14.2全等三角形的判定一（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元教学分层优化练 2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 14.2全等三角形的判定一（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 全等三角形的判定1：边角边（SAS） 三角形全等的判定1：边角边（SAS） 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中，． 要点诠释： 条件要求 两个三角形中， 两边及其夹角对应相等 时，这两个三角形全等。需注意：  两边：任意两条边对应相等  夹角：这两条边的公共角（即两边的夹角）必须对应相等 题型1添加条件使两个三角形能够用SAS判定全等 例1．如图，在中，，要判断，若要根据“”还要添加条件（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】． 如图，在四边形ABCD中，连接BD，已知AB=CB，若要用“SAS”判定△ABD≌△CBD，则还需添加的一个条件是 (　　) A．∠ABD=∠CBD B．∠A=∠C C．AD=CD D．∠ADB=∠CDB 【变式1-2】．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】．如图，已知，，请你只添加一个条件，使得，你添加的条件是　 　．（填序号）①；②． 知识点2 利用SAS进行推理证明 ①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序. ②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等 要点诠释： 与SSA的区别  两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能判定三角形全等，即不存在反例。 证明步骤 首先确认已知条件中哪两条边及夹角对应相等 通过构造辅助线或利用已知条件推导出第三边或角相等，完成证明 题型2判定全等的依据---SAS 例2．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】．如图，小明与小敏玩跷跷板，两人距支点 O的距离相等，则小明从水平位置上升的距离 CF 和小敏从水平位置下降的距离DG 相等，该结论的依据为　 　 【变式2-2】．如图，小亮要测量水池的宽度，但没有足够长的绳子，聪明的他设计了如下方案及方案的依据．现需要回答横线上符号表示的内容： （1）先在地上取一个可以直接到达A点和点的点； （2）连接并延长到，使得 △ （3）连接并延长到，使得 ▽ （4）连接 ○ 并测量出它的长度，就是水池的宽度． （5）上述方案的依据是 ◇ ． 其中错误的选项是（　　） A．△代表 B．▽代表 C．○代表 D．◇代表 【变式2-3】．如图，若，，，则的依据是（　　） A． B． C． D． 题型3利用SAS判定三角形全等 例3． 如图， M是AB 的中点， ∠AMC=∠BMD， MC=MD. 求证AC=BD. 【变式3-1】． 已知：如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，CF=DF。求证：AF⊥CD。 【变式3-2】．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【变式3-3】．在和中，，点D，点E分别在边，上，与交于点F．有以下四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 知识点3 利用SAS解决实际问题 实际应用要点 1.条件识别与隐含条件利用 识别题目中明确给出的两边及夹角条件，同时注意公共边、公共角等隐含条件。 2.证明步骤规范 先列出已知条件，明确对应边和夹角； 通过作辅助线（如中线、角平分线）构造全等三角形；  最后得出结论时，需完整书写全等符号及依据。 要点诠释： 常见错误辨析 （1）混淆非夹角条件 ：如SSA（两边及其中一边的对角相等）不能判定全等。 （2）忽略隐含条件 ：公共边、公共角可能简化证明过程，需主动挖掘 题型4 利用SAS全等解决实际问题 例4．如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳．若求的长，只需测量下列线段中的（　　） A． B． C． D．OA 【变式4-1】．如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 【变式4-2】．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得，，则圆形容器的壁厚是　 　cm． 【变式4-3】．周末，小明和小玮去公园玩，他们发现一个人工湖，喜欢思考的小明对小玮说：“老师说，我们要用数学的眼光看世界，那么，你能用我们学过的数学知识测量出湖的宽度（以最宽处计算）吗？”小玮观察了一下，给出了如下测量方案． 如图，首先在湖两岸相对的地方选取两点两点之间的距离就是湖的宽度．要测量湖两岸相对的两点间的距离，可以在湖外取的垂线上的两点，使，再画出的垂线，使点与点在同一条直线上．若想知道两点之间的距离，只需要测量出线段的长度即可．请你用学过的数学知识来说明小玮的做法是否正确． 题型5全等三角形的判定与性质综合 例5．将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转( ，得到矩形 AEFG. （1）如图，当点 E 在BD 上时，求证：FD=CD. （2）当α为何值时，GC=GB?画出图形，并说明理由. 【变式5-1】．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． （1）求证： （2）若，求的度数． 【变式5-2】．如图，在中，两边AB，AC上有两点M，N，D为外一点，且，，，. （1）猜想线段MN，BM，CN之间的数量关系并说明理由. （2）若，，求的周长. 答案：（1）.理由见解析 （2）15 解析：（1）.理由如下： 延长AB，在AB的延长线上取，连接DE，如图. 因为，， 所以. 又因为，所以. 因为，，， 所以， 所以，. 因为， 所以， 所以. 因为，，， 所以，所以. 因为， 所以. （2）因为，，， 所以的周长为 . 题型6 全等三角形性质判定综合应用 例6．下表是小聪同学开展项目化学习时填写了部分内容的记录表， 项目：测量小山坡的宽度. 活动：小山坡的宽度不能直接测量，可以借助一些工具，比如：皮尺，直角三角板，测角仪 标杆等，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，再进行实地测量，得到具体数据，从而计算出小山坡的宽度. 成果：下面是小聪同学所在小组进行交流展示的部分项目研究内容： 项目 示意图 测量方案 测得数据 测量小山坡 的宽度AB 在小山坡外面的平地上找一点O，立一根标杆，然后再找到点C，D，使OC=OA. OD =OB OA=OC=200 m，OB=OD=250 m，CD =360 m 请你帮助小聪组完成下列任务. （1）任务1：王老师发现小聪组的测量方案有问题，请你帮助小聪组找到问题并完善测量方案. （2）任务2：完善方案后请你借助上述测量数据，计算小山坡的宽度AB，并说明理由 （3）任务3：利用所学知识，请你再设计一个测量方案，并简要说明你的设计思路. 【变式6-1】．【问题背景】在△ABC 和△BDE 中，AB=BC， BD = BE， ∠ABC = ∠DBE， 连 接CD，AE. （1）【自主探究】如图①，当点 E 落在 BC 边上，且点A，E，D在同一条直线上时，若∠ABC=∠DBE=50°，则△BCD≌　 　，∠ADC的度数为　 　； （2）【类比探究】如图②，大小不同的两个含45°的直角三角尺 ABC 和 BDE 的直角顶点重合于点 B，连接AE，CD，当点 C，D，E在同一条直线上时(点D 在点 C，E之间)，请判断线段 CD 和 AE 的位置关系和数量关系，并说明理由. 【变式6-2】．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； （2）如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【变式6-3】．当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． 【小试牛刀】 （1）如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是____； 【尝试运用】 （2）如图2，，点为中点，点在的延长线上，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，是中线，点是上一点，，，若，则的大小是______（用含的式子表示）． 例7．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使，连接BE，可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法” ． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程； （2）【问题拓展】 如图②，在和中，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 【变式7-1】．【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：已知，如图1，中，若，，点D为边中点，求边上的中线的取值范围． 经过小组合作交流，找到了解决方法：“倍长中线法”． （1）请按照上面的思维框图，完成证明． 【探究应用】 （2）已知：如图2，中，是边上的中线，E在边上，连接交于F，且．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，若，，，是边上的中线，E是上一点，连接交于点F，且，求的长． 【变式7-2】．八（2）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． [发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，是的中线，若，求的取值范围． [探究方法]他们通过探究发现，延长至点E，使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． [问题解决] （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程． （2）如图2，是的中线，且，求证：． 一、（选择题，每小题3分，共24分） 1．如图，图中的两个三角形全等，则等于（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，若，，则可判定，这是根据（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 4．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接，，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，等边中，，分别是，，连结，则的度数是(　　) A． B． C． D．无法确定 6．如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 7．如图，中，，，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在等边三角形中，平分，若，则等于（　　） A． B． C． D． 二、（填空题，每小题4分，共20分） 9． 如图所示， 点 均在正方形网格格点上， 则 　 　。 10．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB=　 　米； 11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为　 　． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为　 　． 13．如图，都是等边三角形，则的度数是　 　． 三、（解答题，每小题8分，共56分） 14．在物理课社团中，大家在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，大家大胆用到了数学知识发明了用“X型转动钳”．按如图方法进行测量，其中，，，只需测得，，就可以知道圆柱形容器的壁厚了． （1）请你利用所学习的数学知识说明； （2）求出圆柱形容器的壁厚．（用含有a，b的代数式表示） 15．如图，已知，且，点P在线段上从点A向点B运动，点Q从点B在射线上向点D的方向运动，运动的速度是，当点P运动到B时同时停止.若P、Q两点同时出发，设运动时间为t（s），请问在这个运动过程中，是否存在与全等？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由. 16． 如图， △ABC≌△A'B'C'， AD， A'D'分别是△ABC， △A'B'C'的对应边上的中线. AD 与A'D'有什么关系?证明你的结论. 17．如图，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：∠B＝∠C； （2）若∠A＝40°，∠BEC＝70°，求∠C的度数． 18．如图， ，点 在 上． （1）求证： ； （2）若 平分 ，求 的度数． 19．如图，在△ABC中，点D是AC上一点，AD=AB，过点D作DE∥AB，且DE=AC． （1）求证：∠ACB=∠AED． （2）若点D是AC的中点，且S△ABC＝12，求四边形ABCE的面积． 20． （1）如图1，点、分别是等边边、上的点，连接、，若，求证： （2）如图2，在（1）问的条件下，点在的延长线上，连接交延长线于点，．