高二数学上学期第一次月考（北师大版2019选修一：直线与圆+椭圆，高效培优·强化卷）

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 强化卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D B B A B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．或 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即.(6分) （2）依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立，（10分） 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即.（13分） 16．(15分) 【解析】（1）已知，因为，所以， 点在椭圆上，将其代入椭圆的， 可得，即①， 又因为，即②， 联立①②，整理得，解得或，（4分） 因为，所以， 所以， 故椭圆的标准方程为.(6分) （2）因为，所以的面积， 则， 因为长轴长为，即， 根据椭圆的定义得， 所以，即③，（9分） 由余弦定理可得， 整理得 ④， 联立③④得：，即， 则，所以，（13分） 在椭圆中有，即， 解得.（15分） 17.（15分） 【解析】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4，两圆方程相减得，所以直线的方程为．(3分) 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为．（6分） （2）A在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点分别在圆和圆上，易知直线的斜率存在，设直线的方程是，即，则点到直线的距离为，点到直线的距离为．（9分） 因为，所以，解得， 所以直线的方程为．（15分） 18．(17分) 【解析】（1）设圆心为，，则圆的方程为 ，，， 圆的方程为.(4分) （2）①设的方程为，， 代入，并整理得, 则，，且, 因为点在以为直径的圆内，所以, 即, 由于，，所以, 所以，解得. 所以的取值范围是．（10分） ②由圆方程知，其与轴的两个交点为，, 方程为，方程为, 消去得：, 所以, 即有与的交点在定直线上．（15分） 19．（17分） 【解析】（1）解: 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下： 椭圆中， 椭圆中， ， 则 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为（4分） （2）证明：必要性： 若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等. 如图，若， 则， ， 所以， 又因为 ， 所以；（6分） 充分性： 若离心率相等，则，所以， 则，， 则； 同理，，， 则， 所以； 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等.(10分) （3）解：设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，椭圆与相似， 所以椭圆的离心率也为， 若的面积为， 又，， 所以的面积与的面积之比为， 所以的面积为（15分） 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为 (17分) 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第一章+第二章1.椭圆。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 1．【答案】B 【解析】直线的倾斜角为. 故选：B. 2．直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 2．【答案】C 【解析】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：C 3．已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 3．【答案】D 【解析】由可得， 直线的方程整理为， 则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切． 故选：D 4．已知命题，方程不能表示圆；命题，方程表示圆或椭圆．则（   ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 4．【答案】B 【解析】对于，配方可得：， 当，即或时，表示圆， 所以当时，方程不能表示圆，故为真命题；为假命题， 对于，当时，方程不能表示圆或椭圆，故为假命题，为真命题， 故选：B 5．已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．【答案】B 【解析】椭圆上的点P满足， 当点P为的延长线与C的交点时， 达到最大值，最大值为． 故选：B 6．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ） A． B．4 C．8 D． 6．【答案】A 【解析】由圆，得圆心，半径， 易得点关于轴的对称点为， 如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离． 故选：A. 7．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围（   ） A． B． C． D． 7．【答案】B 【解析】由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 8．过第一象限内椭圆C：上一点P作三条直线，，，过原点并交C于另一点A，轴于点H，交C于另一点B，若直线AB平分线段PH，    则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．【答案】B 【解析】设线段PH的中点为D，，，则，， 所以，， 所以， 所以①． 因为A，D，B三点共线，所以， 所以②． 由得③ 将①②代入③可得，故，即， 则C的离心率为． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 9．【答案】BCD 【解析】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确； 对于B，若，则，解得．故B正确； 对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确； 对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确. 故选：BCD 10．如图，，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线，则（    ）    A．曲线与轴围成的图形的面积等于 B．曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．弧所在圆的方程为 D．弧与弧的公切线方程为 10．【答案】BC 【解析】对于A，如图所示，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，则曲线与轴围成的图形的面积．A错误； 对于B，曲线上有5个整点．B正确； 对于C，弧所在圆的圆心为，半径为1，故圆的方程为．C正确； 对于D，设弧与弧的公切线方程为，根据图象知， 则，解得，即公切线方程为．D错误； 故选：BC. 11．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 11.【答案】ACD 【解析】由椭圆方程可知：，，. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得， 当且仅当为线段与椭圆的交点时，取到最大， 所以的最大值为7，故B错误； 对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则，， 可得，，，， 则， 即， 整理可得，解得或， 当时，，与重合，不合题意， 所以，即，故C正确： 对于D：如图，延长，交于点， 则在中，，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线l在x轴上的截距为3，且l的一个法向量为，则l的方程为 ． 12．【答案】 【解析】由l的一个法向量为，得直线的斜率为， 又因为直线l在x轴上的截距为3， 所以直线l的方程为，即. 13．过点且与圆相切的的直线方程为 . 13．【答案】或 【解析】由知在圆外， 当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意； 当切线斜率存在时，设斜率为，所以切线方程为，所以， 所以，所以，所以切线方程为． 综上，切线方程为或. 14．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 . 14．【答案】 【解析】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上，则直线与圆相离，    所以，，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 15．(13分) 【解析】（1）由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即.(6分) （2）依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立，（10分） 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即.（13分） 16．(15分) 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，且长轴长为，的面积为，求b的值. 16．(15分) 【解析】（1）已知，因为，所以， 点在椭圆上，将其代入椭圆的， 可得，即①， 又因为，即②， 联立①②，整理得，解得或，（4分） 因为，所以， 所以， 故椭圆的标准方程为.(6分) （2）因为，所以的面积， 则， 因为长轴长为，即， 根据椭圆的定义得， 所以，即③，（9分） 由余弦定理可得， 整理得 ④， 联立③④得：，即， 则，所以，（13分） 在椭圆中有，即， 解得.（15分） 17.（15分） 已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 17.（15分） 【解析】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4，两圆方程相减得，所以直线的方程为．(3分) 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为．（6分） （2）A在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点分别在圆和圆上，易知直线的斜率存在，设直线的方程是，即，则点到直线的距离为，点到直线的距离为．（9分） 因为，所以，解得， 所以直线的方程为．（15分） 18．(17分) 在平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点． ①点总在以线段为直径的圆内，求的取值范围； ②设，是圆与轴的两个交点（在的上方），证明：与的交点在定直线上． 18．(17分) 【解析】（1）设圆心为，，则圆的方程为 ，，， 圆的方程为.(4分) （2）①设的方程为，， 代入，并整理得, 则，，且, 因为点在以为直径的圆内，所以, 即, 由于，，所以, 所以，解得. 所以的取值范围是．（10分） ②由圆方程知，其与轴的两个交点为，, 方程为，方程为, 消去得：, 所以, 即有与的交点在定直线上．（15分） 19．（17分） 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 19．（17分） 【解析】（1）解: 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下： 椭圆中， 椭圆中， ， 则 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为（4分） （2）证明：必要性： 若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等. 如图，若， 则， ， 所以， 又因为 ， 所以；（6分） 充分性： 若离心率相等，则，所以， 则，， 则； 同理，，， 则， 所以； 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等.(10分) （3）解：设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，椭圆与相似， 所以椭圆的离心率也为， 若的面积为， 又，， 所以的面积与的面积之比为， 所以的面积为（15分） 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为 (17分) 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第一章+第二章1.椭圆。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 3．已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 4．已知命题，方程不能表示圆；命题，方程表示圆或椭圆．则（   ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 5．已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 6．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ） A． B．4 C．8 D． 7．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围（   ） A． B． C． D． 8．过第一象限内椭圆C：上一点P作三条直线，，，过原点并交C于另一点A，轴于点H，交C于另一点B，若直线AB平分线段PH，    则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 10．如图，，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线，则（    ）    A．曲线与轴围成的图形的面积等于 B．曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．弧所在圆的方程为 D．弧与弧的公切线方程为 11．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线l在x轴上的截距为3，且l的一个法向量为，则l的方程为 ． 13．过点且与圆相切的的直线方程为 . 14．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 16．(15分) 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，且长轴长为，的面积为，求b的值. 17.（15分） 已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 18．(17分) 在平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点． ①点总在以线段为直径的圆内，求的取值范围； ②设，是圆与轴的两个交点（在的上方），证明：与的交点在定直线上． 19．（17分） 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$