北京市第一六一中学2025-2026学年高二上学期开学测试数学试题

北京市第一六一中学2025—2026学年第一学期开学测试 高二数学 2025.9 本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一､选择题：本大题共10道小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 设集合，集合，则与的关系为（ ） A. B.  C.  D. 2. 用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（ ） A. 正三角形 B. 梯形 C. 直角三角形 D. 矩形 3. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍 B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 C. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍 D. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 5. 关于直线，以及平面，，下列命题中正确的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，且，则 D. 若，，则 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象记为曲线．则“”是“曲线关于直线对称”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）.24h降雨量的等级划分如下： 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示），则这24h降雨量的等级是（ ） A. 暴雨 B. 大雨 C. 中雨 D. 小雨 9. 在锐角中，，则的一个可能的取值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 1.8 D. 2 10. 在棱长为1的正方体中，分别为的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点可以是棱的中点 B. 点轨迹的长度为 C. 点的轨迹是平行四边形 D. 点轨迹所围成的图形面积为 二､填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 11. 若复数满足，则__________. 12. 函数的定义域是_________________. 13. 已知函数，若，则 _________. 14. 某正方形网格纸是由个边长为的小正方形构成，点的位置如图所示，动点在正方形网格纸内（包含边界），记（）.当时，______；当时，若动点在小正方形的顶点上，则满足的点的个数为______. 15. 设向量，函数.若函数的定义域为，值域为.给出下列四个结论：①；②；③；④.则值可能是__________.（填上所有正确的结论的序号） 三､解答题：本大题共6道小题，共75分.把答案填写在答题卡上相应的位置. 16. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值. 17. 如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 18. 已知函数. （1）求的单调递增区间及最小正周期； （2）设，若集合恰有一个元素，求的取值范围. 19. 在中，. （1）求的值； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且. （1）求证：； （2）线段上是否存在，使得平面？若存在，求出值；若不存在，请说明理由. （3）求多面体的体积. 21. 对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. （1）若集合，求集合A相对的“余弦方差”； （2）若集合，是否存在，使得相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值？若存在，求出的值：若不存在，则说明理由. 北京市第一六一中学2025—2026学年第一学期开学测试 高二数学 2025.9 本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一､选择题：本大题共10道小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 二､填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】 ①. 4 ②. 7 【15题答案】 【答案】②③ 三､解答题：本大题共6道小题，共75分.把答案填写在答题卡上相应的位置. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） ，所以平面． 因为平面，所以． 因为为正方形，所以， 又因为，平面， 所以平面； （2） 设，连接OE． 因为为正方体，所以，且， 所以，且． 因为E，F分别，的中点，所以，且． 所以，且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，平面， 所以平面． 【18题答案】 【答案】（1）， （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 任选择条件②③：面积为. 【20题答案】 【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，所以. 平面平面，且平面平面，平面, 所以平面. 因为平面,所以. （2）存在，，理由如下： 设线段上存在，使得平面.显然点与点不重合. 所以不在平面中，平面, 因为四边形为正方形，所以. 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为平面平面，平面平面, 所以 因为四边形为梯形，且. 如图，取BC的中点 H，连接AH,则, 所以四边形为平行四边形，四边形是正方形. 所以,且与的交点即为点,点是的中点. 所以. 当点为的中点时，因为所以. 延长交于点.因为所以. 所以,所以,所以点是的中点.连接， 因为四边形为正方形，所以.所以， 所以四边形为平行四边形. 因为不在平面中，平面, 所以平面. 因此，线段上存在，使得平面，的值为. （3） 【21题答案】 【答案】（1） （2）存在，；理由如下： 假设存在，使得相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值. 由“余弦方差”的定义得： . 要使是一个与无关的定值，应有成立， 则， 即， 整理可得. 又因为， 则，，， 所以， 所以，则， 所以，， 即， 整理可得，. 又因为，所以，， 所以，假设成立，当时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，定值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $