精品解析：山东省日照市开发区中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷

九年级开学考试数学试题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】解：A. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意； B. 是最简二次根式，符合题意； C. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是能够看出被开方数中的能开得尽方的因数或因式． 2. 一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的平均数、中位数分别（ ） A. 4，4 B. 3，4 C. 4，3 D. 3，3 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵这组数据有唯一的众数4， ∴x=4， 将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，4， 则平均数=（1+2+3+3+4+4+4）÷7=3， 中位数为：3． 故选D． 【点睛】本题考查了众数、中位数及平均数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键． 3. 已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（　　） A. 6 B. 28 C. 10或28 D. 10或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，分8为直角边和8为斜边，两种情况进行求解即可． 【详解】解：当8为直角边时，第三边长为； 当8为斜边时，第三边长为； 故选D． 4. 用图像法解二元一次方程组时，小英所画图像如图所示，则方程组的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数图像的交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案． 【详解】解：∵观察图像可知：直线与直线相交于点 ∴当时， ∴直线与直线相交于点 ∴二元一次方程组的解为：． 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数解析式求函数值、用图像法解二元一次方程组、两个一次函数图像的交点坐标就是二元一次方程组的解等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5. 如图，在数轴上，过表示数2的点作数轴的垂线，以点为圆心，1长为半径画弧，交垂线于点，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴点所表示的实数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，数轴与无理数的关系，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 6. 两个一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：当，时，经过一、三、四象限，经过一、二、四象限，故选项B符合题意； 当，时，经过一、二、四象限，经过一、三、四象限，没有选项符合题意； 故选：B． 7. 如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，在上取一点A，连接，根据圆内接四边形的对角互补，结合圆周角定理，进行求解即可． 【详解】解：如图，在上取一点A，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论不正确的是（ ） x … 0 1 2 … y … 5 2 … A. y随x的增大而减小 B. 一次函数的图象经过第一、二、四象限 C. 是方程的解 D. 一次函数的图象与x轴交于点 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可得， A、y随x的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、当时，，可知，y随x的增大而减小，可知，则该函数图象经过第一、二、四象限，故选项B正确，不符合题意； C、时，，故方程的解是，故选项C正确，不符合题意； D、∵点，在该函数图象上， ∴，解得， ∴， 当时，，得， ∴一次函数的图象与x轴交于点，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，解答本题的关键是利用一次函数的性质解答． 9. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得：，结合图形得出的周长为，再由中位线的性质得出，在中，利用勾股定理确定，即可得出结论． 【详解】解：在正方形ABCD中，，，， ∵F为DE的中点，O为BD的中点， ∴OF为的中位线且CF为斜边上的中线， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴的周长为， 故选：B． 【点睛】题目主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键． 10. 如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若则与的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于，得到，故可得到，AH,BH，故可求解． 【详解】作轴于，BD//x轴， 则， 在矩形ABCD中 ∵AD⊥AB， ∴∠DAO+∠BAH=90° 又∵∠DAO+∠ODA=90° ∴∠BAH=∠ODA 由∠AHB=∠DOA=90° ∴ ∴OD：OA=AH：BH ∵OD=2AO, ∴， ∴． ∴B（5，2） ∴BD中点 故选D． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意得到相似三角形． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 函数中x的取值范围是______． 【答案】x＞﹣2且x≠1． 【解析】 【分析】从二次根式，分式，零指数幂三个角度去思考求解即可． 【详解】由题意得，x+2＞0，且x﹣1≠0， 解得x＞﹣2且x≠1， 所以x的取值范围是x＞﹣2且x≠1． 故答案为：x＞﹣2且x≠1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，熟练上述基本条件是解题的关键． 12. 某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名志愿者的综合成绩为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．本题根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：该名志愿者的综合成绩为（分）， 故答案为：． 13. 小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米． 【答案】350． 【解析】 【分析】当8≤t≤20时，设s=kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s的值，从而得出答案． 