精品解析：江苏省南京市临江高级中学2025-2026学年高三上学期开学测试数学试题

临江高中25-26学年上学期高三开学测试卷 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 复数，则z的虚部为（ ） A B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，满足，则（ ） A -200 B. -100 C. 200 D. 100 6. 若，且则的最小值为（ ） A. 20 B. 12 C. 16 D. 25 7. 在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知变量x，y样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为则（ ） x 1 2 3 4 5 y 5 9 10 11 15 附：样本相关系数，经验回归方程斜率，截距 A. B. 当时，对应样本点的残差为 C. 表中y所有样本数据的第70百分位数是11 D. 去掉样本点后，y与x的样本相关系数不变 10. 下列函数中最小值为4是（ ） A. B. C. D. 11. 欧拉公式（i为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 的共轭复数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式的中间一项的系数为____________. 13. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数.当时，，则______. 14. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 中国数学奥林匹克（）竞赛由中国数学会主办，是全国中学生级别最高､规模最大､最具影响力的数学竞赛.某中学为了选拔参赛队员，组织了校内选拔赛.比赛分为预赛和决赛，预赛成绩合格者可进入决赛. （1）根据预赛成绩统计，学生预赛的成绩，成绩超过85分的学生可进入决赛.若共有600名学生参加了预赛，试估计进入决赛的人数（结果取整数）； （2）决赛试题共设置了10个题目，其中单选题6题，每题10分，每题有1个正确选项，答对的10分，答错得0分；多选题4题，每题15分，每题有多个正确选项，全部选对得15分，部分选对得5分，有选错得0分.假设甲同学进入了决赛，且在决赛中，每个单选题答对的概率均为；每个多选题得15分､5分､0分的概率均分别为.求甲同学决赛成绩的数学期望. 附：若，则， 16. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知在锐角中，，为边上一点，且平分． （1）求的值； （2）若，求的值． 18. 在直三棱柱中，与交于点是的重心，点在线段（不包括两个端点）上. （1）若为的中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角正弦值为，求. 19. 动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． （1）求的方程； （2）过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； （3）已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临江高中25-26学年上学期高三开学测试卷 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解二次不等式得出集合，利用函数的值域得出集合，再由交集的定义得出答案. 【详解】∵，∴， ∴，又∵，∴， ，∴，即， ∴. 故选：A 2. 复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简复数，进而可求虚部. 【详解】， 故的虚部为， 故选：B 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式计算出，在代入正切二倍角公式即可. 【详解】原方程可化为，故. 故选：D 4. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，进而利用向量夹角公式可求与的夹角. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以与的夹角为. 故选：D. 5. 已知等差数列的前项和为，满足，则（ ） A. -200 B. -100 C. 200 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式即可解出. 【详解】因为等差数列的前项和为， 可得，解得， 则. 故选：A 6. 若，且则的最小值为（ ） A. 20 B. 12 C. 16 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】由乘“1”法即可求解. 【详解】由条件可知： 所以， 当且仅当，即取得等号， 所以最小值为25， 故选：D 7. 在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将棱台补全为棱锥，结合已知条件求出大小棱锥的高，利用及棱锥体积公式求棱台的体积. 【详解】由题设，将棱台补全为正棱锥，如下图，且均为正三角形， 其中为底面中心，连接，则面，而面，即， 所以与平面ABC所成角为，而，则，所以， 令的高为，结合棱台的结构特征，知， 所以棱台体积. 故选：C 8. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】令易知是的一个根.当时，令利用导数研究其单调性可判断方程根的个数.当时画出两个函数的图象判断交点个数求解. 【详解】解：令 当时 故是的一个根. 当时 令 则 所以在上单调递增， 所以 所以时即方程在无实数根. 当时 在上单调递减，且 如图所示： 与的图象在上有两个交点， 所以方程在有两个不同的根. 综上所述，曲线与的交点个数为 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知变量x，y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为则（ ） x 1 2 3 4 5 y 5 9 10 11 15 附：样本相关系数，经验回归方程斜率，截距 A. B. 当时，对应样本点的残差为 C. 表中y的所有样本数据的第70百分位数是11 D. 去掉样本点后，y与x的样本相关系数不变 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出样本中心点，利用样本中心点在经验回归方程上求出判断；利用残差的概念判断；利用百分数的概念判断；利用样本中心点正好是可判断. 【详解】由表中数据可得 因为经验回归方程为，经过点 则，解得：，故错误； 当时，， 残差为故正确； 因为， 所以表中y的所有样本数据的第70百分位数是从小到大排列的第4个数，为11，故正确； 因为，所以去掉样本点后，y与x的样本相关系数计算公式中的分子、分母都不发生变化不变，所以相关系数的值不变，故正确. 故选：. 10. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：利用基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：例如，则，可得， 所以的最小值不为4，故A错误； 对于选项B：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D正确； 故选：BCD. 11. 欧拉公式（i为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 的共轭复数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由欧拉公式，利用复数的基本概念，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，其虚部为，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，则，所以C错误； 对于D中，由，故的共轭复数为，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式的中间一项的系数为____________. 【答案】 【解析】 【分析】中间一项是第4项，结合二项展开式系数的计算公式即可求解. 【详解】因为展开式共有7项，它的中间一项是第4项， 所以展开式的中间一项的系数为. 故答案为：. 13. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数.当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性确定函数的周期，再利用对数运算计算即可. 【详解】由题意可知， 所以， 所以的一个正周期为8，即. 故答案为： 14. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱与球体的位置关系及球的对称性求圆柱底面半径，再由圆柱侧面积的求法求结果. 【详解】由题设，已知球为圆柱的外接球，且球体半径，圆柱高为， 根据球的对称性，圆柱底面半径为， 则圆柱侧面积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 中国数学奥林匹克（）竞赛由中国数学会主办，是全国中学生级别最高､规模最大､最具影响力的数学竞赛.某中学为了选拔参赛队员，组织了校内选拔赛.比赛分为预赛和决赛，预赛成绩合格者可进入决赛. （1）根据预赛成绩统计，学生预赛的成绩，成绩超过85分的学生可进入决赛.若共有600名学生参加了预赛，试估计进入决赛的人数（结果取整数）； （2）决赛试题共设置了10个题目，其中单选题6题，每题10分，每题有1个正确选项，答对的10分，答错得0分；多选题4题，每题15分，每题有多个正确选项，全部选对得15分，部分选对得5分，有选错得0分.假设甲同学进入了决赛，且在决赛中，每个单选题答对的概率均为；每个多选题得15分､5分､0分的概率均分别为.求甲同学决赛成绩的数学期望. 附：若，则， 【答案】（1）95 （2）60 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的对称性求解概率，即可求解人数， （2）分别求解单选题和多选题每一道题目得分的期望，即可求解成绩的期望. 【小问1详解】 由于，故， 故， 所以， 故进入决赛的人数为. 【小问2详解】 甲同学每个单选题得分的数学期望分， 甲同学每个多选题得分的数学期望分， 因此甲同学的成绩的数学期望为分 16. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式求出，设的公差为，结合求出，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由，，令得，解得， 设的公差为， 因为，所以， 所以， 故通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知， 所以①， ②， ①②得， 化简得， 所以． 17. 已知在锐角中，，为边上一点，且平分． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形内角性质及和差角正弦公式化简得，结合已知锐角三角形、正弦边角关系有，最后根据角平分线的性质即可得； （2）由已知及余弦定理得，再由及数量积的运算律求的模长，即可得. 【小问1详解】 由， 所以， 则，在锐角三角形中，则， 由正弦定理知，又平分， 根据角平分线的性质知； 【小问2详解】 由，且，则，可得， 由， 所以， 所以，而，故. 18. 在直三棱柱中，与交于点是的重心，点在线段（不包括两个端点）上. （1）若为的中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角正弦值为，求. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，证明出，，从而得到平面平面，证明出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出平面的法向量，利用线面角的正弦值列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 连接并延长，交于点，则为的中点， 连接， 因为为直三棱柱，所以平面平面， 又分别为的中点，所以， 故四边形为平行四边形，故， 又因为平面平面，平面平面， 所以， 因为平面平面，所以平面， 同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 设 则， 所以， 因为为的中点，所以，则， 设平面一个法向量为， 由得，，取，则， 因为直线与平面所成的角正弦值为， 所以， 整理得，，解得或（不合题意舍）， 所以. 19. 动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． （1）求的方程； （2）过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； （3）已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解， （2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得，即可由二次函数的性质求解， （3）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得，将其代入双曲线方程即可求解. 【小问1详解】 根据到直线与直线的距离之积等于，可得，化简得， 由于，故，即. 【小问2详解】 设，， 故当时，最小值为2 【小问3详解】 联立与可得， 设， 则， 故 设存在点C满足，则， 故， 由于在，故， 化简得，即，解得或（舍去）， 由于，解得且， 故符合题意，由于，故， 故,故， 故存在，使得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$