第一章预备知识单元测试卷-2025-2026学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

第一章　预备知识　单元检测卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列命题中与命题“x2+y2≥2xy”等价的是 (　　) A.∀x,y∈R,x2+y2≥2xy B.∃x,y∈R,使x2+y2≥2xy成立 C.∀x>0,y>0,x2+y2≥2xy D.∃x<0,y<0,使x2+y2≤2xy成立 2.已知集合A={0,1,2},B={x|x2-5x+4<0},则A∩∁RB=(　　) A.{0,1,2} B.{1,2} C.{0} D.{0,1} 3.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的 (　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.设全集U={1,2,3,4},M={1,3,4},N={2,4},P={2},那么下列关系中正确的是 (　　) A.P=(∁UM)∩N B.P=M∪N C.P=M∪(∁UN) D.P=M∩N 5.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且B≠⌀,若A∪B=A,则m的取值范围是 (　　) A.-3≤m≤4 B.-3<m<4 C.2<m<4 D.2<m≤4 6.设x,y,z>0,a=4x+,b=4y+,c=4z+,则a,b,c三个数 (　　) A.都小于4 B.至少有一个不大于4 C.都大于4 D.至少有一个不小于4 7.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4)∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2) 8.在弹性限度内,弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比,即d=,其中d是拉伸距离(单位:cm),m是物体的质量(单位:g),k是弹簧的劲度系数(单位:g/cm).弹簧的劲度系数分别为k1,k2的两个弹簧串联时,得到的弹簧的劲度系数k满足=+,并联时得到的弹簧的劲度系数k'满足k'=k1+k2.已知物体质量为20 g,当两个弹簧串联时拉伸距离为1 cm,则并联时弹簧拉伸的最大距离为 (　　) A. cm B. cm C.1 cm D.2 cm 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列命题为真命题的是 (　　) A.存在x0<0,使|x0|>x0 B.对于一切x<0,都有|x|>x C.已知A={a|a=2n,n∈N},B={b|b=3n,n∈N},则A∩B=⌀ D.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 10.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为P,实数m∈P,则m的值可以是 (　　) A.-1 B.1 C.3 D.5 11.已知a,b是正实数,若2a+b=2,则 (　　) A.ab的最大值是 B.+的最小值是2 C.a2+b2的最小值是 D.+的最小值是 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知正数a,b满足a+b=4,ab的最大值为t,不等式x2+3x-t<0的解集为M,则M=　　　　. 13.某产品生产总成本C与产量q(q∈N*)的函数关系式为C=100+4q,销售单价p与产量q的函数关系式为p=25-q.要使每件产品的平均利润最大,则产量q等于　　　　. 14.某中学开展小组合作学习模式,高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下:若命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的取值范围.王小二略加思索,反手给了王小一一道题:若命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的取值范围.你认为两位同学所出的题目中m的取值范围是否一致?　　　　( 填“是”或“否”).王小一同学出的题目中,m的取值范围是 .(本题第一空2分,第二空3分) 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知集合A={x|x-a>3},B={x|-2<x<1}. (1)当a=-2时,求A∩B; (2)从①A∩B=⌀,②A∪B=A,③A⊆∁RB这三个条件中任意选择一个作为已知条件,求实数a的取值范围. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 16.(15分)已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}. (1)求a,b; (2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0. 17.(15分)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求: (1)xy的最小值; (2)x+y的最小值. 18.(17分)某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元,为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润10(a-)万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业? (2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少? 19.(17分)对于由n个正整数构成的集合A={a1，a2，…，an}(n∈N*，n≥3)，如果去掉其中任意一个元素ai(i=1，2，…，n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”. (1)判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数. 第一章　预备知识　单元检测卷　参考答案 1.A　题中的命题是一个全称量词命题:∀x,y∈R,x2+y2≥2xy.省略了“∀x,y∈R”. 2.D　因为A={0,1,2},B={x|1<x<4},所以∁RB={x|x≤1或x≥4},则A∩∁RB={0,1}. 3.C　由x>y推不出x>|y|,由x>|y|能推出x>y,所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件. 4.A　∁UM={2},故P=(∁UM)∩N. 5.D　根据题意,若A∪B=A,则B⊆A. 又B≠⌀,则可得解得2<m≤4,故选D. 6.D　∵a+b+c=4x++4y++4z+=4x++4y++4z+≥2+2+2=4+4+4=12,当且仅当x=y=z=时等号成立,∴a,b,c至少有一个不小于4. 7.D　∵+=1,∴x+2y=(x+2y)(+)=4++≥4+2=8,当且仅当=时,等号成立.∵x+2y>m2+2m恒成立,∴m2+2m<8,解得-4<m<2,故选D. 8.A　两个弹簧串联时,由d=知,k===20,则=+,即=+=,即20(k1+k2)=k1k2≤,故k1+k2≥80,当且仅当k1=k2=40时等号成立.两个弹簧并联时,设拉伸距离为d',因为k'=k1+k2,所以d'==,要使d'最大,则需k'=k1+k2最小,又=80, 故d'max===. 9.AB　易知A,B为真命题;由A={a|a=2n,n∈N},B={b|b=3n,n∈N},可知6∈A,6∈B,故C为假命题;解方程x2-5x-6=0得x=-1或x=6,所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,所以D为假命题. 10.AD　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},所以-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根且a<0,所以-=-1+2=1,=-2,由a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax,得ax2-(2a-b)x+a-b+c<0,设ax2-(2a-b)x+a-b+c=0的两根为x1,x2(x1<x2),则x1+x2==2-=2+1=3　①,x1x2==1-+=1+1-2=0　②,联立①②解得因为a<0,所以ax2-(2a-b)x+a-b+c<0的解集为{x|x<0或x>3},即不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0或x>3}.故选AD. 11.AB　由基本不等式得,2=2a+b≥2,当且仅当2a=b且2a+b=2,即a=,b=1时取等号,解得ab≤,∴A正确; ∵+=(+)(2a+b)×=(++2)×≥(2+2)×=2,当且仅当a=,b=1时取等号, ∴+的最小值为2,∴B正确; a2+b2=5a2-8a+4=5(a-)2+,∴当a=时,a2+b2取得最小值,为,∴C错误; 设4a+b=x,a+b=y,则a=,b=,∴2a+b==2,∴x+2y=6, ∴+=+=(+)(x+2y)×=(++5)×≥(2+5)×=,当且仅当x=y,即4a+b=a+b,a=0,b=2时取等号,又a,b是正实数,∴+>,∴D错误.故选AB. 12.(-4,1)　∵正数a,b满足a+b=4,则ab≤()2=4(当且仅当a=b=2时等号成立),∴ab的最大值t=4,∴x2+3x-4<0的解集M=(-4,1). 13.40　设该产品销售收入为R,利润为L,则R=p×q=25q-q2,L=R-C=-q2+21q-100(0<q<400,q∈N*).易知每件产品的平均利润为=21-(+).因为+≥5,当且仅当q=40时等号成立,所以每件产品的平均利润最大时,产量q等于40. 14.是　(1,+∞)　原命题是假命题,则原命题的否定是真命题,所以两位同学所出的题目中m的取值范围是一致的.因为x2+2x+m>0对于任意的x∈R恒成立,所以相应方程根的判别式Δ=4-4m<0,所以m>1. 15.(1)当a=-2时,A={x|x+2>3}={x|x>1}, B={x|-2<x<1},所以A∩B=⌀. (2)A={x|x-a>3}={x|x>a+3},B={x|-2<x<1}. 若选择条件①A∩B=⌀, 则需a+3≥1,即a≥-2, 故所求实数a的取值范围为[-2,+∞). 若选择条件②A∪B=A,即B⊆A,则需a+3≤-2,即a≤-5, 故所求实数a的取值范围为(-∞,-5]. 若选择条件③A⊆∁RB, 因为∁RB={x|x≤-2或x≥1}, 所以a+3≥1,即a≥-2, 故所求实数a的取值范围为[-2,+∞). 16.(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且a>0,b>1.由根与系数的关系得解得 (2)结合(1)可知,原不等式可化为x2-(2+c)x+2c<0, 即(x-2)(x-c)<0.所以 ①当c>2时,不等式的解集为{x|2<x<c}; ②当c<2时,不等式的解集为{x|c<x<2}; ③当c=2时,不等式的解集为⌀. 17.(1)因为2x+8y-xy=0,x>0,y>0, 所以2x+8y=xy≥2=8,解得≥8,所以xy≥64,当且仅当x=4y=16时取等号,故xy的最小值为64. (2)由2x+8y-xy=0,x>0,y>0,得+=1. 则x+y=(+)·(x+y)=10++≥10+2=18,当且仅当即时,等号成立,此时(x+y)min=18. 18.(1)由题意得10(1 000-x)(1+0.2x%)≥10×1 000, 即x2-500x≤0.又x>0,所以0<x≤500. 即最多调整出500名员工从事第三产业. (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a-)x万元, 剩余员工创造的年总利润为10(1 000-x)(1+0.2x%)万元, 则10(a-)x≤10(1 000-x)(1+0.2x%)恒成立, 所以ax-≤1 000+2x-x-x2, 即ax≤+1 000+x,即a≤++1恒成立. 因为+≥2=4,当且仅当=,即x=500时等号成立,所以a≤5. 又a>0,所以0<a≤5,即a的取值范围为(0,5]. 19.(1)当集合{1，2，3，4，5}去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况： {1，3}，{4，5}；{1，4}，{3，5}；{1，5}，{3，4}；{1}，{3，4，5}；{3}，{1，4，5}；{4}，{1，3，5}；{5}，{1，3，4}. 经过计算可以发现每组两个集合的所有元素之和不相等，故集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”. (2)设集合A={a1，a2，…，an}(n∈N*，n≥3)所有元素之和为M， 由题意可知M-ai(i=1，2，…，n)均为偶数， 因此任意一个元素ai(i=1，2，…，n)的奇偶性相同. 若M是奇数，则ai(i=1，2，…，n)也都是奇数， 因为M=a1+a2+…+an，所以n为奇数； 若M是偶数，则ai(i=1，2，…，n)也都是偶数， 设ai=2bi(i=1，2，…，n)， 显然{b1，b2，…，bn}也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以得到各项都为奇数的“和谐集”， 此时各项的和也是奇数，所以n为奇数. 综上所述，若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数. 学科网（北京）股份有限公司 $$