【详解】解：当8≤t≤20时，设s=kt+b， 将(8，960)、(20，1800)代入，得： ， 解得：， ∴s=70t+400； 当t=15时，s=1450， 1800﹣1450=350， ∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米． 故答案为：350． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式． 14. 如图，△ABC中，AB=AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC=90°，∠CAD=∠CAB=26°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF等于__________°． 【答案】 【解析】 【详解】 E、F分别是BC、AC的中点. ， ∠CAB=26° 又 ∠CAD =26° ! 15. 已知关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一元二次方程的定义可得，再根据方程有实数根可得，即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， ∴k的取值范围为且． 故答案为：且． 16. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为________． 【答案】（，）． 【解析】 【分析】点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可． 【详解】解：连接ED，如图， ∵点B的对称点是点D， ∴DP=BP， ∴ED即为EP+BP最短， ∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°， ∴点D的坐标为（1，）， ∴点C的坐标为（3，）， ∴可得直线OC的解析式为：， ∵点E的坐标为（﹣1，0）， ∴可得直线ED的解析式为：， ∵点P是直线OC和直线ED的交点， ∴点P的坐标为方程组的解， 解方程组得：， 所以点P的坐标为（，）， 故答案为（，）． 考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题． 三．解答题（共7小题，共72分） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）直接利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解的方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴ 则或， 解得． 【小问2详解】 即， 则或， 解得． 18. 某交警大队为了解一路口的某个时段来往车辆的车速情况，随机调查了辆车的车速（单位：），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组车辆速度数据的众数和中位数分别是 和 ． （2）求统计的这组车辆速度数据的平均数： （3）已知该路口限速，即车速超过为超速．若该路口此时段每天来往车辆约500辆，请根据样本数据估计每天会有多少辆车超速？ 【答案】（1）40，12.5， （2） （3）辆 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，由样本所占百分比估计总体的数量，求中位数，众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据条形统计图得车辆总数为，再结合速度为的车辆有10辆，且为最多，得出众数，根据一共调查的车辆数为，中位数排在第20和21位之间，即可作答． （2）根据平均数的公式列式计算，即可作答． （3）结合样本估计总体的公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， ， 则速度为的车辆有10辆，且为最多， ∴这组车辆速度数据的众数为， ∵一共调查的车辆数为， ∴中位数排在第20和21位之间， 则 ∴ ∴这组车辆速度数据的中位数为； 故答案为：40，12.5， 【小问2详解】 解：由（1）得一共调查的车辆数为， ∴， ∴统计的这组车辆速度数据的平均数为； 【小问3详解】 解：依题意，（辆）， ∴根据样本数据估计每天会有辆车超速． 19. 已知某桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的表达式； （2）某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度． 【答案】（1） （2）桥拱下水面的宽度为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）利用待定系数法，根据建立的坐标系以及已知条件，求出点A，C的坐标，然后代入求解即可； （2）根据水面高度先求出点E，F的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，再最后求出的长． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ∴点的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ， 由题意得， 解得，． ∴点E的坐标为，点的坐标为， ∴， 答：桥拱下水面的宽度为． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实根满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）一元二次方程有两个实数根的条件是判别式的值大于等于零； （2）根据根与系数的关系可得，，再建立关于的方程，求解即可． 【小问1详解】 ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两个实根是和， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 21. 小红爸爸计划购买，两种品牌共袋糯米制作粽子．已知用元购买A品牌的袋数与用元购买品牌的袋数相同，且品牌每袋的价格比品牌每袋的价格贵元． （1）求，两种品牌每袋糯米的价格： （2）小红爸爸计划购买品牌的袋数不超过品牌袋数的一半，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？ （3）小红去商家柜台了解到，若整箱（袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠元．小红猜想购买品牌整箱，购买品牌整箱，会比（2）中的方案更省钱，请通过计算说明小红的猜想是否正确． 【答案】（1）品牌每袋糯米的价格为元，品牌每袋糯米的价格是元． （2）购买品牌糯米袋，购买品牌糯米袋，花费最少，最少为元． （3）解：小红的猜想正确，计算说明过程如下： 购买品牌糯米整箱，购买品牌整箱，需要花费（元）， ∵， ∴购买品牌整箱，购买品牌整箱，会比（2）中的方案更省钱， 答：小红的猜想正确． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性． （1）设品牌每袋糯米的价格为元，则品牌每袋糯米的价格元，根据题意列关于的分式方程并求解即可； （2）根据题意列一元一次不等式，并求其解集，设花费元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时，值最小，求出最小值即可； （3）根据题意，计算不同方案所需要的费用，比较大小即可． 【小问1详解】 解：设品牌每袋糯米的价格为元，则品牌每袋糯米的价格是元， 根据题意，得， 解得，， 经检验，是所列分式方程的根， （元） 答：品牌每袋糯米的价格为元，品牌每袋糯米的价格是元． 【小问2详解】 解：设购买品牌糯米袋，则购买品牌糯米袋， 根据题意，得， 解得，， 设花费元，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵，且为非负整数， ∴当时，最小， 此时，（元），（袋）， 答：购买品牌糯米袋，购买品牌糯米袋，花费最少，最少为元． 【小问3详解】 略 22. 如图，在正方形中，P，Q分别是上的一点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，点D落在点F的位置，交于点G． （1）求证：； （2）点H在上，，求证：； （3）若正方形的边长为9，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，证得四边形是矩形，得到，由折叠知，进一步得到，再证明，即可得出结论； （2）由折叠知，进一步得到，证明 ，得到，即可得出结论； （3）连接，由折叠知，，根据勾股定理求出，证明，得到，求出，，得到，同理可证，，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，过点作于点， ， ∵为正方形 ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠知：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由折叠知：， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由折叠知：，， ， 在中，，即， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 同理可证：， ， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且面积为15． （1）求点C的坐标及直线的解析式； （2）若M为线段上一点，且满足，求直线的解析式； （3）若E为直线上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出A、B坐标，进而根据面积为15求出点C的坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）先求出的面积，即求出的面积，再由求出点M的纵坐标，进而求出点M的坐标，据此利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （3）设，再分当为对角线时， 当为对角线时，当为对角线时，三种情况由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴，， ∵面积为15， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 同理可知直线解析式为； 【小问3详解】 解：设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级开学考试数学试题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的平均数、中位数分别（ ） A. 4，4 B. 3，4 C. 4，3 D. 3，3 3. 已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（　　） A. 6 B. 28 C. 10或28 D. 10或 4. 用图像法解二元一次方程组时，小英所画图像如图所示，则方程组的解为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在数轴上，过表示数2的点作数轴的垂线，以点为圆心，1长为半径画弧，交垂线于点，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 两个一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论不正确的是（ ） x … 0 1 2 … y … 5 2 … A. y随x的增大而减小 B. 一次函数的图象经过第一、二、四象限 C. 是方程的解 D. 一次函数的图象与x轴交于点 9. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 12 10. 如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若则与的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 函数中x的取值范围是______． 12. 某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名志愿者的综合成绩为__________． 13. 小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米． 14. 如图，△ABC中，AB=AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC=90°，∠CAD=∠CAB=26°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF等于__________°． 15. 已知关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围_______． 16. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为________． 三．解答题（共7小题，共72分） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 18. 某交警大队为了解一路口的某个时段来往车辆的车速情况，随机调查了辆车的车速（单位：），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组车辆速度数据的众数和中位数分别是 和 ． （2）求统计的这组车辆速度数据的平均数： （3）已知该路口限速，即车速超过为超速．若该路口此时段每天来往车辆约500辆，请根据样本数据估计每天会有多少辆车超速？ 19. 已知某桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的表达式； （2）某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实根满足，求的值． 21. 小红爸爸计划购买，两种品牌共袋糯米制作粽子．已知用元购买A品牌的袋数与用元购买品牌的袋数相同，且品牌每袋的价格比品牌每袋的价格贵元． （1）求，两种品牌每袋糯米的价格： （2）小红爸爸计划购买品牌的袋数不超过品牌袋数的一半，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？ （3）小红去商家柜台了解到，若整箱（袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠元．小红猜想购买品牌整箱，购买品牌整箱，会比（2）中的方案更省钱，请通过计算说明小红的猜想是否正确． 22. 如图，在正方形中，P，Q分别是上的一点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，点D落在点F的位置，交于点G． （1）求证：； （2）点H在上，，求证：； （3）若正方形的边长为9，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且面积为15． （1）求点C的坐标及直线的解析式； （2）若M为线段上一点，且满足，求直线的解析式； （3）若E为直线上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $