3.2.1 双曲线的标准方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

**基本信息** 本同步练习通过“基础过关+能力提升”分层设计，以双曲线定义、标准方程及综合应用为核心，构建从概念辨析到实际建模的知识巩固路径，培养数学推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|双曲线定义辨析、标准方程求法、简单几何性质应用|以选择填空为主，结合典型错误警示（如第2题距离范围），强化运算能力与概念理解| |能力提升练|焦点三角形综合、轨迹方程推导、实际问题建模|融入跨学科情境（如光学性质、救援信号），通过解答题深化逻辑推理与数学建模，体现数学眼光与理性思维|

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 基础过关练 题组一　双曲线的定义及其应用 1.(2024重庆部分学校阶段检测)已知平面上的定点F1,F2及动点M,甲:||MF1|-|MF2||=m(m为常数),乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2025陕西汉中普通高中十校联盟期中)双曲线-=1上一点P到该双曲线的一个焦点的距离为7,则点P到另一个焦点的距离是(　　) A.13　　　　　B.15 C.1或13　　　　　D.1或15 3.(2025山东菏泽鄄城第一中学月考)已知点M为双曲线C:-=1左支上的一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,则|MF1|+|F1F2|-|MF2|=　　(　　) A.2　　　　　B.4　　　　　C.6　　　　　D.8 4.(2024四川内江第六中学月考)已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5.若2a=8,则△ABF2的周长是　　　　.  题组二　双曲线的标准方程 5.(2024河北承德期初考试)经过点P(-3,2)和Q(-6,-7)的双曲线的标准方程是(　　) A.-=1　　　　　B.-=1 C.-=1　　　　　D.-=1 6.(2025江苏徐州期中)以椭圆+=1的长轴的两个端点为焦点,且与x轴的两个交点恰好为椭圆的焦点的双曲线的方程为(　　) A.-=1　　　　　B.-=1 C.-=1　　　　　D.-=1 7.(2024辽宁锦州渤海大学附属高级中学摸底考试)已知双曲线的一个焦点为F1(-,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是(　　) A.-y2=1　　　　　B.x2-=1 C.-=1　　　　　D.-=1 8.(多选题)(2024甘肃庆阳环县一中期末)关于x,y的方程+=1(m2≠4)表示的曲线可能是(　　) A.焦点在y轴上的双曲线 B.圆心为坐标原点的圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.长轴长为2的椭圆 题组三　双曲线的综合应用 9.(2024天津耀华中学月考)若椭圆+=1(m>n>0)和双曲线-=1(a>0,b>0)有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值是(　　) A.m-a2　　　　　B.(m-a2) C.m2-a2　　　　　D.- 10.(2025湖南永州祁阳第四中学月考)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线C的右支上的一点,且不在x轴上,过F2作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则|MO|的值为(　　) A.随P点变化而变化　　　　　 B.2 C.4　　　　　 D.5 11.(2025甘肃定西临洮中学质量检测)人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质.如图,从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2-y2=1,则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(P为入射点),∠F1F2P的大小为(　　) A.　　　　　B.　　　　　 C.　　　　　D. 12.(2025河北保定六校联盟期中)若P是双曲线x2-=1的右支上的一点,M,N分别是圆(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为　　　　.  13.(2025贵州铜仁月考)若F是双曲线-=1的左焦点,A(2,),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为　　　　.  14.(2024山东泰安一中月考)设F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,P是该双曲线上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,求△PF1F2的面积. 15.焦点在x轴上的双曲线过点P(4,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程. 能力提升练 题组一　双曲线的定义及其应用 1.(2025甘肃定西模拟)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交双曲线右支于A,B两点,若△ABF1是等腰三角形,且∠F1AB=120°,则△ABF1的周长为　　(　　) A.+8　　　　　B.4(-1) C.+8　　　　　D.2(-2) 2.(2025吉林长春第二实验中学期中)已知F1,F2分别为双曲线x2-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上任意一点,点P不在x轴上,若A为△PF1F2内切圆上一动点,则当|AF1|的最大值为4时,△PF1F2的内切圆半径为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 3.(2025云南昆明期中教学质量检测)已知A,B为直线l上的两个定点,|AB|=2,P为l上的动点.在平面直角坐标系中,F1(-3,0),F2(3,0),以F1为圆心,|PA|为半径作圆F1,以F2为圆心,|PB|为半径作圆F2,则两圆公共点的轨迹方程为(　　) A.x2-=1　　　　　B.-y2=1 C.+=1　　　　　D.+y2=1 4.(2024吉林长春十一高中期末)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别是F1,F2,点M关于F1,F2对称的点分别是A,B,线段MN的中点在双曲线C的右支上,则|AN|-|BN|=　　　　.  题组二　双曲线的标准方程及其应用 5.(2025天津南开中学期中)如图,F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F1(-,0),过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为(　　) A.-=1　　　　　B.-y2=1　　　　　 C.x2-=1　　　　　 D.-=1 6.(2024上海大学附属中学月考)设P(x,y)是双曲线-=1的右支上的点,则代数式-的最小值为(　　) A.　　　　　B.2- C.-　　　　　D.+-3 7.(多选题)已知点P是双曲线E:-=1的右支上一点,F1,F2分别为双曲线E的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有(　　) A.点P的横坐标为 B.△PF1F2为锐角三角形 C.△PF1F2的周长为 D.△PF1F2的内切圆半径为 8.(2024江西鹰潭贵溪一中月考)设F1,F2是双曲线C:-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C的右支上,且+=2,则△PF1F2的面积为(　　) A.　　　　　B.4　　　　　C.8　　　　　D.8 9.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2. (1)若点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离; (2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程. 题组三　双曲线的综合应用 10.(2025辽宁县级重点高中协作体期中)某飞船返回舱即将到达地球,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域内安排了三个救援中心(分别记为A,B,C),A在B的正东方向,相距6 km处,C在B的北偏西30°方向,相距4 km处.若P为航天员的着陆点,在某一时刻,A地接收到来自P处的求救信号,由于B,C两地比A距P远,4 s后B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1 km/s,则在A地测得P的方向角为(　　) A.北偏东30°　　B.北偏东60° C.北偏西30° 　D.北偏西60° 11.某地发生地震,为了援救灾民,救援人员在如图所示的P处收到一批救灾药品.现要把这批药品沿道路PA,PB运送到矩形灾民区ABCD中去,已知|PA|=100 km,|PB|=150 km,|BC|=60 km,∠APB=60°.试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线,并求出其方程. 答案与分层梯度式解析 第3章　圆锥曲线与方程 3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 基础过关练 1.B　根据双曲线的定义,知乙⇒甲,但甲⇒/　乙,只有当0<m<|F1F2|时,点M的轨迹才是双曲线. 2.A　由双曲线-=1,可知a=3,c==5, 不妨设双曲线的两焦点分别为F1,F2,|PF1|=7, 所以||PF1|-|PF2||=|7-|PF2||=2a=6, 解得|PF2|=1或|PF2|=13, 易知双曲线上的点到焦点的距离的最小值即为双曲线与x轴的交点和对应一侧焦点间的距离,即为c-a,故|PF2|≥c-a=5-3=2,所以|PF2|=13. 易错警示　已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,若|PF1|<c-a,则点P不存在,|PF2|无解;若c-a≤|PF1|<c+a,则点P只能在左支上,|PF2|有一解;若|PF1|≥c+a,则点P既能在左支上,又能在右支上,|PF2|有两解. 3.B　因为M为双曲线C:-=1左支上的一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,所以|MF2|-|MF1|=2a,故|MF1|+|F1F2|-|MF2|=2c-2a, 由双曲线方程可知a=3,b=4,c==5, 所以|MF1|+|F1F2|-|MF2|=2c-2a=10-6=4. 4.答案　26 解析　易知|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8, ∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16, ∴|AF2|+|BF2|=16+5=21, ∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26. 5.B　设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0), 则解得 故双曲线的标准方程为-=1. 6.C　易知椭圆+=1的长轴的两个端点分别为点(5,0),(-5,0),两个焦点分别为点(4,0),(-4,0),所以所求双曲线的两个焦点分别为点(5,0),(-5,0),与x轴的两个交点分别为点(4,0),(-4,0),则对于双曲线方程,c=5,a=4,所以b2=c2-a2=9,所以所求双曲线的方程为-=1. 7.B　设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),易知c=,所以b2=5-a2,所以-=1.因为线段PF1的中点坐标为(0,2),所以点P的坐标为(,4).将(,4)代入双曲线方程,得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x2-=1. 8.BC　若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则m2+2<0且4-m2>0,无解,A错误;若方程表示圆心为坐标原点的圆,则m2+2=4-m2,解得m=±1,B正确;若方程表示焦点在x轴上的双曲线,则4-m2<0且m2+2>0,所以m>2或m<-2,C正确;若方程表示长轴长为2的椭圆,则2a=2,则或无解,D错误. 9.A　不妨设|PF1|>|PF2|,由椭圆与双曲线的定义可得所以 所以|PF1|·|PF2|=(+a)(-a)=m-a2. 10.C　延长F2M交PF1于Q,由题意得,直线PM是线段F2Q的中垂线,即|PQ|=|PF2|,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=8,又因为线段MO是△F1F2Q的中位线,所以|MO|=|QF1|=4. 11.D　由x2-y2=1,得a=1,b=1,c=. 设|PF2|=m(m>0),则|PF1|=2+m. 所以m2+(m+2)2=(2)2,解得m=-1或m=--1(舍去), 所以cos∠F1F2P===, 所以∠F1F2P=. 12.答案　6 解析　设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,由题意得a=1,b=4,c=7,∴F1(-7,0),F2(7,0),∵M,N分别是圆(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1上的点, ∴|MF1|=3,|NF2|=1,由题意知|PF1|-|PF2|=2a=2,∴|PM|≤|PF1|+|MF1|,|PN|≥|PF2|-|NF2|, ∴-|PN|≤-|PF2|+|NF2|, ∴|PM|-|PN|≤|PF1|-|PF2|+|NF2|+|MF1| =2+1+3=6. 13.答案　6 解析　设双曲线的右焦点为F',如图所示, 由双曲线方程-=1,可知F'(3,0),a=2, 由双曲线的定义可知|PF|-|PF'|=2a=4,即|PF|=|PF'|+4,则|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4, 当且仅当点P在线段AF'上时,等号成立, 又|AF'|==2,所以|PF|+|PA|≥|AF'|+4=6,所以|PF|+|PA|的最小值为6. 14.解析　∵F1,F2是双曲线-=1的两个焦点, ∴不妨设F1(-3,0),F2(3,0),∴|F1F2|=6, 由|PF1|∶|PF2|=2∶1,可设|PF2|=x(x>0), 则|PF1|=2x. 由双曲线的定义知2x-x=2,解得x=2, ∴|PF1|=4,|PF2|=2, ∴cos∠F1PF2==, 又0<∠F1PF2<π,∴sin∠F1PF2=, ∴△PF1F2的面积为×4×2×=12. 15.解析　因为双曲线的焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),两焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0). 因为双曲线过点P(4,-3),所以-=1①. 又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直, 所以·=0,即-c2+25=0,解得c2=25②.又因为c2=a2+b2③,所以由①②③可解得a2=16或a2=50(舍去), 所以b2=9.故此双曲线的标准方程是-=1. 能力提升练 1.A　由题意得a=2,则|AF1|-|AF2|=2a=4,|BF1|-|BF2|=2a=4,设|AF2|=m,|BF2|=n,m>0,n>0,所以|AF1|=4+m,|BF1|=4+n.因为△ABF1是等腰三角形,且∠F1AB=120°,所以|AF1|=|AB|,即4+m=m+n,所以n=4,所以|BF1|=8,|AB|=4+m,在△ABF1中,由余弦定理得=+|AB|2-2×|AF1|×|AB|×cos∠F1AB,即82=(4+m)2+(4+m)2-2×(4+m)2×,所以3(4+m)2=64,解得m=-4(负值舍去),所以△ABF1的周长为|AF1|+|AB|+|BF1|=4+m+m+4+8=+8. 2.C　易得F1(-2,0),F2(2,0).设△PF1F2的内切圆分别与PF1,PF2相切于N,B,与F1F2相切于M,圆心为C,如图,连接AC,CM,CN,CB,则|PN|=|PB|,|F1N|=|F1M|,|F2B|=|F2M|,又因为点P在双曲线右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,故|F1M|-|F2M|=2a, 设M的坐标为(x,0),则(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a=1.设△PF1F2的内切圆半径为r,则内切圆圆心为C(1,r),则|AF1|的最大值为|CF1|+r=4,即+r=4,解得r=,所以△PF1F2的内切圆半径为. 3.A　设圆F1,圆F2的半径分别为r,R,则r=|PA|,R=|PB|, 设两圆的一个公共点为M,连接MF1,MF2,由题意可知,点P不能与点A或点B重合. 当点P在线段AB(不包括端点)上运动时,|MF1|+|MF2|=r+R=|PA|+|PB|=|AB|=2, 又|MF1|+|MF2|<|F1F2|=6,所以点M不存在; 当点P在以A为端点,的方向为方向的射线上运动时,|MF2|-|MF1|=R-r=|PB|-|PA|=|AB|=2; 当点P在以B为端点,的方向为方向的射线上运动时, |MF1|-|MF2|=r-R=|PA|-|PB|=|AB|=2. 综上,||MF1|-|MF2||=2<|F1F2|=6, 所以动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线, 设该双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),焦距为2c,则可得 因此两圆公共点的轨迹方程为x2-=1. 4.答案　16 解析　如图,设线段MN的中点为D,连接DF1,DF2.由双曲线的定义可得|DF1|-|DF2|=2a=8.易得D,F1,F2分别是线段MN,MA,MB的中点,则|AN|=2|DF1|,|BN|=2|DF2|,故|AN|-|BN|=2|DF1|-2|DF2|=4a=16. 5.C　根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,由于△ABF2为等边三角形,因此|AF2|=|AB|=|BF2|,由①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a, 又因为∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,即7a2=c2=7,解得a2=1,则b2=c2-a2=6, 所以双曲线的方程为x2-=1. 6.B　-=-,设A(0,1),F(3,0),连接PA,PF,PF',则上式表示|PA|-|PF|,易知双曲线-=1的左、右焦点分别为F'(-3,0),F(3,0),实轴长2a=2,则|PF|=|PF'|-2a=|PF'|-2,则|PA|-|PF|=|PA|-|PF'|+2=-(|PF'|-|PA|)+2,因为|PF'|-|PA|≤|AF'|==,当P为F'A的延长线与双曲线右支的交点时等号成立,所以(|PA|-|PF|)min=-|AF'|+2=2-. 7.ACD　由双曲线的方程知a=4,b=3,c=5.对于A,设P(m,n),m>0,n>0,则=|F1F2|×n=cn=5n=20,即n=4,代入双曲线的方程中,可得m=(负值舍去),故A正确;对于B,由P,F2(5,0),可得=>0,则∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,故B错误;对于C,易求得|PF1|==,|PF2|==,则△PF1F2的周长为++10=,故C正确;对于D,如图,设△PF1F2的内心为I,内切圆半径为r,连接IP,IF1,IF2,则r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=20,可得r=40,解得r=,故D正确. 8.C　由+=2,得·+·=2||,所以·(+)=·=2||,所以|OP|=2, 不妨设F1(-2,0),F2(2,0), 所以|OP|=|F1F2|,所以点P在以F1F2为直径的圆上,所以△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形, 故+==48. 又因为点P在双曲线的右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a=4,所以16=(|PF1|-|PF2|)2=+-2|PF1||PF2|=48-2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=16, 所以=|PF1||PF2|=8. 9.解析　(1)由题意得a=4,c==2,如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h, ∵·=0,∴MF1⊥MF2, 设|MF1|=m,|MF2|=n, 由双曲线的定义,知m-n=2a=8, 又∵m2+n2=(2c)2=80, ∴(m-n)2+2mn=64+2mn=80, ∴mn=8,∴mn=|F1F2|·h=4,∴h=. 故M点到x轴的距离为. (2)设双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16), ∵双曲线C过点(3,2), ∴-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去), ∴双曲线C的方程为-=1. 10.A　因为B,C两地同时接收到信号,所以|PB|=|PC|,则点P在线段BC的垂直平分线上, 因为B地比A地晚4 s收到信号,所以|PB|-|PA|=4<6=|AB|, 从而P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,易得2a=4,c=3,则b2=c2-a2=5, 取线段AB的中点O,以O为坐标原点,AB的垂直平分线为y轴,正东方向为x轴的正方向,建立如下图所示的平面直角坐标系, 则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2), 所以双曲线的方程为-=1(x≥2), 易得线段BC的垂直平分线的方程为y-=(x+4),即x-y+7=0, 联立解得即点P(8,5), 从而kPA==,所以直线PA的倾斜角为60°, 所以在A地测得P的方向角为北偏东30°. 11.解析　矩形灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样近.依题意知,所求界线是第三类点的轨迹. 设M为界线上的任意一点,则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|, 即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50(km). 因为|AB|= =50 km>50 km, 所以界线是以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分. 如图所示,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系. 设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0). 易知a=25,c=25, 所以b2=c2-a2=3 750, 故双曲线的标准方程为-=1,当y=60时,-=1, 解得x=35或x=-35(舍去), 故该界线的方程为-=1(25≤x≤35,0≤y≤60). 7 学科网（北京）股份有限公司 $