精品解析：陕西省西安市高新第一中学2025-2026学年高三上学期9月联考数学试卷

2026届高三年级9月份联考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. =(　　) A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. -2 D. 2 4. 已知，，若集合，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或-1 5. 已知数列为等比数列，为数列的前 项积，且，，则（ ） A. 8 B. 2 C. 1 D. 6. 已知函数，则（ ） A. 的单调递增区间为 B. 的最大值为4 C. 有两个零点 D. 7. 若正四棱锥的高为4，且所有顶点都在半径为6的球面上，则该正四棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 10. 某校举办“学党史守初心，践使命担责任”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 估计成绩低于50分的有20人 C. 估计这组数据的众数为75 D. 估计这组数据的第75百分位数为82 11. 已知函数，其中，且当时，，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 若关于的方程有3个不同的实数根，则 D. 若对任意都有，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的二项展开式中，项的系数为______. 13. 两个人在一座10层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两个人在同一层离开电梯的概率是______. 14. 已知， 满足，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 鄂尔多斯某地一景区为了吸引游客，进行了马术实景剧的展演.景区为了解游客对其开展的“马术实景剧”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下2×2列联表： 调查结果组别 不满意 满意 合计 本地游客 80 120 200 外地游客 60 140 200 合计 140 260 400 （1）根据小概率值 的独立性检验，分析满意情况是否与游客的来源有关； （2）在本地游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列和数学期望. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称. （1）求的解析式； （2）证明： . 17. 如图，正方体的棱长为2，点是棱 上的动点. （1）求三棱锥的体积； （2）当为 中点时，求过点且与 垂直的平面截正方体的截面面积. 18. 将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且. （1）求 ； （2）求的单调增区间，并说明在上的单调性； （3）求数列的前 项和. 19. 已知 满足，，，且是锐角. （1）求； （2）设 ， 所在直线分别为直线，，A，B分别在，上，过A，B分别作 的角平分线的垂线，垂足为M，N，且为定值，以 ，为邻边作平行四边形. （i）请建立适当的坐标系求出R点轨迹方程C； （ⅱ）若直线 交C于P，Q两点，以线段，为直径的两圆的另一个交点为G，且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级9月份联考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. =(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将化为，结合特殊角的三角函数可得结果. 【详解】因为, 所以，故选B. 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】取 ，满足 ，但是不成立，所以充分性不成立. 当时，由，则一定成立，即必要性成立 ． 所以 “”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 3. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据 的幂次运算法则对化简，根据虚部定义确定的虚部. 【详解】 ， 则的虚部是2. 故选：D 4. 已知，，若集合，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或-1 【答案】C 【解析】 【分析】由两集合相等及分式的分母不为 可求出 ，再利用集合相等和互异性求 ，代入计算即可. 【详解】因为， ，所以，故 ， 此时集合为，根据集合相等，必有 ，解得 或 ． 当 时，不满足集合元素的互异性， 当 时，集合为，符合条件. 所以． 故选：C. 5. 已知数列为等比数列，为数列的前 项积，且，，则（ ） A. 8 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】，故， 所以， ， 故选：A 6. 已知函数，则（ ） A. 的单调递增区间为 B. 的最大值为4 C. 有两个零点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性即可判断AB；结合零点存在性定理及函数的单调性判断C；由，进而结合函数的单调性判断D. 【详解】由，则， 令 ，得，令 ，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故A错误； 而，故B错误； 由，且 时，， 根据零点存在性定理及函数的单调性可知，只有一个零点，故C错误； 由， 因为函数在上单调递减，且， 所以，故D正确. 故选：D. 7. 若正四棱锥的高为4，且所有顶点都在半径为6的球面上，则该正四棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点 在底面的投影为 ，确定球心的位置，求，由此可求底面棱和侧面三角形的高，进而可求表面积. 【详解】在正四棱锥 中，设点 在底面的投影为 ，则 为正方形的中心， 过作正四棱锥的截面，如图： 因为，，所以正四棱锥 的外接球球心在 的延长线上， 则，， 所以. 在正四棱锥 中，如下图： ，， 中边上的高为， 故该正四棱锥的表面积为． 故选： 8. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数在上不单调，意味着其导数在该区间内有正有负，即在内有零点，将分离参数为，通过构造函数，求与0的大小，得到的单调性，从而求出的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】，，在上不单调， 在上有变号零点， 即存在， 使得， 在上有解，在上有解， ，，， ，即，解得，在上是增函数； ，即，解得，在上是减函数. 又，，，， 在上有解，， 当时，，设，， 当，解得，得在上是增函数； 当，解得，得在上是减函数. 则在处取最小值为，在上恒成立，即在上恒成立，得到在是增函数，不满足题意，说明不满足题意，同理也不满足题意，综上可得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由投影向量的定义即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：AB. 10. 某校举办“学党史守初心，践使命担责任”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 估计成绩低于50分的有20人 C. 估计这组数据的众数为75 D. 估计这组数据的第75百分位数为82 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图各矩形面积和为1求出的值判断A，计算成绩低于50分的频率进而得到人数判断B，根据频率分布直方图的众数和百分位数的定义判断CD. 【详解】由频率分布直方图可知，解得，A说法正确； 成绩低于50分的频率为，所以成绩低于50分的有人，B说法错误； 最高矩形底边中点值为75，故这组数据的众数为75，C说法正确； 由于，， 所以这组数据的第75百分位数位于，设为， 则，解得，D说法正确； 故选：ACD 11. 已知函数，其中，且当时，，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 若关于的方程有3个不同的实数根，则 D. 若对任意都有，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A选项，分情况讨论和两种情况即可；对于B选项，结合A选项的结果，对求导后即可求得结果；对于C选项，根据B选项求得的极值结果，分析即可得出答案；对于D选项，求出的表达式，分情况讨论 、 、三种情况即可． 【详解】对于A，当时，，又因为当时， ，所以此时，对恒成立，故， 当时，，同样因为当 时， ，所以此时， 对恒成立，故， 所以，即，故A正确； 对于B，由选项A可知，对求导， ， 令，即，解得或， 当时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 当时，，单调递减， 所以为的极小值点，故B正确； 对于C，由选项B可知，为的极大值点，为的极小值点， 又，， 要使方程有 个不同的实数根，则，即，也即，因为 ，解得，故C正确； 对于D，， 则， 由题意可知恒成立， 显然当 时，成立， 显然当 时，当，，故不恒成立， 所以当时，即恒成立， 所以， 解得或 ，故D错误。 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的二项展开式中，项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求指定项的系数. 【详解】设的展开式的第项为. 则. 由 . 所以所在的项为：. 所以项的系数为. 故答案为： 13. 两个人在一座10层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两个人在同一层离开电梯的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，2人离开电梯的情况有81种，在同一楼层离开的有9种，从而可求概率. 【详解】由题知，2人离开电梯的情况有种，2人在同一楼层离开的有9种， 则两人在同层离开电梯的概率为 故答案为： 14. 已知， 满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】把问题转化为两点之间线段最短，再求两点之间的距离即可. 【详解】因为， 所以. 所以 表示圆上的点 到与到的距离和. 如图： 所以（当 为线段与圆的交点时取等号）. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 鄂尔多斯某地一景区为了吸引游客，进行了马术实景剧的展演.景区为了解游客对其开展的“马术实景剧”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下2×2列联表： 调查结果组别 不满意 满意 合计 本地游客 80 120 200 外地游客 60 140 200 合计 140 260 400 （1）根据小概率值 的独立性检验，分析满意情况是否与游客的来源有关； （2）在本地游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列和数学期望. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）无关； （2）X的概率分布列为： 数学期望为 . 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式求解即可. 【小问1详解】 零假设为：满意情况与游客的来源无关， 因为， 根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 可以认为成立，所以满意情况与游客的来源无关. 【小问2详解】 由分层抽样的性质，得选出5人中，满意人数为，不满意人数为 ， 依题意，的可能值为 ， ，，， 所以这3人中满意人数X的概率分布列为： 数学期望. 16. 已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称. （1）求的解析式； （2）证明： . 【答案】（1） ； （2）证明：由（1）知， ，恒有 ， 若 ，则 ， ，而 ，因此 ； 若 ，则 ， ， ，因此 ， 综上，可得 . 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用轴对称列式求出解析式. （2）由（1）的结论，按 分段，结合对数函数性质及不等式性质推理得证. 【小问1详解】 函数，因函数的图象与的图象关于直线对称， 则， 故函数的解析式为 . 【小问2详解】 略 17. 如图，正方体的棱长为2，点是棱 上的动点. （1）求三棱锥的体积； （2）当为 中点时，求过点且与 垂直的平面截正方体的截面面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等体积法结合棱锥的体积公式求解即可； （2）设 的中点为 ，中点为，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可证明，进而得到平面，可得即为过点且与 垂直的平面截正方体的截面，进而求解即可. 【小问1详解】 在正方体中，点是棱 上的动点， 则到平面的距离即为, 则. 【小问2详解】 设 的中点为 ，中点为，连接， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 则，即， 因为，平面， 所以平面， 则即为过点且与 垂直的平面截正方体的截面， 由正方体的棱长为2， 的中点为 ，中点为， 可得， 在中，， 则， 所以. 18. 将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且. （1）求 ； （2）求的单调增区间，并说明在上的单调性； （3）求数列的前 项和. 【答案】（1） （2） 单调增区间为； 当时，单调递增，当时，单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）解方程，结合求解； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）说明是等差数列，根据求和公式求解. 【小问1详解】 由，得， 所以或， 解得或， 因为且， 所以 时，或，解得或 当时，， 此时，而，不合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）， 由，得， 因为，所以单调增区间为， 因为，所以， 当，即时单调递增， 当，即时，单调递减； 【小问3详解】 当时，由或， 得或，又， 所以的奇数项构成以为首项，公差为 的等差数列， 偶数项构成以为首项，公差为 的等差数列. 所以当 为奇数时， ； 当 为偶数时， ； 所以 19. 已知 满足，，，且是锐角. （1）求； （2）设， 所在直线分别为直线，，A，B分别在，上，过A，B分别作 的角平分线的垂线，垂足为M，N，且为定值，以，为邻边作平行四边形. （i）请建立适当的坐标系求出R点轨迹方程C； （ⅱ）若直线 交C于P，Q两点，以线段，为直径的两圆的另一个交点为G，且，求的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）R点轨迹方程C为；（ⅱ）2. 【解析】 【分析】（1）由即可计算求解； （2）（i）由题意建立适当平面直角坐标系，求出，进而可设，接着结合题意求出，再利用即可求出R点轨迹方程C； （ⅱ）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况求解，先求出特殊情形直线l的斜率不存在时的值，接着联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求出直线l的斜率存在时表达式，利用换元法和二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 由题可得； 【小问2详解】 （i）以O为原点、的角平分线所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系， 由题意，则， 又由（1）得， ，即， 所以可设， 则， 设，由题意，所以， 所以，所以，即， 所以R点轨迹方程C为. （ⅱ）由题意可得，所以三点共线，且， 因为，所以原点到直线l的距离为1， 当直线l的斜率不存在时，即直线轴时，直线l的方程为，代入得， 所以； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 所以原点到直线l的距离为，即， 联立， 设，则， 因为， 所以， 令，则且， 因为，所以当即时有， 综上，的最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $