，利用点到直线的距离公式求出的值，利用三角恒等变换、诱导公式可求得的值，最后利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即，    设点，则，设点在直线、的射影点分别为、， 则，，所以，， 设直线的倾斜角为，则为锐角，且， 则，所以，， 因为，故，所以，， 由平面向量数量积的定义可得.故选：A. 【变式9-4】(24-25高二下·江苏南京·期中)已知O为坐标原点，离心率为3的双曲线左、右焦点分别为，过点且倾斜角为锐角的直线l与C的右支交于M，N两点．设△MF1F2与△NF1F2的内切圆圆心分别是P，Q，直线OP，OQ的斜率分别是，则＝() A．－4 B． C．4 D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、已知两点求斜率 【分析】根据双曲线的定义以及内切圆的性质可求出，假设直线的倾斜角为，则，进而在中可求出，进而可求，同理可求出，结合离心率进而求解 【详解】如图所示，设的内切圆和三边分别相切于点， 则， 又，所以，所以．所以， 设直线的倾斜角为，则由内切圆的性质可得， 在中，所以； 因为双曲线的离心率，所以 同理可得，所以；所以， 故选：A． 【变式9-5】(2024·黑龙江·二模)双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】双曲线定义的理解、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的定值问题【分析】设，由双曲线定义和题目条件，表达出，，，在中，由余弦定理得，则，在中，由余弦定理得，故，设，求出直线与的斜率之积为. 【详解】设，则，由双曲线定义得，， 在中，由余弦定理得，解得， 则，， 在中，由余弦定理得， 解得，则，， 设，则，将代入得， 则直线与的斜率之积为；故选：D 【变式9-6】(2024·浙江金华·模拟预测)已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线的斜率分别为，若，则(    ) A．直线过定点 B．为定值 C．的最大值为2 D．的最小值为4 【答案】BD【难度】0.15【知识点】椭圆中的直线过定点问题、求双曲线中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到方程，求出，证明椭圆在处的切线方程为，从而得到椭圆在点和的切线方程，得到切点弦方程为，即可判断A；对照系数结合得到的轨迹方程，计算出，，求出，即可判断B；得到点轨迹的渐近线，即可判断C；先得到，设，则，联立双曲线方程，由根的判别式得到不等式，即可判断D. 【详解】由于，故不关于轴对称且的横纵坐标不为0， 所以直线方程斜率一定存在，设直线的方程为， 联立得，， 设，则， 故， 其中，故，即，所以，解得， 下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下： 当时，故切线的斜率存在，设切线方程为， 代入椭圆方程得：， 由，化简得：， 所以， 把代入，得：，于是， 则椭圆的切线斜率为，切线方程为，整理得到， 其中，故，即， 当时，此时或， 当时，切线方程为，满足， 当时，切线方程为，满足， 综上：椭圆在处的切线方程为； 故椭圆在点的切线方程为，在点的切线方程为， 由于点为与的交点，故，， 所以直线为，因为直线的方程为，对照系数可得， 又，故，整理得， 又在第一象限，故点的轨迹为双曲线位于第一象限的部分， A选项，直线为，所以直线不过定点，故A错误； B选项，，同理可得，则， 为定值，故B正确； C选项，由于，，，故双曲线的一条渐近线为， 设，则，故无最大值，故C错误； D选项，由于，，，故，设，则， 则两式联立得，由得，， 检验，当时，，又， 解得，满足要求，故的最小值为4，D正确.故选：BD. 【点睛】结论点睛：过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：； 过椭圆上一点的切线方程为； 过椭圆外一点的切点弦方程为； 过双曲线上一点的切线方程为； 过双曲线外一点的切点弦方程为. 一、单选题 1.若双曲线的一个焦点为，则等于(   ) A． B． C． D．8 【答案】D【难度】0.94【来源】江苏省南京市秦淮中学2023-2024学年高二下学期2月期初数学试卷 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线标准方程和分析可得到答案. 【详解】根据双曲线标准方程特点分析可知，且，， 因为双曲线的一个焦点为，所以， 由知：，解得，故选：D 2.(2025·安徽·模拟预测)已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为(　　) A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】B【难度】0.85【知识点】求双曲线的实轴、虚轴 【分析】根据焦点坐标和渐近线方程列出方程组，求出即可得解. 【详解】由题意设双曲线的方程为，则， 解得，故所求实轴长为.故选：B . 3.(24-25高二上·湖北孝感·阶段练习)设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，由题意可得解得，故选：B． 4.(25-26高三上·北京·开学考试)若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线离心率公式可得，结合双曲线渐近线方程求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，解得：，所以双曲线的渐近线方程为；故选：C 5.(25-26高三上·广东深圳·开学考试)已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】根据三角形为等边三角形确定点的坐标，然后可求出的中点的坐标，然后将其代入双曲线中解得离心率. 【详解】因为，所以正三角形的边长为. 所以点在轴上，且，所以.所以的中点. 因为的中点在双曲线上，所以. 化简得，继续化简得，解得. 所以解得.故选：C. 6.(2025高三·全国·专题练习)已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D【难度】0.65【知识点】数量积的运算律、定点到圆上点的最值(范围)、求双曲线中的最值问题、向量与几何最值【分析】根据题设画出双曲线和圆，数形结合得，并确定，，即可得最大值. 【详解】如下图示，，，， 所以， 由图知：，且可以同时取到， 所以的最大值为.故选：D 7.(2025·四川凉山·三模)已知，，曲线与曲线无公共点，则曲线的离心率的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】求出曲线的渐近线方程，化简的方程可知曲线为双勾函数，要使曲线与曲线无公共点，则，由此求出，即可求出的离心率的取值范围. 【详解】曲线的渐近线方程为：， 可化简为：，所以曲线为双勾函数，其渐近线方程为， 所以要使曲线与曲线无公共点，如下图： 则，解得：，所以，所以线的离心率的取值范围为：. 故选：B. 8.(24-25高三下·江西·开学考试)已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，为双曲线的左焦点，延长至点，使，连接交轴于点，若，则该双曲线的离心率为(    ) A． B． C．2 D．3 【答案】C【难度】0.15【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用直线平行于轴，可得三角形相似，得出，再利用已知条件中的线段的关系进行转化列出等式，化简即可求解. 【详解】根据题意设，， ，其中， 则，，， 直线平行于轴，，， ，，， 即 ， 点在双曲线上，， ，.故选：C. 二、多选题 9.(23-24高二上·江苏泰州·期末)下列结论正确的是(    ) A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 【答案】AC【难度】0.85【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、椭圆上点到焦点的距离及最值【分析】利用椭圆和双曲线的定理逐个判断即可. 【详解】对于A：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，正确； 对于B：椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，B错误； 对于C：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为，C正确； 对于D：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为或，D错误.故选：AC. 10.(24-25高二下·福建福州·期末)已知曲线，则下列说法正确的是(    ) A．若，则C是圆 B．若，则C是双曲线 C．若，则C的离心率为 D．若，，则C上的点到焦点的最短距离为 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、判断方程是否表示双曲线 【分析】A选项，C是圆心为原点，半径为的圆；B选项，根据双曲线方程的特征进行判断； C选项，为焦点在轴上的椭圆，并求出离心率； D选项，C上的点到焦点的最短距离为，D正确. 【详解】A选项，时，，故C是圆心为原点，半径为的圆，A正确； B选项，若，当时，为焦点在轴上的双曲线， 当时，为焦点在轴上的双曲线，故B正确； C选项，若，则为焦点在轴上的椭圆，C的离心率为，C错误； D选项，若，，则为焦点在轴上的椭圆， 且焦点为，C上的点到焦点的最短距离为，D正确.故选：ABD 11.(2025·安徽滁州·一模)双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，直线，则( ) A．E的离心率 B．若直线l与E的左右两支均有交点，则m的取值范围为 C．若直线l与E的渐近线在y轴右侧交于M，N两点，则面积的最小值为 D．若直线l与E右支交于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，则 【答案】ABD【难度】0.15【知识点】求双曲线中的弦长、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中三角形(四边形)的面积问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】对于A：根据方程可得，即可得离心率；对于B：根据双曲线的几何意义分析判断；对于C：联立方程求M，N两点坐标，进而可得面积；对于D：联立方程，利用韦达定理求，求弦AB的垂直平分线和点P的坐标，进而可得结果. 【详解】对于双曲线E：，可知，，，则右焦点，渐近线方程为. 对于选项A：双曲线的离心率为，故A正确； 对于选项B：直线l：，过定点，斜率为，若直线l与双曲线E的左右两支均有交点，则直线l的斜率应满足，可得，故B正确； 对于选项C：联立，解得，联立，解得， 可取，， 由点M，N在y轴右侧，可得，解得或，即， 则，同理可得， 则， 因为，所以，故C错误； 对于选项D：联立，可得，设，， 则，可得， 设弦AB的中点为，则，， 可知弦AB的垂直平分线的斜率为，则弦AB的垂直平分线的方程为， 令，可得，即，则， ，所以，故D正确.故选：ABD. 三、填空题 12.(25-26高二上·全国·单元测试)与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 【答案】2【难度】0.85【知识点】求双曲线的实轴、虚轴、根据双曲线过的点求标准方程、求共渐近线的双曲线的标准方程【分析】设所求双曲线方程为，将点代入即可求解. 【详解】设所求双曲线方程为，将点代入双曲线方程得， 故双曲线方程为，则双曲线的实轴长为2．故答案为：2. 13.(24-25高二上·重庆·期中)如图，椭圆和双曲线的公共焦点分别为，是椭圆与双曲线的一个交点，则 . 【答案】【难度】0.85 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据椭圆和双曲线的定义得到的方程组，由此可求，则的结果可知. 【详解】由椭圆定义可知：，由双曲线定义可知：， 解得，所以，故答案为：. 14.(24-25高二上·广东·期中)如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为两曲线的一个公共点，且，I为的内心，，I，G三点共线，且，x轴上点A，B满足，，则的最小值为 ；的最小值为 . 【答案】【难度】0.15【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，进而根据余弦定理，结合离心率公式可得，即可利用基本不等式求解空1，根据内心的性质，结合椭圆定义和双曲线定义可得，，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】①依题意，椭圆与双曲线的焦距均为， 椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，不妨设点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得：，由椭圆的定义得：， 联立解得，又， 由余弦定理得：， 即，整理得：， 即，于是，， 当且仅当时取等号，所以的最小值为； ②为的内心，则为的角平分线， 由，得， 同理：，则，即， 因此，而，即，则， 为的内心，三点共线，即为的角平分线， 延长射线，连接，由点向作垂线，垂足分别为， 由，得，即为的角平分线， 则，即为的角平分线，则有， 又，于是，即， 而，即，则， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：；. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用. 四、解答题 15.(24-25高二上·江苏徐州·阶段练习)已知双曲线，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】(1)或(2)【难度】0.94【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围【分析】 (1)根据直线与双曲线只有一个公共点，所以联立方程组，若相切则即可，若不相切则直线与渐近线平行即可； (2)根据双曲线的定义和余弦定理即可求得三角形的面积. 【详解】(1)当时，，则直线l的方程为， 当时，联立方程组，得， 由直线和双曲线相切的条件，可得，解得； 双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； (2)由双曲线，则， 又点P在双曲线上，即，即， 在中，由余弦定理， 即，解得， 所以的面积. 16.(25-26高二上·全国·单元测试)已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)；(2).【难度】0.85【知识点】三角形面积公式及其应用、求椭圆的焦点、焦距、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】(1)求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. (2)利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】(1)椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. (2)设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 17.(25-26高二上·全国·单元测试)已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜；(3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 【答案】(1)(2)(3)【难度】0.65【知识点】求双曲线中的弦长、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、由弦中点求弦方程或斜率【分析】(1)根据题意可得，则．将点的坐标代入，求出即可；(2)由(1)求出焦点坐标，从而求出直线的方程为，将其与双曲线方程联立，通过韦达定理，弦长公式求解即可； (3)用点差法，设，，则两式相减后整理得即，即，即可求出直线OP的斜率. 【详解】(1)根据题意可得，则． 将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为． (2)由(1)得，即，则，则直线的方程为． 设，由得， ，所以． (3)设，则两式相减得． 设，则所以， 即，所以，即，所以直线OP的斜率．    18.(24-25高二下·陕西西安·期末)已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求的标准方程；(2)若，求直线的斜截式方程； (3)若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析【难度】0.65【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的直线过定点问题、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】(1)先由条件得到，利用两点式斜率公式求得，结合求出，即可得解； (2)利用点差法求直线的方程即可；(3)设直线，与双曲线方程联立，根据条件得，再通过计算得或，最后进行检验可得出定点. 【详解】(1)设双曲线的半焦距为，则，由题意， 当时，过点且垂直于轴的直线为， 将代入双曲线方程，得，解得；又，则， 又，所以，结合，得，解得或， 所以，所以双曲线的标准方程为； (2)易知直线的斜率存在，设， 则，作差可得，所以， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以，所以直线的斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即. (3)由，，三点不共线，故设直线， 联立，得，则，，， 因为，则，所以，则， 因，， 所以，即， 即，即， 得，解得或， 若，则直线，过点，不符合题意； 若，则直线，满足，则过定点，则直线过定点. 19.(2024·辽宁·一模)已知双曲线：(，)的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点. (1)求双曲线的方程；(2)证明：为直角三角形；(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围. 【答案】(1)(2)证明见解析(3)【难度】0.15【知识点】双曲线中的参数及范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、双曲线中的定值问题【分析】(1)设出、两点坐标，借助点差法计算即可得；(2)联立直线与双曲线方程，可得与、两点坐标有关韦达定理，通过计算即可得为直角三角形；(3)设直线方程为：，，，，结合题意计算可得，又，，可得，联立直线与渐近线方程，可得与两点坐标有关韦达定理，代入化简可得，结合面积公式计算即可用表示该三角形面积，构造相应函数借助对勾函数性质可得函数单调性即可得面积范围. 【详解】(1)设，，则，， ，两点在双曲线上， ，由①－②得，即，， ，即，， 又，，双曲线的方程为：； (2)由已知可得，直线的方程为：，即， 联立，，则，， ， ，为直角三角形； (3)由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0，故设直线方程为：， 设，，，，， ， 点在双曲线上，，， ③， 又，，，④， 联立，， ⑤，⑥， ，分别在第一象限和第四象限，，， 由④式得：，⑦， 将⑤⑥代入⑦得：，， 令，，由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， ，. 【点睛】关键点点睛：本题第(3)小问关键点在于借助向量的线性关系，结合点在对应曲线及直线上，通过计算用表示出该三角形面积，难点在于计算. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 双曲线 教学目标 1、理解双曲线第一定义，掌握双曲线的标准方程，理解双曲线与椭圆的联系与区别； 2、掌握双曲线的简单的几何性质，能用性质解决有关问题； 教学重难点 1、重点：双曲线定义及标准方程，双曲线的几何性质； 2、难点：双曲线定义的理解，双曲线离心率、渐近线的理解； 知识点01 双曲线概念 1.与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注意：如果没有绝对值，则仅表示双曲线的一支. 2.双曲线表示为集合：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，M点不存在． 【即学即练1-1】(25-26高二上·全国·课后作业)与圆及圆都内切的圆的圆心在(    ) A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【即学即练1-2】(24-25高二上·浙江·期中)对于方程，表示的曲线，下列说法正确的是 (    ) A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则曲线的焦点在轴上 知识点02 双曲线的标准方程 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 性质 图形 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0,a与b没有大小关系) 注意：1.谁的系数为正，焦点就在其对应轴上. 2.椭圆与双曲线统一方程： (1)当时，为椭圆； (2)当异号时，为双曲线。 【即学即练2-1】(25-26高二上·全国·课后作业)焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为(    ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(2025·天津·模拟预测)已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为(   ) A． B． C． D． 知识点03 双曲线的基本量 1.焦点在x轴时：焦点，实轴顶点，虚轴顶点； 焦点在y轴时：焦点，实轴顶点，虚轴顶点； 2.焦距2c，实轴2，虚轴2b； 【即学即练3-1】(2025·吉林·二模)已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为(    ) A．1 B．2 C．4 D．8 【即学即练3-2】(2024·浙江温州·一模)已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 . 知识点04 双曲线的焦半径、焦点弦、焦点三角形 1.双曲线上点P(x0，y0)与焦点F1，F2之间的距离叫做双曲线的焦半径，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|: (1); (2)，(P在右支)， ，(P在左支)， 2.若双曲线方程为，半焦距为，焦点， (1)过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为:, (2)双曲线焦点，过倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点， 则: (3)若AB是过焦点F的弦,设, AB在同支时, AB在两支时,;(设) (4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则△ABF2的周长为4a＋2|AB|． (5)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为， 异支的弦中最短的为实轴，长为2a. 3.双曲线的焦点三角形：,记，有以下结论成立: (1)； (2)焦点三角形的面积： . 【即学即练4-1】(24-25高二上·北京·阶段练习)已知，是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，若，则 . 【即学即练4-2】(2024·陕西西安·模拟预测)双曲线的焦点弦长为的弦有(    ) A．8条 B．4条 C．2条 D．1条 【即学即练4-3】(24-25高二上·上海·阶段练习)设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为 . 知识点05 双曲线的离心率 一般方法：根据条件，建立齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于e的方程求解． 1. ＝＝ (α,k为渐近线的倾斜角与斜率) 2. 焦点三角形中：P为双曲线上异于实轴端点的任一点,， 则； 3.过双曲线的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且＝λ, 则；即． (当双曲线焦点在轴上时，)；注:或者。 4. 若直线y＝kx与双曲线E交于A，B两点，P为双曲线上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝＝e2－1． 注：当焦点在y轴上时a，b对调． 5.直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与双曲线E交于A，B两点，P为弦AB的中点，k0，则k0·k＝＝e2－1． 注：当焦点在y轴上时a，b对调． 6.双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. 性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直； 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 7.与有相同离心率的双曲线方程为： 焦点在轴上时：; 焦点在轴上时：; 【即学即练5-1】(24-25高二下·湖南永州·期末)已知双曲线a的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C．2 D． 【即学即练5-2】(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，则双曲线离心率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 知识点06 双曲线的渐近线 1.与共轭的双曲线方程为， (1)它们有公共的渐近线； (2)四个焦点都在以原点为圆心，为半径的圆上； (3)。 2.与有相同的渐近线的双曲线方程为：； 3.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为:; 4.双曲线焦点到渐近线的距离总是:. 实轴顶点到渐近线的距离为:； 双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值: 【即学即练6-1】(25-26高二上·全国·单元测试)直线是双曲线的一条渐近线，则(    ) A．1 B．4 C．16 D．18 【即学即练6-2】(24-25高三下·河北保定·阶段练习)已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝(    ) A．1 B． C．－4 D．1或－4 知识点07 双曲线的弦中点问题(点差法) 双曲线中有关点差法的经典结论(以下双曲线均为:) (1)M是的不平行于对称轴的弦AB的中点，则； (2)过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有； (3)过双曲线上任一点任作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则(常数) 【即学即练7-1】(2025·内蒙古包头·二模)直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【即学即练7-2】(24-25高三上·贵州贵阳·期末)已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D． 知识点08 直线与双曲线的位置关系 1.判断方法一：通过解直线方程与双曲线方程联立得到的方程组进行判断. 判断方法二：通过直线与双曲线渐近线的位置关系进行判断. 2.弦长公式：， 或|AB|＝. 3.双曲线的切线： (1)以上点为切点的切线斜率为；则；切线方程:. (2)过外一点作两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2所在直线方程：. 【即学即练8-1】(24-25高二上·福建福州·期末)已知双曲线：(，)，两条直线，均过坐标原点，和交于，两点，和交于，两点.若的面积为，则的面积为 . 【即学即练8-2】(24-25高二上·四川成都·期末)已知椭圆的左右顶点分别为，，且，为上不同两点(，位于轴右侧)，，关于轴的对称点分别为为，，直线、相交于点，直线、相交于点，已知点，则的最小值为 ． 题型01 双曲线概念、基本量 【典例1-1】(2025·北京朝阳·一模)曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】(24-25高一下·上海奉贤·期中)若双曲线的一个焦点为，则 ． 【典例1-3】(2025高二·全国·专题练习)若点为直线上的任意一点，，，则下列结论中正确的是(    ) A． B． C． D．以上都有可能 【变式1-1】(23-24高二下·浙江·期中)“”是“方程表示的曲线是双曲线”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】(25-26高二上·全国·单元测试)已知方程表示双曲线，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【变式1-3】(24-25高二上·天津蓟州·阶段练习)若双曲线与的焦距相等，则椭圆的焦点坐标为 . 【变式1-4】(24-25高二上·全国·课后作业)对于方程表示的曲线，下列说法正确的是(    ) A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【变式1-5】(2024·北京房山·一模)在平面直角坐标系中，已知两点．若曲线C上存在一点P，使，则称曲线C为“合作曲线”，给出下列曲线：①；②；③．其中“合作曲线”是( ) A．①② B．②③ C．① D．② 【变式1-6】(23-24高二上·天津西青·期末)方程表示曲线的形状.①当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；②当时，方程表示焦点y在轴上的椭圆；③当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线；④当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.以上结论正确的序号是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．② 题型02 双曲线的标准方程 【典例2-1】(23-24高二上·吉林·阶段练习)如图，已知点，，从点同时出发的两个质点，均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，从运动到A，从运动到B，且到达A的时间比到达B的时间晚3秒，则的轨迹方程为 . 【典例2-2】(24-25高二上·全国·课后作业)已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为 . 【典例2-3】(22-23高三下·北京·开学考试)已知圆锥曲线的一个顶点为，焦距为4，则的值为(    ) A．7或1 B．或 C．7或 D．或1 【变式2-1】(24-25高二下·浙江·开学考试)已知双曲线的焦距为，则m的值为(   ) A．4 B．2 C．1 D． 【变式2-2】(2024高三·全国·专题练习)一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【变式2-3】(23-24高二上·北京·阶段练习)化简方程的结果是(    ) A． B． C． D． 【变式2-4】(24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习)一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A． B． C． D． 【变式2-5】(24-25高二上·河南平顶山·阶段练习)在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【变式2-6】(24-25高二上·全国·课后作业)已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是(   ) A． B． C． D． 题型03 双曲线的焦半径、焦点弦、焦点三角形 【典例3-1】(24-25高二上·浙江·阶段练习)已知双曲线的方程是，它的两个焦点分别是与是双曲线上的一点，且，则的值为(   ) A．1 B．13 C．1或13 D．4或10 【典例3-2】(24-25高二上·湖南·期中)设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【典例3-3】(24-25高二下·湖北·阶段练习)、是双曲线的上、下焦点，过的直线与的上、下两支分别交于、两点．若，，又，则双曲线的实轴长为(   ) A． B． C． D． 【变式3-1】(23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习)双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于(    ) A．9 B．9或1 C．1 D．6 【变式3-2】(2024·河北邢台·二模)若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的(    ) A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【变式3-3】(23-24高三下·上海·期中)设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则 . 【变式3-4】(24-25高二上·全国·课后作业)已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 . 【变式3-5】(24-25高二下·上海宝山·阶段练习)若椭圆()和双曲线()有相同的焦点和，而P是这两条曲线的一个交点，则的值是(    ) A． B． C． D． 【变式3-6】(24-25高二下·江苏南京·开学考试)设为曲线的左，右两个焦点，P是曲线与的一个交点，则的值为(    ) A． B． C． D． 题型04 双曲线的离心率 【典例4-1】(24-25高二上·天津滨海新·期中)双曲线的左焦点为，，点为双曲线右支上的动点且周长的最小值为14，则双曲线的离心率为(    ) A． B．2 C． D．3 【典例4-2】(2025·浙江·二模)如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 【典例4-3】(2025·湖南湘潭·一模)已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【典例4-4】(25-26高三上·重庆·阶段练习)已知双曲线，右焦点，过点且斜率为的直线交于、两点，且，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【变式4-1】(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是(    ) A． B．1 C． D．2 【变式4-2】(25-26高三上·广东肇庆·开学考试)若双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 【变式4-3】(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线，过原点的直线的倾斜角为，且，若与没有交点，则的离心率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式4-4】(2025·四川达州·模拟预测)已知双曲线(，)的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为(   ) A． B．2 C． D．4 【变式4-5】(25-26高三上·安徽·开学考试)已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【变式4-6】(25-26高三上·重庆·开学考试)已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点)的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C．2 D．3 【变式4-7】(2025·广东佛山·二模)已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 题型05 双曲线的渐近线 【典例5-1】(24-25高二下·河南洛阳·阶段练习)双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为(   ) A．1 B． C．2 D． 【典例5-2】(25-26高二上·全国·单元测试)已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为(    ) A． B． C．或 D．或 【典例5-3】(2025·山东聊城·模拟预测)已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 . 【变式5-1】(24-25高二下·贵州遵义·期末)已知双曲线，则它的渐近线方程为(   ) A． B． C． D． 【变式5-2】(25-26高三上·安徽·开学考试)已知双曲线C：(m＞0)的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【变式5-3】(24-25高三下·天津南开·阶段练习)设为双曲线的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为，且满足，则双曲线的焦距为(    ) A． B．2 C． D．4 【变式5-4】(25-26高二上·全国·课后作业)已知为双曲线上一点，分别为其左、右焦点，则下列说法正确的是(    ) A．有最大值 B．的内心到轴的距离为1 C．若为双曲线的右顶点，则点到一条渐近线的距离为 D．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值 【变式5-5】(2025·河南·二模)已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是(   ) A． B． C． D． 【变式5-6】(24-25高二上·湖北咸宁·期末)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则(    ) A．若到渐近线的距离为1，则 B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 C．若，则点的纵坐标为 D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，若，则曲线的渐近线方程为 题型06 与双曲线有关的最值与范围问题 【典例6-1】(23-24高二下·广西南宁·期末)若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为 ． 【典例6-2】(24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习)过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为(   ) A．10 B．11 C．12 D．15 【典例6-3】(2025高三·全国·专题练习)已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为(    )． A． B． C． D． 【变式6-1】(24-25高二下·福建宁德·开学考试)已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是 ． 【变式6-2】(2025高二·全国·专题练习)已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为(    ) A．9 B．8 C．7 D．6 【变式6-3】(2025·浙江绍兴·二模)已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．10 D．14 【变式6-4】(24-25高二下·四川成都·阶段练习)过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为(    ) A．28 B．30 C．31 D．32 【变式6-5】(24-25高二上·河南南阳·期中)已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式6-6】(2025高三·全国·专题练习)已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 . 题型07 直线与双曲线的位置关系 【典例7-1】(24-25高三上·江苏镇江·阶段练习)双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为(   ) A． B．1 C． D．2 【典例7-2】(24-25高三上·河南·开学考试)已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点(点在的同一支上)，且，则(    ) A．6 B．8 C． D． 【典例7-3】．(25-26高二上·全国·课后作业)已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式7-1】(23-24高二下·广东·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则(    ) A． B．0 C．1 D．2 【变式7-2】(2024·全国·模拟预测)已知椭圆与双曲线有公共焦点，记与在轴上方的两个交点为，，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，若，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【变式7-3】(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，点P在C上且在第一象限内，设直线AP与BP的斜率分别为，，则的最小值为(    ) A． B． C．1 D．2 【变式7-4】(2025·安徽合肥·模拟预测)已知双曲线(，)，斜率为1的直线l与双曲线C的两支分别交于M，N两点，且M，N的中点为，若右顶点A在以线段为直径的圆内，则此双曲线的实半轴a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式7-5】(2024·全国·模拟预测)已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，，则直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 【变式7-6】(2025·湖南岳阳·三模)已知，分别是双曲线：(，)的左、右焦点，为双曲线右支上一点，的最小值为1，且当轴时，，则(    ) A．双曲线的焦距为4 B．双曲线的一条渐近线被圆：截得的弦长为2 C．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则 D．为圆：上一点，的最大值为3 题型08 双曲线的弦中点问题 【典例8-1】(24-25高二上·福建泉州·期末)斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则(   ) A． B． C． D． 【典例8-2】(2024·陕西西安·模拟预测)已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点(非顶点)，则的内切圆恒过定点(    )． A． B． C． D． 【典例8-3】(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，若(e为C的离心率)，O为坐标原点，G为的重心，则斜率的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式8-1】(2024·陕西宝鸡·一模)设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是(    ) A． B． C． D． 【变式8-2】(24-25高二上·湖北·期末)已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 【变式8-3】(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末)已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则双曲线的实轴长为(    ) A． B． C． D． 【变式8-4】(24-25高二上·浙江杭州·期末)已知斜率为的直线过双曲线的左焦点F，且与C的左，右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率(    ) A．2 B． C．3 D． 【变式8-5】(2025·河北·模拟预测)过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率(    ) A． B． C．2 D．3 【变式8-6】(2024·全国·模拟预测)已知双曲线，直线与双曲线交于A，B两点，为坐标原点，若点在直线上且直线OP把分成面积相等的两部分，则下列不能作为点的坐标的是(    ) A． B． C． D． 题型09 定点、定值问题 【典例9-1】(23-24高二上·河南开封·期末)已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为(    ) A． B． C． D． 【典例9-2】(2025·山东泰安·三模)设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值(   ) A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 【典例9-3】(23-24高三上·云南楚雄·期中)双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为(    ) A． B． C． D． 【变式9-1】(24-25高二上·全国·课后作业)已知为坐标原点，双曲线的离心率为2，虚轴长为为圆：上一点，过点作的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，则(    ) A． B． C． D． 【变式9-2】(24-25高三上·天津河西·期末)已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式9-3】(2025·内蒙古呼和浩特·一模)已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为(    ) A． B． C． D．不确定 【变式9-4】(24-25高二下·江苏南京·期中)已知O为坐标原点，离心率为3的双曲线左、右焦点分别为，过点且倾斜角为锐角的直线l与C的右支交于M，N两点．设△MF1F2与△NF1F2的内切圆圆心分别是P，Q，直线OP，OQ的斜率分别是，则＝() A．－4 B． C．4 D． 【变式9-5】(2024·黑龙江·二模)双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为(   ) A． B． C． D． 【变式9-6】(2024·浙江金华·模拟预测)已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线的斜率分别为，若，则(    ) A．直线过定点 B．为定值 C．的最大值为2 D．的最小值为4 一、单选题 1.若双曲线的一个焦点为，则等于(   ) A． B． C． D．8 2.(2025·安徽·模拟预测)已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为(　　) A．3 B．6 C．4 D．8 3.(24-25高二上·湖北孝感·阶段练习)设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 4.(25-26高三上·北京·开学考试)若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 5.(25-26高三上·广东深圳·开学考试)已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是(   ) A． B． C． D． 6.(2025高三·全国·专题练习)已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．12 7.(2025·四川凉山·三模)已知，，曲线与曲线无公共点，则曲线的离心率的取值范围为(   ) A． B． C． D． 8.(24-25高三下·江西·开学考试)已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，为双曲线的左焦点，延长至点，使，连接交轴于点，若，则该双曲线的离心率为(    ) A． B． C．2 D．3 二、多选题 9.(23-24高二上·江苏泰州·期末)下列结论正确的是(    ) A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 10.(24-25高二下·福建福州·期末)已知曲线，则下列说法正确的是(    ) A．若，则C是圆 B．若，则C是双曲线 C．若，则C的离心率为 D．若，，则C上的点到焦点的最短距离为 11.(2025·安徽滁州·一模)双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，直线，则( ) A．E的离心率 B．若直线l与E的左右两支均有交点，则m的取值范围为 C．若直线l与E的渐近线在y轴右侧交于M，N两点，则面积的最小值为 D．若直线l与E右支交于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，则 三、填空题 12.(25-26高二上·全国·单元测试)与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 13.(24-25高二上·重庆·期中)如图，椭圆和双曲线的公共焦点分别为，是椭圆与双曲线的一个交点，则 . 14.(24-25高二上·广东·期中)如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为两曲线的一个公共点，且，I为的内心，，I，G三点共线，且，x轴上点A，B满足，，则的最小值为 ；的最小值为 . 四、解答题 15.(24-25高二上·江苏徐州·阶段练习)已知双曲线，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 16.(25-26高二上·全国·单元测试)已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 17.(25-26高二上·全国·单元测试)已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜；(3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 18.(24-25高二下·陕西西安·期末)已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求的标准方程；(2)若，求直线的斜截式方程； (3)若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 19.(2024·辽宁·一模)已知双曲线：(，)的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点. (1)求双曲线的方程；(2)证明：为直角三角形；(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 70 页 专题 3.2 双曲线 教学目标 1、理解双曲线第一定义，掌握双曲线的标准方程，理解双曲线与椭圆的联系与区别； 2、掌握双曲线的简单的几何性质，能用性质解决有关问题； 教学重难点 1、重点：双曲线定义及标准方程，双曲线的几何性质； 2、难点：双曲线定义的理解，双曲线离心率、渐近线的理解； 1.与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c>0)距离之差的绝对值为非零常数 2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注意：如果没有绝对值，则仅表示双曲线的一支. 2.双曲线表示为集合：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c为常数且 a>0，c>0. (1)当 2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； (2)当 2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； (3)当 2a>|F1F2|时，M点不存在． 【即学即练 1-1】(25-26 高二上·全国·课后作业)与圆  2 24 4x y   及圆 2 2 8 15 0x y x    都内切的圆的圆心 在( ) A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【答案】B【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设所求圆的圆心为 P，半径为 r，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】圆  2 24 4x y   的圆心为  1 4,0F  ，半径为 1 2r  ， 圆 2 2 8 15 0x y x    的标准方程为  2 24 1x y   ，圆心为  2 4,0F ，半径为 2 1r  ， 设所求圆的圆心为 P，半径为 r，如图所示， 1 2PF r  ， 2 1PF r  ， 第 2 页 共 70 页 所以 2 1PF PF ，且 2 1 1 21 8PF PF FF    ， 所以圆心 P的轨迹是以 1 2,F F 分别为左、右焦点的双曲线的左支．故选：B. 【即学即练 1-2】(24-25 高二上·浙江·期中)对于方程 2 2 π πtan 1, , 2 2 x y           ，表示的曲线C，下列说法 正确的是 ( ) A．曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若 为负角，则曲线C为双曲线 C．若 为正角，则曲线C为椭圆 D．若C为椭圆，则曲线C的焦点在 x轴上 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线、二元二次方程表示 的曲线与圆的关系【分析】对于 A，根据 0  的取值，即可判断；对于 B 若 为负角，即 π 02    ，结合 双曲线标准方程的形式，即可判断；对于 C，当 π 4   时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对于 D， 变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项. 【详解】对于 A，当 0  ，即 tan 0  时，曲线C的方程为 2 1x  ，即 1x   ， 此时曲线C为两条平行的直线，故 A 错误； 对于 B，若 为负角，即 π 02    ，则 tan 0  ，此时曲线C为双曲线，故 B 正确； 对于 C，若 为正角，即 π0 2   ，当 π 4   时， tan 1  ， 则曲线C的方程为 2 2x y 1，是圆，故 C 错误； 对于 D，若C为椭圆，当0 tan 1  ， 1 1 tan  ，又 2 2 1tanx y   可变形为 2 2 11 tan yx    ， 则C为焦点在 y轴上的椭圆，故 D 错误．故选：B. 标准方程 x 2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0) y 2 a2 － x2 b2 ＝1(a＞0，b＞0) 性质 图形 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或 x≥a，y∈R y≤－a或 y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 第 3 页 共 70 页 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段 A1A2，长：2a；虚轴：线段 B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝c a ∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±b a x y＝±a b x a，b，c关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0,a与 b没有大小关系) 注意：1.谁的系数为正，焦点就在其对应轴上. 2.椭圆与双曲线统一方程：mx2 + ny2 = 1 (1)当 m > 0, n > 0,m ≠ n时，为椭圆； (2)当 m, n异号时，为双曲线。 【即学即练 2-1】(25-26 高二上·全国·课后作业)焦点在 x轴上，焦距为 4 且离心率为 2 的双曲线的标准方程 为( ) A． 2 2 1 3 yx   B． 2 2 1 3 x y  C． 2 2 1 2 yx   D． 2 2 1 2 x y  【答案】A【难度】0.85【知识点】根据 a、b、c求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】由已知得 c，再由离心率和 , ,a b c关系求 ,a b，得到双曲线的标准方程. 【详解】 依题意， 2 4c  ， 2 ce a   ，解得 2c  ， 1a  ，所以 2 2 3b c a   ， 故该双曲线方程为 2 2 1 3 yx   ．故选：A. 【即学即练 2-2】(2025·天津·模拟预测)已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的左右焦点分别为 1 2,F F ，过点 1F 的 直线 2: 3 3 0x yl    与双曲线的左右两支分别交于点 A，B，且 2 2AF BF ，则该双曲线的方程为( ) A． 2 2 1 6 6 x y   B． 2 2 1 4 8 x y   C． 2 2 1 11 yx   D． 2 2 1 3 9 x y   【答案】A【难度】0.65【知识点】根据 a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线定义的理解 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线 l的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出 ,a b即可. 【详解】依题意， 1 2( 2 3,0), (2 3,0)F F ，直线 l的倾斜角为30o，即 1 2 30AFF   ， 取 AB的中点D，连接 2F D，由 2 2AF BF ，得 2DF AB ， 2 1| | 2 3,| | 6DF DF  ， 2 2 1| | | | 2 | |BF AF a AF   ， 1 2 1| | 2 | | 4 | |BF a BF a AF    ， 则 1 1 1 1| | | | (| | | |) 2 2 2 AD AB BF AF a    ， 2 1| | | | 6AF DF  ， 第 4 页 共 70 页 在 2Rt ADF 中， 2 2 2 22 22 | | | | 6 (2 3) 2 6a AF DF     ，解得 6, 6a b  ， 所以该双曲线的方程为 2 2 1 6 6 x y   .故选：A 1.焦点在 x轴时：焦点( ± c, 0)，实轴顶点( ± �, 0)，虚轴顶点(0, ± b)； 焦点在 y轴时：焦点(0, ± c)，实轴顶点(0, ± �)，虚轴顶点( ± b, 0)； 2.焦距 2c，实轴 2�，虚轴 2b； 【即学即练 3-1】(2025·吉林·二模)已知双曲线C的右焦点为 (2,0)F ，点 P在双曲线上且满足 PF x 轴，若 3PF  ，则双曲线C的实轴长为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据双曲线方程求 a、b、c、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】利用给定条件求出 (2,3)P ，再设出双曲线方程，求解基本量，得到实轴长即可. 【详解】因为 PF x 轴，且 3PF  ，双曲线C的右焦点为 (2,0)F ， 所以 (2,3)P ，设双曲线方程为 2 2 2 2 1 x y a b   ，且 2 2 4a b  ， 将 (2,3)P 代入双曲线方程，得到 2 2 4 9 1 a b   ，联立解得 1a  (负根舍去)， 则双曲线C的实轴长为 2，故 B 正确.故选：B 【即学即练 3-2】(2024·浙江温州·一模)已知椭圆   2 2 2 1 016 x y m m    和双曲线 2 2 1 8 yx   的焦点相同，则 m  . 【答案】 7 【难度】0.85【知识点】根据椭圆方程求 a、b、c、根据双曲线方程求 a、b、c 【分析】根据双曲线方程可得 3c  ，且焦点在 x轴上，再结合椭圆方程列式求解即可. 【详解】对于双曲线 2 2 1 8 yx   ，可知其半焦距 1 8 3c    ，且焦点在 x轴上， 对于椭圆可得 216 3c m   ，且 0m  ，解得 7m  .故答案为： 7 . 1.双曲线上点 P(x0，y0)与焦点 F1，F2之间的距离叫做双曲线的焦半径，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|: (1) ��1 − ��2 = 2�; (2) ��1 ��� = � + �， ��2 ��� = � − �(P 在右支)， ��1 ��� = � − �， ��2 ��� = � + �(P 在左支)， 2.若双曲线方程为 �2 �2 − � 2 �2 = 1(� > 0, � > 0)，半焦距为 c，焦点    1 2,0 , ,0F c F c ， (1)过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为: 2�2 � , (2)双曲线 �2 �2 − � 2 �2 = 1焦点    1 2,0 , ,0F c F c ，过 1F 倾斜角为 的直线 l交双曲线于 A、B 两点， 第 5 页 共 70 页 则: AB = 2��2 �2−�2���2� (�, �在同一支) 2��2 �2���2�−�2 (�, �分在两支) (3)若 AB 是过焦点 F 的弦,设 ,AF m BF n  , AB 在同支时, 1 � + 1 � = 2� �2 ; AB 在两支时,1 � − 1 � = 2� �2 ;(设m n ) (4)过双曲线焦点 F1的弦 AB与双曲线交在同支上，则△ABF2的周长为 4a＋2|AB|． (5)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2 a ， 异支的弦中最短的为实轴，长为 2a. 3.双曲线的焦点三角形：∆PF1F2,记∠F1PF2 = θ，有以下结论成立: (1) ��1 ��2 = 2�2 1−���� ； (2)焦点三角形的面积：�∆��1�2=� �� = �2 ����2 . 【即学即练 4-1】(24-25 高二上·北京·阶段练习)已知 1F ， 2F 是双曲线 2 2 1 4 6 x y   的两个焦点，点 P在双曲线 上，若 1 5PF  ，则 2PF  . 【答案】9【难度】0.85【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线方程求 a、b、c 【分析】由题设结合双曲线定义 1 2 2PF PF a  和焦半径的几何性质即可求解. 【详解】因为双曲线 2 2 1 4 6 x y   ，所以 2, 6a b  ，故 2 2 10c a b   ， 所以 1 2 2 4PF PF a   ，又 1 5 2 10PF a c     ， 所以 P在双曲线左支上， 2 9PF  .故答案为：9. 【即学即练 4-2】(2024·陕西西安·模拟预测)双曲线 2 2 : 1 4 5 x yC - = 的焦点弦长为 9 2 的弦有( ) A．8 条 B．4 条 C．2 条 D．1 条 【答案】B【难度】0.65【知识点】求双曲线的焦距、双曲线的对称性、双曲线中的通径问题 【分析】结合双曲线的通径、左右顶点的距离与对称性，分该弦与双曲线是否交于同一支讨论即可得. 【详解】由 2 2 : 1 4 5 x yC - = ，可得其通径为 22 2 5 95 2 2 b a     ，注意到左右顶点的距离为 92 4 2 a   ， 所以过一个焦点，可作满足题意与双曲线交于两支的弦有两条，交于一支的情况不存在， 结合双曲线的对称性，该双曲线满足题意的焦点弦共有 4 条.故选：B. 【即学即练 4-3】(24-25 高二上·上海·阶段练习)设 1F ， 2F 是双曲线 2 2: 1 3 yC x   的两个焦点，O为坐标原点， 点 P在双曲线 C上且 1 2PF PF ，则 1 2PFF 的面积为 . 【答案】3【难度】0.85【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线方程求 a、b、c 【分析】根据题意可得 1 2 4FF  ， 1 2 2PF PF  ，利用勾股定理可得 1 2 6PF PF  ，即可得面积. 第 6 页 共 70 页 【详解】由题意可知： 2 21, 3, 2a b c a b     ，则 1 2 2 4F F c  ， 1 2 2 2PF PF a   ， 若 1 2PF PF ，则  22 2 21 2 1 2 1 2 1 22PF PF PF PF PF PF FF      ， 即 1 24 2 16PF PF   ，可得 1 2 6PF PF  ，所以 1 2PFF 的面积为 1 2 1 3 2 PF PF  .故答案为：3. 一般方法：根据条件，建立齐次等量关系 f(a，b，c)＝0，再化归为关于 e的方程求解． 1. �双曲线 = � � = 1+ ( � � )2＝ 1＋k2＝ 1＋tan2α (α,k为渐近线的倾斜角与斜率) 2. 焦点三角形中：P 为双曲线� 2 �2 − � 2 �2 = 1(� > 0, � > 0)上异于实轴端点的任一点,∠PF1F2 = α, ∠PF2F1 = β， 则 e = sin(α+β) sinα−sinβ ； 3.过双曲线的焦点 F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交 A、B两点，且AF→＝λFB→(� > 0), 则 e = 1 + k2 λ−1 λ+1 ；即 | 1 || cos | | 1 | e      ． (当双曲线焦点在 y轴上时，e = 1 + ( 1 k )2 λ−1 λ+1 )；注:λ = AF BF 或者λ = BF AF 。 4. 若直线 y＝kx与双曲线 E交于 A，B两点，P为双曲线上异于 A，B的点，若直线 PA，PB的斜率存在， 且分别为 k1，k2，则 k1·k2＝ �2 �2 ＝e2－1． 注：当焦点在 y轴上时 a，b对调． 5.直线 y＝kx＋m(k≠0且 m≠0)与双曲线 E交于 A，B两点，P为弦 AB的中点，��� =k0，则 k0·k＝ �2 �2 ＝e2－1． 注：当焦点在 y轴上时 a，b对调． 6.双曲线 222 ayx  称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy  ，离心率 2e . 性质：a＝b;e＝ 2；渐近线互相垂直； 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 7.与� 2 �2 − � 2 �2 = 1有相同离心率的双曲线方程为： 焦点在 x轴上时：� 2 �2 − � 2 �2 = �(� > 0); 焦点在 y轴上时：� 2 �2 − � 2 �2 = �(� > 0); 【即学即练 5-1】(24-25 高二下·湖南永州·期末)已知双曲线 a的一个焦点为  2,0F ，且双曲线的渐近线与圆  2 22 3x y   相切，则双曲线C的离心率为( ) A． 2 3 3 B． 3 C．2 D． 2 3 【答案】C【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由直线与 圆的位置关系求参数【分析】已知双曲线 a的一个焦点为  2,0F ，可知焦点位于 x轴上，半焦距 2c  .设双 第 7 页 共 70 页 曲线方程为： 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     ，渐近线方程为 0bx ay  .根据圆的方程可知圆心为焦点  2,0F ，半 径为 3r  . 圆心到渐近线 0bx ay  的距离 d等于半径 r，根据点到直线距离公式得到 b，根据 2 2 2c a b  得到 a，从而计算出离心率. 【详解】已知双曲线 a的一个焦点为  2,0F ，故焦点位于 x轴上，半焦距 2c  . 设双曲线方程为： 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     ，渐近线方程为 0bx ay  . 已知圆得方程：  2 22 3x y   ，圆心即为焦点  2,0F ，半径为 3r  . 圆心到渐近线 0bx ay  的距离 d等于半径 r，由点到直线的距离公式可得： 2 2 2 2 2 0 2 b d bda b c c a b         ，代入 2c  得： 3d b  .由 2 2 2 1 0 c a b a a       . 所以离心率 2 2 1 ce a    .故选：C. 【即学即练 5-2】(2025 高三·全国·专题练习)已知双曲线   2 2 2 2 1 1 0， x y a b a b     的焦距为 2c，直线 l过点    ,0 , 0,a b ，且点  1,0 到直线 l的距离与点  1,0 到直线 l的距离之和 4 5 s c ，则双曲线离心率 e的取值范 围是( ) A． 51, 2       B． 5 ,2 2       C． 5 , 5 2       D． 2, 5   【答案】C【难度】0.65【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求点到直线的距离 【分析】由题可得 2s ab c  ，由 4 5 s c 可得 2 22 5 2 0a ab b   ，据此可得答案. 【详解】设直线 : 1 x yl a b   ，即 0bx ay ab   ．由点到直线的距离公式， 得点  1,0 到直线 l的距离  2 2 2 1b a d a b    ，点  1,0 到直线的距离  2 2 2 1b a d a b    . 因 1a  ，则 22 21 2 2ab ab ca b s d d     . 由 2 2 24 4 5 02 2 2 5 2 5 5 c cs ab c a bab b c a           2 2 0b a b a    2 2 2 2 2 1 52 1 0 2 5 2 4 b b b b a e a a a a                   ,则 5 e 5 2   .故选：C． 1.与� 2 �2 − � 2 �2 = 1共轭的双曲线方程为� 2 �2 − � 2 �2 =− 1， (1)它们有公共的渐近线； 第 8 页 共 70 页 (2)四个焦点都在以原点为圆心，r = c为半径的圆上； (3) 1 �1 2 + 1 �2 2 = 1。 2.与� 2 �2 − � 2 �2 = 1有相同的渐近线的双曲线方程为：� 2 �2 − � 2 �2 = �； 3.已知双曲线的渐近线方程为 0bx ay  ，则双曲线方程可设为:� 2 �2 − � 2 �2 = �(� ≠ 0); 4.双曲线焦点到渐近线的距离总是:b. 实轴顶点到渐近线的距离为: �� � ； 双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值: �2�2 �2 【即学即练 6-1】(25-26高二上·全国·单元测试)直线 2 0x y  是双曲线 2 2 1 9 x y m   的一条渐近线，则m  ( ) A．1 B．4 C．16 D．18 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程【分析】根据渐近线的求法可直接求解. 【详解】令双曲线方程等号右侧的 1 变为 0，可得双曲线的渐近线方程为 3 my x  ， 又直线 2 0x y  是双曲线的一条渐近线，所以 2 3 m  ，解得 18m  ．故选：D. 【即学即练 6-2】(24-25 高三下·河北保定·阶段练习)已知焦点在 y轴上的双曲线 2 2 2 13 4 x y m m    的两条渐近线 互相垂直，则 m＝( ) A．1 B． 12 C．－4 D．1 或－4 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知直线垂直求参数、已知方程求双曲线的渐近线、根据方程表示双曲 线求参数的范围【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线 2 2 2 13 4 x y m m    的焦点在 y轴上，所以  2 2 24 4a m m     ， 2 3b m= - ， 所以 2 3 0 4 0 m m     ，即 2m   .又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以 2 24 4 1 3 3 m m m m         ， 即 ( 1)( 4) 0m m   ，解得 4m   或 1m  (舍).故选：C. 双曲线中有关点差法的经典结论(以下双曲线均为:� 2 �2 − � 2 �2 = 1(� > 0, � > 0)) (1)M ),( 00 yx 是 �2 �2 − � 2 �2 = 1的不平行于对称轴的弦 AB 的中点，则��� ∙ ��� = �2 �2 ； (2)过原点的直线交双曲线于 A, B两点，P 点是双曲线上异于 A, B两点的任一点，则有��� ∙ ��� = �2 �2 ； (3)过双曲线上任一点 0 0 0( , )P x y 任作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则��� ∙ ��� =− �2 �2 (常数) 【即学即练 7-1】(2025·内蒙古包头·二模)直线 l与双曲线 2 2 1 4 x y  交于 ,P Q两点，线段 PQ的中点为  4,1M ， 则直线 l的方程为( ) 第 9 页 共 70 页 A． 3y x  B． 3y x   C． 5y x  D． 5y x   【答案】A【难度】0.85【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】由点差法求出直线 l的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ，因为线段 PQ的中点为  4,1M ，所以 1 2 8x x  ， 1 2 2y y  ， 所以 2 21 1 2 22 2 1 4 1 4 x y x y        ，两式相减可得： 2 2 2 21 2 1 24 4    x x y y ，即      1 2 1 2 1 2 1 24 x x x x y y y y      ， 所以 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4       y y y y x x x x ，即 1 2 1 2 1 y y x x    ，所以直线 l的斜率为1，所以直线 l的方程为： 1 4y x   ， 化简为： 3y x  ，经检验符合题意.故选：A. 【即学即练 7-2】(24-25 高三上·贵州贵阳·期末)已知双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   与直线 1y x  相交于 A，B两点，其 中 AB中点的横坐标为 2 ，则该双曲线的离心率为( ) A． 10 2 B． 5 2 C． 6 2 D． 3 2 【答案】A【难度】0.65【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、求双曲线的离心率或离心率 的取值范围【分析】设    1 1 2 2, , , ,A x y B x y AB中点为M ，根据易知确定M 坐标值，再应用点差法及直线斜 率的两点公式得到 2 2 2 3 0 a b    ，进而得到双曲线参数的齐次方程求离心率. 【详解】设    1 1 2 2, , , ,A x y B x y AB中点为M ，由题设易知 2Mx   ，故 3My   ， 因为 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 21, 1 x y x y a b a b     ，故        1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0 x x x x y y y y a b       ，所以        1 2 1 2 2 2 4 6 0 x x y y a b         ， 而 1 2 1 2 1AB y yk x x     ，故 2 2 2 3 0 a b    ，故 2 2 2 22 3 2 2b a c a   ，故 10 2 c a  .故选：A 1.判断方法一：通过解直线方程与双曲线方程联立得到的方程组进行判断. 判断方法二：通过直线与双曲线渐近线的位置关系进行判断. 2.弦长公式： �� = 1 + �2 ∙ �1 − �2 = 1+ �2 ∙ (�1 + �2)2 − 4�1�2， 或|AB|＝ 1+ ( 1� ) 2 ∙ �1 − �2 = 1+ 1 k2 ∙ (y1 + y2)2 − 4y1y2. 3.双曲线的切线： (1)以 �2 �2 − � 2 �2 = 1(� > 0, � > 0)上点P(x0, y0)为切点的切线斜率为 k；则 k ∙ kOA =− b2 �2 ；切线方程: �0� �2 − �0� �2 = 1. 第 10 页 共 70 页 (2)过� 2 �2 − � 2 �2 = 1外一点 P(x0, y0)作两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2所在直线方程： �0� �2 − �0� �2 = 1. 【即学即练 8-1】(24-25 高二上·福建福州·期末)已知双曲线C： 2 2 2 2 1 x y a b   ( 0a  ， 0b  )，两条直线 1l ， 2l 均 过坐标原点O， 1l 和C交于M ，N两点， 2l 和C交于 P，Q两点.若 OQN△ 的面积为 3，则 MNP△ 的面积 为 . 【答案】 2 3【难度】0.85【知识点】求双曲线中三角形(四边形)的面积问题 【分析】根据对称性，结合图象来求得正确答案. 【详解】由于  ,x y 和  ,x y  都符合 2 2 2 2 1 x y a b   ，所以曲线C的图象关于原点对称， 由此画出曲线C的大致图象如下图所示，两条直线 1l 、 2l 均过坐标原点O，所以 M、N两点关于原点对称， P、Q两点关于原点对称，根据对称性，不妨设 , , ,M N P Q位置如图， 可知 ,OP OQ OM ON  ， POM QON  ，所以 OPM OQN△ △ ，所以 3OQN OPMS S △ △ ， 而 OQM 和 OQN△ 等底等高，面积相同，所以 3OQMS △ ，所以 2 3MNQS △ .故答案为： 2 3 . 【即学即练 8-2】(24-25 高二上·四川成都·期末)已知椭圆 2 2: 1 3 xE y  的左右顶点分别为 1A， 2A ，且 B，C为 E上不同两点( B，C位于 y轴右侧)，B，C关于 x轴的对称点分别为为 1B ， 1C ，直线 1BA、 1 2B A 相交于点 P， 直线 1CA、 1 2C A 相交于点Q，已知点  2,0M  ，则 PM QM PQ     的最小值为 ． 【答案】 4 3【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据 a、b、c 求椭圆标准方程 【分析】根据题意，求得点 P，Q的轨迹为双曲线 2 2 1 3 x y  的右支，进而根据双曲线的性质得解． 【详解】设点  ,B m n ，则  1 : 33 nA B y x m    ，  2 1 : 33 nA B y x m     ， 则      2 2 2 23 3 333 3 n n ny x x x mm m          ， 2 2 1 3 m n  ， 2 2 1 3 3 n m    ，点 P的轨迹方程为  2 21 33y x  ，即点 P的轨迹方程为   2 2 1 0 3 x y y   ， 同理可得，点Q也在双曲线   2 2 1 0 3 x y y   上， 点  2,0M  恰为双曲线 2 2 1 3 x y  的左焦点，双曲线 2 2 1 3 x y  的右焦点为  2,0N ， 第 11 页 共 70 页 根据双曲线定义可得： 2 3 2 3 4 3PM QM PQ PN QN PQ           ， 当且仅当 , ,N P Q三点共线时 PN QN PQ  ，即得 4 3PM QM PQ      ， PM QM PQ      的最小值为4 3．故答案为:4 3． 题型 01 双曲线概念、基本量 【典例 1-1】(2025·北京朝阳·一模)曲线 2 2: 1C mx ny  ，则“ 0n m  ”是“C为焦点在 x轴上的双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断方程是否表示双曲线 【分析】结合双曲线的标准方程，直接判断命题的充分性和必要性即可. 【详解】若 0n m  ，则 1 10 n m   ，所以 2 2: 1C mx ny  ，即 2 2 11 1 x y m n   ， 所以C为焦点在 x轴上的双曲线；若C为焦点在 x轴上的双曲线， 则对于 2 2: 1C mx ny  ，即 2 2 11 1 x y m n   ，可得 1 10, 0 m n   ，即 0m  且 0n  ，不一定得到 0n m  ， 综上，“ 0n m  ”是“C为焦点在 x轴上的双曲线”的充分不必要条件.故选：A 【典例 1-2】(24-25 高一下·上海奉贤·期中)若双曲线 2 2 1 4 x y k   的一个焦点为  2 2,0 ，则 k  ． 【答案】 4【难度】0.85【知识点】根据双曲线方程求 a、b、c【分析】根据双曲线 2 2 2c a b  即可求解． 【详解】由题得， ( ) 2 4 2 2 4k k+ = Þ = ，故答案为：4． 【典例 1-3】(2025 高二·全国·专题练习)若点 P为直线 3 4 y x 上的任意一点，  1 5,0F  ，  2 5,0F ，则下列结 论中正确的是( ) A． 1 2 8PF PF  B． 1 2 8PF PF  C． 1 2 8PF PF  D．以上都有可能 【答案】C【难度】0.65【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】根据双曲线的定义求解出双曲线的方程，然后结合双曲线的渐近线的几何特征得到结果即可. 【详解】若 1 2 8PF PF  ，则点 P的轨迹是以  1 5,0F  ，  2 5,0F 为焦点的双曲线，其方程为 2 2 1 16 9 x y   ． 因为 3 4 y x 是该双曲线的一条渐近线，整条直线在双曲线的外部区域，所以 1 2 8PF PF  ，故选：C． 第 12 页 共 70 页 【变式 1-1】(23-24 高二下·浙江·期中)“ 1m  ”是“方程 2 2 1 1 3 x y m m     表示的曲线是双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断命题的充分不必要条件、判断方程是 否表示双曲线、充要条件的证明 【分析】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解. 【详解】若 1m  ，则 1 0, 3 0m m    ，所以方程 2 2 1 1 3 x y m m     表示双曲线； 若方程 2 2 1 1 3 x y m m     表示双曲线，则 ( 1)( 3) 0m m   ，解得 3m   或 1m  ， 所以“ 1m  ”是“方程 2 2 1 1 3 x y m m     表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A 【变式 1-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知方程 2 3 x m   2 1 5 y m   表示双曲线，则m的取值范围为( ) A． ( 5, 3)  B． ( , 5) ( 3, )    C． (3,5) D． ( ,3) (5, )   【答案】B【难度】0.94【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】利用双曲线的标准方程即可得到结果. 【详解】因为方程 2 2 1 3 5 x y m m     表示双曲线，所以 (3 ) ( 5) 0m m    ，解得 5m   或 3m   ， 故m的取值范围为 ( , 5) ( 3, )    ．故选：B. 【点睛】对方程 2 2 1( 0)x y mn m n    ，我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要对参数 m，n进行讨 论．只有 0mn  时，方程才表示双曲线，且当 0, 0 m n    时，焦点在 x轴上；当 0, 0 m n    时，焦点在 y轴上． 【变式 1-3】(24-25 高二上·天津蓟州·阶段练习)若双曲线 2 2 2 120 x y m   与 2 2 2 14 y x n   的焦距相等，则椭圆 2 2 2 2 1 x y m n   的焦点坐标为 . 【答案】  0, 4 【难度】0.85【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线方程求 a、b、c 【分析】根据双曲线可得 2 2 16 0n m   ，可知可知椭圆焦点在 y轴上，且 4c  ，即可得结果. 第 13 页 共 70 页 【详解】因为 2 2 2 120 x y m   与 2 2 2 14 y x n   的焦距相等，则 2 220 4m n   ，可得 2 2 16 0n m   ，即 2 2n m ， 对于椭圆 2 2 2 2 1 x y m n   可知其焦点在 y轴上，且 2 2 4c n m   ，所以椭圆的焦点坐标为  0, 4 . 故答案为：  0, 4 . 【变式 1-4】(24-25 高二上·全国·课后作业)对于方程 2 2 π πsin 1 , 2 2 x y            表示的曲线C，下列说法正 确的是( ) A．曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若 为负角，则曲线C为双曲线 C．若 为正角，则曲线C为椭圆 D．若C为椭圆，则其焦点在 x轴上 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断方程是否表示椭圆、圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断方 程是否表示双曲线【分析】对 A，根据 0  的取值，即可判断选项.；对 B 若 为负角，即 π 0 2    ，双 曲线标准方程的形式，即可判断；对 C，当 π 2   时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对 D，变形后 结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项. 【详解】对 A，当 0  ，即 sin 0  时，曲线C的方程为 2 1, 1x x   ， 此时曲线C为两条平行的直线，故 A 错误； 对 B，若 为负角，即 π 0 2    ，则 sin 0  ，此时曲线C为双曲线，故 B 正确； 对 C，若 为正角，即 π0 2   ，当 π 2   时， sin 1  ，则曲线C的方程为 2 2x y 1，是圆，故 C 错误； 对 D，若C为椭圆，则 10 sin 1, 1 sin      ，又 2 2sin 1x y   可变形为 2 2 11 sin yx    ， 则C为焦点在 y轴上的椭圆，故 D 错误．故选：B． 【变式 1-5】(2024·北京房山·一模)在平面直角坐标系中，已知 ( 1,0), (1,0)A B 两点．若曲线 C上存在一点 P， 使 0PA PB    ，则称曲线 C为“合作曲线”，给出下列曲线：① 2 22 1y x  ；② 2 22 1x y  ；③ 2 4x y  ．其 中“合作曲线”是( ) A．①② B．②③ C．① D．② 【答案】A【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程、判断方程是否表示椭圆、判断直线与圆的位置关系、 判断方程是否表示双曲线【分析】根据题意，设点  ,P x y ，由“合作曲线”的定义可知，曲线C上存在点  ,P x y ， 使得 2 2 1x y  ，然后逐一判断，即可得到结果. 【详解】设点  ,P x y ，则    1 , , 1 ,PA x y PB x y         ，由 0PA PB    可得 2 21 0x y    ，即 2 2 1x y  ， 即曲线C上存在点  ,P x y ，使得 2 2 1x y  ，即为“合作曲线”， 对于①，由双曲线 2 22 1y x  可得 2 , 1 2 a b  ，则存在点 P满足 2 2 1x y  ，故①为“合作曲线”； 第 14 页 共 70 页 对于②，由椭圆 2 22 1x y  可得 21, 2 a b  ，则存在点 P满足 2 2 1x y  ，故②为“合作曲线”； 对于③，因为圆心  0,0 到直线 2 4x y  的结论 4 15d   ， 故直线 2 4x y  上不存在一点 P满足 2 2 1x y  ，故③不为“合作曲线”；故选：A 【变式 1-6】(23-24 高二上·天津西青·期末)方程 2 2cos 1x y   表示曲线的形状.①当 π0 2   时，方程表示 焦点在 x 轴上的椭圆；②当 π0 2   时，方程表示焦点 y在轴上的椭圆；③当 2    时，方程表示焦点 在 y 轴上的双曲线；④当 2    时，方程表示焦点在 x 轴上的双曲线.以上结论正确的序号是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．② 【答案】A【难度】0.65【知识点】判断方程是否表示椭圆、已知角确定三角函数式的符号、判断方程是否 表示双曲线【分析】利用角的范围可求得 cos的符号，再依据椭圆以及双曲线的标准方程即可出结论. 【详解】若cos 0  ，将 2 2cos 1x y   可整理成 2 2 11 cos x y    ， 当 π0 2   时，可知  cos 0,1  ，则  1 1, cos     ，即 1 1 cos  ；由椭圆标准方程可知 2 2 1 , 1 cos a b    ， 即当 π0 2   时，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆；所以①正确，②错误； 当 2    时，  cos 1,0   ， 1 0 cos  ；由双曲线标准方程可得 2 2 11 cos x y    的实轴在 y轴上， 所以当 2    时，方程表示焦点在 y轴上的双曲线，即③正确，④错误；即①③正确.故选：A 题型 02 双曲线的标准方程 【典例 2-1】(23-24 高二上·吉林·阶段练习)如图，已知点  0,4A ，  0, 4B  ，从点C同时出发的两个质点M ， N均以每秒 2 个单位长度的速度做匀速直线运动，M 从C运动到 A，N从C运动到 B，且M 到达 A的时间 比N到达 B的时间晚 3 秒，则C的轨迹方程为 . 【答案】   2 2 1 0 9 7 y x y   【难度】0.85【知识点】利用定义求方程【分析】分析点 C到点 A、B的距离之 差，即可判断出 C的轨迹为以 A，B为焦点，且实轴长为 6 的双曲线的下支，即可求出 C的轨迹方程. 第 15 页 共 70 页 【详解】 2 3 6 8CA CB AB      ，所以C的轨迹是以 A，B为焦点，且实轴长为 6 的双曲线的下支. 由 3a  ， 4c  ，得 2 2 2 7b c a   ，所以C的轨迹方程为   2 2 1 0 9 7 y x y   .故答案为：   2 2 1 0 9 7 y x y   . 【典例 2-2】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知双曲线 2 2 2 1( 0)8 x y a a    的左、右焦点分别为 1 2,F F ，过 1F 的 直线与双曲线右支交于A点，若 2F 在线段 1AF 的中垂线上，且 1 8AF  ，则双曲线的方程为 . 【答案】 2 2 1 8 yx   【难度】0.85【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线方程求 a、b、c【分析】根据 已知可得 2 1 2 2AF FF c  ，再结合双曲线定义得出 4 c a  ，计算求出 1a  ，即得双曲线方程. 【详解】由过 1F 的直线与双曲线右支交于A点，若 2F 在线段 1AF 的中垂线上， 可知 2 2 1 2 2 , 8  AF FF c b ，则 1 2 8 2 2   AF AF c a，即 4 c a  ， 又因为 2 2 2a b c  ，得  22 8 4a a   解得 1a  ，故双曲线方程为 2 2 1 8 yx   .故答案为： 2 2 1 8 yx   . 【典例 2-3】(22-23 高三下·北京·开学考试)已知圆锥曲线 2 2: 1C mx ny  的一个顶点为 (0, 3)，焦距为 4，则 m的值为( ) A．7 或 1 B． 1 7 或 1 C．7 或 1 D． 1 7 或 1 【答案】B【难度】0.65【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据方程表示椭圆求参数的范围、根据方 程表示双曲线求参数的范围、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】先代入点 (0, 3)坐标待定 n，再分类讨论根据焦距求m即可. 【详解】将 (0, 3)代入曲线方程 2 2: 1C mx ny  ，解得 1 3 n  ；故曲线方程为 2 2 1 3 ymx   . 由焦距为 4，得 2c  ， 2 4c  .由题意知 0m  ，且m 1 3  ，方程可化为 2 2 11 3 x y m   ， 当 0m  时，曲线C为椭圆， 2 4 3c   ,故焦点在 x轴上，故 2 2 1 , 3a b m   ，则 2 1 3 4c m    ，解得 1 7 m  ； 当 0m  时，曲线C为双曲线，且焦点在 y轴上，双曲线C的标准方程为 2 2 113 y x m    ， 所以 2 2 13,a b m    ，则有 2 13 4c m         ，解得 1m   ； 综上所述， 1 7 m  或 1 .故选：B. 【变式 2-1】(24-25 高二下·浙江·开学考试)已知双曲线 2 2 1 2 y x m   的焦距为 2 3，则 m的值为( ) A．4 B．2 C．1 D． 2 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据双曲线方程求 a、b、c 第 16 页 共 70 页 【分析】根据已知条件得出 3c  及双曲线的性质，即可求出 m的值. 【详解】由焦距为 2 2 3c  ， 3c  ，则 2 2 3c m   ，解得： 1m  ，故 m的值为 1.故选：C. 【变式 2-2】(2024 高三·全国·专题练习)一动圆过定点  4,0A  ，且与圆 B： 2 24 16x y   相外切，则动圆 圆心的轨迹方程为( ) A．   2 2 1 2 4 12 x y x    B．   2 2 1 2 4 12 y x y    C． 2 2 1 4 12   x y D． 2 2 1 4 12 y x   【答案】A【难度】0.65【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、利用双曲线定义求方程【分析】设  ,P x y ， 根据圆过点  4,0A  及与圆 B外切得 4PB PA  ，利用双曲线的定义即可求解轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为点  ,P x y ，连接 PB，PA，则 4PB PA  ，则 4 8PB PA AB    ， 所以点 P的轨迹是以  4,0A  ，  4,0B 为焦点，且实轴长为 4 的双曲线的左支． 设双曲线的实半轴长为 a，虚半轴长为b，则 2a  ， 2 2 24 12b a   ． 所以动圆圆心的轨迹方程为   2 2 1 2 4 12 x y x    ．故选：A 【变式 2-3】(23-24 高二上·北京·阶段练习)化简方程    2 22 25 5 8x y x y      的结果是( ) A． 2 2 1 4 3 x y   B． 2 2 1 9 16 x y   C． 2 2 625 1 1 x y   D． 2 2 1 16 9 x y   【答案】D【难度】0.85【知识点】利用双曲线定义求方程【分析】由双曲线定义即可求解. 【详解】设动点      , , 5,0 , 5,0P x y A B ，则由题意可得 8PA PB  ， 所以动点 P到两个定点 ,A B的距离的差的绝对值等于常数 8，又 10 8AB   ， 所以由双曲线定义可知 P点的轨迹是以 ,A B为焦点，实轴长为 2 8a  的双曲线， 所以 2 10c  ， 2 2 2 2 25 4 9b c a     ，所以双曲线的方程为 2 2 1 16 9 x y   .故选：D. 【变式 2-4】(24-25 高二上·湖南邵阳·阶段练习)一动圆 P过定点  3,0M  ，且与已知圆 N： 2 23 16x y   外切，则动圆圆心 P的轨迹方程是( ) A．   2 2 1 2 4 5 x y x   B．   2 2 1 2 4 5 x y x   C．   2 2 1 2 4 5 x y x    D．   2 2 1 2 4 5 x y x    【答案】C【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心 P的轨迹，然后再求方程即可. 【详解】圆 P与圆C外切，如图， 4PN PM   ，即 4PN PM  ， 第 17 页 共 70 页 0 6PN PM MN    ，点 P的轨迹是以 ,M N为焦点， 4为实轴长的双曲线的左支， 其中 2a  ， 3c  ， 2 2 2 9 4 5b c a      ．故所求轨方程为：   2 2 1 2 4 5 x y x    ． 故选：C． 【变式 2-5】(24-25 高二上·河南平顶山·阶段练习)在平面直角坐标系中，已知 ABCV 的顶点    2,0 , 2,0A B ， 其内切圆圆心在直线 1x  上，则顶点C的轨迹方程为( ) A． 2 2 1( 1) 4 5 x y x   B． 2 2 1( 1) 3 yx x   C． 2 2 1(0 1) 9 5 x y x    D． 2 2 1(0 1) 9 4 x y x    【答案】B【难度】0.85【知识点】根据 a、b、c 求双曲线的标准方程、利用双曲线定义求方程 【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案. 【详解】如图，设 ABCV 与圆的切点分别为 , ,D E F，则有 2, 1,AD AE BF BE CD CF     ， 所以 3 1 2CA CB    .所求轨迹是以 ,A B为焦点，实轴长为 2 的双曲线的右支(右顶点除外)， 即 2 1c a 、 ，又 2 2 2c a b  ，所以 2 3b  ，所以方程为 2 2 1( 1) 3 yx x   .故选：B. 【变式 2-6】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知双曲线的两个焦点为  1 10,0F  ，  2 10,0F ，M是此双曲 线上的一点，且满足 1 2 0MF MF    ， 1 2 2MF MF    ，则该双曲线的方程是( ) A． 2 2 1 9 x y  B． 2 2 1 9 yx   C． 2 2 1 3 7 x y   D． 2 2 1 7 3 x y   【答案】A【难度】0.65【知识点】根据 a、b、c求双曲线的标准方程、向量夹角的计算、利用双曲线定义 求方程【分析】由 1 2 0MF MF    ，可得 1 2MF MF 进一步求出 2 2 2 1 2 1 1 2 2(| | | |) | | 2 | | | | | | 40 2 2 36MF MF MF MF MF MF        ，由此得到 3a  ，则该双曲线的方程可求． 【详解】 1 2 0MF MF    ， 1 2MF MF   即 1 2MF MF ， 2 21 2| | | | 40MF MF  ． 则 2 2 21 2 1 1 2 2(| | | |) | | 2 | | | | | | 40 2 2 36MF MF MF MF MF MF        ． 1 2| | | | 6 2MF MF a    ．即 3a  ． 10c  ， 2 2 2 1b c a    ．则该双曲线的方程是： 2 2 1 9 x y  ．故选：A 题型 03 双曲线的焦半径、焦点弦、焦点三角形 【典例 3-1】(24-25 高二上·浙江·阶段练习)已知双曲线的方程是 2 2 1 9 16 x y   ，它的两个焦点分别是 1F 与 2 ,F M 是双曲线上的一点，且 1 7MF  ，则 2MF 的值为( ) A．1 B．13 C．1 或 13 D．4 或 10 【答案】B【难度】0.85【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线方程求 a、b、c 第 18 页 共 70 页 【分析】根据题意，由条件可得M 是双曲线左支上的点，再由双曲线的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】由双曲线的标准方程 2 2 1 9 16 x y   可得 2 2 2 9 16 25 a b c       ，则 3 4 5 a b c      ， 则 18 7a c MF    ，所以点M 是双曲线左支上的点， 由双曲线的定义可得 2 1 2 6MF MF a   ，所以 2 13MF  .故选：B 【典例 3-2】(24-25 高二上·湖南·期中)设 1F ， 2F 为双曲线 2 2 1 2 x y  的两个焦点，点 P是双曲线上的一点， 且 1 2 90F PF   ，则 1 2F PF 的面积为 . 【答案】1【难度】0.85【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线方程求 a、b、c 【分析】根据题意结合双曲线对于可得 1 2 2 2PF PF  ， 1 2 2 3FF  ，结合勾股定理可得 1 2 2PF PF  ， 即可得面积. 【详解】由双曲线方程可得 2 22, 1, 3a b c a b     ，不妨设 1 2PF PF ， 则 1 2 2 2 2PF PF a   ， 1 2 2 2 3F F c  ， 若 1 2 90F PF   ，则 2 2 2 1 2 1 2PF PF F F  ，可得   2 2 1 2 1 2 1 22PF PF PF PF F F    ， 即 1 28 2 12PF PF   ，则 1 2 2PF PF  ，所以 1 2F PF 的面积为 1 2 1 1 2 PF PF  .故答案为：1. 【典例 3-3】(24-25 高二下·湖北·阶段练习) 1F 、 2F 是双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 y xC a b a b     的上、下焦点，过 2F 的 直线与C的上、下两支分别交于A、 B两点．若 1 2AF AF ， 1 4cos 5 AFB  ，又 6AB  ，则双曲线的实轴 长为( ) A． 2 B． 4 C．2 13 D． 4 13 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】作图，在直角 1ABF 中，利用锐角三角函数的定义可求出 1BF ，利用勾股定理可求得 1AF ，利用 双曲线的定义可得出关于 2BF 的等式，解出 2BF 的值，进而利用双曲线的定义可求得该双曲线的实轴长. 【详解】如下图所示： 因为 1 2AF AF ， 1 4cos 5 AFB  ，则 21 1 1 3sin 1 cos 5 AB AF B AF B BF       ， 因为 6AB  ，则 1 10BF  ，故 2 2 2 2 1 1 10 6 8AF BF AB     ， 第 19 页 共 70 页 由双曲线的定义可得 2 1 1 2 2AF AF BF BF a    ， 即  2 26 8 10BF BF    ，解得 2 6BF  ， 因此，该双曲线的实轴长为 1 22 10 6 4a BF BF     .故选：B. 【变式 3-1】(23-24 高二上·陕西咸阳·阶段练习)双曲线C：   2 2 2 1 012 x y a a    的两个焦点分别是 1F 与 2F ，焦 距为 8，M 是双曲线上的一点，且 1 5MF  ，则 2MF 等于( ) A．9 B．9 或 1 C．1 D．6 【答案】A【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据双曲线方程求 a、b、c 【分析】根据焦距，可得c值，根据 , ,a b c的关系，可得 a值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】因为 2 8c  ，所以 4c  ，所以 2 2 2 16 12 4a c b     ，解得 2a  ， 根据双曲线定义可得 1 2 4| | | || 2|MF MF a   ，所以 25 | | 4MF  ，解得 2| | 1MF  或 2| | 9MF  ， 当 2| | 1MF  时， 1 2| | | | 6 8MF MF   不合题意，故舍去， 当 2| | 9MF  时， 1 2| | | | 14 8MF MF   ，满足题意， 综上， 2| | 9MF  .故选：A 【变式 3-2】(2024·河北邢台·二模)若点 P是双曲线 C： 2 2 1 16 9 x y   上一点， 1F ， 2F 分别为 C的左、右焦点， 则“ 1 8PF  ”是“ 2 16PF  ”的( ) A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D【难度】0.85【知识点】双曲线定义的理解、充要条件的证明、利用双曲线定义求点到焦点的距 离及最值【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解. 【详解】 2 24, 3, 4 3 5a b c     ， 当点 P在左支时， 1PF 的最小值为 1c a  ，当点 P在右支时， 1PF 的最小值为 9a c+ = ， 因为 1 8PF  ，则点 P在双曲线的左支上， 2 1 2 8 2 8PF PF PF a     ，解得 2 16PF  ； 当 2 16PF  ，点 P在左支时， 1 8PF  ；在右支时， 1 24PF  ；推不出 1 8PF  ； 故为充分不必要条件，故选：D. 【变式 3-3】(23-24 高三下·上海·期中)设 1 2F F、 为双曲线Γ : 2 24 1 9 9 x y   左、右焦点，点M 在Γ的右支上，线 段 1FM与Γ的左支相交于点 N，且 2MF MN ，则 1FN  . 【答案】3【难度】0.85【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线方程求 a、b、c 【分析】由双曲线定义可得 1 2 3MF MF  ，结合条件可求 1FN . 【详解】因为点M 在Γ的右支上， 1 2F F、 为双曲线Γ左、右焦点，所以 1 2 32 3 2 MF MF    ， 第 20 页 共 70 页 又 1 1MF MN NF  ， 2MF MN ，所以 1 1 2 3FN MF MF   .故答案为：3 . 【变式 3-4】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知双曲线的标准方程为 2 2 1 9 16 x y   ，左、右焦点分别为 1 2,F F ， 且双曲线上有一点 P使得 1 2 25PF FS  ，则点 P的坐标为 . 【答案】 3 41 , 5 4         【难度】0.85【知识点】双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线方程求 a、b、c 【分析】设  0 0,P x y ，根据 1 2 25PF FS  ，列出方程，求得 0 5y  ，代入双曲线的方程，即可求解. 【详解】由双曲线的方程 2 2 1 9 16 x y   ，可得 3, 4a b  ，则 2 2 5c a b   ， 设  0 0,P x y ，则 1 2 0 1 2 25 2PF F S c y   △ ，解得 0 5y  ， 因为点 P在双曲线上，代入可得 2 0 25 1 9 16 x   ，解得 0 3 41 4 x   ，故 3 41 , 5 4 P         .故答案为： 3 41 , 5 4         . 【变式 3-5】(24-25 高二下·上海宝山·阶段练习)若椭圆 2 2 1x y m n   ( 0m n  )和双曲线 2 2 1x y s t   ( s, t 0 )有相 同的焦点 1F 和 2F ，而 P是这两条曲线的一个交点，则 1 2PF PF 的值是( ) A． n t B． 1 ( ) 2 n t C． 2 2m s D． m s 【答案】A【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、椭圆定义及辨析 【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出 1PF 与 2PF 的和与差，变形求得积． 【详解】设c为半焦距，由题意知不妨设点 P是两曲线在第一象限内的交点，可得： 1 2 1 2 2 2 PF PF m PF PF s       ，解得： 1 2 PF m s PF m s       ， 则     2 21 2·PF PF m s m s m s n c c t n t           ，故 A 项正确.故选：A. 【变式 3-6】(24-25 高二下·江苏南京·开学考试)设 1 2,F F 为曲线 2 2 1 : 16 2 x yC   的左，右两个焦点，P是曲线 2 2 2 : 13 xC y  与 1C 的一个交点，则 1 2sin FPF 的值为( ) A． 1 3 B． 2 3 C． 5 3 D． 2 2 3 【答案】D【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的焦 点、焦距【分析】求出 1 2,F F 的坐标，由椭圆、双曲线的定义求出 1PF ， 2PF ，再由余弦定理求出 1 2cos F PF ， 即可求出 1 2sin F PF . 【详解】由曲线 1C ： 2 2 1 6 2 x y   的方程得 1 2( 2,0), (2,0)F F ，由椭圆的定义得 1 2 2 6PF PF  ， 第 21 页 共 70 页 又曲线 2C ： 2 2 1 3 x y  的焦点和曲线 1C 的焦点相同，不妨设 P在双曲线右支上， 双曲线的定义得 1 2 2 3PF PF  ， 1 6 3PF   ， 2 6 3PF   ， 在 1 2PFF 中，由余弦定理可得 2 2 2 1 2 ( 6 3) ( 6 3) 4 1cos 32( 6 3)( 6 3) F PF         ， 2 1 2 2 1 1 co 3 n s 2 2si F PF F PF    .故选：D 题型 04 双曲线的离心率 【典例 4-1】(24-25 高二上·天津滨海新·期中)双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左焦点为  3,0F  ，  0,4M ， 点 P为双曲线右支上的动点且 MPF△ 周长的最小值为 14，则双曲线的离心率为( ) A． 3 2 B．2 C． 5 2 D．3 【答案】A【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】利用双曲线的定义将 MP PF 转化为 2 2MP PF a  ，然后利用三点共线时取最小值求解即可. 【详解】∵ ( ), ( )3,0 0,4F M- ， 5MF  ， ∵ MPF△ 周长的最小值为 14，∴ MF MP PF  的最小值为 14，即 MP PF 的最小值为14 5 9  ， 设右焦点为 2 (3,0)F ，则 2 2PF PF a  ，即 2 2PF PF a  ， 则 2 22 2MP PF MP PF a MF a      ，即 2, ,M P F 三点共线且依次排列时等号成立， 此时 2 5MF MF  ，即最小值为 5 2 9a  ，得 2 4 2a a ， ， ∵ 3c  ，∴离心率 3 2 ce a   .故选：A. 【典例 4-2】(2025·浙江·二模)如图，椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     与双曲线 2 2 2 2 1 x y m n   有共同的右焦点 F ，这 两条曲线在第一、三象限的交点分别为 A、B，直线 AF 与双曲线右支的另一个交点为C， BFC△ 形成以 BC 为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为( ) A． 5 1 2  B． 2 2 C． 10 4 D． 3 2 第 22 页 共 70 页 【答案】C【难度】0.65【知识点】双曲线定义、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆及双曲线定义，结合等腰直角三角形，计算求解离心率. 【详解】设左焦点为 1F，则 1AF a m  ， AF a m  ， CF a m  ， 1 3CF a m  ， 在 1AFC 中用勾股定理      2 2 22 3a m a a m    ，化简得 2 am  ， 所以 1 3 1, , 2 2 AF a AF a  所以 1 102 2 FF c a  ，所以 10 4 c a  .故选:C. 【典例 4-3】(2025·湖南湘潭·一模)已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的右焦点为 2 (2,0)F ，若圆 2 2: ( 2) ( 6) 4M x y    上存在点 P 使得 2PF 的中点在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为( ) A．[2, ) B．[3, ) C． (1, 2] D． (1,3] 【答案】B【难度】0.4【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、由直线与圆的位置关系求参数、求双曲线的 离心率或离心率的取值范围【分析】设 0 0( , )P x y 为圆M 上一点，得到 2PF 的中点 0 0 2( , ) 2 2 x yQ  ，求得 0 0( 2) by x a    ，结合直线� =± � � (� + 2)与圆M 有公共点，得到 −6 (��) 2+1 ≤ 2，求得 2 2 8 b a  ，进而求得双曲线 的离心率的取值范围. 【详解】 2 2 2 2: 1 x yC a b   的右焦点为 2 (2,0)F ，则 2c  ，即 2 2 4a b  ，且渐近线方程为 by x a   ， 设 0 0( , )P x y 为圆 2 2: ( 2) ( 6) 4M x y    上一点，且圆心为 ( 2,6)M  ，半径 2r  ， 则 2PF 的中点 0 0 2( , ) 2 2 x yQ  在其渐近线上，可得 0 0 2( ) 2 2 y xb a    ，即 0 0( 2) by x a    ， 所以点 P在直线 2 0b bx y a a     上，因为圆心 ( 2,6)M  到直线的距离为� = ±��×(−2)−6± 2� � (±��) 2+(−1)2 = −6 (��) 2+1 ， 因为圆M 上存在点 P满足条件，所以直线 0 0( 2) by x a    与圆M 有公共点， 所以 2d ，即 −6 (��) 2+1 ≤ 2，可得 2 36 4 ( ) 1b a   ，可得 2( ) 1 9b a   ，所以 2 2 8 b a  ， 又因为双曲线的离心率 2 2 2 2 2 2 2 21 9 c a b be a a a       ，所以 3e  ， 所以双曲线C的离心率的取值范围为[3, ) .故选：B. 第 23 页 共 70 页 【典例 4-4】(25-26 高三上·重庆·阶段练习)已知双曲线   2 2 2 2: 1 0 x yC b a a b     ，右焦点  ,0F c ，过点  2 ,0D c 且斜率为1的直线 l交C于A、 B两点，且 216DA DB b ，则C的离心率为( ) A． 2 B． 15 2 C． 3 D． 51 6 【答案】B【难度】0.4【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】由题可设直线 AB的方程 为： 2x y c  ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y .联立方程组 2 2 2 2 2 1 x y c x y a b       ，消去 x得    2 2 2 2 2 2 24 4 0b a y cb y b c a     ， 则由韦达定理结合 2 1 22 16DA DB y y b  ，得到关于 a和c的齐次方程即可求解双曲线的离心率. 【详解】由题可设直线 AB的方程为： 2x y c  ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y . 联立方程组 2 2 2 2 2 1 x y c x y a b       ，消去 x化简整理得    2 2 2 2 2 2 24 4 0b a y cb y b c a     ，则   2 2 2 1 2 2 2 4b c a y y b a    ， 所以       2 2 2 2 22 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 16 b c a DA DB x c y x c y y y y y b b a              ， 化简得 2 22 24 8 8c a b a  ，即  2 2 2 2 24 8 8c a c a a    ，即 2 24 15c a ， 所以 2 2 2 15 4 ce a   ，解得 15 2 e  .故选：B. 【变式 4-1】(2025 高三·全国·专题练习)已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜 角为30的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是( ) A． 3 3 B．1 C． 2 3 3 D．2 【答案】C【难度】0.94【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】结合题意建立方程，求解离心率即可. 【详解】因为过点 F 且倾斜角为30的直线与双曲线的一条渐近线平行， 所以 3 3 b a  ，化简得 2 24 3a c ，解得 2 3 3 e  ，故 C 正确.故选：C 【变式 4-2】(25-26 高三上·广东肇庆·开学考试)若双曲线   2 2 2 2: 1 01 x yC a a a     与椭圆 2 2 1 6 x y  有公共焦 点，则双曲线C的离心率为( ) A． 21 3 B． 10 2 C． 6 2 D． 5 2 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据椭圆方程求 a、b、c、根据双曲线方程求 a、b、c、求双曲线的离心 率或离心率的取值范围【分析】由椭圆和双曲线的方程及离心率计算公式可得结果. 第 24 页 共 70 页 【详解】由题意得椭圆 2 2 1 6 x y  的焦点为  5,0 和  5,0 ， 而双曲线和椭圆有公共焦点，则双曲线的焦点也为  5,0 和  5,0 ， 由双曲线方程可得 2 2 1 5a a   ，解得 2 2a  ，又 0a  ，得到 2a  ， 则双曲线的离心率为 5 10 22 e   .故选：B. 【变式 4-3】(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     ，过原点的直线 l的倾斜角为 ， 且 5cos 7   ，若 l与C没有交点，则C的离心率的取值范围是( ) A． 2 61, 5       B． 2 6 , 5       C． 71, 5      D． 7 , 5     【答案】C【难度】0.85【知识点】直线的倾斜角、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线 的离心率或离心率的取值范围【分析】先求出双曲线的渐近线，根据条件计算直线的斜率，因为直线与双 曲线没有交点得到不等式，最后根据双曲线的离心率求得范围； 【详解】易知渐近线方程为 by x a   ，因为 25 5 2 6cos sin 1 7 7 7            ，所以 2 6tan 5   ． 又 l与 C没有交点，所以 2 6 5 b a  ，则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 49e 1 1 25 25 c c a b b a a a a             ，所以 71 e 5   ．故选：C. 【变式 4-4】(2025·四川达州·模拟预测)已知双曲线 2 2 2 2: 1 x yC a b   ( 0a  ， 0b  )的左，右焦点分别为 1F ， 2F ， 过 2F 的直线 l与其右支交于 P，Q两点，若 1 22PF PF ， 2 23QF PF ，则C的离心率为( ) A． 2 B．2 C． 2 2 D．4 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、双曲线定义的理解、余弦定 理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】求出 1PF 、 2PF 、 2QF 和 1QF ，接着由 2 1 2 1 180PF F QF F   在 2 1PF F 和 2 1QF F 中运用余弦定理列方程即可求解. 【详解】因为 P，Q两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得 1 2 2PF PF a  ， 1 2 2QF QF a  ， 又 1 22PF PF ，解得 1 4PF a， 2 2PF a ，又 2 23QF PF ，可得 2 6QF a ， 1 8QF a ， 在 2 1PF F 中，根据余弦定理得 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 4 4 16cos 2 2 2 2 F F PF PF c a aPF F F F PF c a           ， 在 2 1QF F 中，根据余弦定理得 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 4 36 64cos 2 2 2 6 F F QF QF c a aQF F F F QF c a           ， 第 25 页 共 70 页 因为 2 1 2 1 180PF F QF F   ，所以 2 2 2 2 2 24 4 16 4 36 64 0 2 2 2 2 2 6 c a a c a a c a c a           ， 化简整理得 2 24c a ，解得 2 ce a   .故选：B. 【变式 4-5】(25-26 高三上·安徽·开学考试)已知 , ,A B C 是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yM a b a b     上的三点，且 ,A B 关于原点对称，若 ABCV 是等边三角形，则M 的离心率的取值范围为( ) A． ( 2, ) B． ( 3, ) C． (1, 2) D． (1, 3) 【答案】A【难度】0.65【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】根据给定条件，设 0 0( , )A x y ， 可得点 0 0( 3 , 3 )C y x ，再代入双曲线方程并整理求得 2 2b a ，进而求出离心率范围. 【详解】由 ,A B关于原点对称，且 ABCV 是等边三角形，得 ,| | 3 | |OA OC OC OA      ， 设 0 0( , )A x y ，则 0 0 0 0 0 0( , ), 3( , ) ( 3 , 3 )OA x y OC y x y x       ，即点 0 0( 3 , 3 )C y x ， 因此 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 1 3 3 1 x y a b y x a b        ，整理得 2 2 2 0 2 2 2 0 3 3 y a b x a b    ，由 2 2 0 0 2 2 1 3 y x a b   ，得 2 2 0 0 2 2 y x a b  ，则 2 2 0 2 2 0 y a x b  ，于是 2 2 2 2 2 2 3 3 a b a a b b    ， 解得 2 2b a ，即 2 2 1 b a  ，则M 的离心率 2 21 2 be a    ，所以M 的离心率的取值范围为 ( 2, ) .故选：A 【变式 4-6】(25-26 高三上·重庆·开学考试)已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yE a b a b     的右焦点为 F ，右顶点为A， 过点 F 的直线与双曲线 E的一条渐近线交于点 P，与其左支交于点Q，且点 P与点Q不在同一象限，直线 AP 与直线 (OQ O为坐标原点)的交点在双曲线 E上，若 3PQ PF    ，则双曲线 E的离心率为( ) A． 7 3 B． 5 3 C．2 D．3 【答案】B【难度】0.65【知识点】双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】取左焦点 F ，证明MF QF 为平行四边形，推得 MAF  ∽ PAF△ ，由相似比，结合题设条件得到3 5c a ，即可求得离心率. 【详解】如图，因直线 AP与直线 (OQ O为坐标原点)的交点M 在双曲线 E上，则点M 与点Q关于原点对称， 设点 F 为双曲线的左焦点，连接 , ,MF QF MF  ，因 OF OF  ，则四边形MF QF 为平行四边形， 第 26 页 共 70 页 故 / / ,| | | |MF QF MF QF   ，易得 MAF  ∽ PAF△ ， 则 | | | | | | 4 | | | | | | MF AF a c QF PF AF c a PF         ，化简得3 5c a ，故 5 3 ce a   .故选：B. 【变式 4-7】(2025·广东佛山·二模)已知 1 2,F F 是双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的左、右焦点， ,A B为双曲 线C上的两点，若 2 13F B F A   ，且以 1 2F F 为直径的圆恰好过点A，则双曲线C的离心率为( ) A． 5 B． 5 2 C． 10 2 D． 14 2 【答案】C【难度】0.15【知识点】双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】延长 2BF 交双曲线C于 A点，连接 1A F ，由已知条件得到四边形 1 2AF A F 为矩形，再由双曲线的定 义和勾股定理求出 ,a c的关系，即可求解. 【详解】如图所示，连接 1 2 1 2, , ,AF AF BF BF ，延长 2BF 交双曲线C于 A点，连接 1A F ， 因为 2 13F B F A   ，且以 1 2F F 为直径的圆恰好过点A， 所以由对称性可知 A点也在圆上，且四边形 1 2AF A F 为矩形. 设 1AF m ，则 2A F m  ， 2 3BF m ， 4BA m  ， 因为点 ,A B 都在双曲线C右支上，所以由双曲线的定义可知， 1 2 2A F A F a   ， 1 2 2BF BF a  ， 所以 1 2A F a m  ， 1 2 3BF a m  ，所以在直角 1 2A F F△ ， 1A F B 中，由勾股定理可得，       2 2 2 2 22 2 4 2 16 2 3 a m m c a m m a m          ，解得 10 2 a m c m     ， 所以双曲线C的离心率 10 2 ce a   .故选：C 【点睛】本题有两个关键点：关键一：由双曲线的定义得到 1 2A F a m  ， 1 2 3BF a m  ， 关键二：在直角 1 2A F F△ ， 1A F B 中，由勾股定理列出方程组. 题型 05 双曲线的渐近线 【典例 5-1】(24-25 高二下·河南洛阳·阶段练习)双曲线 2 2 1 2 2 x y   的焦点到它的一条渐近线的距离为( ) A．1 B． 2 C．2 D． 2 2 【答案】B【难度】0.94【知识点】求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离 【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 2a b  ， 2c  ，焦点坐标为  2,0 ，  2,0 ，渐近线方程为 y x  ， y x ， 第 27 页 共 70 页 所以焦点到渐近线的距离 2 2 2 d   .故选：B. 【典例 5-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知双曲线M 与双曲线 2 2 : 1 4 3 x yN   有共同的渐近线，双曲线M 的两个焦点分别为 1 2,F F ，点 P为M 上的一点，且 1 2 8PF PF  ，则双曲线M 的方程为( ) A． 2 2 1 16 12 x y   B． 2 2 1 8 6 x y   C． 2 2 1 8 6 x y   或 2 2 1 6 8 x y   D． 2 2 1 16 12 x y   或 2 23 1 16 64 y x   【答案】D【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】由双曲线的定义求出 a，再根据双曲线M 与双曲线 N共渐近线设出双曲线 M的方程，分焦点在 x 轴上与焦点在 y轴上两种情况进行分类讨论即可. 【详解】由题意易知 1 2 8 2 , 4PF PF a a    ． 当焦点在 x轴上时，可设双曲线M 的方程为 2 2 1, 0 4 3 x y      ， 则 4 16  ，解得 4  ，所以3 12  ，双曲线M 的方程为 2 2 1 16 12 x y   ； 当焦点在 y轴上时，可设双曲线M 的方程为 2 2 1, 0 3 4 y x         ， 则 3 16  ，解得 16 3    ，所以 644 3   ，双曲线M 的方程为 2 23 1 16 64 y x   ．故选：D 【典例 5-3】(2025·山东聊城·模拟预测)已知点 F 为双曲线 2 2 : 1 2 4 x yC   的右焦点，点 ,A B分别为两条渐近线 上的点，且  0AF FB     ，则 OA OB 的最小值为 . 【答案】 6 2【难度】0.4【知识点】求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、基本不等式求和 的最小值【分析】设 OA m ， OB n ，根据双曲线的性质得到m，n的关系，再结合基本(均值)不等式求 m n 的最小值. 【详解】根据题意作图如下设 θAOF BOF   ， OA m ， OB n . 因为双曲线C的方程为 2 2 1 2 4 x y   所以 tanθ 2 ， 6OF  .易知 OAB OAF OBFS S S    所以 1 1 1sin2θ 6 sinθ 6 sinθ 2 2 2 mn m n      2 cos 6mn m n   而 tan 2  ，则 3cos 3   .所以 2 3 mn m n  ，即 1 1 2 3m n   . 第 28 页 共 70 页 所以  3 1 1 3 32 2 2 6 2 2 2 2 m n m nm n m n m n n m n m                           当且仅当 3 2m m  时，等号成立;故 OA OB 的最小值为 6 2 .故答案为： 6 2 . 【点睛】本题的关键是探索 OA ， OB 存在的数量关系，再利用基本不等式求最值.探索 OA ， OB 的数量 关系时，可利用 OAB OAF OBFS S S    ，结合三角形的面积公式和双曲线的性质列式. 【变式 5-1】(24-25 高二下·贵州遵义·期末)已知双曲线 2 2 : 1 4 3 x yC   ，则它的渐近线方程为( ) A． 3 2 y x  B． 2 3 3 y x  C． 2y x  D． 3y x  【答案】A【难度】0.94【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据给定的双曲线方程，直接求出渐近线方程即可. 【详解】双曲线 2 2 : 1 4 3 x yC   ，则它的渐近线方程为 3 2 y x  .故选：A 【变式 5-2】(25-26 高三上·安徽·开学考试)已知双曲线 C： 2 2 1y x m   (m＞0)的上、下焦点分别为 1 2,F F ，A 为 C上一点，且 1 2 2 2AF AF  ，则双曲线 C的渐近线方程为( ) A． 1 2 y x  B． 2y x  C． 2y x  D． 2 2y x  【答案】B【难度】0.85【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解 【分析】由双曲线定义可得 2m  ，从而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线定义可知 1 2 2 2 2AF AF a   ，所以 2a  ，即 2m  ， 所以双曲线 C： 2 2 1 2 y x  ，则渐近线方程为 2y x  .故选：B． 【变式 5-3】(24-25 高三下·天津南开·阶段练习)设 F 为双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的右焦点， ， 分 别为C的两条渐近线的倾斜角，已知点F 到其中一条渐近线的距离为 3，且满足 5  ，则双曲线C的焦 距为( ) A． 2 3 B．2 C． 4 3 D．4 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲 线的焦距、求点到直线的距离【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式及题目 条件可求得b的值，再根据渐近线的倾斜角关系得 b a 的值即可求解. 【详解】双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的渐近线方程为 by x a   ，即 0bx ay  . ∵ ，  分别为C的两条渐近线的倾斜角，∴ π   . 第 29 页 共 70 页 又∵ 5  ，∴ π5 6       ，∴ π 6   ，∴ 3 tan 3b a   . 又双曲线的右焦点 ( ,0)F c 到其中一条渐近线 0bx ay  (不妨取这条)的距离为 3， ∴ 2 2 0 3 bc a bc b cb a       ，∴ 3a  ，  22 2 23 3 2 3c a b     ， 双曲线C的焦距为 2 4 3c  .故选：C. 【变式 5-4】(25-26 高二上·全国·课后作业)已知 P为双曲线 2 2: 1 8 yC x   上一点， 1 2,F F 分别为其左、右焦点， 则下列说法正确的是( ) A． 1 2 2 1 PF PF PF PF  有最大值 5 2 B． 1 2F PF 的内心 I 到 y轴的距离为 1 C．若 P为双曲线的右顶点，则点 P到一条渐近线的距离为 2 3 D．点 P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值 8 9 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最 值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的定值问题【分析】根据双曲线方程画出双曲线简 图，结合双曲线定义，依次判断各选项.要注意双曲线上的点到焦点距离的最小值. 【详解】由双曲线方程可知 1a  ， 2 2b  ， 3c  ． A 选项：由双曲线的对称性，不妨设点 P是双曲线 C右支上一点，由双曲线的定义知： 1 2 2PF PF  ， 所以 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 PF PF PF PF PF PF PF PF      2 2 2 21 1 2PF PF       2 2 2 22 2PF PF    ， 令 2PF t ，则  2,t  ，所以 2 2 2 2 2PF PF      2 2 4 2 2t t t t     ， 因为  2t t  在  2, 上单调递增，所以  2 8t t   . 所以   4 10 2 2t t    ，此时 1 2 2 1 52 2 PF PF PF PF    ，即 1 2 2 1 PF PF PF PF  有最大值 5 2 .所以 A 选项正确. B 选项：设  0 0,P x y 在右支上， 1 2F PF 的内切圆半径为 r .由双曲线方程知： 1 2 2 6F F c  ， 设三角形内切圆与三边的切点分别为 , ,M B C，如图， 由几何关系可得 PM PC ， 1 1FM FB ， 2 2F C F B ， 所以 1 2 1 2 2 2PF PF FB F B a     ，又 1 2 2 6FB F B c   ， 所以 1 4FB  ， 2 2F B  ，所以  1,0B ,即点 P在双曲线右支上时，焦点三角形内切圆与 x轴切于右顶点. 第 30 页 共 70 页 又因为 IB x 轴，所以 I 到 y轴的距离为 1,所以 B 选项正确. C 选项：两条渐近线的方程分别为： 2 2 0x y  ， 2 2 0x y  ， 所以右顶点  1,0 到两条渐近线的距离均为 2 2 3 ，所以 C 选项错误. D选项：两条渐近线方程分别为： 2 2 0x y  ， 2 2 0x y  ， 设  0 0,P x y ，则点 P到渐近线 2 2 0x y  的距离     0 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 32 2 1 x y x y d       ， 点 P到渐近线 2 2 0x y  的距离   0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 32 2 1 x y x y d      ，所以 2 2 0 0 1 2 8 9 x y d d   ， 因为点  0 0,P x y 在双曲线上，所以 2 2 0 0 18 yx   即： 2 20 08 8x y  .所以 1 2 8 9 d d  . 即点 P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值 8 9 ．所以 D选项正确.故选：ABD. 【变式 5-5】(2025·河南·二模)已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，渐近线方 程为 3y x  ，过 1F 且斜率为1的直线 l与C在第一象限的交点为 P， 1 2PF F 的角平分线与线段 2PF 交于点 Q，若 2PQ QF   ，则 的值是( ) A． 4 2 4 3  B． 2 1 2  C． 2 2 2 D． 3 2 3 4  【答案】D【难度】0.4【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解、余弦定理解三角形、利 用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设双曲线C的半焦距为 c，结合双曲线的渐近线方程为 3y x  ，可得 2c a ，设 2PF t ，结合 双曲线定义，余弦定理列关系式可得 3 2 1 2 t c ，结合角平分线性质求结论. 【详解】设C的半焦距为 c，因为双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   的渐近线方程为 3y x  ， 所以 3 b a  ，故 3b a ， 2 2 2c a b a   .设 2PF t ， 1 2PF t a t c    ， 1 2 2F F c ， 由余弦定理有        2 22 π2 2 2 cos 4 t c t c c t c        ，化简得 3 2 1 2 t c ，则 1 3 2 3 2 PF c ， 因为 1FQ为 1 2PF F 的角平分线，所以 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 sin 2 1 sin 2 PFQ F FQ PF FQ PFQS PF S F FF F FQ F FQ       ，又 1 2 1 2 PFQ F FQ S PQ S QF   ，所以 1 2 1 2 PQ PF QF F F  ， 所以 1 2 1 2 3 2 3 3 2 32 2 4 cPQ PF QF FF c        .故选：D. 第 1 页 共 26 页 专题 3.2 双曲线 教学目标 1、理解双曲线第一定义，掌握双曲线的标准方程，理解双曲线与椭圆的联系与区别； 2、掌握双曲线的简单的几何性质，能用性质解决有关问题； 教学重难点 1、重点：双曲线定义及标准方程，双曲线的几何性质； 2、难点：双曲线定义的理解，双曲线离心率、渐近线的理解； 1.与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c>0)距离之差的绝对值为非零常数 2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注意：如果没有绝对值，则仅表示双曲线的一支. 2.双曲线表示为集合：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c为常数且 a>0，c>0. (1)当 2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； (2)当 2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； (3)当 2a>|F1F2|时，M点不存在． 【即学即练 1-1】(25-26 高二上·全国·课后作业)与圆  2 24 4x y   及圆 2 2 8 15 0x y x    都内切的圆的圆心 在( ) A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【即学即练 1-2】(24-25 高二上·浙江·期中)对于方程 2 2 π πtan 1, , 2 2 x y           ，表示的曲线C，下列说法 正确的是 ( ) A．曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若 为负角，则曲线C为双曲线 C．若 为正角，则曲线C为椭圆 D．若C为椭圆，则曲线C的焦点在 x轴上 第 2 页 共 26 页 标准方程 x 2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0) y 2 a2 － x2 b2 ＝1(a＞0，b＞0) 性质 图形 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或 x≥a，y∈R y≤－a或 y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段 A1A2，长：2a；虚轴：线段 B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝c a ∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±b a x y＝±a b x a，b，c关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0,a与 b没有大小关系) 注意：1.谁的系数为正，焦点就在其对应轴上. 2.椭圆与双曲线统一方程：mx2 + ny2 = 1 (1)当 m > 0, n > 0,m ≠ n时，为椭圆； (2)当 m, n异号时，为双曲线。 【即学即练 2-1】(25-26 高二上·全国·课后作业)焦点在 x轴上，焦距为 4 且离心率为 2 的双曲线的标准方程 为( ) A． 2 2 1 3 yx   B． 2 2 1 3 x y  C． 2 2 1 2 yx   D． 2 2 1 2 x y  【即学即练 2-2】(2025·天津·模拟预测)已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的左右焦点分别为 1 2,F F ，过点 1F 的 直线 2: 3 3 0x yl    与双曲线的左右两支分别交于点 A，B，且 2 2AF BF ，则该双曲线的方程为( ) A． 2 2 1 6 6 x y   B． 2 2 1 4 8 x y   C． 2 2 1 11 yx   D． 2 2 1 3 9 x y   1.焦点在 x轴时：焦点( ± c, 0)，实轴顶点( ± �, 0)，虚轴顶点(0, ± b)； 焦点在 y轴时：焦点(0, ± c)，实轴顶点(0, ± �)，虚轴顶点( ± b, 0)； 2.焦距 2c，实轴 2�，虚轴 2b； 【即学即练 3-1】(2025·吉林·二模)已知双曲线C的右焦点为 (2,0)F ，点 P在双曲线上且满足 PF x 轴，若 3PF  ，则双曲线C的实轴长为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 第 3 页 共 26 页 【即学即练 3-2】(2024·浙江温州·一模)已知椭圆   2 2 2 1 016 x y m m    和双曲线 2 2 1 8 yx   的焦点相同，则 m  . 1.双曲线上点 P(x0，y0)与焦点 F1，F2之间的距离叫做双曲线的焦半径，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|: (1) ��1 − ��2 = 2�; (2) ��1 ��� = � + �， ��2 ��� = � − �(P 在右支)， ��1 ��� = � − �， ��2 ��� = � + �(P 在左支)， 2.若双曲线方程为 �2 �2 − � 2 �2 = 1(� > 0, � > 0)，半焦距为 c，焦点    1 2,0 , ,0F c F c ， (1)过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为: 2�2 � , (2)双曲线 �2 �2 − � 2 �2 = 1焦点    1 2,0 , ,0F c F c ，过 1F 倾斜角为 的直线 l交双曲线于 A、B 两点， 则: AB = 2��2 �2−�2���2� (�, �在同一支) 2��2 �2���2�−�2 (�, �分在两支) (3)若 AB 是过焦点 F 的弦,设 ,AF m BF n  , AB 在同支时, 1 � + 1 � = 2� �2 ; AB 在两支时,1 � − 1 � = 2� �2 ;(设m n ) (4)过双曲线焦点 F1的弦 AB与双曲线交在同支上，则△ABF2的周长为 4a＋2|AB|． (5)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2 a ， 异支的弦中最短的为实轴，长为 2a. 3.双曲线的焦点三角形：∆PF1F2,记∠F1PF2 = θ，有以下结论成立: (1) ��1 ��2 = 2�2 1−���� ； (2)焦点三角形的面积：�∆��1�2=� �� = �2 ����2 . 【即学即练 4-1】(24-25 高二上·北京·阶段练习)已知 1F ， 2F 是双曲线 2 2 1 4 6 x y   的两个焦点，点 P在双曲线 上，若 1 5PF  ，则 2PF  . 【即学即练 4-2】(2024·陕西西安·模拟预测)双曲线 2 2 : 1 4 5 x yC - = 的焦点弦长为 9 2 的弦有( ) A．8 条 B．4 条 C．2 条 D．1 条 【即学即练 4-3】(24-25 高二上·上海·阶段练习)设 1F ， 2F 是双曲线 2 2: 1 3 yC x   的两个焦点，O为坐标原点， 第 4 页 共 26 页 点 P在双曲线 C上且 1 2PF PF ，则 1 2PFF 的面积为 . 一般方法：根据条件，建立齐次等量关系 f(a，b，c)＝0，再化归为关于 e的方程求解． 1. �双曲线 = � � = 1+ ( � � )2＝ 1＋k2＝ 1＋tan2α (α,k为渐近线的倾斜角与斜率) 2. 焦点三角形中：P 为双曲线� 2 �2 − � 2 �2 = 1(� > 0, � > 0)上异于实轴端点的任一点,∠PF1F2 = α, ∠PF2F1 = β， 则 e = sin(α+β) sinα−sinβ ； 3.过双曲线的焦点 F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交 A、B两点，且AF→＝λFB→(� > 0), 则 e = 1 + k2 λ−1 λ+1 ；即 | 1 || cos | | 1 | e      ． (当双曲线焦点在 y轴上时，e = 1 + ( 1 k )2 λ−1 λ+1 )；注:λ = AF BF 或者λ = BF AF 。 4. 若直线 y＝kx与双曲线 E交于 A，B两点，P为双曲线上异于 A，B的点，若直线 PA，PB的斜率存在， 且分别为 k1，k2，则 k1·k2＝ �2 �2 ＝e2－1． 注：当焦点在 y轴上时 a，b对调． 5.直线 y＝kx＋m(k≠0且 m≠0)与双曲线 E交于 A，B两点，P为弦 AB的中点，��� =k0，则 k0·k＝ �2 �2 ＝e2－1． 注：当焦点在 y轴上时 a，b对调． 6.双曲线 222 ayx  称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy  ，离心率 2e . 性质：a＝b;e＝ 2；渐近线互相垂直； 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 7.与� 2 �2 − � 2 �2 = 1有相同离心率的双曲线方程为： 焦点在 x轴上时：� 2 �2 − � 2 �2 = �(� > 0); 焦点在 y轴上时：� 2 �2 − � 2 �2 = �(� > 0); 【即学即练 5-1】(24-25 高二下·湖南永州·期末)已知双曲线 a的一个焦点为  2,0F ，且双曲线的渐近线与圆  2 22 3x y   相切，则双曲线C的离心率为( ) A． 2 3 3 B． 3 C．2 D．2 3 【即学即练 5-2】(2025 高三·全国·专题练习)已知双曲线   2 2 2 2 1 1 0， x y a b a b     的焦距为 2c，直线 l过点    ,0 , 0,a b ，且点  1,0 到直线 l的距离与点  1,0 到直线 l的距离之和 4 5 s c ，则双曲线离心率 e的取值范 第 5 页 共 26 页 围是( ) A． 51, 2       B． 5 ,2 2       C． 5 , 5 2       D． 2, 5   1.与� 2 �2 − � 2 �2 = 1共轭的双曲线方程为� 2 �2 − � 2 �2 =− 1， (1)它们有公共的渐近线； (2)四个焦点都在以原点为圆心，r = c为半径的圆上； (3) 1 �1 2 + 1 �2 2 = 1。 2.与� 2 �2 − � 2 �2 = 1有相同的渐近线的双曲线方程为：� 2 �2 − � 2 �2 = �； 3.已知双曲线的渐近线方程为 0bx ay  ，则双曲线方程可设为:� 2 �2 − � 2 �2 = �(� ≠ 0); 4.双曲线焦点到渐近线的距离总是:b. 实轴顶点到渐近线的距离为: �� � ； 双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值: �2�2 �2 【即学即练 6-1】(25-26 高二上·全国·单元测试)直线 2 0x y  是双曲线 2 2 1 9 x y m   的一条渐近线，则m  ( ) A．1 B．4 C．16 D．18 【即学即练 6-2】(24-25 高三下·河北保定·阶段练习)已知焦点在 y轴上的双曲线 2 2 2 13 4 x y m m    的两条渐近线互 相垂直，则 m＝( ) A．1 B． 12 C．－4 D．1 或－4 双曲线中有关点差法的经典结论(以下双曲线均为:� 2 �2 − � 2 �2 = 1(� > 0, � > 0)) (1)M ),( 00 yx 是 �2 �2 − � 2 �2 = 1的不平行于对称轴的弦 AB 的中点，则��� ∙ ��� = �2 �2 ； (2)过原点的直线交双曲线于 A, B两点，P 点是双曲线上异于 A, B两点的任一点，则有��� ∙ ��� = �2 �2 ； (3)过双曲线上任一点 0 0 0( , )P x y 任作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则��� ∙ ��� =− �2 �2 (常数) 【即学即练 7-1】(2025·内蒙古包头·二模)直线 l与双曲线 2 2 1 4 x y  交于 ,P Q两点，线段 PQ的中点为  4,1M ， 则直线 l的方程为( ) A． 3y x  B． 3y x   C． 5y x  D． 5y x   【即学即练 7-2】(24-25 高三上·贵州贵阳·期末)已知双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   与直线 1y x  相交于 A，B两点，其 第 6 页 共 26 页 中 AB中点的横坐标为 2 ，则该双曲线的离心率为( ) A． 10 2 B． 5 2 C． 6 2 D． 3 2 1.判断方法一：通过解直线方程与双曲线方程联立得到的方程组进行判断. 判断方法二：通过直线与双曲线渐近线的位置关系进行判断. 2.弦长公式： �� = 1 + �2 ∙ �1 − �2 = 1+ �2 ∙ (�1 + �2)2 − 4�1�2， 或|AB|＝ 1+ ( 1 � )2 ∙ �1 − �2 = 1+ 1 k2 ∙ (y1 + y2)2 − 4y1y2. 3.双曲线的切线： (1)以 �2 �2 − � 2 �2 = 1(� > 0, � > 0)上点P(x0, y0)为切点的切线斜率为 k；则 k ∙ kOA =− b2 �2 ；切线方程: �0� �2 − �0� �2 = 1. (2)过� 2 �2 − � 2 �2 = 1外一点 P(x0, y0)作两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2所在直线方程： �0� �2 − �0� �2 = 1. 【即学即练 8-1】(24-25 高二上·福建福州·期末)已知双曲线C： 2 2 2 2 1 x y a b   ( 0a  ， 0b  )，两条直线 1l ， 2l 均 过坐标原点O， 1l 和C交于M ，N两点， 2l 和C交于 P，Q两点.若 OQN△ 的面积为 3，则 MNP△ 的面积 为 . 【即学即练 8-2】(24-25 高二上·四川成都·期末)已知椭圆 2 2: 1 3 xE y  的左右顶点分别为 1A， 2A ，且 B，C为 E上不同两点( B，C位于 y轴右侧)，B，C关于 x轴的对称点分别为为 1B ， 1C ，直线 1BA、 1 2B A 相交于点 P， 直线 1CA、 1 2C A 相交于点Q，已知点  2,0M  ，则 PM QM PQ     的最小值为 ． 题型 01 双曲线概念、基本量 【典例 1-1】(2025·北京朝阳·一模)曲线 2 2: 1C mx ny  ，则“ 0n m  ”是“C为焦点在 x轴上的双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例 1-2】(24-25 高一下·上海奉贤·期中)若双曲线 2 2 1 4 x y k   的一个焦点为  2 2,0 ，则 k  ． 【典例 1-3】(2025 高二·全国·专题练习)若点 P为直线 3 4 y x 上的任意一点，  1 5,0F  ，  2 5,0F ，则下列结 论中正确的是( ) A． 1 2 8PF PF  B． 1 2 8PF PF  C． 1 2 8PF PF  D．以上都有可能 第 7 页 共 26 页 【变式 1-1】(23-24 高二下·浙江·期中)“ 1m  ”是“方程 2 2 1 1 3 x y m m     表示的曲线是双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式 1-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知方程 2 3 x m   2 1 5 y m   表示双曲线，则m的取值范围为( ) A． ( 5, 3)  B． ( , 5) ( 3, )    C． (3,5) D． ( ,3) (5, )   【变式 1-3】(24-25 高二上·天津蓟州·阶段练习)若双曲线 2 2 2 120 x y m   与 2 2 2 14 y x n   的焦距相等，则椭圆 2 2 2 2 1 x y m n   的焦点坐标为 . 【变式 1-4】(24-25 高二上·全国·课后作业)对于方程 2 2 π πsin 1 , 2 2 x y            表示的曲线C，下列说法正 确的是( ) A．曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若 为负角，则曲线C为双曲线 C．若 为正角，则曲线C为椭圆 D．若C为椭圆，则其焦点在 x轴上 【变式 1-5】(2024·北京房山·一模)在平面直角坐标系中，已知 ( 1,0), (1,0)A B 两点．若曲线 C上存在一点 P， 使 0PA PB    ，则称曲线 C为“合作曲线”，给出下列曲线：① 2 22 1y x  ；② 2 22 1x y  ；③ 2 4x y  ．其 中“合作曲线”是( ) A．①② B．②③ C．① D．② 【变式 1-6】(23-24 高二上·天津西青·期末)方程 2 2cos 1x y   表示曲线的形状.①当 π0 2   时，方程表示 焦点在 x 轴上的椭圆；②当 π0 2   时，方程表示焦点 y在轴上的椭圆；③当 2    时，方程表示焦点 在 y 轴上的双曲线；④当 2    时，方程表示焦点在 x轴上的双曲线.以上结论正确的序号是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．② 题型 02 双曲线的标准方程 【典例 2-1】(23-24 高二上·吉林·阶段练习)如图，已知点  0,4A ，  0, 4B  ，从点C同时出发的两个质点M ， N均以每秒 2 个单位长度的速度做匀速直线运动，M 从C运动到 A，N从C运动到 B，且M 到达 A的时间 比N到达 B的时间晚 3 秒，则C的轨迹方程为 . 第 8 页 共 26 页 【典例 2-2】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知双曲线 2 2 2 1( 0)8 x y a a    的左、右焦点分别为 1 2,F F ，过 1F 的 直线与双曲线右支交于A点，若 2F 在线段 1AF 的中垂线上，且 1 8AF  ，则双曲线的方程为 . 【典例 2-3】(22-23 高三下·北京·开学考试)已知圆锥曲线 2 2: 1C mx ny  的一个顶点为 (0, 3)，焦距为 4，则 m的值为( ) A．7 或 1 B． 1 7 或 1 C．7 或 1 D． 1 7 或 1 【变式 2-1】(24-25 高二下·浙江·开学考试)已知双曲线 2 2 1 2 y x m   的焦距为 2 3，则 m的值为( ) A．4 B．2 C．1 D． 2 【变式 2-2】(2024 高三·全国·专题练习)一动圆过定点  4,0A  ，且与圆 B： 2 24 16x y   相外切，则动圆 圆心的轨迹方程为( ) A．   2 2 1 2 4 12 x y x    B．   2 2 1 2 4 12 y x y    C． 2 2 1 4 12   x y D． 2 2 1 4 12 y x   【变式 2-3】(23-24 高二上·北京·阶段练习)化简方程    2 22 25 5 8x y x y      的结果是( ) A． 2 2 1 4 3 x y   B． 2 2 1 9 16 x y   C． 2 2 625 1 1 x y   D． 2 2 1 16 9 x y   【变式 2-4】(24-25 高二上·湖南邵阳·阶段练习)一动圆 P过定点  3,0M  ，且与已知圆 N： 2 23 16x y   外切，则动圆圆心 P的轨迹方程是( ) A．   2 2 1 2 4 5 x y x   B．   2 2 1 2 4 5 x y x   C．   2 2 1 2 4 5 x y x    D．   2 2 1 2 4 5 x y x    【变式 2-5】(24-25 高二上·河南平顶山·阶段练习)在平面直角坐标系中，已知 ABCV 的顶点    2,0 , 2,0A B ， 其内切圆圆心在直线 1x  上，则顶点C的轨迹方程为( ) 第 9 页 共 26 页 A． 2 2 1( 1) 4 5 x y x   B． 2 2 1( 1) 3 yx x   C． 2 2 1(0 1) 9 5 x y x    D． 2 2 1(0 1) 9 4 x y x    【变式 2-6】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知双曲线的两个焦点为  1 10,0F  ，  2 10,0F ，M是此双曲 线上的一点，且满足 1 2 0MF MF    ， 1 2 2MF MF    ，则该双曲线的方程是( ) A． 2 2 1 9 x y  B． 2 2 1 9 yx   C． 2 2 1 3 7 x y   D． 2 2 1 7 3 x y   题型 03 双曲线的焦半径、焦点弦、焦点三角形 【典例 3-1】(24-25 高二上·浙江·阶段练习)已知双曲线的方程是 2 2 1 9 16 x y   ，它的两个焦点分别是 1F 与 2 ,F M 是双曲线上的一点，且 1 7MF  ，则 2MF 的值为( ) A．1 B．13 C．1 或 13 D．4 或 10 【典例 3-2】(24-25 高二上·湖南·期中)设 1F ， 2F 为双曲线 2 2 1 2 x y  的两个焦点，点 P是双曲线上的一点， 且 1 2 90F PF   ，则 1 2F PF 的面积为 . 【典例 3-3】(24-25 高二下·湖北·阶段练习) 1F 、 2F 是双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 y xC a b a b     的上、下焦点，过 2F 的 直线与C的上、下两支分别交于A、 B两点．若 1 2AF AF ， 1 4cos 5 AFB  ，又 6AB  ，则双曲线的实轴 长为( ) A． 2 B． 4 C．2 13 D． 4 13 【变式 3-1】(23-24 高二上·陕西咸阳·阶段练习)双曲线C：   2 2 2 1 012 x y a a    的两个焦点分别是 1F 与 2F ，焦 距为 8，M 是双曲线上的一点，且 1 5MF  ，则 2MF 等于( ) A．9 B．9 或 1 C．1 D．6 【变式 3-2】(2024·河北邢台·二模)若点 P是双曲线 C： 2 2 1 16 9 x y   上一点， 1F ， 2F 分别为 C的左、右焦点， 则“ 1 8PF  ”是“ 2 16PF  ”的( ) A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【变式 3-3】(23-24 高三下·上海·期中)设 1 2F F、 为双曲线Γ : 2 24 1 9 9 x y   左、右焦点，点M 在Γ的右支上，线 第 10 页 共 26 页 段 1FM与Γ的左支相交于点 N，且 2MF MN ，则 1FN  . 【变式 3-4】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知双曲线的标准方程为 2 2 1 9 16 x y   ，左、右焦点分别为 1 2,F F ，且 双曲线上有一点 P使得 1 2 25PF FS  ，则点 P的坐标为 . 【变式 3-5】(24-25 高二下·上海宝山·阶段练习)若椭圆 2 2 1x y m n   ( 0m n  )和双曲线 2 2 1x y s t   ( s, t 0 )有相同 的焦点 1F 和 2F ，而 P是这两条曲线的一个交点，则 1 2PF PF 的值是( ) A． n t B． 1 ( ) 2 n t C． 2 2m s D． m s 【变式 3-6】(24-25 高二下·江苏南京·开学考试)设 1 2,F F 为曲线 2 2 1 : 16 2 x yC   的左，右两个焦点，P是曲线 2 2 2 : 13 xC y  与 1C 的一个交点，则 1 2sin FPF 的值为( ) A． 1 3 B． 2 3 C． 5 3 D． 2 2 3 题型 04 双曲线的离心率 【典例 4-1】(24-25 高二上·天津滨海新·期中)双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左焦点为  3,0F  ，  0,4M ，点 P为 双曲线右支上的动点且 MPF△ 周长的最小值为 14，则双曲线的离心率为( ) A． 3 2 B．2 C． 5 2 D．3 【典例 4-2】(2025·浙江·二模)如图，椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     与双曲线 2 2 2 2 1 x y m n   有共同的右焦点F ，这两条 曲线在第一、三象限的交点分别为 A、B，直线 AF 与双曲线右支的另一个交点为C， BFC△ 形成以 BC为斜 边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为( ) A． 5 1 2  B． 2 2 C． 10 4 D． 3 2 【典例 4-3】(2025·湖南湘潭·一模)已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的右焦点为 2 (2,0)F ，若圆 2 2: ( 2) ( 6) 4M x y    上存在点 P 使得 2PF 的中点在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为( ) 第 11 页 共 26 页 A．[2, ) B．[3, ) C． (1, 2] D． (1,3] 【典例 4-4】(25-26 高三上·重庆·阶段练习)已知双曲线   2 2 2 2: 1 0 x yC b a a b     ，右焦点  ,0F c ，过点  2 ,0D c 且斜率为1的直线 l交C于A、 B两点，且 216DA DB b ，则C的离心率为( ) A． 2 B． 15 2 C． 3 D． 51 6 【变式 4-1】(2025 高三·全国·专题练习)已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜 角为30的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是( ) A． 3 3 B．1 C． 2 3 3 D．2 【变式 4-2】(25-26 高三上·广东肇庆·开学考试)若双曲线   2 2 2 2: 1 01 x yC a a a     与椭圆 2 2 1 6 x y  有公共焦 点，则双曲线C的离心率为( ) A． 21 3 B． 10 2 C． 6 2 D． 5 2 【变式 4-3】(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     ，过原点的直线 l的倾斜角为 ， 且 5cos 7   ，若 l与C没有交点，则C的离心率的取值范围是( ) A． 2 61, 5       B． 2 6 , 5       C． 71, 5      D． 7 , 5     【变式 4-4】(2025·四川达州·模拟预测)已知双曲线 2 2 2 2: 1 x yC a b   ( 0a  ， 0b  )的左，右焦点分别为 1F ， 2F ， 过 2F 的直线 l与其右支交于 P，Q两点，若 1 22PF PF ， 2 23QF PF ，则C的离心率为( ) A． 2 B．2 C． 2 2 D．4 【变式 4-5】(25-26 高三上·安徽·开学考试)已知 , ,A B C 是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yM a b a b     上的三点，且 ,A B 关于原点对称，若 ABCV 是等边三角形，则M 的离心率的取值范围为( ) A． ( 2, ) B． ( 3, ) C． (1, 2) D． (1, 3) 第 12 页 共 26 页 【变式 4-6】(25-26 高三上·重庆·开学考试)已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yE a b a b     的右焦点为 F ，右顶点为A， 过点 F 的直线与双曲线 E的一条渐近线交于点 P，与其左支交于点Q，且点 P与点Q不在同一象限，直线 AP 与直线 (OQ O为坐标原点)的交点在双曲线 E上，若 3PQ PF    ，则双曲线 E的离心率为( ) A． 7 3 B． 5 3 C．2 D．3 【变式 4-7】(2025·广东佛山·二模)已知 1 2,F F 是双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的左、右焦点， ,A B为双曲 线C上的两点，若 2 13F B F A   ，且以 1 2F F 为直径的圆恰好过点A，则双曲线C的离心率为( ) A． 5 B． 5 2 C． 10 2 D． 14 2 题型 05 双曲线的渐近线 【典例 5-1】(24-25 高二下·河南洛阳·阶段练习)双曲线 2 2 1 2 2 x y   的焦点到它的一条渐近线的距离为( ) A．1 B． 2 C．2 D． 2 2 【典例 5-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知双曲线M 与双曲线 2 2 : 1 4 3 x yN   有共同的渐近线，双曲线M 的两个焦点分别为 1 2,F F ，点 P为M 上的一点，且 1 2 8PF PF  ，则双曲线M 的方程为( ) A． 2 2 1 16 12 x y   B． 2 2 1 8 6 x y   C． 2 2 1 8 6 x y   或 2 2 1 6 8 x y   D． 2 2 1 16 12 x y   或 2 23 1 16 64 y x   【典例 5-3】(2025·山东聊城·模拟预测)已知点 F 为双曲线 2 2 : 1 2 4 x yC   的右焦点，点 ,A B分别为两条渐近线 上的点，且  0AF FB     ，则 OA OB 的最小值为 . 【变式 5-1】(24-25 高二下·贵州遵义·期末)已知双曲线 2 2 : 1 4 3 x yC   ，则它的渐近线方程为( ) A． 3 2 y x  B． 2 3 3 y x  C． 2y x  D． 3y x  【变式 5-2】(25-26 高三上·安徽·开学考试)已知双曲线 C： 2 2 1y x m   (m＞0)的上、下焦点分别为 1 2,F F ，A 为 C上一点，且 1 2 2 2AF AF  ，则双曲线 C的渐近线方程为( ) A． 1 2 y x  B． 2y x  C． 2y x  D． 2 2y x  第 13 页 共 26 页 【变式 5-3】(24-25 高三下·天津南开·阶段练习)设 F 为双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的右焦点， ， 分 别为C的两条渐近线的倾斜角，已知点F 到其中一条渐近线的距离为 3，且满足 5  ，则双曲线C的焦 距为( ) A． 2 3 B．2 C． 4 3 D．4 【变式 5-4】(25-26 高二上·全国·课后作业)已知 P为双曲线 2 2: 1 8 yC x   上一点， 1 2,F F 分别为其左、右焦点， 则下列说法正确的是( ) A． 1 2 2 1 PF PF PF PF  有最大值 5 2 B． 1 2F PF 的内心 I 到 y轴的距离为 1 C．若 P为双曲线的右顶点，则点 P到一条渐近线的距离为 2 3 D．点 P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值 8 9 【变式 5-5】(2025·河南·二模)已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，渐近线方 程为 3y x  ，过 1F 且斜率为1的直线 l与C在第一象限的交点为 P， 1 2PF F 的角平分线与线段 2PF 交于点 Q，若 2PQ QF   ，则 的值是( ) A． 4 2 4 3  B． 2 1 2  C． 2 2 2 D． 3 2 34  【变式 5-6】(24-25 高二上·湖北咸宁·期末)已知双曲线C：   2 2 2 1 02 x y b b    的左、右焦点分别为  1 ,0F c ，  2 ,0F c ， P为双曲线C右支上的动点，则( ) A．若 2F 到渐近线的距离为 1，则 3c  B．当点 P异于顶点时， 1 2PFF 的内切圆的圆心总在定直线 2x  上 C．若 1 2 90F PF   ，则点 P的纵坐标为 2b c  D．过点 P作双曲线的切线交渐近线于 ,A B两点，若 3OABS  ，则曲线的渐近线方程为 3y x  题型 06 与双曲线有关的最值与范围问题 【典例 6-1】(23-24 高二下·广西南宁·期末)若双曲线 2 2: 1 3 yC x   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，P是 C右支 上的动点，则 1 2PF PF 的最小值为 ． 第 14 页 共 26 页 【典例 6-2】(24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习)过双曲线 2 2 1 8 yx   的右支上一点 P，分别向圆  2 21 : 3 2C x y   和圆   2 2 2 : 3 1C x y   作切线，切点分别为M 、 N，则 2 2PM PN 的最小值为( ) A．10 B．11 C．12 D．15 【典例 6-3】(2025 高三·全国·专题练习)已知点 P在双曲线 2 2 1 16 9 x y   上，点A满足    1 ,PA t OP t O  R   为 坐标原点，且 64OA OP    ，  0,1OB   ，则 OB OA   的最大值为( )． A． 5 4 B． 24 5 C． 4 5 D． 5 24 【变式 6-1】(24-25 高二下·福建宁德·开学考试)已知双曲线 2 2 1 9 7 x y   的左焦点为 ,F M 为双曲线右支上任意 一点，N为圆  22: 3 1C x y   上任意一点，则 MF MN 的最小值是 ． 【变式 6-2】(2025 高二·全国·专题练习)已知 F是双曲线 2 2 1 4 12 y x   的下焦点，  4,1A ，P是双曲线上支上的 动点，则 PF PA 的最小值为( ) A．9 B．8 C．7 D．6 【变式 6-3】(2025·浙江绍兴·二模)已知双曲线 2 2Γ : 1 3 yx   的左焦点为 F ，点 ,A B在Γ的右支上，且 6AB  ， 则 FA FB 的最小值为( ) A．4 B．6 C．10 D．14 【变式 6-4】(24-25 高二下·四川成都·阶段练习)过双曲线 2 2 1 4 12   x y 的右支上一点 P，分别向 2 2 1 : ( 4) 3C x y   和 2 2 2 : ( 4) 1C x y   作切线，切点分别为 ,M N，则  PM PN NM     的最小值为( ) A．28 B．30 C．31 D．32 【变式 6-5】(24-25 高二上·河南南阳·期中)已知 P为曲线 2 : 1 2 yC x   上任意一点， ( 3,0)A  ， (0, 22)B ，则 第 15 页 共 26 页 PA PB 的最小值为( ) A． 2 15 B．5 C． 4 3 D．7 【变式 6-6】(2025 高三·全国·专题练习)已知点 F是双曲线 2 2 1 : 14 yC x  的上焦点，M 是 1C 下支上的一点， 点N是圆 2 22 : 4 3 0C x y x    上一点，则 MF MN 的最小值是 . 题型 07 直线与双曲线的位置关系 【典例 7-1】(24-25 高三上·江苏镇江·阶段练习)双曲线 2 2: 1 3 xC y  的右焦点 F ，过原点O的直线与C相交 于 P，Q两点，若 PF QF ，则 PFQ△ 的面积为( ) A． 12 B．1 C． 3 2 D．2 【典例 7-2】(24-25 高三上·河南·开学考试)已知 F 是双曲线 2 2: 1 3 yC x   的左焦点，过点 F 的直线与C交于 ,A B两点(点 ,A B在C的同一支上)，且 2BF AF ，则 AB  ( ) A．6 B．8 C． 13 2 D． 27 4 【典例 7-3】．(25-26 高二上·全国·课后作业)已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的离心率 e 2 ， ,A B是双曲 线上关于原点对称的两点，点 P是双曲线上异于 ,A B的动点，直线 ,PA PB的斜率分别为 1 2,k k ，若 11 2k  ， 则 2k 的取值范围是( ) A． 3 23, 2        B． 3 2 ,3 2       C． 4, 2  D． 2,4 【变式 7-1】(23-24 高二下·广东·期末)已知双曲线 2 2 1 3 yx   的左、右焦点分别为 1 2,F F ，直线 y x 与双曲线 的右支交于点 P，则 1 2PF PF    ( ) A． 1 B．0 C．1 D．2 【变式 7-2】(2024·全国·模拟预测)已知椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0) x yC a b a b     与双曲线 2 2 2 2 2: 1( 0) x yC m m b    有公共焦 点，记 1C 与 2C 在 x轴上方的两个交点为A， B，过 1C 的右焦点作 x轴的垂线交 2C 于M ， N两点，若 4 3 3 AB MN ，则 1C 的离心率为( ) 第 16 页 共 26 页 A． 3 7 B． 2 3 C． 4 5 D． 3 2 【变式 7-3】(2025 高三·全国·专题练习)已知双曲线 C： 2 2 1 4 x y  的左、右顶点分别为 A，B，点 P在 C上 且在第一象限内，设直线 AP与 BP的斜率分别为 1k ， 2k ，则 1 24k k 的最小值为( ) A． 1 B． 2 C．1 D．2 【变式 7-4】(2025·安徽合肥·模拟预测)已知双曲线 2 2 2 2: 1 x yC a b   ( 0a  ， 0b  )，斜率为 1 的直线 l与双曲线 C的两支分别交于 M，N两点，且 M，N的中点为 (1,3)G ，若右顶点 A在以线段MN为直径的圆内，则此双 曲线的实半轴 a的取值范围是( ) A．0 1a  B．1 2a  C． 1a  D． 2a  【变式 7-5】(2024·全国·模拟预测)已知双曲线 2 2: 1 15 yC x   的左、右焦点分别为 1 2,F F ，过 1F 且斜率不为 0 的直线 l与双曲线C交于 ,A B两点，O为坐标原点， 2OA F B∥ ，则直线 l的斜率为( ) A． 7 3  B． 7 4  C． 3 7 7  D． 2 7 7  【变式 7-6】(2025·湖南岳阳·三模)已知 1F ， 2F 分别是双曲线C： 2 2 2 2 1 x y a b   ( 0a  ， 0b  )的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点， 2PF 的最小值为 1，且当 2PF x 轴时， 2 3PF  ，则( ) A．双曲线C的焦距为 4 B．双曲线C的一条渐近线被圆T ：  2 22 4x y   截得的弦长为 2 C．过点 2F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为Q，则 1 2 2QF  D．M 为圆 E：( ) 2 22 1x y+ + = 上一点， 2PM PF 的最大值为 3 题型 08 双曲线的弦中点问题 【典例 8-1】(24-25 高二上·福建泉州·期末)斜率为 1 的直线与双曲线   2 2 2: 1 0 xC y a a    交于A， B两点， 若线段 AB的中点为  3,1 ，则 a  ( ) A． 2 B． 3 C． 6 D． 2 3 【典例 8-2】(2024·陕西西安·模拟预测)已知 1 2F F、 为双曲线 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的两个焦点， P为双曲线 第 17 页 共 26 页 右支上的动点(非顶点)，则 1 2PFF 的内切圆恒过定点( )． A． ;0 2 a       B．  ,0a C． , 02 a      D．  ,0a 【典例 8-3】(2025 高三·全国·专题练习)已知双曲线 C：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ， 过 1F 且倾斜角为的直线与 C交于 A，B两点，若 2cos e   (e为 C的离心率)，O为坐标原点，G为 AOBV 的 重心，则OG斜率的最小值为( ) A．3 6 B． 4 3 C．3 3 D． 2 5 【变式 8-1】(2024·陕西宝鸡·一模)设A， B为双曲线 2 2 1 9 yx   上两点，下列四个点中，可为线段 AB中点的 是( ) A．  1,1 B．  1,2 C．  1,4 D．  1,3 【变式 8-2】(24-25 高二上·湖北·期末)已知双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   与直线 1y x  相交于A， B两点，其中 AB中 点的横坐标为 2 3 ，则该双曲线的离心率为( ) A． 7 2 B． 14 2 C． 35 5 D． 15 3 【变式 8-3】(24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期末)已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yE a b a b     的右焦点为  5,0F ，过 点F 的直线交双曲线 E于M 、 N两点.若MN的中点坐标为  6, 2 ，则双曲线 E的实轴长为( ) A． 15 B． 2 15 C． 10 D． 2 10 【变式 8-4】(24-25 高二上·浙江杭州·期末)已知斜率为 3 3 的直线过双曲线 2 2: 1( 0)yC x m m    的左焦点 F， 且与 C的左，右两支分别交于 A，B两点，设 O为坐标原点，P为 AB的中点，若 OFP△ 是以 FP为底边的 等腰三角形，则双曲线的离心率( ) A．2 B． 2 C．3 D． 3 【变式 8-5】(2025·河北·模拟预测)过双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的右焦点 F 的直线与双曲线右支交于 ,A B 两点，弦 AB的垂直平分线交 x轴于点 P，若 AB PF ，则该双曲线的离心率  ( ) 第 18 页 共 26 页 A． 2 B． 3 C．2 D．3 【变式 8-6】(2024·全国·模拟预测)已知双曲线 2 2: 1C x y  ，直线 l与双曲线C交于 A，B两点，O为坐标原 点，若点 P在直线 l上且直线 OP把 OAB△ 分成面积相等的两部分，则下列不能作为点 P的坐标的是( ) A．  0,1 B．  1,2 C．  2,1 D． 1 1, 2 4       题型 09 定点、定值问题 【典例 9-1】(23-24 高二上·河南开封·期末)已知点 P是双曲线 2 2 : 1 36 16 y xC   上一点，则点 P到双曲线C的两 条渐近线的距离之积为( ) A． 36 13 B． 72 13 C． 144 13 D． 288 13 【典例 9-2】(2025·山东泰安·三模)设双曲线 C： 2 2 1x y  的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，P为 C上一动点， 则 P到 y轴的距离与 P到 1F ， 2F 距离之和的比值( ) A．恒为定值 2 4 B．恒为定值 2 2 C．不为定值但有最小值 2 4 D．不为定值但有最大值 2 2 【典例 9-3】(23-24 高三上·云南楚雄·期中)双曲线 C： 2 2 2 2 1 x y a b   的左、右顶点分别为 1A， 2A ，左、右焦点 分别为 1F ， 2F ，过 1F 作直线与双曲线 C的左、右两支分别交于 A，B两点.若 22AB BF ，且 1 2 1cos 4 F BF  ， 则直线 1A B与 2A B的斜率之积为( ) A． 5 3 B． 3 5 C． 4 3 D． 3 4 【变式 9-1】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知O为坐标原点，双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的离心率为 2，虚轴长为 2 3,Q为圆O： 2 2 1x y  上一点，过点Q作C的两条切线，切点分别为 ,A B，记直线 , ,QA QB OQ 的斜率分别为 1 2 3, ,k k k ，则  1 2 3k k k  ( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【变式 9-2】(24-25 高三上·天津河西·期末)已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的虚轴长为 2 2,P为C上一 第 19 页 共 26 页 点，过点 P向C的两条渐近线作垂线，垂足分别为 10, , 7 A B PA PB  ，则双曲线C的方程为( ) A． 2 2 1 5 2 x y   B． 2 2 1 7 2 x y   C． 2 2 1 10 4 x y   D． 2 2 1 20 8 x y   【变式 9-3】(2025·内蒙古呼和浩特·一模)已知 P为双曲线 2 2 1 2 x y  上的一点，由 P向两渐近线作垂线，垂 足分别为 E、 F ，则 PE PF   的值为( ) A． 2 9  B．0 C． 1 3 D．不确定 【变式 9-4】(24-25高二下·江苏南京·期中)已知O为坐标原点，离心率为 3的双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     左、右焦点分别为 1 2,F F ，过点 2F 且倾斜角为锐角的直线 l与 C的右支交于 M，N两点．设△MF1F2与△NF1F2 的内切圆圆心分别是 P，Q，直线 OP，OQ的斜率分别是 1 2k k， ，则 1 2·k k ＝() A．－4 B． 2 2 3 C．4 D． 2 3 【变式 9-5】(2024·黑龙江·二模)双曲线 2 2 2 2 1 x yC a b  : 的左、右顶点分别为 1 2A A， ，左、右焦点分别为 1 2F F， ， 过 1F作直线与双曲线C的左、右两支分别交于 M，N两点.若 1 1 4 FM MN   ，且 1 2 1cos 4 F NF  ，则直线 1MA 与 2MA 的斜率之积为( ) A． 3 2 B． 4 3 C． 5 2 D． 5 3 【变式 9-6】(2024·浙江金华·模拟预测)已知椭圆 2 2 1, 2 x y O  为原点，过第一象限内椭圆外一点  0 0,P x y 作 椭圆的两条切线，切点分别为 ,A B .记直线 , , ,OA OB PA PB的斜率分别为 1 2 3 4, , ,k k k k ，若 1 2 1 4 k k  ，则( ) A．直线 AB过定点 B．    1 4 2 3k k k k   为定值 C． 0 0x y 的最大值为 2 D． 0 05 3x y 的最小值为 4 1.若双曲线 2 2 1yx m   的一个焦点为  3,0 ，则m等于( ) A． 7 B． 7 C． 2 2 D．8 第 20 页 共 26 页 2.(2025·安徽·模拟预测)已知双曲线C关于原点对称，其中一个焦点的坐标为  5,0 ，一条渐近线方程为 4 3 y x ， 则C的实轴长为( ) A．3 B．6 C．4 D．8 3.(24-25 高二上·湖北孝感·阶段练习)设m为实数，若方程 2 2 1 3 2 x y m m     表示焦点在 y轴上的双曲线，则实 数m的取值范围是( ) A． 2 3m   B． 3m  C． 1 3 2 m  D． 12 2 m   4.(25-26 高三上·北京·开学考试)若双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 y x a b a b     的离心率为 5 4 ，则它的渐近线方程为( ) A．y =± 5 4 x B．y =± 4 5 x C．y =± 4 3 x D．y =± 3 4 x 5.(25-26 高三上·广东深圳·开学考试)已知 1F ， 2F 是双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   的两个焦点，以线段 1 2F F 为边作正三角形 1 2MF F ，若边 1MF 的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是( ) A． 3 1 2  B． 3 2 2  C． 3 1 D． 4 2 3 6.(2025 高三·全国·专题练习)已知 AB为双曲线 2 2 1 4 3 x y   上经过原点的一动弦， P为圆  22: 3 1C x y   上一 动点，则 PA PB   的最大值为( ) A．4 B．6 C．8 D．12 7.(2025·四川凉山·三模)已知 0a  ， 0b  ，曲线 2 2 1 2 2: 1 x yC a b   与曲线 2 2 2 2: 1 x xyC a b    无公共点，则曲线 1C 的离心 率的取值范围为( ) A． (1, 2] B．[ 2, ) C． (1, 3] D．[ 3, ) 8.(24-25 高三下·江西·开学考试)已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yE a b a b     与平行于 x轴的动直线交于 ,A B两点，点A 在点 B左侧，F 为双曲线 E的左焦点，延长 BF至点C，使 AF FC ，连接 AC交 x轴于点D，若 2FC FD ， 则该双曲线的离心率为( ) A． 2 B． 3 C．2 D．3 9.(23-24 高二上·江苏泰州·期末)下列结论正确的是( ) 第 21 页 共 26 页 A．椭圆 2 2 1 16 7 x y   上任意一点到两个焦点的距离之和为 8 B．椭圆 2 2 1 16 7 x y   上一点到右焦点的距离的最大值为 6 C．双曲线 2 2 1 64 16 x y   上一点M 到一个焦点的距离为 1，则点M 到另一个焦点的距离为17 D．双曲线 2 2 1 64 16 x y   上一点M 到一个焦点的距离为 17，则点M 到另一个焦点的距离为 1 10.(24-25 高二下·福建福州·期末)已知曲线 2 2 : 1x yC m n   ，则下列说法正确的是( ) A．若 0m n  ，则 C是圆 B．若 0mn  ，则 C是双曲线 C．若 0m n  ，则 C的离心率为 2 21 n m  D．若 4m  ， 2n  ，则 C上的点到焦点的最短距离为 2 2 11.(2025·安徽滁州·一模)双曲线 2 2: 1 3 yE x   的右焦点为 F，O为坐标原点，直线 : 2 0l mx y m   ，则( ) A．E的离心率 2e  B．若直线 l与 E的左右两支均有交点，则 m的取值范围为  3, 3 C．若直线 l与 E的渐近线在 y轴右侧交于 M，N两点，则 OMN 面积的最小值为 4 3 D．若直线 l与 E右支交于 A，B两点，弦 AB的垂直平分线交 x轴于点 P，则 PF AB 12.(25-26 高二上·全国·单元测试)与双曲线 2 2 1 2 x y  有公共渐近线，且过点  2, 2 的双曲线的实轴长 为 ． 13.(24-25 高二上·重庆·期中)如图，椭圆 2 2 1 6 2 x y   和双曲线 2 2 1 3 x y  的公共焦点分别为 1 2,F F ，A是椭圆与 双曲线的一个交点，则 1 2AF AF  . 14.(24-25 高二上·广东·期中)如图，椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     与双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y m n m n     有公共焦点 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)( 0)F c c  ，椭圆的离心率为 1e ，双曲线的离心率为 2e ，点 P为两曲线的一个公共点，且 1 2 60FPF  ，I为 1 2F PF 的内心， 1F ，I，G三点共线，且 0GP IP    ，x轴上点 A，B满足 AI IP   ，BG GP   ， 第 22 页 共 26 页 则 1 2e e 的最小值为 ； 2 25  的最小值为 . 15.(24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习)已知双曲线 2 2: 1, ( , 2) 4 xC y M m  ，斜率为 k的直线 l过点M . (1)若 0m  ，且直线 l与双曲线C只有一个公共点，求 k的值； (2)双曲线C上有一点 P， 1 2FPF 的夹角为120，求三角形 1 2PFF 的面积. 第 23 页 共 26 页 16.(25-26 高二上·全国·单元测试)已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ． (1)若双曲线C与椭圆 2 2 1 4 x y  有共同的焦点，且双曲线C过点 (2,1)Q ，求该双曲线的标准方程； (2)若 1b  ，点 P在双曲线右支上，且 1 2 π 3 FPF  ，求 1 2F PF 的面积． 第 24 页 共 26 页 17.(25-26 高二上·全国·单元测试)已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的实轴长为 2 3，且过点 (3, 2)． (1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C的右焦点 F 作斜率为 1 的直线 l，l与双曲线C交于 A，B两点，求｜ AB｜；(3)若O是坐标原点，M，N是双曲线C上不同的两点，且直线 MN的斜率为 2，线段 MN的中点为 P， 求直线 OP的斜率． 第 25 页 共 26 页 18.(24-25 高二下·陕西西安·期末)已知双曲线   2 2 2: 1 0 yC x b b    的左顶点为M ，右焦点为 F ，A，B是C上 的两点，线段 AB的中点为H．当 BF MF 时， tan 2BMF  ． (1)求C的标准方程；(2)若 1 8, 7 7 H      ，求直线 AB的斜截式方程； (3)若M ，A， B三点不共线，且 2AB MH ，证明：直线 AB过定点． 第 26 页 共 26 页 19.(2024·辽宁·一模)已知双曲线C： 2 2 2 2 1 x y a b   ( 0a  ， 0b  )的右顶点  1,0E ，斜率为 1 的直线交C于M 、 N两点，且MN中点  1,3Q . (1)求双曲线C的方程；(2)证明： MEN 为直角三角形；(3)若过曲线C上一点 P作直线与两条渐近线相交， 交点为A， B，且分别在第一象限和第四象限，若 AP PB   ， 1 , 2 3       ，求∆AOB面积的取值范围.