精品解析：北京市首都师范大学附属中学2026-2027学年高一上学期期中数学试题

2026北京首师大附中高一（上）期中 数学 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知则（　　） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式错误的是（　　） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（　　） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是偶函数 D. 恰有一个实根 7. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 8. 设集合是正整数集的非空子集，对任意且，定义运算.若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”.设集合若其差倍集中恰有两个元素，则的值可能是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 已知函数，若关于的不等式 恰有一个整数解，则实数的最小值为（　　） A. B. C. D. 10. 已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） 11. 函数的定义域是_________． 12. 若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________． 13. 已知命题：若是非零实数，且，则，能说明为假命题的一组整数为_______，_______ 14. 已知函数的定义域为.若对任意且，都有，则函数在的单调性为_______.（填“单调递增”，“单调递减”，“既不单调递增也不单调递减”）；不等式的解集为_______ 15. 已知函数 则下列结论中正确的是_______ ①当时，不等式的解集为； ②若的值域为，则实数的取值范围是； ③函数 在上恰有一个零点的充要条件是； ④存在一个实数，使得在上单调递减，且 的值域为. 三、解答题（本大题共小题，共分.） 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 第二十届亚运会中国代表团以金银铜收官，连续第届位居金牌首位.亚运会周边纪念品十分畅销，某商家在其摊位销售亚运会的文创笔记本，根据销售数据，日均销量与售价存在分段规律.该商家每日售卖文创笔记本的固定成本为元，每本笔记本的进价为元.设笔记本的售价为每本元，日均销量为本.当时，；当时， （1）写出该文具店的日均利润（元）的解析式.（利润销售收入总成本） （2）当笔记本的售价定为每本多少元时，该文具店的日均利润最大？最大日均利润是多少元？ 18. 设，， 其中.设. （1）当时，判断的奇偶性并说明理由； （2）记函数，若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意，均有，求实数的取值范围. 19. 设是由有限个正整数组成的集合，记为集合中的元素个数.若存在非空集合与满足：①②对 （其中， 且），都有 ；③对 （其中 ），若 ，则. 则称为集合的一个级平衡拆分.比如，若， 有， 则为集合的一个级平衡拆分.记为存在级平衡拆分的有限正整数集的元素个数的最小值. （1）设， 且. 请构造集合，使得是集合的一个级平衡拆分. （2）求，并证明你的结论； （3）证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京首师大附中高一（上）期中 数学 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合， 集合， 则. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定求解即可. 【详解】由存在量词命题的否定知， 的否定是， 故选：C 3. 已知则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算内层函数值 ，再计算外层函数值 即可. 【详解】当 时， ；当 时，， 由于 ，代入对应解析式可得 ， 由于 ，代入对应解析式可得 . 因此 . 4. 已知，则下列不等式错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，根据不等式的性质判断即可；对于D，通过举反例验证即可. 【详解】对于A：由，得；又，所以，A正确. 对于B：因为、，所以，B正确. 对于C：由，可知；又，所以，C正确. 对于D：取，（满足），，（满足）， 此时，，显然，即不成立，D错误. 5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数定义域、值域及对称性判断. 【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误； CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误； A选项，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当或时，；当或时，. A选项正确. 6. 已知函数，则（　　） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是偶函数 D. 恰有一个实根 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数定义域、值域、奇偶性的判定规则，利用函数单调性分析方程实根个数，逐一判断各选项正误. 【详解】选项 A：对于函数 ， ，解得 ，因此函数的定义域为 ，故 A 错误； 选项B：函数定义域为 ，其中 在 上单调递增，在 上也单调递增，则在定义域 上为严格单调递增函数， 当 时， 取得最小值 ，因此函数的值域为 ，故B错误； 选项C：函数的定义域为 ，不关于原点对称，因此该函数不具备奇偶性，不可能为偶函数，故 C错误； 选项D：由上述推导可知，在上严格单调递增, 则，因此方程 在定义域内恰有一个实根，故D正确. 7. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，结合已知条件，对不等式进行分类讨论并求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减，且, 所以，在上单调递增. 所以当时，；当时，； 当时，；当时，. 不等式可变形为，解得； 或，解得, 综上，不等式的解集为. 8. 设集合是正整数集的非空子集，对任意且，定义运算.若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”.设集合若其差倍集中恰有两个元素，则的值可能是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据差倍集的定义，结合集合元素的互异性，对的取值范围分类讨论，计算所有满足的运算结果，筛选出使恰有两个元素的值即可. 【详解】据差倍集的定义，是所有满足且的的结果构成的集合。 由（），得且. ①若，则. 当，时，； 当，时，； 当，时，. 此时，共2个元素，满足条件. ②若，则. 当，时，； 当，时，； 当，时，. 此时，共3个元素，不满足条件. ③当时， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 易知. 要使恰有2个元素，需上述三个结果中恰好有两个值相等. 若，解得，与矛盾，舍去； 若，解得，此时三个结果为2、8、2，则，共2个元素，满足条件. 综上，满足条件的值为2和10. 9. 已知函数，若关于的不等式 恰有一个整数解，则实数的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式等价于.先按与确定应取的区间,再结合整数点处的取值及单调性,把“恰有一个整数解”转化为与,的大小关系. 【详解】由绝对值的定义,当时,;当时,. 于是时且随增大而减小,时且随增大而减小，时. 当时,不等式为，无解. 当时,不等式等价于.整数点中,其余整数点处或者,或者. 若,则都是解；若,则没有整数解.故不合题意. 当时,不等式等价于.由符号知整数解只能来自. 计算得,,. 当时,严格递减,故后面的整数点处函数值更小，要恰有一个整数解, 只能让满足而不满足,即且. 所以的取值范围是,其最小值为. 10. 已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画出分段函数的图像，然后判断每段函数的单调性，求出每段函数的值域，根据对称性推出，结合图像可得到的范围进而得解. 【详解】函数的图像如下图所示. 当时，的对称轴是直线，且最大值为， 当时，为增函数，且此时， 由题意知存在三个不相等的实数，，，使得， 不妨设，则，则， 又，故的取值范围是. 故选：A. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） 11. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【详解】由得或， 故函数的定义域是 12. 若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的分布列出限制条件可得答案. 【详解】要满足题意，则，解得． 故答案为： 13. 已知命题：若是非零实数，且，则，能说明为假命题的一组整数为_______，_______ 【答案】 ①. (答案不唯一) ②. (答案不唯一) 【解析】 【详解】因为为假命题，所以是真命题 即，即，即， 因为，所以，即， 即，解得， 所以需满足的条件是，且. 所以满足条件的一组整数为，. 14. 已知函数的定义域为.若对任意且，都有，则函数在的单调性为_______.（填“单调递增”，“单调递减”，“既不单调递增也不单调递减”）；不等式的解集为_______ 【答案】 ①. 单调递减 ②. 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义即可证明第一个空；将用表示，代入不等式中，利用的定义域和单调性即可列出不等式组，即可求解. 【详解】对任意且，都有， 不妨假设，所以有：， 所以，所以函数在上单调递减， 因为，所以， 所以不等式可化为：， 即，即， 因为的定义域为，所以，即， 所以不等式可化为， 因为在上单调递减，所以，解得， 所以不等式的解集为. 15. 已知函数 则下列结论中正确的是_______ ①当时，不等式的解集为； ②若的值域为，则实数的取值范围是； ③函数 在上恰有一个零点的充要条件是； ④存在一个实数，使得在上单调递减，且 的值域为. 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题以分段函数为载体,逐条判断四个结论.①按分段区间解不等式;②分别求两段值域,由两段值域的并集为列式;③把零点问题转化为方程,逐段求根并统计个数;④由单调性确定的范围,再分三段表示,由值域反求. 【详解】对于①,当时,. 当时,化为,得. 当时,化为,即,得. 所以解集为,①正确. 对于②,当时,的值域为. 当时,.若,这一段的值域为. 若,这一段的值域为. 要使整个函数的值域为,两段值域需覆盖全体实数. 当时,由得,即. 当时,由得,即. 合并得,而不是,②错误. 对于③,令. 当时,,其零点为,该零点落在本段内当且仅当. 当时,,零点为和. 这两个零点落在本段内分别要求和. 统计可知,恰有一个零点的充要条件是或,③漏掉了后一段,错误. 对于④,若在上单调递减,则右段在上递减,需. 同时分界处不能出现函数值上升.对,有. 故需. 由此得,即或.结合得. 在下,记.当时,与都在左段,. 当时,在左段,在右段,. 因为,所以.而,在上递增. 所以该式在上的值域为. 当时,两自变量都在右段,,值域为. 要使的值域为,中间段不能取到内的值,故需,结合得. 又值必须取到,而时右段最小值,故只能由中间段左端点取到. 于是,结合得. 当时,中间段值域为,右段值域为. 两段值与第一段的合并,恰为. 所以存在满足④,④正确. 三、解答题（本大题共小题，共分.） 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）将集合化简，然后进行集合运算； （2）根据题意，将条件转化为集合是集合的真子集，列出不等式代入计算，即可得到结果． 【小问1详解】 当a=0时， 或 解不等式得集合， 所以或 【小问2详解】 由是的充分不必要条件， 可得：是的真子集， 当即时，，符合， 当时，则，二三式等号不能同时取到， 解得：， 综上：实数的取值范围是. 17. 第二十届亚运会中国代表团以金银铜收官，连续第届位居金牌首位.亚运会周边纪念品十分畅销，某商家在其摊位销售亚运会的文创笔记本，根据销售数据，日均销量与售价存在分段规律.该商家每日售卖文创笔记本的固定成本为元，每本笔记本的进价为元.设笔记本的售价为每本元，日均销量为本.当时，；当时， （1）写出该文具店的日均利润（元）的解析式.（利润销售收入总成本） （2）当笔记本的售价定为每本多少元时，该文具店的日均利润最大？最大日均利润是多少元？ 【答案】（1）日均利润的解析式为 （2）当笔记本售价定为每本元时，日均利润最大，最大日均利润为元. 【解析】 【分析】（1）依题意，当时与当时，分别根据利润与售价的关系即可求得解析式； （2）根据相应解析式利用二次函数与基本不等式得最值，比较可得结论. 【小问1详解】 当时，； 当时，， . 【小问2详解】 当时，，的对称轴为， 所以在上单调递增，最大值在处取得，最大值为. 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以当笔记本售价定为每本元时，日均利润最大，最大日均利润为元. 18. 设，， 其中.设. （1）当时，判断的奇偶性并说明理由； （2）记函数，若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意，均有，求实数的取值范围. 【答案】（1）非奇非偶函数． （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）由确定分段区间，再用一组互为相反数的自变量检验奇偶性． （2）将条件转化为在给定区间上恒属于，再利用的取值区间求参数范围． （3）将绝对值不等式转化为，按分段点与区间右端点的位置分类，利用特殊点的函数值取得必要条件，再用二次函数的最值检验充分性． 【小问1详解】 当时，， 所以等价于，从而． 的定义域为，关于原点对称，而，， 故且，所以是非奇非偶函数． 【小问2详解】 由， 令，可得， 由题意可知：， 则，解得, 且 ，得实数的取值范围为． 【小问3详解】 因为，令，解得， 故． 题设不等式等价于对任意，恒有． ①当时，，由，得． 又因为，所以，得． 而，两个数均为正数，故，矛盾， 所以此时不存在符合条件的． ②当时，，所以在上． 由，得，从而． 因此可取，由，结合得，故必要条件为． 反之，当时，，二次函数在上单调递减，在上单调递增， 故它在上的最小值为，最大值为端点值与中的较大者． 因为，且由得， 所以对任意，均有，满足原条件． 综上，实数的取值范围为． 19. 设是由有限个正整数组成的集合，记为集合中的元素个数.若存在非空集合与满足：①②对 （其中， 且），都有 ；③对 （其中 ），若 ，则. 则称为集合的一个级平衡拆分.比如，若， 有， 则为集合的一个级平衡拆分.记为存在级平衡拆分的有限正整数集的元素个数的最小值. （1）设， 且. 请构造集合，使得是集合的一个级平衡拆分. （2）求，并证明你的结论； （3）证明. 【答案】（1），，． （2）． 设某个级平衡拆分对应的集合有个元素，并记各块大小为、． 将两族块分别按块大小从小到大重新编号，仍记为和． 反设． 任取，若，则对所有及，都有． 由平衡拆分条件③的逆否命题，． 由于两两不交，每个（）都至少含有这个不同的元素，故； 再由递增，所有的大小均不小于，于是． 同理，每个（）都至少含有分别来自的个不同元素，故所有的大小均不小于，于是． 因此，与反设矛盾． 所以对每个都有． 将这个不等式相加，得，这又与反设矛盾； 故任意级平衡拆分都满足． 此外，对任意正整数，将一个含个元素的集合分成个各含个元素的块，并令两族分拆相同，即可得到级平衡拆分； 故的定义域非空，且其最小值存在． 取，令（）． 两族均为的互不相交的非空分拆； 若，则，且． 故这是一个级平衡拆分，于是． 结合下界，得到． （3）由上面证明的一般下界，对任意级平衡拆分对应的集合，有． 因为整数，故． 对所有级平衡拆分取元素个数的最小值，得，即． 【解析】 【分析】（1）取三个两元集合构成，再核对可能不交的块对满足条件③． （2）将两族块的基数分别排序，比较反向配对的块大小，得到任意的下界；再用4个等大块构造取到下界． （3）将（2）中的一般下界用于，并结合元素个数为整数得出结论． 【小问1详解】 ，，． 所给均非空、两两不交，且． ，，，， ，，，， 其余集合对的交集都非空，因此条件③成立． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $