精品解析：海南省海口实验中学2025-2026学年高三上学期摸底考试数学试题

2025-2026学年度第一学期高三年级摸底考试数学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两个集合，再根据交集的概念运算即可. 【详解】，， 则. 故选：D 2. 在复平面内，复数对应的向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的向量表示得到，再根据复数的减法运算和复数模的公式即可得到答案. 【详解】由题意得，∴， 故选：D． 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式可知，即可计算. 【详解】. 故选：D. 【点睛】本题考查诱导公式的应用，属于基础题. 4. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 5. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到双曲线的渐近线方程，根据斜率之积等于得到的关系，再根据的关系和离心率的概念求双曲线的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 因为两条渐近线互相垂直， 所以. 所以双曲线的离心率为：. 故选：A 6. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 4 B. 1 C. 1或-4 D. -1或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可. 【详解】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D 7. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】利用归纳可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出结论. 【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS，， 以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS， 由，可得， 所以，， 所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS， 故选：C. 8. 集合的整数元素的个数为，数列的前n项和为，满足，，且，都有成立，下列选项正确的是（ ） A. 数列的通项公式为 B. C. 实数的取值范围是 D. 时，数列中的每一项都不能够被5整除 【答案】D 【解析】 【分析】利用题意，可计算，判断B是错误的；再利用的关系，可求得，但要注意此时，再检验首项，可判断A是错误的；对于不等式，可利用化简变形，再分类讨论来分离参变量，最后求出范围，同样要注意首项另外计算，可判断C也是错误的；对于被5整除，只需要化简原式就可以判断，同时也要注意首项的判断，才能决定选项D是正确的. 【详解】解，所以，即B错误； 所以，则， 两式相减得：， 当时，，所以，不满足上式，所以A错误； 由上，当时， 由恒成立，则， 等价变形得：，化简得：， 当为偶数得：，则，所以， 当为奇数得：，由，所以， 但是当时，，而， 由得：，解得， 综上可得：，所以C错误； 当时，， 因为和都能被5整除，而一定不能被5整除，此时一定不能被5整除， 而当时，，显然不能被5整除，所以D正确； 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BD 【解析】 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 10. 已知A，B为随机事件，且，，则下列结论错误的是（ ） A. 若互斥，则 B. 若相互独立， C. 若，则 D. 若相互独立，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式判断A；利用概率的加法公式判断B；利用对立事件和条件概率的概率公式判断C；利用独立事件的概率公式判断D. 【详解】若互斥，则，故A正确； 若相互独立，则， 则，故B正确； 若相互独立，则相互独立， 则，故D错误； 若，则， 则，则， 则，故C错误. 故选：CD 11. 已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，恒成立 B. 当时，在区间单调递减 C. 当时，在区间上存在唯一极小值点 D. 当时，有2个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】对A选项，当时，可选用特殊值代入判断；对B 选项，求导，再对求得的导数求导，根据正负判断单调性即可，进而判断原函数的单调性；对C选项，时，，求导，再根据函数的性质进行判断即可；对D选项，利用单调性可判断 【详解】当时，若，则有，此时∴A错误． 当时，，令， 当时，，，在上递减．∴B正确． 当时，，令， 则，令，则， 当时，，递增，又，所以在上存在唯一的零点， 则当递减，当递增， 是在区间上的唯一极小值点，∴C正确． 当时，，定义域为，，恒成立 在定义域内为增函数， 不可能有2个零点. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12. 函数在点处的切线方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数，先求得切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程. 【详解】函数 则 由导数几何意义可知 根据点斜式可得直线方程为 化简可得 故答案为： 【点睛】本题考查了导数的几何意义，过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 13. 二项式的展开式中含项的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令得，，所以展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率________，第次传球后球在丙手里的概率________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据已知，应用全概率公式并整理得、，结合、，并应用等比数列的定义写出通项公式，进而求项，即可得. 【详解】由题设，当球在甲手中，则传给甲的概率为0，当球不在甲手中，则传给甲的概率为， 且，，即， 又，即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，故， 当球在丙手中，则传给丙的概率为0，当球不在丙手中，则传给丙的概率为， 且，，即， 又，即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，易得，则. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分． 15. 已知是等差数列的前项和，.数列满足且. （1）分别求出数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；； （2）. 【解析】 【分析】（1）数列为等差数列，由已知可求得首项和公差，进而可得数列的通项公式；又，可得数列是公比为2的等比数列，结合已知条件，可求得其首项，进而可得通项公式； （2）由（1）得，利用等差等比数列的求和公式，采用分组求和的方法即可求得数列的前项和. 【小问1详解】 因为数列是等差数列，又，即，化简得，解得， 所以； 数列满足，即，所以是公比为2的等比数列， 又，即，所以，解得，所以； 【小问2详解】 由（1）得，， 所以 . 16. 设函数． （1）求的单调区间； （2）证明：当时，； 【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求单调区间； （2）问题转化为证明，构造函数，利用与的单调性证明. 【小问1详解】 函数的定义域为， 导函数为， 由，可得；由，可得． 即有的单调增区间为；单调减区间为； 【小问2详解】 当时，要证明，只需证明． 由（1）可得在递减， 可得当时，，即有； 设， 当时，，可得在单调递增，即有， 即有，则原不等式成立； 即当时，． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，． （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值． 【答案】（1） 如图所示，取的中点，连接， 因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以， 又为等边三角形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证平面，根据线面垂直的定义得证线线垂直. （2）先根据四棱锥的体积求四棱锥的高，进而求得，从而建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再利用空间向量法即可求两个平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设四棱锥的高为， 由题设，得，则， 由题设知，所以底面， 因为底面，所以， 故可以点为坐标原点，直线为轴、为轴、为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，所以； 设平面的法向量为， 则，则， 令，则，所以， 所以， 设平面与平面的夹角为，则，所以， 即平面与平面的夹角正弦值为． 18. 中国社会福利与养老服务协会、当代社会服务研究院与社会科学文献出版社于2024年12月6日共同发布《银发经济蓝皮书：中国银发经济发展报告（2024）》．报告预计，中国将在2030年前后进入超级老龄化社会，到2060年，老年人口约占总人口的37.4%，随着我国人口老龄化的不断加深，养老问题已成为社会关注的焦点．现在某社区采用分层抽样的方法对老年人居家养老的情况进行调查，其结果如下： 男性 女性 合计 居家养老 60 100 160 不居家养老 n 20 40 合计 80 m 200 （1）求m，n； （2）根据小概率值的独立性检验，是否能认为“居家养老与性别有关”？ （3）已知在被调查的男性老人中有6名是单身，其中有2名不居家养老，现在从这6名男性老人中随机抽取3人，设在抽到的3人中不居家养老的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中． 独立性检验临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）不能认为居家养老与性别有关； （3）分布列见解析，1 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据关系求参数值； （2）计算卡方再由独立性检验临界值表对比可得； （3）先由古典概率计算各自的概率，列出分布列，再计算期望即可； 【小问1详解】 根据表格可以得到：； 【小问2详解】 假设：居家养老与性别没有关系， 将表格数据代入公式可以求得， 所以根据小概率值，我们不能认为居家养老与性别有关； 【小问3详解】 由题意易知，离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2， 则， 离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 所以． 19. 已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是． 【答案】（1）； （2）由（1）得，曲线为， 当直线的斜率不存在时，直线，不合题意； 当直线的斜率存在时，设， 必要性： 若M，N，F三点共线，可设直线即， 由直线与曲线相切可得，解得， 联立可得，所以， 所以, 所以必要性成立； 充分性：设直线即， 由直线与曲线相切可得，所以， 联立可得， 所以， 所以 ， 化简得，所以， 所以或，所以直线或， 所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立； 所以M，N，F三点共线的充要条件是． 【解析】 【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解； （2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证； 充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以， 又，所以椭圆方程为； （2）略 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高三年级摸底考试数学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的向量，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 20 5. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 4 B. 1 C. 1或-4 D. -1或4 7. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 8. 集合的整数元素的个数为，数列的前n项和为，满足，，且，都有成立，下列选项正确的是（ ） A. 数列的通项公式为 B. C. 实数的取值范围是 D. 时，数列中的每一项都不能够被5整除 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 已知A，B为随机事件，且，，则下列结论错误的是（ ） A. 若互斥，则 B. 若相互独立， C. 若，则 D. 若相互独立，则 11. 已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，恒成立 B. 当时，在区间单调递减 C. 当时，在区间上存在唯一极小值点 D. 当时，有2个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12. 函数在点处的切线方程为_____． 13. 二项式的展开式中含项的系数为________． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率________，第次传球后球在丙手里的概率________. 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分． 15. 已知是等差数列的前项和，.数列满足且. （1）分别求出数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 设函数． （1）求的单调区间； （2）证明：当时，； 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，． （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值． 18. 中国社会福利与养老服务协会、当代社会服务研究院与社会科学文献出版社于2024年12月6日共同发布《银发经济蓝皮书：中国银发经济发展报告（2024）》．报告预计，中国将在2030年前后进入超级老龄化社会，到2060年，老年人口约占总人口的37.4%，随着我国人口老龄化的不断加深，养老问题已成为社会关注的焦点．现在某社区采用分层抽样的方法对老年人居家养老的情况进行调查，其结果如下： 男性 女性 合计 居家养老 60 100 160 不居家养老 n 20 40 合计 80 m 200 （1）求m，n； （2）根据小概率值的独立性检验，是否能认为“居家养老与性别有关”？ （3）已知在被调查的男性老人中有6名是单身，其中有2名不居家养老，现在从这6名男性老人中随机抽取3人，设在抽到的3人中不居家养老的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中． 独立性检验临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $