高一数学上学期第一次月考（北师大版2019必修第一册第一章：集合与常用逻辑用语+不等式，高效培优·强化卷）

2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019必修第一册第一章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题，则是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 5．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 6．已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 7．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 8．为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有名，参加乒乓球比赛的有名，参加网球比赛的有名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有名，同时参加乒乓球、网球比赛的有名，同时参加羽毛球、网球比赛的有名，则这三项比赛都参加的员工人数是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与不是同一个集合． 10．如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 11．若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为16 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若“”是“”的充要条件，则的值为 . 13．已知实数，满足，，则范围是 14．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 16．（15分） 已知集合，． (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围． 17．（15分） 已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 18．（17分） 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 19．（17分） 已知不等式的解集为 (1)若，求的值； (2)若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； (3)若解关于的不等式：． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019必修第一册第一章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题，则是（    ） A． B． C． D． 1．【答案】C 【解析】由全称命题的否定为特称命题，则为. 故选：C 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．【答案】B 【解析】由，又因为， 所以， 故选：B. 3．毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．【答案】B 【解析】由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城， 但到过长城未必是好汉， 因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件． 故选：B. 4．已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．【答案】C 【解析】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 5．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 5．【答案】D 【解析】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 6．已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．【答案】D 【解析】令（），原方程转化为． 关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根， 因此有。解得． 故选：D． 7．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 7．【答案】C 【解析】由题设，则， 当且仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，则， 所以或. 故选：C 8．为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有名，参加乒乓球比赛的有名，参加网球比赛的有名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有名，同时参加乒乓球、网球比赛的有名，同时参加羽毛球、网球比赛的有名，则这三项比赛都参加的员工人数是（    ） A． B． C． D． 8．【答案】B 【解析】设参加羽毛球、乒乓球、网球比赛的员工分别构成集合、、， 设这三项比赛都参加的员工人数为，根据题意得出如下韦恩图， 因为该公司共有名员工参加比赛， 则有， 即，解得， 因此，这三项比赛都参加的员工人数是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与不是同一个集合． 【答案】ABD 【解析】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 由集合元素的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； ：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D正确． 故选：ABD． 10．如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据充要条件的定义判断. 【解析】对于A，开关与另一个开关是并联电路，灯泡亮，不一定闭合，判断A错误； 对于B，开关与灯泡是串联电路，当灯泡亮，一定闭合，当开关闭合，灯泡亮，故B正确； 对于C，开关与灯泡以及另一个开关三者串联，当开关闭合时，灯泡不一定亮，故C错误； 对于D，当开关与灯泡是串联，当开关闭合时，灯泡亮，当灯泡亮时，开关闭合，故D正确. 故选：BD. 11．若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为16 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 11．【答案】BD 【解析】A错，当时，，， 解得，当且仅当时等号成立， 故有最大值，最大值为18. B对，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时，有最小值，最小值为. C错，当时，，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 此时无解； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时解得或，故ab有最小值. D对，当时，，， 则，当且仅当或时等号成立， 故有最小值，最小值为. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若“”是“”的充要条件，则的值为 . 12．【答案】 【解析】由题意可知，，解得，所以. 13．已知实数，满足，，则范围是 13.【答案】. 【解析】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 14．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 ． 14.【答案】 【解析】由集合中元素的互异性可得且． 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为． 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 15．（13分） 【解析】（1）命题为真命题，即， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即m的取值范围.（5分） （2）若命题为真命题，则， 解得或， 若命题p为假命题，则，（10分） 因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以， 即m的取值范围为.(13分) 16．（15分） 已知集合，． (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围． 16．（15分） 【解析】（1）当时，， 则或，（3分） 而， 所以.（6分） （2）当时，，（8分） 由（1）知，由“”是“”成立的充分不必要条件， 得集合是集合的真子集，则或，（13分） 解得或， 所以正实数m的取值范围中.(15分) 17．（15分） 已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 17．（15分） 【解析】（1）由得或，所以，（2分） 由得或，所以，（4分） 因为，所以， 所以或，所以或.(6分) （2）因为，所以，（7分） 当时，，解得，（8分） 当时，，无解，（10分） 当时，，解得，（12分） 当时，，无解，（14分） 综上，实数m的取值范围是.(15分) 18．（17分） 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 18．（17分） 【解析】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为．(6分) （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为．（12分） （3）依题意，得． 方法一， ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．（17分） 方法二，，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为．（17分） 19．（17分） 已知不等式的解集为 (1)若，求的值； (2)若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； (3)若解关于的不等式：． 19．（17分） 【解析】（1）因为，不等式的解集为， 所以不等式的解集为，且不等式的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3， 所以，得，， 所以.（4分） （2）由（1）可知，， 所以不等式，可化为， 由（1）知等式的解集为， 所以恒成立， 所以，解得， 不等式等价于， 所以，得，（7分） 因为不等式有且仅有9个整数解， 所以，解得， 综上，的取值范围为.(9分) （3）若，则由（1）可知可化为， 即， 当时，，即不等式的解集为，（11分） 当时，不等式的解集为，（13分） 当时，，即不等式的解集为，（12分） 若，则不等式的解集为，的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3， 所以，得， 所以不等式的解集为， 所以恒成立， 所以，解得， 所以所求不等式为， 解得或，即不等式的解集为， 当时，，得， 所以所求不等式无解， 当时，，得， 所以所求不等式为，解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为.（17分） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 强化卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B C D D C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）命题为真命题，即， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即m的取值范围.（5分） （2）若命题为真命题，则， 解得或， 若命题p为假命题，则，（10分） 因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以， 即m的取值范围为.(13分) 16．（15分） 【解析】（1）当时，， 则或，（3分） 而， 所以.（6分） （2）当时，，（8分） 由（1）知，由“”是“”成立的充分不必要条件， 得集合是集合的真子集，则或，（13分） 解得或， 所以正实数m的取值范围中.(15分) 17．（15分） 【解析】（1）由得或，所以，（2分） 由得或，所以，（4分） 因为，所以， 所以或，所以或.(6分) （2）因为，所以，（7分） 当时，，解得，（8分） 当时，，无解，（10分） 当时，，解得，（12分） 当时，，无解，（14分） 综上，实数m的取值范围是.(15分) 18．（17分） 【解析】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为．(6分) （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为．（12分） （3）依题意，得． 方法一， ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．（17分） 方法二，，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为，不等式的解集为， 所以不等式的解集为，且不等式的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3， 所以，得，， 所以.（4分） （2）由（1）可知，， 所以不等式，可化为， 由（1）知等式的解集为， 所以恒成立， 所以，解得， 不等式等价于， 所以，得，（7分） 因为不等式有且仅有9个整数解， 所以，解得， 综上，的取值范围为.(9分) （3）若，则由（1）可知可化为， 即， 当时，，即不等式的解集为，（11分） 当时，不等式的解集为，（13分） 当时，，即不等式的解集为，（12分） 若，则不等式的解集为，的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3， 所以，得， 所以不等式的解集为， 所以恒成立， 所以，解得， 所以所求不等式为， 解得或，即不等式的解集为， 当时，，得， 所以所求不等式无解， 当时，，得， 所以所求不等式为，解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为.（17分） 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$