专题03 基本不等式求最值（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题03 基本不等式求最值 目录 1 类型一、常数代换法 1 类型二、条件等式求最值 5 类型三、多次利用基本不等式 7 类型四、消元法 9 类型五、双换元法 11 类型六、二次与二次（一次）商式的最值 13 15 类型一、常数代换法 1.基本不等式 如果a≥0,b≥0,≥,当且仅当a＝b时,等号成立. 这个不等式称为基本不等式,其中称为的算术平均值,称为a，b的几何平均值． 因此,基本不等式又称为均值不等式,也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 2.利用基本不等式求最值 ①设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值),则当x=y时,积xy有最大值,且这个值为. ②设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时,和x＋y有最小值,且这个值为2. 【重要性质】 1 几个重要的不等式 ⑴a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a＝b时取等号； ⑵ab≤其中a，b∈R,当且仅当a＝b时取等号； 当且仅当a＝b时取等号； ⑷,a>0,b>0,当且仅当时,等号成立. 2 利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数“1”的代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 例1．设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以 . 当且仅当，即时取等. 故选：C. 例2．已知，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．8 D．20 【答案】B 【分析】将转化为，发现所求式子两个分母和为定值1，即，所以运用“1”的灵活代换及均值不等式即可求解. 【详解】解：因为，所以， 又因为， 所以 （当且仅当即时等号成立）， 故选：B. 例3．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，，，将代数式与相乘，展开后可求出的最小值. 【详解】因为，，则，，由题意可知，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 变式1-1．已知，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解. 【详解】，， ， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A 变式1-2．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，利用基本不等式中“1的妙用”求出最小值. 【详解】，且， 则 （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为． 故答案为： 变式1-3．已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，而， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 变式1-4．已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 类型二、条件等式求最值 例4．已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先将配凑为；再根据得出，，利用基本不等式可求解. 【详解】由可得：. 因为， 所以，， 则，当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 例5．已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【分析】首先对题中所给的式子进行变形为，利用基本不等式求得最小值，将问题转化为，解不等式求得结果. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立， 即的最小值为9. 故选：B. 变式2-1．已知正实数满足.则的最小值为（    ） A．3 B．9 C．4 D．8 【答案】B 【分析】对不等式变形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】a，b均为正实数， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 变式2-2．已知，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】通过对变形可得和，然后利用基本不等式可解. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 又，所以，即， 即，所以， 则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：8 变式2-3．已知实数，，满足，则的最大值为 【答案】 【分析】设，则利用基本不等式计算可得. 【详解】设，因为， 所以 ， 令，解得或（舍去）， 因此，即，当且时取等号， 故的最大值为. 故答案为： 类型三、多次利用基本不等式 例6．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】因为， 所以， 当且仅当且，即时，取等号，所以的最小值为2. 选：D. 变式3-1．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为a，b均为正实数， 则 ， 当且仅当，且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：A． 变式3-2．已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 【答案】 6 【解析】依题意，， 当且仅当时取等号，所以当取得最小值时； ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 故答案为：；6 变式3-3．已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为a为非零实数，，b，c均为正实数， 则 ， 当且仅当且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：B． 类型四、消元法 例7．已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 变式4-1．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可. 【详解】由可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，此时. 故答案为：. 变式4-2．若，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由变形为，化应用基本不等式可求最小值． 【详解】因为满足， 所以，即，即， 所以， 所以 ， 所以当且仅当，即，时取“”，解得 所以的最小值为， 故答案为：． 变式4-3．若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，进而有，结合基本不等式求最大值，注意取值条件. 【详解】由题设，，而，， 所以， 所以且， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即目标式最大值为. 类型五、双换元法 例8．已知，，则的最小值 . 【答案】20 【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】令，则， 去分母化简得：，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立． 故答案为：20 变式5-1．已知正数x,y满足，则的最小值是______ 【答案】 【详解】 即时等号成立 所以的最小值是 变式5-2．若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式变形得出，令，，可得出且，，代入，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】由得， 令，，则且，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为 ， 故选：A． 变式5-3．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正数a，b，c满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 类型六、二次与二次（一次）商式的最值 例9．下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式分析各个选项的最小值即可得出正确答案. 【详解】对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误； 对于B，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD 变式6-1．已知，，且，则下列取值没有可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件,结合基本不等式的公式,即可依次求解 【详解】对于:已知，,所以, 当且仅当时, ,故有可能; 对于:已知，,所以, 不成立,故没有可能; 对于:已知，，且，所以 当且仅当时取等号 所以,即得,所以不成立,故没有可能; 对于:因为,所以, 所以,不成立,故没有可能; 故选: . 变式6-2．已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得. 【详解】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值. 变式6-3．已知，且，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1)3； (2). 【分析】（1）由已知推得，将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值； （2）原式可变形为，进而求出，用“1”的代换将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 当且仅当，且，即，时等号成立， 则的最小值为3. （2） ， 一、单选题 1．已知，，则最小值为（ ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】先将用的关系表示，又由，得，再利用“乘1法”及基本不等式即可得出． 【详解】设， 则，解得，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 故选：D. 2．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】化简式子，然后使用基本不等式计算. 【详解】由，且， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 故选：D 3．已知，且，则的最小值为（     ）. A．. B．. C．. D．. 【答案】A 【分析】 先利用均值不等式消掉分母上的，然后利用齐次化（同时除以）最后换元求解即可. 【详解】， 设， ，可以取等. 当且仅当（舍）或. 故选：A. 二、填空题 4．已知，，，若，，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，，，且，， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 5．已知正实数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】配凑出，再利用基本不等式求最值. 【详解】由， 得， 即，得， ，， ，，， ， 当且仅当，即，时取等号， 此时， 的最小值为 故答案为： 6．对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值. 【详解】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 故答案为： 【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等 7．若正实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由已知得a＝，代入＝＝＝﹣2 （）2+，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】 因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，所以a＝， 则＝＝＝﹣2 （）2+， 当，即b＝2 时取得最大值． 故答案为：． 【点睛】思路点睛：b+3a＝2ab，可解出，采用二元化一元的方法减少变量，转化为的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值. 8．已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 9．已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可. 【详解】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 10．已知正数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，将等式化简变形，得到的表达式，根据表达式特征利用换元法构造函数，求导得出函数单调性即可得出最小值. 【详解】根据题意，由可得， 即 所以； 又因为均是正数，令，则 所以， 令， 则 当且仅当，即时，等号成立； 所以 所以的最小值为; 即当时，即时，等号成立. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据等式特征可知，利用基本不等式条件不明显，所以首先得出的表达式，根据可利用齐次式特征构造函数，再进行化简凑成基本不等式 三、解答题 11（1）问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是： ， 当且仅当且时，即且时取等号． 学习上述解法并解决下列问题： 若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （2）利用（1）的结论，求的最小值，并求出使得取最小值时m的值． 【答案】（1），当且仅当且x、y同号时等号成立； （2）当时，取得最小值. 【分析】根据常值代换法和构造法，基本不等式和的转换思想解决即可． 【详解】（1）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 即，当且仅当且x，y同号时等号成立．此时x，y满足. （2）令，构造求出， 由，可得且故， 由（1）结论可得. 取等号时，由解得，此时. 即当时，取得最小值. 【点睛】思路点睛：本题考查基本不等式求最值，具体思路如下： （1）利用“1”的代换，可得，再根据基本不等式可得：，结合不等式的基本性质，可比较与的大小. （2）利用换元法，令，，构造，其中，，再结合（1）中的结论可求的最小值. 12．已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由得，由x，y为正数得． （2）由得，利用基本不等式求最值即可. （3）由得 ，化简之后结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）∵，∴， ∵x，y为正数，∴， ∴． （2）∵，∴， ∴ ， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为． （3）∵， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 13．已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用，化为，再利用基本不等式求最值即可； （2）利用，则化为，再利用配凑法，得到，即可利用基本不等式求最值； （3）先利用利用，则，化为，再利用分离常数法将原式化为，利用换元法得到，分子分母同除以，即可利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以，， 所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，即，因为，，所以， 所以 整理有：， 因为，所以，， 所以， 即，当且仅当， 即时，取等号，所以的最大值为. （3）因为，即，因为，，所以， 所以，整理得， 原式化为， 令，则，因为，所以， 所以原式化为：， 整理得：，因为，分子分母同时除以， 得：，因为，所以，， 所以， 所以，当且仅当时，即时，等号成立， 此时，所以当时，取得最大值 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于，对分子换元，分子设为一个整体，分子分母同除以新元， 整理后凑出乘积为定值，这样可以算出分母的最小值，也就得到了所求分式的最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 基本不等式求最值 目录 1 类型一、常数代换法 1 类型二、条件等式求最值 5 类型三、多次利用基本不等式 7 类型四、消元法 9 类型五、双换元法 11 类型六、二次与二次（一次）商式的最值 13 15 类型一、常数代换法 1.基本不等式 如果a≥0,b≥0,≥,当且仅当a＝b时,等号成立. 这个不等式称为基本不等式,其中称为的算术平均值,称为a，b的几何平均值． 因此,基本不等式又称为均值不等式,也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 2.利用基本不等式求最值 ①设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值),则当x=y时,积xy有最大值,且这个值为. ②设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时,和x＋y有最小值,且这个值为2. 【重要性质】 1 几个重要的不等式 ⑴a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a＝b时取等号； ⑵ab≤其中a，b∈R,当且仅当a＝b时取等号； 当且仅当a＝b时取等号； ⑷,a>0,b>0,当且仅当时,等号成立. 2 利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数“1”的代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 例1．设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 例2．已知，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．8 D．20 例3．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 变式1-2．已知，且，则的最小值为 ． 变式1-3．已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 变式1-4．已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 类型二、条件等式求最值 例4．已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 例5．已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 变式2-1．已知正实数满足.则的最小值为（    ） A．3 B．9 C．4 D．8 变式2-2．已知，且，则的最小值是 . 变式2-3．已知实数，，满足，则的最大值为 类型三、多次利用基本不等式 例6．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 变式3-1．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 变式3-3．已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 类型四、消元法 例7．已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 变式4-1．已知，，且，则的最小值为 ． 变式4-2．若，，且，则的最小值是 . 变式4-3．若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 类型五、双换元法 例8．已知，，则的最小值 . 变式5-1．已知正数x,y满足，则的最小值是______ 变式5-2．若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式5-3．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 类型六、二次与二次（一次）商式的最值 例9．下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知，，且，则下列取值没有可能的是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知均为正实数，若，则的最小值为 . 变式6-3．已知，且，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 一、单选题 1．已知，，则最小值为（ ） A． B．4 C． D．2 2．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 3．已知，且，则的最小值为（     ）. A．. B．. C．. D．. 二、填空题 4．已知，，，若，，则的最小值是 . 5．已知正实数x，y满足，则的最小值为 ． 6．对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 7．若正实数，满足，则的最大值为 ． 8．已知实数，则的最大值为 ． 9．已知，，，则的最大值为 ． 10．已知正数满足，则的最小值是 ． 三、解答题 11（1）问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是： ， 当且仅当且时，即且时取等号． 学习上述解法并解决下列问题： 若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （2）利用（1）的结论，求的最小值，并求出使得取最小值时m的值． 12．已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 13．已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)求的最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$