若，求证：． C 抓拓展 能力强化拓展练 达标检测 B 抓核心 二大题型提升练 A 夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 14.2全等三角形的判定一（基础练+提升练+拓展练+达标检测）(解析版) 知识点1 全等三角形的判定1：边角边（SAS） 三角形全等的判定1：边角边（SAS） 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中，． 要点诠释： 条件要求 两个三角形中， 两边及其夹角对应相等 时，这两个三角形全等。需注意：  两边：任意两条边对应相等  夹角：这两条边的公共角（即两边的夹角）必须对应相等 题型1添加条件使两个三角形能够用SAS判定全等 例1．如图，在中，，要判断，若要根据“”还要添加条件（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：∵，，依题意得，要根据“”判断， 还要添加条件， 故答案为：B． 【分析】首先根据题意可得出， AD=AD，再根据SAS可直接得出答案。 【变式1-1】． 如图，在四边形ABCD中，连接BD，已知AB=CB，若要用“SAS”判定△ABD≌△CBD，则还需添加的一个条件是 (　　) A．∠ABD=∠CBD B．∠A=∠C C．AD=CD D．∠ADB=∠CDB 【答案】A 【知识点】三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：∵AB=CB，BD=BD， 若用“SAS”判定△ABD≌△CBD， 则需∠ABD=∠CBD. 故答案为：A 【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案. 【变式1-2】．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：A：添加后，可以根据SSS判定，所以A不符合题意； B：添加后，可以根据SAS判定，所以B不符合题意； C：添加后，满足SSA不能判定，所以C符合题意； D：添加之后，可根据HL判定，所以D不符合题意。 故答案为：C. 【分析】根据三角形全等的判定，分别判断添加条件后能不能得出全等，即可得出答案。 【变式1-3】．如图，已知，，请你只添加一个条件，使得，你添加的条件是　 　．（填序号）①；②． 【答案】① 【知识点】三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：①， 又∵，， ∴，符合题意； ②， 又，，无法判定，不符合题意； 故答案为：① 【分析】根据三角形全等的判定（SAS）对①和②逐一判断即可求解。 知识点2 利用SAS进行推理证明 ①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序. ②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等 要点诠释： 与SSA的区别  两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能判定三角形全等，即不存在反例。 证明步骤 首先确认已知条件中哪两条边及夹角对应相等 通过构造辅助线或利用已知条件推导出第三边或角相等，完成证明 题型2判定全等的依据---SAS 例2．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质 【解析】【解答】解：在与中， ， ∴， 故答案为：B． 【分析】结合对顶角相等的性质，利用全等三角形判定定理”“即可求解. 【变式2-1】．如图，小明与小敏玩跷跷板，两人距支点 O的距离相等，则小明从水平位置上升的距离 CF 和小敏从水平位置下降的距离DG 相等，该结论的依据为　 　 【答案】全等三角形的对应边相等 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：在△OCF 和△ODG 中， ∴△OCF ≌△ODG(SAS)， ∴CF=DG. 【分析】首先根据SAS可证明△OCF ≌△ODG，进而可得出CF=DG. 【变式2-2】．如图，小亮要测量水池的宽度，但没有足够长的绳子，聪明的他设计了如下方案及方案的依据．现需要回答横线上符号表示的内容： （1）先在地上取一个可以直接到达A点和点的点； （2）连接并延长到，使得 △ （3）连接并延长到，使得 ▽ （4）连接 ○ 并测量出它的长度，就是水池的宽度． （5）上述方案的依据是 ◇ ． 其中错误的选项是（　　） A．△代表 B．▽代表 C．○代表 D．◇代表 【答案】D 【知识点】三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：由题意知：△代表，▽代表，○代表， ∵， ∴， ∴， ∴◇代表； 故选：D． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定．根据题意分析可得：△代表，▽代表，○代表，再根据对顶角相等可得：，利用全等三角形的判定定理SAS可判定，利用全等三角形的性质可得：AB=DE，据此可选出选项. 【变式2-3】．如图，若，，，则的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：∵，，， ∴ 故答案为：B. 【分析】根据全等三角形的判定，即可得解． 题型3利用SAS判定三角形全等 例3． 如图， M是AB 的中点， ∠AMC=∠BMD， MC=MD. 求证AC=BD. 【答案】证明：由题意可得： AM=BM 在△AMC和△BMD中 ∴△AMC≌△BMD（SAS） ∴AC=BD 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案. 【变式3-1】． 已知：如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，CF=DF。求证：AF⊥CD。 【答案】证明：连接AC、AD， 在 和 中， 是等腰三角形. 又 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】连接AC、AD，根据SAS得到△ABC≌△AED，即可得到AC=AD，然后根据三线合一证明即可. 【变式3-2】．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同位角相等 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，由线段的和差和等式的性质可得，结合已知，用边角边可证，再根据全等三角形的对应边相等可求解； （2）根据全等三角形的对应角相等可得，在△ACE中，根据三角形的内角和等于180°即可求解． （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3-3】．在和中，，点D，点E分别在边，上，与交于点F．有以下四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 【答案】解：选一个条件③AD=AE(答案不唯一)， 理由如下：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD(SAS). 【知识点】三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】若选一个条件①∠BDC=∠CEB，可用角角边可判断两个三角形全等； 若选一个条件②BE=CD，不能判断两个三角形全等； 若选一个条件③AD=AE，可用边角边可判断两个三角形全等； 若选一个条件④∠B=∠C，可用角边角可判断两个三角形全等. 知识点3 利用SAS解决实际问题 实际应用要点 1.条件识别与隐含条件利用 识别题目中明确给出的两边及夹角条件，同时注意公共边、公共角等隐含条件。 2.证明步骤规范 先列出已知条件，明确对应边和夹角； 通过作辅助线（如中线、角平分线）构造全等三角形；  最后得出结论时，需完整书写全等符号及依据。 要点诠释： 常见错误辨析 （1）混淆非夹角条件 ：如SSA（两边及其中一边的对角相等）不能判定全等。 （2）忽略隐含条件 ：公共边、公共角可能简化证明过程，需主动挖掘 题型4 利用SAS全等解决实际问题 例4．如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳．若求的长，只需测量下列线段中的（　　） A． B． C． D．OA 【答案】A 【知识点】全等三角形的实际应用 【解析】【解答】解：∵为，的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴若求的长，只需测量下列线段中的． 故答案为：A． 【分析】由中点定义得AO=A'O，BO=B'O，再结合对顶角相等，可用SAS判断出△AOB≌△A'OB'，进而根据全等三角形对应边相等得AB=A'B'，从而即可得出答案. 【变式4-1】．如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 【答案】（1）解：． 理由：∵米，米 ∴米，， ∵米， ∴， 在和中， ∴ ∴，即和的长相等． （2）解：． 理由：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）分析题干可知、、，所以，由全等三角形的性质得出； （2）要证明BC⊥EF，延长交于点，要证明BC⊥EF，只需证明即可，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． （1）解：． 理由：∵米，米 ∴米，， ∵米， ∴， 在和中， ∴ ∴，即和的长相等． （2）解：． 理由：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得，，则圆形容器的壁厚是　 　cm． 【答案】 【知识点】三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】在和中， ， ， ， ， 圆柱形容器的壁厚是， 故答案为：． 【分析】分析可以证明，由全等三角形的性质可得，AB=CD，即可解决问题． 【变式4-3】．周末，小明和小玮去公园玩，他们发现一个人工湖，喜欢思考的小明对小玮说：“老师说，我们要用数学的眼光看世界，那么，你能用我们学过的数学知识测量出湖的宽度（以最宽处计算）吗？”小玮观察了一下，给出了如下测量方案． 如图，首先在湖两岸相对的地方选取两点两点之间的距离就是湖的宽度．要测量湖两岸相对的两点间的距离，可以在湖外取的垂线上的两点，使，再画出的垂线，使点与点在同一条直线上．若想知道两点之间的距离，只需要测量出线段的长度即可．请你用学过的数学知识来说明小玮的做法是否正确． 【答案】解：因为，， 所以， 因为，（对顶角相等）， 所以， 所以． 所以小玮的做法正确． 【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】先证出，再结合 ， 利用“ASA”证出可得. 题型5全等三角形的判定与性质综合 例5．将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转( ，得到矩形 AEFG. （1）如图，当点 E 在BD 上时，求证：FD=CD. （2）当α为何值时，GC=GB?画出图形，并说明理由. 【答案】（1）证明：由题意知，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD， ∴∠ABE=∠AEB， ∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF， ∴∠EDA=∠DEF. ∵DE=DE，∠EDA=∠DEF，EF=AD， ∴△AED≌△FDE(SAS)， 得AE=FD=AB=CD，即FD=CD （2）解：画图如图①、图②所示. 当GC=GB时，点G在BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论： ①当点G在AD 右侧时，如答图①，取BC 的中点H，连接GH 交AD 于点M，连接GD，则GH⊥BC， ∴四边形ABHM 是矩形， ∴GM 垂直平分AD，∴GD=GA=DA， ∴△ADG 是等边三角形，∴∠DAG=60°，即α=60°. ②当点G 在AD 左侧时，如答图②，同理得△ADG 是等边三角形，∠DAG=60°， 【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】(1)利用旋转的性质可知AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD，进而推出△AED≌△FDE，进而证明线段间的关系； (2)分情况讨论：①当点G在AD 右侧时，取BC 的中点H，连接GH 交AD 于点M，连接GD，则GH⊥BC；②当点G在AD左侧时. 【变式5-1】．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． （1）求证： （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ； ． 【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）由已知条件得到，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定：内错角相等，两直线平行即可得出答案； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理和为，再利用角度得和差运算可得到答案. （1）证明：为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 【变式5-2】．如图，在和中，，，，且点在线段上，连. （1）求证：； （2）若，求的度数. 【答案】（1）证明：∵， ∴，又，， ∴ （2）解：∵，，， ∴和是等腰三角形， ∴， 由（1）得：， 在中，，， ∴， ∴. 【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）先根据题意得到 ，又，， 进而根据三角形全等的判定即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质结合题意即可得到 ，进而根据三角形全等的性质， 从而进行角的运算即可求解。 【变式5-2】．如图，在中，两边AB，AC上有两点M，N，D为外一点，且，，，. （1）猜想线段MN，BM，CN之间的数量关系并说明理由. （2）若，，求的周长. 答案：（1）.理由见解析 （2）15 解析：（1）.理由如下： 延长AB，在AB的延长线上取，连接DE，如图. 因为，， 所以. 又因为，所以. 因为，，， 所以， 所以，. 因为， 所以， 所以. 因为，，， 所以，所以. 因为， 所以. （2）因为，，， 所以的周长为 . 题型6 全等三角形性质判定综合应用 例6．下表是小聪同学开展项目化学习时填写了部分内容的记录表， 项目：测量小山坡的宽度. 活动：小山坡的宽度不能直接测量，可以借助一些工具，比如：皮尺，直角三角板，测角仪 标杆等，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，再进行实地测量，得到具体数据，从而计算出小山坡的宽度. 成果：下面是小聪同学所在小组进行交流展示的部分项目研究内容： 项目 示意图 测量方案 测得数据 测量小山坡 的宽度AB 在小山坡外面的平地上找一点O，立一根标杆，然后再找到点C，D，使OC=OA. OD =OB OA=OC=200 m，OB=OD=250 m，CD =360 m 请你帮助小聪组完成下列任务. （1）任务1：王老师发现小聪组的测量方案有问题，请你帮助小聪组找到问题并完善测量方案. （2）任务2：完善方案后请你借助上述测量数据，计算小山坡的宽度AB，并说明理由 （3）任务3：利用所学知识，请你再设计一个测量方案，并简要说明你的设计思路. 【答案】（1）解：∠AOB+∠BOC=180°， ∠AOB+∠AOD=180°或点C，D分别在 AO，BO 的延长线上或A，O，C；B，O，D 三点共线等. （2）解：∵OA=OC， OB=OD， ∠COD=∠AOB. ∴△COD≌△AOB. ∴CD=AB=360 m. 答：小山坡的宽度 AB 为 360 米. （3）解：如图，先在B处立一根标杆，使∠BAD=60°，确定AD的方向；同理使∠ABE=60°，确定BE 的方向：然后找到两个方向的交汇处点 C：量出 AC的长度，即为小山坡的宽度 AB(测量方案只要符合即可). 【知识点】全等三角形的实际应用 【解析】【分析】(1)l利用∠AOB+∠BOC=180°， ∠AOB+∠AOD=180°，即可求解； （2）根据“SAS”得出△COD≌△AOB，即可求解； （3）可以利用全等的性质来测量. 【变式6-1】．【问题背景】在△ABC 和△BDE 中，AB=BC， BD = BE， ∠ABC = ∠DBE， 连 接CD，AE. （1）【自主探究】如图①，当点 E 落在 BC 边上，且点A，E，D在同一条直线上时，若∠ABC=∠DBE=50°，则△BCD≌　 　，∠ADC的度数为　 　； （2）【类比探究】如图②，大小不同的两个含45°的直角三角尺 ABC 和 BDE 的直角顶点重合于点 B，连接AE，CD，当点 C，D，E在同一条直线上时(点D 在点 C，E之间)，请判断线段 CD 和 AE 的位置关系和数量关系，并说明理由. 【答案】（1）△BAE；50° （2）解：CD⊥AE，CD=AE，理由如下： ∵∠ABC=∠DBE=90°， ∴∠DBA+∠DBC=∠DBA+∠EBA， ∴∠DBC=∠EBA. 由题意可知，BD=BE，AB=CB，在△BCD和△BAE中， ∴△BCD≌△BAE(SAS)， ∴CD=AE，∠BCD=∠BAE. ∵∠BCA+∠BAC=90°， ∴ ∠BCD+∠ACE+∠BAC=90°， ∴∠BAE+∠ACE+∠BAC=90°，即∠ACE+∠CAE=90°， ∴ ∠AEC =180°-(∠ACE+∠CAE)= 90°， ∴CD⊥AE. 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：(1)在△BCD 和△BAE 中， BD = BE，∠CBD= ∠ABE， BC = BA， ∴ △BCD ≌△BAE(SAS)， ∴ ∠BCD=∠BAE， 又∵ ∠ADC =180°-∠BCD-∠DEC，∠ABC= 180°-∠BAE-∠BEA，∠DEC=∠BEA，∠ABC=50°， ∴ ∠ADC=∠ABC=50°. 故第1空答案为：△BAE；第2空答案为：50°。 【分析】根据SAS可证得△BCD ≌△BAE，进而得出∠BCD=∠BAE，再根据对顶角相等，可得出∠DEC=∠BEA，进而根据三角形的内角和，即可得出∠ADC=∠ABC=50°. 【变式6-2】．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； （2）如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）（1）解：①根据题意画出图形如下 ②；③ （2）解： 猜想，与的数量关系为：， 理由如下： 如图，延长，使得，连接， ∴AM=MN=AN， 由（1）中的原理可得：， ∴AD=NC，， ∵AD=AE， ∴AE=NC=AD， ， ， ， ， 在△ABE和△CAN中， ， ∴， ． 【知识点】三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型 【解析】【解答】（1）②解：是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ③解：，AC=6， ， 在三角形ABE中， ， ，即， ， ， ． 故答案为：SAS；； 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②由线段中点的性质可得，结合已知条件用边角边可证△ADC≌△EDB； ③由②得△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等可得BE=AC，然后根据三角形的三边关系定理得""可求解； （2）猜想，与的数量关系为：；理由：延长，使得，则AM=MN=AN，连接，由（1）可得△ADM≌△NCM，由全等三角形的对应边相等可得，∠DAM=∠N；结合已知用边角边可证△ABE≌△CAN，由全等三角形的对应边相等可得AN=BE，于是猜想可求证． （1）解：①根据题意画出图形： ； ②解：是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ③解：， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，延长，使得，连接， 根据（1）中原理可得， ，， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 【变式6-3】．当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． 【小试牛刀】 （1）如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是____； 【尝试运用】 （2）如图2，，点为中点，点在的延长线上，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，是中线，点是上一点，，，若，则的大小是______（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】三角形三边关系；三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS 例7．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使，连接BE，可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法” ． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程； （2）【问题拓展】 如图②，在和中，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 【答案】（1）解：如图①中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， （2）证明：如图②中，延长到，使得，连接． 同法可证， ，， ， ， 与互补， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型 【解析】【分析】（1）如图①中，延长至点，使．根据SAS，易证，然后再根据全等三角形的性质，求出，然后再根据AB的值和三角形的三边关系，即可求出的取值范围； （2）如图②中，延长到，使得，连接．易证，然后再根据全等三角形的性质，可得，，然后再根据互补的性质，可得，根据SAS，易证，可得，进而可得。 （1）解：如图①中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图②中，延长到，使得，连接． 同法可证， ，， ， ， 与互补， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式7-1】．【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：已知，如图1，中，若，，点D为边中点，求边上的中线的取值范围． 经过小组合作交流，找到了解决方法：“倍长中线法”． （1）请按照上面的思维框图，完成证明． 【探究应用】 （2）已知：如图2，中，是边上的中线，E在边上，连接交于F，且．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，若，，，是边上的中线，E是上一点，连接交于点F，且，求的长． 【答案】（1）解：如图1，延长至点，使，连接， 点为边中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ∵， ， ， ； （2）证明：如图2，延长到点，使，连接， 是边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （3） 解：如图3，延长至点，使，连接， 由（1）同理得， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型 【解析】【分析】（1）延长至点，使，连接，利用“倍长中线”全等模型推出，得，，从而得，然后利用三角形的三边关系得到，进而求出的取值范围，于是求得的取值范围； （2）延长到点，使，连接，由（1）同理可证明， 得到，，从而得，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质得到，最后进行等量代换即可得证结论； （3）延长至点，使，连接，同理得证，得到，，进行等量代换得，然后根据等腰三角形“等边对等角”性质以及对顶角相等的性质得到，由等腰三角形的判定得到，接下来设，利用勾股定理列方程求出，即可的长． 【变式7-2】．八（2）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． [发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，是的中线，若，求的取值范围． [探究方法]他们通过探究发现，延长至点E，使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． [问题解决] （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程． （2）如图2，是的中线，且，求证：． 【答案】（1）解：如图1，延长至点，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图所示，延长到F，使得， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等边对等角求解。利用证明，得到，利用三角形三边的关系得到，则； （2）根据全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等边对等角，三角形外角的性质求证。延长到F，使得，先证明，得到，，进而推出，再证明，推出，即可得到． 一、（选择题，每小题3分，共24分） 1．如图，图中的两个三角形全等，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：根据图中信息和全等三角形的判定可知，∠1=∠α， ∵∠1=180°-50°-71°=59°， ∴∠α=∠1=59°， 故答案为：B． 【分析】根据三角形的内角和定理求得∠1=59°，再结合图中信息和全等三角形的判定条件可得∠1=∠α，即可得出答案. 2．如图所示，若，，则可判定，这是根据（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：，，， ， 故选：D． 【分析】由，，，可证明，据此解答即可． 3．如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【知识点】三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】证明：在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）， 故答案为：B． 【分析】利用SAS得到△ABC≌△DEC，即可解题． 4．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接，，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：如图，取格点，连接， 根据题意：， ∴， ∴， ∵， 若，则， ∵， ∴， ∴（与题干矛盾），故A选项错误； ∵， ∴，故B选项正确； ∵，故C选项错误； ∵， ∴， ∴，故D选项错误； 故答案选：B． 【分析】取格点，连接，利用网格线的性质利用证明，再利用三角形全等的性质逐一判断即可． 5．如图，等边中，，分别是，，连结，则的度数是(　　) A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：∵是等边三角形 ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：B． 【分析】先得到，即可得到，然后利用三角形的外角的性质解题即可． 6．如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】如图，延长到使得，连接， 是的中线， ， 在与中， ， ， 故答案为：D． 【分析】延长AD使DG=AD，连接BG，由”SAS“可证，可得AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G，由等腰三角形的性质可得BE=BG=8，即可求EF的长。 7．如图，中，，，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：在△BDE和△CFD中， ， ∴， ∴∠BED=∠CDF， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠B=∠C， ∴∠A+2∠B=180°，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∠EDF=a， ∴180°-∠B-∠BED+a+∠CDF=180°， ∴∠B=a， 即2a+∠A=180°． 故答案为：A ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等可得，根据全等三角形的对应角相等得出∠BED=∠CDF，根据三角形内角和是180°得出∠A+2∠B=180°，∠BDE=180°-∠B-∠BED，结合平角的定义即可求得∠B=a，即可求解. 8．如图，在等边三角形中，平分，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，而， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【分析】由等边三角形的性质及角平分的概念可证明，由全等的性质可得，，再由周角的概念可得，再利用等腰直角三角形的性质即可． 二、（填空题，每小题4分，共20分） 9． 如图所示， 点 均在正方形网格格点上， 则 　 　。 【答案】 【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图，在ΔABC和ΔDAE中，AC=DE，∠ACB= ∠DEA，BC=AE ∴△ABC≌△DAE(S.A.S.) ∴∠B=∠DAE ∴∠DCE= ∠DAE+ ∠ADC =45° ∴∠B+ ∠ADC= 45° 故选：B. 【分析】利用全等三角形的判定与性质得出△ABC≌△DAE后，再由三角形的外角性质可得∠B+ ∠ADC= 45°。 10．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB=　 　米； 【答案】20 【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：∵点C是AD的中点，也是BE的中点，∴AC=DC，BC=EC， ∵在△ACB和△DCE中， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴DE=AB=20米， 故答案为：20． 【分析】先利用SAS证明△ACB≌△DCE，再根据全等三角形的性质可求得AB． 11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为　 　． 【答案】 【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB'，根据轴对称的性质，则BP=B'P， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴AB==5，∠ACB´=∠ACB=90°， 在Rt△ABC和Rt△AB´C中 ∴△ABC≌△AB'C(SAS)， ∴S△ABC=S△AB'C， ∴S△ABB'=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC， 即AB•B'D=2×BC•AC， ∴AB•B'D=2BC•AC， ∴5B'D=24， ∴B'D=． 故答案为：． 【分析】 作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB'，根据轴对称的性质可得BP=B'P，由题意用边角边可证△ABC≌△AB'C，由全等三角形的面积相等可得S△ABC=S△AB'C，然后根据三角形ABB´面积的构成S△ABB'=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC可得关于BD´的方程，解方程即可求得BD´的值，即为PB+PD的最小值． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为　 　． 【答案】 【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H． ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠BAD， 又AE=AE， ∴△AEF≌△AEF′（SAS）， ∴FE=EF′， ∵S△ABC=AB•CH=AC•BC， ∴CH=， ∵EF+CE=EF′+EC， ∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为， 故答案为：． 【分析】在AB上取点F'，使AF'=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H，利用SAS证明△AEF≌△AE F′，得出FE=EF′，因为EF+CE=EF'+EC，推出当C、 E、F'共线，且点F'与H重合时，FE+EC的值最小，然后利用面积法求出CH长，即可解答. 13．如图，都是等边三角形，则的度数是　 　． 【答案】120° 【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， 故答案为：120°． 【分析】根据等边三角形的性质，结合”手拉手“全等模型证明，从而得到，然后利用三角形的外角性质得到的度数. 三、（解答题，每小题8分，共56分） 14．在物理课社团中，大家在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，大家大胆用到了数学知识发明了用“X型转动钳”．按如图方法进行测量，其中，，，只需测得，，就可以知道圆柱形容器的壁厚了． （1）请你利用所学习的数学知识说明； （2）求出圆柱形容器的壁厚．（用含有a，b的代数式表示） 【答案】（1）解：连接， 在和中， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， 则 ∵， ∴圆柱形容器的壁厚是 ​​​​​​​ 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）连接，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案. （2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案. （1）解：连接， 在和中， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， 则 ∵， ∴圆柱形容器的壁厚是 15．如图，已知，且，点P在线段上从点A向点B运动，点Q从点B在射线上向点D的方向运动，运动的速度是，当点P运动到B时同时停止.若P、Q两点同时出发，设运动时间为t（s），请问在这个运动过程中，是否存在与全等？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由. 【答案】解：存在，理由如下： 由题意可知，，， ∴当时，. ∵， ∴， 解得：. 【知识点】三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】 存在，理由如下：由题意可得BQ=AP=2t，∠CAP=PBQ=90°，根据AC=BP可得关于t的方程，解方程可求解. 16． 如图， △ABC≌△A'B'C'， AD， A'D'分别是△ABC， △A'B'C'的对应边上的中线. AD 与A'D'有什么关系?证明你的结论. 【答案】解：AD=A'D'，理由如下： ∵△ABC≌△A'B'C'， ∴ B C = B' C' ，A B = A' B' ，∠ ABC= ∠ A'B' C' ， ∴ AD， A'D'分别是△ABC， △A'B'C'的对应边上的中线， ∴B D =B C ； B' D' =B' C' ， ∴B D = B' D' 在△ABD和△A'B'D'中： A B = A' B' ∠ A B D = ∠ A' B' D' B D = B' D' ∴△ A B D ≅ △ A' B' D'（SAS） ∴A D = A' D' 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线 【解析】【分析】先根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等得到B C = B' C' ，A B = A' B' ，∠ ABC= ∠ A'B' C' ，再根据中线的定义得到B D = B' D'，即可利用SAS判定△ A B D ≅ △ A' B' D' 再由全等三角形的性质 即可解答. 17．如图，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：∠B＝∠C； （2）若∠A＝40°，∠BEC＝70°，求∠C的度数． 【答案】（1）证明：∵ AD＝AE，BD＝CE ， ∴AD+BD=AE+CE，即AB=AC， 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠B=∠C. （2）解：∵∠BEC是△ABE的外角， ∴∠A+∠B=∠BEC， ∵ ∠A＝40°，∠BEC＝70°， ∴∠B=30°. ∵∠B=∠C， ∴∠C的度数为30°． 【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）利用SAS证明△ABE≌△ACD，即可得到∠B=∠C； （2）利用三角形外角性质可得∠B的度数，从而可得∠C的度数. 18．如图， ，点 在 上． （1）求证： ； （2）若 平分 ，求 的度数． 【答案】（1）证明：∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAE+∠EAC= ∠CAD + Z∠EAC， ∴∠BAC= ∠EAD， 在△BAC和△EAD中， ， ∴△BAC≌△EAD(SAS) （2）解：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE= ∠CAE = 42°， ∵∠BAE=∠CAD， ∴∠CAD=∠BAE= ∠CAE = 42°， ∵△BAC≌△EAD， ∴AC=AD，∠ACB= ∠D， ∴∠ACB=∠D=∠ACD， ∵∠ACD + ∠D + ∠CAD =180°， ∠ACD + ∠ACB +∠BCE=180°， ∴∠BCE= ∠CAD =42° 【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】(1)根据SAS即可证明△BAC≌△EAD； (2)由角平分线的定义得∠BAE=∠CAE，由全等三角形的性质得AC=AD，∠ACB=∠D，从而得∠ACB=∠D=∠ACD，进而可求出 BCE=∠CAD 的度数. 19．如图，在△ABC中，点D是AC上一点，AD=AB，过点D作DE∥AB，且DE=AC． （1）求证：∠ACB=∠AED． （2）若点D是AC的中点，且S△ABC＝12，求四边形ABCE的面积． 【答案】（1）证明：∵DE∥AB ∴∠BAD=∠ADE ∴在△ABC 和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠ACB=∠AED （2）解：∵△ABC≌△ADE ∴S△ABC＝S△ADE＝12 ∵点 D 是 AC 的中点 ∴S△ADE＝S△CDE＝12 ∴S 四边形ABCE＝36 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠AED，再利用“边角边”证明即可； (2)根据全等三角形面积相等，三角形三角形中线的性质求出S△ABC=S△DAE=12，再据四边形ABCE的面积=S△ABC+S△AEC求解即可. 20． （1）如图1，点、分别是等边边、上的点，连接、，若，求证： （2）如图2，在（1）问的条件下，点在的延长线上，连接交延长线于点，．若，求证：． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠BCA. ∴在△AEC和△CDB中 ∴△AEC≌△CDB（SAS） ∴BD=CE. （2）证明：如图： 由（1）△AEC≌△CDB， ∴∠ACE=∠CBD. ∴60°－∠ACE=60°－∠CBD， 即∠ABD=∠ECB. ∵BC=CF， ∴∠BCF=∠BFC， 又∵∠BCF=∠ECB+∠ECH，∠BFC=∠ABD+∠H， ∴∠ECH=∠H， ∴EH=EC. 【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和AE=CD即可证明△AEC≌△CDB，于是可得到BD=CE； （2）利用△AEC≌△CDB和等边三角形的性质，可得∠ABD=∠ECB.由BF=BC，可得∠BFC=∠BCF，两等式相减，可得∠ECH=∠H，利用等角对等边即可得到EH=EC. 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