精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延边州2025-2026学年高三上学期9月期初考试数学试题

2025—2026学年度上学期高三9月期初考试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第三册、必修第一册和必修第二册第四章. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定可得. 【详解】由题意可得命题：，的否定是，. 故选：C. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数和指数函数的单调性比较可得. 【详解】，，， 所以. 故选：A. 3. 若，则（ ） A. 6 B. 12 C. 20 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法结合指数幂的运算可得. 【详解】设，则， 所以，则， 所以， 所以. 故选：D. 4. 若为等差数列的前项和，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式可得，再结合等差数列的性质判断的符号，即可得出答案. 【详解】由，得， 又，则，所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，最小. 故选：A 5. 已知集合，，若，则集合的非空子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由集合相等分情况讨论得到所求集合，再求子集可得. 【详解】由题意可得，当时，，此时； 当时，或，此时； 所以集合， 所以非空子集的个数为3个. 故选：B. 6. 19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特提出本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数开头的数出现的概率满足，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则的最大值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，由对数的运算性质化简，再计算，然后由对数的单调性可得. 【详解】由可得， 又， ， 由对数函数的单调性可得，即，所以的最大值为4. 故选：C. 7. 已知，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，由基本不等式求解可得. 【详解】因为，， 则， 当且仅当时取等号，即时. 故选：D. 8. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】同构之后令，求导分析最值，然后再换元令，构造函数，结合导数分析单调性可得. 【详解】因为，所以， 令，则， 易得， 设，则，分离参数可得 令， ， 易得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（ ） A. 若，则 B. 若，则方程有实根 C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形 D. 若为无理数，则m，n均为无理数 【答案】AB 【解析】 【分析】由必要条件的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，所以A符合题意； 对于B，若方程有实根，则需满足，即，可推出，故B符合题意； 对于C，若四边形是平行四边形，则四边形对角线不一定互相垂直，故C不符合题意； 对于D，若，则为有理数，故D不符合题意. 故选：AB. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 无最值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据判断A；根据奇函数的定义判断C；可判断B；利用定义求证在上的单调性并结合奇偶性得出在上的单调性可判断D. 【详解】，所以，故A正确； 因在处没有意义，故B 错误； ，则， 所以为奇函数，故C 正确； ，且， 则， 因，则，则，即， 则在上单调递减， 因为奇函数，则在上也单调递减， 当时，；当时，，故函数无最值， 故D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】通过零点的几何意义，从函数图象的特征入手，注意到交点的对称性，进而对选项进行判断. 【详解】设，，. 因为是的零点，所以是函数和的图象的交点的横坐标. 因为是的零点，所以是函数和的图象的交点的横坐标. 函数，故将函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位， 可得的函数图象，且由于图像的特点可知，的两条渐近线为和， 且关于直线对称，而与的图象也关于直线对称. 因此与图象的交点和与图象的交点关于对称. 画出，，的草图，如图： 由图知，故选项A错误. 交点与关于直线对称，所以，故选项B正确. ，所以，化简得，故选项C错误. 交点与同样关于直线对称，同理. 因此，故选项D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列的前项和为，公比为，，则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】将用表示，由等比数列通项公式代入化简求值. 【详解】因为，所以，即， 因，则得，解得或， 因为，所以，所以不满足条件， 所以. 故答案为：1. 13. 已知函数，则_____. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】直接根据对数函数性质计算即可. 【详解】，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知正项数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由累加法结合等差数列的求和公式可得； （2）由裂项相消法可得. 【小问1详解】 当时，， ， ….. ， 累加可得，即， 易得当也符合上式，所以. 【小问2详解】 数列的通项为， 所以. 15. 已知二次函数. （1）若在区间上不单调，求的取值范围； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）结合函数对称轴，利用单调性列不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围； （2）由对数函数单调性、二次函数单调性，结合复合函数单调性列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 为二次函数，对称轴为， 由题意，即，整理得， 解得或，所以的取值范围或； 【小问2详解】 函数在上是增函数， 若函数在区间上单调递增， 则在上单调递增，且， 于是①或②， 由①，解得，由②可得， 故实数的取值范围是. 16. 已知函数. （1）证明：函数的图象关于点对称； （2）若存在正数，使得不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明可得； （2）由中心对称函数的性质结合复合函数的单调性可得. 【小问1详解】 ， ， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以即， 由复合函数的单调性可得函数在上单调递增， 又，所以原不等式能成立等价于在上能成立， 所以，， 由复合函数的单调性可得在时的值域为， 所以. 17. 记为数列的前项和，为数列的前项和，已知. （1）证明：为等比数列； （2）求； （3）求. 【答案】（1）详见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）要证明数列是等比数列，可先根据与的关系，用表示出，再通过变形得到与的关系，根据等比数列的定义进行证明； （2）先根据（1）求出的通项公式，再结合求出的表达式，整理求值； （3）据的表达式，将拆为两部分，应用分组求和及裂项求和. 【小问1详解】 由可得，当，两式相减，可得，又 则 整理可得 当时， 当时，，，解得， 所以，数列是以1为首项，为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可知，,则， 因为，则=－+，化简整理，. 【小问3详解】 由（2）可知，，则 设 则 则－， 整理可得：=，则； 设 则， 则， 整理可得：=，则； . 18. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）当时，若，，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明见详解 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程即可； （2），令，求导分析最值即可证明； （3）由，，则，根据单调性可确定此时的最大值为1，再验证时，即可. 【小问1详解】 时，， ，，， 所以切线方程为. 【小问2详解】 证明：， 令， ， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， ，又， 所以， 故时，. 【小问3详解】 ，， 因为，，所以， 令，， 由（2）知在单调递增，在单调递减， ，，， 所以，使得， 则的解即的解为，此时的最大值为1， 当时，， ， 又， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 则，所以时，， 综上，的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期高三9月期初考试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第三册、必修第一册和必修第二册第四章. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 6 B. 12 C. 20 D. 30 4. 若为等差数列的前项和，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，若，则集合的非空子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 6. 19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特提出本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数开头的数出现的概率满足，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则的最大值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 已知，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 8. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（ ） A. 若，则 B. 若，则方程有实根 C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形 D. 若为无理数，则m，n均为无理数 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 无最值 11. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列的前项和为，公比为，，则_____. 13. 已知函数，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知正项数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 15. 已知二次函数. （1）若在区间上不单调，求的取值范围； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）证明：函数的图象关于点对称； （2）若存在正数，使得不等式能成立，求实数的取值范围. 17. 记为数列的前项和，为数列的前项和，已知. （1）证明：为等比数列； （2）求； （3）求. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）当时，若，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $