18.5分式方程二（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版八年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 18.5分式方程二（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点：列分式方程解应用题的一般步骤 解决应用题的思路可以概括为以下步骤： 1.审：仔细读题，弄清已知条件、未知量以及它们之间的关系。 2.设：设未知数。根据问题选择直接设元（问什么设什么）或间接设元。 3.列：寻找等量关系，列出分式方程。这是最关键也最难的一步。 4.解：解所列出的分式方程。 5.验：双重检验。一是检验是否为分式方程的增根；二是检验解是否符合实际问题的意义（如速度不能为负，人数必须为正整数等）。 6.答：写出完整、清晰的答案。 题型1和、差、倍、分问题 例1．为培养学生的动手能力，某校组织开展了手工制作比赛，甲、乙两名同学同时参加手工纸花制作比赛，已知甲每小时比乙每小时少制作20朵，甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同，求乙每小时制作多少朵纸花？ 【变式1-1】3．甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工10个这种零件，甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设乙每小时加工个这种零件，根据“甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等”，列方程求解即可． 【详解】解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件， 则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：乙每小时加工个这种零件． 【变式1-2】．伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 【答案】该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设该车每次换电池服务的时间是分钟，根据“花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设该车每次换电池服务的时间是分钟，则完成加油服务的时间是分钟， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， （分钟）， 答：该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 【变式1-3】．秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节．阳澄湖大闸蟹大量上市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元．若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍． (1)求公蟹、母蟹的售价； (2)赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价6元．某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？ 【答案】(1)公蟹的单价是元，母蟹的单价是元； (2)购买34个公蟹，66个母蟹 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解一元一次不等式组的实际应用，根据题意找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设公蟹的单价是x元，则母蟹的单价是元，利用数量＝总价÷单价，结合用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出公蟹的单价，再将其代入中，即可求出母蟹的单价； （2）设该公司购买m个公蟹，则购买个母蟹，根据“购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出购买方案． 【详解】（1）解：设公蟹的单价是x元，则母蟹的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：公蟹的单价是元，母蟹的单价是元； （2）解：设该公司购买m只公蟹，则购买只母蟹， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34， ∴该公司购买34只公蟹，66只母蟹. 题型2 工程问题 例2．智能机器人已广泛应用于各类工业生产领域，某化工厂要在规定时间内搬运2000千克化工原料，现有两种智能机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成的工作量的2.5倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少20小时，求型机器人每小时各搬运多少千克原料？ 【答案】A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克． 【分析】本题主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．设A型机器人每小时搬运x千克，则B型机器人每小时搬运千克，根据题意列出分式方程求解，然后检验即可 【详解】解：设A型机器人每小时搬运x千克，则B型机器人每小时搬运千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验：为分式方程的解， 则， 答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克． 【变式2-1】．某机械加工厂计划在一定时间内组装240个机器人，后因市场供不应求，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多组装8个．问原计划每天组装多少个机器人？ 【答案】原计划每天组装10个机器人 【分析】本题考查了分式的实际应用，解题关键是找准等量关系． 设原计划每天组装个机器人，则实际每天需组装个机器人，根据等量关系列出分式方程求解，并验根． 【详解】解：设原计划每天组装个机器人，则实际每天需组装个机器人， 根据题意得： ， 解得：，， 经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去． 答：原计划每天组装10个机器人． 【变式2-2】．在改进生产工艺后，某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同，则现在平均每天生产多少台机器？ 【答案】现在平均每天生产160台机器 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设现在平均每天生产台机器，根据现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设现在平均每天生产台机器，由题意，得： ， 解得； 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：现在平均每天生产160台机器． 【变式2-3】．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程．已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，并且挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天．求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米的隧道？ 【答案】甲工程队每天可挖掘30米的隧道，乙工程队每天可挖掘20米的隧道． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙工程队每天可挖掘x米的隧道，则甲工程队每天可挖掘米的隧道，根据挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设乙工程队每天可挖掘x米的隧道，则甲工程队每天可挖掘米的隧道， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲工程队每天可挖掘30米的隧道，乙工程队每天可挖掘20米的隧道． 题型3 行程问题 例3．某学校为开展社会实践活动共租用一辆大巴车和一辆中巴车，已知活动地点距离学校，大巴车和中巴车同时从学校出发，大巴车的速度是中巴车的1.2倍，结果大巴车比中巴车早到，求中巴车的速度． 【答案】中巴车的速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设中巴车的速度为，则大巴车的速度为，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设中巴车的速度为，则大巴车的速度为， 根据题意得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， 答：中巴车的速度为． 【变式3-1】．随着京沈客运专线的开通，沈阳已进入方便快捷的高铁时代．由沈阳到市乘坐普通列车路程为千米，而乘坐高铁路程为千米，且高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的倍，因此由沈阳到市乘坐高铁列车所用时间比乘普通列车少用小时．求高铁列车的平均速度． 【答案】千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，设普通列车的平均速度为千米/时，则高铁列车的平均速度为千米/时，根据题意列出方程求出的值即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设普通列车的平均速度为千米/时，则高铁列车的平均速度为千米/时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：高铁列车的平均速度是千米/时． 【变式3-2】．王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发分钟，才能按原驾车的时间到达学校．问：王老师驾车平均每小时行多少千米？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找准等量关系． 设王老师骑自行车的平均速度是x千米/小时，可用x表示出王老师驾车的平均速度，根据题意列出分式方程求解，再求出王老师驾车的速度． 【详解】解：设王老师骑自行车的平均速度是x千米/小时，则王老师驾车的平均速度是千米/小时， 由题意得：，. 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（千米/小时）． 答：王老师驾车的平均速度是千米/小时． 【变式3-3】．王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 【答案】(1)48千米/小时 (2)千克 【分析】本题考查了分式方程的应用、有理数乘法的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，根据王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校，建立方程，解方程即可得； （2）先求出王老师驾车往返学校所需的时间，再乘以王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量即可得． 【详解】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时． （2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时）， 则（千克）， 答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量． 题型4经济问题 例4．为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． (1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元； (2)若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【答案】(1)A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元 (2)800件 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元，根据题意列出分式方程解方程即可求解； （2）设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元， 依题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元． （2）解：设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买B型学习用品800件． 【变式4-1】．某超市预测某饮料会畅销，先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． (1)第一批饮料进货单价多少元？ (2)若两次购进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】(1)第一批饮料进货单价为4元 (2)销售单价至少为7元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键． （1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可； （2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于2700元，列不等式进行求解即可得． 【详解】（1）解：设第一批饮料进货单价为元， 依题意，， 解得：， 经检验：当时，， 故是分式方程的解，且符合题意； 答：第一批饮料进货单价为4元． （2）解：由（1）得第一批饮料进货单价4元， 则（元）， ∴第二批饮料进货单价6元， 依题意，， 设销售单价为元， 则：， 解得：， 答：销售单价至少为7元． 【变式4-2】．某商店用1800元购进一批背包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的背包，所购数量与第一批购进数量相同，但进价每个便宜了10元，结果购买第二批背包用了1500元．求第一批购进每个背包的进价是多少元． 【答案】第一批每只背包的单价为60元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设第一批每只背包的单价为元，则第二批每只背包的单价为元，根据商店购进第二批同样的背包，所购数量与第一批购进数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设第一批每只背包的单价为元，则第二批每只背包的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， 答：第一批每只背包的单价为60元． 【变式4-3】．某超市计划购进、两类礼盒水果，已知用元购进类礼盒水果的盒数与用元购进类礼盒水果的盒数相同，类礼盒水果的单价比类礼盒水果的单价少20元，求类礼盒水果的单价． 【答案】80元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B类礼盒水果的单价是x元，则A类礼盒水果的单价是元，根据用元购进A类礼盒水果的盒数与用元购进B类礼盒水果的盒数相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设B类礼盒水果的单价是x元，则A类礼盒水果的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答： B类礼盒水果的单价是80元． 题型5 古代问题 例5．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设文钱购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程．设文钱购买椽的数量为x株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为文，再根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可解题． 【详解】解：设文钱购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为文， 根据题意可列方程为：； 故答案为：． 【变式5-1】．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 【答案】规定时间为7天 【分析】本题考查了分式方程的实际应用． 找出等量关系，根据题意列出方程解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得 解得 经检验，是所列分式方程的解， 答：规定时间为7天． 【变式5-2】．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为多少天? 【答案】天 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得， ，     解得， 经检验，是原方程的解， 答：规定时间是天． 【变式5-3】．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，现有如下两个约定： （I）方程的整数解称之为“趣根”； （II）若两个方程存在相同的“趣根”，则称这两个方程为“同源方程”． 已知分式方程与一元一次方程； 请判断方程是否为“同源方程”，并说明理由． 【答案】不是，见解析 【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次方程，熟练掌握解分式方程和解一元一次方程的方法是解答本题的关键． 解出分式方程和一元一次方程之后，再结合“同源方程”的定义判断即可． 【详解】解：不是，理由如下： ， 方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解， 方程没有“趣根”； ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程方程有“趣根”， 综上，方程不是“同源方程”． 题型6 数字问题 例6．有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数． 【答案】34 【分析】设十位上的数字为，则个位上的数字为，两位数是，利用两位数减2除以个位数字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，检验后求出两位数即可． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 则：， 解方程得：， 经检验：是原方程的根， 所以个位上的数字为：＝3＋1＝4， 所以这个两位数是：3×10＋4＝34． 答：这个两位数是34． 【点睛】本题考查数字问题分式方程应用题，掌握分式方程解应用题的步骤与解法，关键是抓住两位数减2除以个位数字，商是8列出方程． 【变式6-1】．阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与、与都是“臻美数对”． 解决如下问题： (1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由； (2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)是，理由见详解 (2)，理由见详解；证明见详解 (3) 【分析】本题考查了整式的加减、分式的运算和分式方程，读懂题意是解题关键． （1）根据“臻美数对”的定义即可求解； （2）结合“臻美数对”的定义及整式的加减即可求解； （3）由（2）的结合分式的加减即可求解． 【详解】（1）解：将与各自的十位数字和个位数字交换位置可得：， ， 与是“臻美数对； （2），理由如下： 由题意得： ， 移项合并同类项可得： ， 左右两边同时除以9可得： ； 两“臻美数对”的和为： 两“臻美数对”的和是的倍数； （3）这两个数为“臻美数对”， 即 解得：， ，； ，， 这两个数分别为：． 【变式6-2】．为丰富同学们的课余生活，培养同学们的创新意识和实践能力，某校七年级举办了“玩转科技、畅想未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校准备采购A、B两种奖品.这两种奖品在甲、乙两个商场的标价相同，A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元． (1)求A奖品和B奖品的单价分别是多少？ (2)甲、乙两商场举办让利活动：甲商场所有商品以相同折扣打折销售，乙商场买一份A奖品送一份B奖品.采购时发现在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件． ①甲商场的商品打几折？ ②若学校分别在甲、乙两商场均采购10件A奖品和n件B奖品，整理时，采购人员发现在甲、乙两商场购买奖品的总费用记账单，只有百位上的数字5能看的清楚，十位和个位上的数字均已被墨水污染．问学校购进B奖品的总数量为多少？ 【答案】(1)A奖品的单价是25元，B奖品的单价是10元 (2)①打8折；②20或22或24或26 【分析】（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据“A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①设甲商场的商品打a折，利用数量＝总价÷单价，结合在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件，可列出关于a的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；②总费用为元，由总费用为500多，可列出关于n的一元一次不等式组，解之可得出n的取值范围，结合n为正整数且，可得出n的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A奖品的单价是25元，B奖品的单价是10元； （2）解：①设甲商场的商品打a折， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲商场的商品打8折； ②总费用为元， ∵总费用为500多， ∴， 解得：， 又∵n为正整数，且， ∴n可以为10，11，12，13， ∴2n可以为20，22，24，26． 答：学校购进B奖品的总数量为20件或22件24件或26件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【变式6-3】．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：． （1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：　 　.　 　． （2）解分式方程：； （3）当x取什么整数值时，分式的值为整数． （4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m． 【答案】（1），；（2）；（3）x=0；（4）m=366 【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形化简方程即可求解； （3）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时，整数x的值； （4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，然后表示出m，n的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可． 【详解】解：（1） （2） ∴x2-x-6=x2-4x+4， ∴3x=10， ∴ 经检验：是原方程的解； （3） ∴当x=0时，原式=2为整数； （4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，则个位数字为2x，n=10x+y，m=100x+10y+2x=102x+10y， ∵2x＜10， ∴x＜5， ∵是整数， ∴为整数， ∵0＜x＜5且x为整数，0＜y＜10且y为正整数， 当x=3，y=6时，为正整数， ∴m=366． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型7销售问题 例7．综合与实践 问题背景：近年来，随着人工智能、机器人技术的快速发展，机器人在各个领域的应用越来越广泛．在旅游行业，凭借科技感十足的外观设计和实用便捷的辅助功能，外骨骼机器人一跃成为新晋“网红”，得到了不少景区的追捧． 信息收集：某景区计划购置甲、乙两种型号的外骨骼机器人，销售信息和购买计划如下： 信息1：已知甲种外骨骼机器人的单价比乙种外骨骼机器人的单价多万元，花万元购进甲种外骨骼机器人的数量是花万元购进乙种外骨骼机器人数量的倍． 信息2：该景区计划购进甲、乙两种外骨骼机器人共台，且经费预算不超过万元． 问题解决： (1)求购买甲、乙两种外骨骼机器人的单价分别是多少万元； (2)该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人多少台? 【答案】(1)甲种外骨骼机器人的单价为万元，乙种外骨骼机器人的单价为万元 (2)台 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设甲种外骨骼机器人的单价为万元，根据题意列出分式方程，求出解后进行检验即可； （2）设该景区购进甲种外骨骼机器人台，则购进乙种外骨骼机器人台，根据题意列一元一次不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详解】（1）解：设甲种外骨骼机器人的单价为万元， 根据题意，得 解得， 经检验是原方程的根，且符合题意， 答：甲种外骨骼机器人的单价为万元，乙种外骨骼机器人的单价为万元． （2）设该景区购进甲种外骨骼机器人台，则购进乙种外骨骼机器人台， 根据题意，得 解得， 因为是正整数， 所以的最大值是． 答：该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人台． 【变式7-1】．【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 端午节，是中国四大传统节日之一，习俗主要有吃粽子、赛龙舟、挂艾草、佩香囊等．“端午节”来临之际，各超市纷纷搞促销活动，小亮妈妈发现离家不远的永恒超市有蜜枣粽和肉粽两种粽子正在参加活动． 素材1 小亮妈妈购买蜜枣粽和肉粽各花去120元． 素材2 肉粽的单价比蜜枣的单价贵2元，小亮妈妈购买蜜枣的数量是肉粽数量的倍． 素材3 永恒超市根据平时消费者购买情况，在“端午节”当天，将肉粽的单价提高，蜜枣粽单价降低，节日当天总销售量是400个，超市想要当天粽子销售总额不低于1800元，至少销售多少个肉粽． 问题解决 任务1 确定产品数量 请运用所学知识，求出小亮妈妈在超市两种粽子各买了多少． 任务2 探究 按素材要求确定端午节当天肉粽的销售情况． 请同学们根据以上素材完成探究任务． 【答案】任务1：肉棕买了20个，蜜枣粽买了30个；任务2：端午节当天至少销售100个肉粽 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意累出方程和不等式是解题的关键． 任务1：设肉粽买了x个，则蜜枣棕买了个，根据肉粽的单价比蜜枣的单价贵2元建立方程组求解即可； 任务2：根据任务1所求可得原来肉粽的单价的为6元，蜜枣的单价为4元，设购买肉棕a个，则购买蜜枣棕个，根据当天粽子销售总额不低于1800元建立不等式求解即可． 【详解】解：任务1：设肉粽买了x个，则蜜枣棕买了个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：肉棕买了20个，蜜枣粽买了30个． 任务2：由任务1得：原来肉粽的单价的为（元）， 原来蜜枣的单价为：（元） 设购买肉棕a个，则购买蜜枣棕个 由题意可得： 解得：， 答：端午节当天至少销售100个肉粽． 【变式7-2】．为了有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开展了丰富多彩的寒假托管服务．为表彰在此次托管服务中表现优秀的学生，学校决定购买A、B两种文具进行奖励．已知购买A文具用了600元，购买B文具用了900元，A文具比B文具每件多5元，且购买B文具的数量是A文具的2倍． (1)求A、B文具的单价； (2)为了调动学生的积极性，学校决定再次在该商店购买A、B两种文具共80件．在购买当日，恰逢该商店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1100元的情况下，最多可购买A文具多少件？ 【答案】(1)20元，15元 (2)35件 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，设恰当未知数，列出方程和不等式． （1）设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元，利用数量=总价÷单价，结合用900元购买B文具的数量是用600元购买A文具数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B文具的单价，再将其代入中即可求出A文具的单价； （2）设购买A文具m件，则购买B文具件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元． 依题意得：   解得： 经检验，是原分式方程的解 ∴ 答：A文具的单价为20元，B文具的单价为15元． （2）解：设购买A文具m件，则购买B文具件． 依题意得： 解得： 答：最多购买了A文具35件． 【变式7-3】．外出时佩戴口罩可以有效防控流感病毒，某药店用4000元购进若干包医用外科口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批同种口罩，第二批购进的包数比第一批多，每包口罩的进价比第一批每包的进价多元，请解答下列问题： (1)求购进的第一批医用口罩有多少包？ (2)政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持不变，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？ 【答案】(1)2000包 (2)3元 【分析】（1）设第一批每包的进价为x元，则第二批每包的进价为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，得第一批购进2000包，进价为2元，第二批购进3000包，进价为元设药店销售该口罩每包的售价是y元．根据题意，得，解不等式即可． 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握解方程，解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设第一批每包的进价为x元，则第二批每包的进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：购进的第一批医用口罩有2000包． （2）解：根据题意，得第一批购进2000包，进价为2元，第二批购进3000包，进价为元， 设药店销售该口罩每包的售价是y元． 根据题意，得， 解得． 答：药店销售该口罩每包的最高售价是3元． 题型8 航行问题 例8．轮船顺水航行所需要的时间与逆水航行所需要的时间相同，已知水流的速度是，求轮船在静水中的速度． 【答案】轮船在静水中的速度为． 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据顺水速度静水速度水流的速度、逆水速度静水速度水流的速度把轮船的顺水速度和逆水速度用含的代数式表示出来，再根据轮船顺水航行所需要的时间与逆水航行所需要的时间相同列方程求解，求出解后一定要把求出的解代入原分式方程的最简公分母检验是否增根． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是原分式方程的根， 答：轮船在静水中的速度为． 【变式8-1】．A、B两港之间的距离为150千米． (1)若从A港口到B港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快15千米/时，顺流所用时间比逆流少用4小时，求水流的速度； (2)若轮船在静水中的速度为v千米/时，水流速度为u千米/时，该船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为；若轮船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，且所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)5千米/时； (2) 【分析】本题考查分式方程的实际应用，分式的加减运算，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设水流的速度为x千米/时，则轮船在静水中的速度为千米/时，利用时间差列方程得4，然后解方程，再进行检验得到x的值即可； （2）利用速度公式得到，，然后利用求差法比较大小即可． 【详解】（1）解：设水流的速度为x千米/时，则轮船在静水中的速度为千米/时， 根据题意得， 解得，经检验是原方程的解， 答：水流的速度为5千米/时； （2），， 因为，，， 所以， 即． 【变式8-2】．甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为．若甲、乙两船在静水中的速度一样，求此航行中甲、乙两船的速度分别为多少？ 【答案】甲船的速度为，乙船的速度为 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．设两船在静水中的速度为 ，根据两船行驶时间相同可得得：，解方程并检验可得答案． 【详解】解：设甲、乙两船在静水中的速度为， 则甲船的速度为，乙船的速度为．   根据题意得：，     解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， 答：甲船的速度为，乙船的速度为． 【变式8-3】．一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江逆流航行所用的时间与以该航速沿江顺流航行所用的时间相等，则这艘货轮的逆流速度为多少千米每小时？（列分式方程解答） 注：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度 【答案】30千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．本题通过建立等式的方法求解水流速度，再进一步确定逆流速度．在处理顺流逆流问题时，正确地建立速度关系式是关键．同时，解题过程中验证解的合理性也是必不可少的步骤，以确保求解过程的正确性和解的合理性． 【详解】解：设水流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，顺流速度为千米/时， 根据题意得：， 解答：， 经检验，是原方程的解， 所以逆流速度为千米/时，即30千米/时， 答：这艘货轮的逆流速度为30千米每小时． 题型9 图形问题 例9．知识拓展：解分式方程除了转化整式方程外，还有其他的解法，请仔细阅读并完成填空： （1）例题：解方程， 解法1：利用分式的基本性质，将原方程化为，由分子相同，得分母相同，即______． 解法2：分式两边通分，得，由分母相同，得分子相同，即______． （2）解法3：用图形的方式表示出来，就可以用下图来解释． 如图，，．则，，，由，得______，从而求得______． 问题解决： （3）如图所示，在三角形中，是边上的点，且，，求的长． 【答案】（1）；；（2）；6；（3） 【分析】本题主要考查了解分式方程，与三角形的高有关的计算，矩形的面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形的面积计算公式． （1）根据题干提供的信息列出方程即可； （2）根据长方形面积公式，结合，求出；根据求出结果即可； （3）设中边上的高为h，根据，得出，根据，得出，求出，根据，求出即可． 【详解】解：（1）解法1：利用分式的基本性质，将原方程化为，由分子相同，得分母相同，即； 解法2：分式两边通分，得，由分母相同，得分子相同，即； （2）由，得； ∵， ∴， 解得：； 经检验是原方程的解； （3）设中边上的高为h， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 即， 解得：． 【变式9-1】．在中，，，射线上有一点分别为点P关于直线的对称点，连接 (1)如图1，当点P在线段 上时，则______，______． (2)如图2，当点P在线段的延长线上时．根据题意补全图形，并探究是否存在点P，使得，若存在，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)补全图形见解析，5 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，根据轴对称的性质可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，然后结合图形即可即可； （2）先根据轴对称图形的特点补全图形；再根据轴对称的性质可得PB=BM，PC=CN，设，则或，，利用和线段的和差列出方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ，分别为点关于直线，的对称点， ，，， ， ． 故答案为，． （2）解：补全图形如图所示． 存在点P，使得． 设，则或， ， 或， 或5． 经检验或5为方程的解， ∵线段不可能为负 ． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的特点、角度的计算、分式方程的应用等知识点，理解题意、熟练掌握运用轴对称图形的性质是解题关键． 【变式9-2】．综合与实践 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．比如，我们知道，若用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，如题图1． 【发现问题】（1）①如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着__________个正六边形的内角；②平面镶嵌的一个“奥秘”是：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于__________度； 【探究问题】（2）人们为了达到某种图案效果，往往会选择同时用多种不同的正多边形镶嵌平面．那么，是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？请通过计算加以说明； 【解决问题】（3）小明家浴室装修，在墙中央留下了如题图2所示的空白区域，经测量该区域完全可以按题图3所示的边长为的正三角形瓷砖镶嵌．小明经过市场调查后发现：一块边长为的正三角形瓷砖比一块边长为的正六边形瓷砖便宜45元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①正三角形瓷砖的单价为__________元，正六边形瓷砖的单价为__________元； ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为的正三角形瓷砖和边长为的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白区域全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要__________元． 【答案】（1）①3个；②360（2）用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌，见解析；（3）①15；60②当时，w取得最小值，且最小费用为元． 【分析】（1）①根据用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，恰好是，正六边形的一个内角为，用，解答即可； ②根据题意，得拼接在同一个点的各个角的和恰好等于； （2）设用x个正三角形和y个正六边形进行镶嵌，根据题意，得，求的x，y的正整数解即可； （3）①设正三角形瓷砖价格为x元，则正六边形瓷砖价格元，根据题意，得，解方程即可． ②根据题意，一共需要瓷砖块，设一块正三角形瓷砖的面积为，则一块正六边形瓷砖的面积为，空白面积为，设购买正三角形瓷砖块，则购买正六边形瓷砖块，总费用为w元，根据题意，得，，故故，解答即可． 本题考查了镶嵌，分式方程，二元一次方程的整数解，一次函数的性质应用，熟练掌握解方程，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：①根据用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，恰好是，正六边形的一个内角为， 用， 故答案为：3； ②解：根据题意，得拼接在同一个点的各个角的和恰好等于； 故答案为：360； （2）解：设x个正三角形和y个正六边形进行镶嵌，根据题意，得， ， 故， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故可以用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌． （3）①解：正三角形瓷砖价格为x元，则正六边形瓷砖价格元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 故正三角形瓷砖价格为15元，则正六边形瓷砖价格60元． ②解：根据题意，一共需要瓷砖块，设一块正三角形瓷砖的面积为，则一块正六边形瓷砖的面积为，空白面积为， 设购买正三角形瓷砖块，则购买正六边形瓷砖块，总费用为w元， 根据题意，得，， 故 故， 故 由，得w随x的增大而增大， 根据题意，得用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌． 故，此时， 故当时，w取得最小值，且最小值为， 故当时，w取得最小值，且最小费用为元． 【变式9-3】．请阅读下面材料，并完成相应的任务．用“几何代数法”解分式方程． 《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据．在意大利数学家斐波那契（约1170—1250）编写的《计算之书》中频繁运用了这种方法．例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程． 例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为人，则可列方程为． 解：构造如图1所示的图形，，，矩形的面积为90，矩形的面积为120，则，．显然，． 根据图形可知． 所以．（将分式方程转化成了整式方程） 解得．         图1 答：第一次分硬币的人数为18人． 任务：      (1)   如图2，，，矩形和矩形的面积均为60，下列代数式可以表示边的是___________．（多选） A．    B．    C．    D． (2)如图3，，，矩形的面积为60，矩形的面积为20，，则可列方程为___________． (3)请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程的解． 【答案】(1)C、D (2) (3)图见解析， 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系列出表达式和分式方程是解题的关键． （1）根据题意表示出、，利用，即可解题； （2）根据列出分式方程即可． （3）根据分式方程构造图形，并根据图形的面积关系求解，即可解题． 【详解】（1）解：，，矩形和矩形的面积均为60， ，， ， 故选：C、D； （2）解：根据题意可列方程为：， 故答案为：； （3）解：构造如图所示的图形，，，， 矩形的面积为1，矩形的面积为2， 则，． 矩形中，，矩形中，， ． 根据图形可知． 所以．解得． 题型10方案设计问题 例10．某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 【答案】(1)种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元 (2)共有6种方案；87500元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求出不等式的解集，用代数式表示出总费用，并分析费用何时最少． 【详解】（1）解：设种防疫用品成本元，种防疫用品成本元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， （元）； 答：种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元； （2）解：设种防疫用品生产箱，种防疫用品生产箱， 则有：， 解得：， ∵种防疫用品不超过25箱， ∴， ∵为正整数， ∴，，，，，，共6种方案； 设生产和两种防疫用品费用为元， 则有：，其中， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时元； 答：共有6种方案，最省钱方案的费用为87500元． 【变式10-1】．某校计划组织八年级师生进行研学旅行，拟租用辆车数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，得到如下信息：大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，一辆中型客车的租金比一辆大型客车少元，用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同． (1)一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ (2)已知该校八年级师生共人． 该校至少需要租用多少辆大型客车？ 若租车费用的预算为元，学校有哪几种租车方案？哪种方案花费最低？ 【答案】(1)一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元； (2)该校至少需要租用辆大型客车； 学校有种租车方案：方案：租用辆大型客车，辆中型客车；方案：租用辆大型客车，辆中型客车；方案花费最低 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用. （1）设一辆大型客车的租金为元，则一辆中型客车的租金为元，根据用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设租用辆大型客车，则租用中型客车辆，根据大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，师生共人，列出一元一次不等式，解不等式即可； 设租用辆大型客车，则租用中型客车辆，根据租车费用的预算为元，运用（1）的结论，列出一元一次不等式，再结合的结果，即可得出答案． 【详解】（1）解：设一辆大型客车的租金为元，则一辆中型客车的租金为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元； （2）设至少租用辆大型客车，则租用中型客车辆， 由题意得：， 解得：， 答：该校至少需要租用辆大型客车； 设租用辆大型客车，则租用中型客车辆， 由题意得：， 解得：， 由得：，且为正整数， 或， 当时，，费用为：； 当时，，费用为：； 学校有种租车方案： 方案：租用辆大型客车，辆中型客车； 方案：租用辆大型客车，辆中型客车； ， 方案花费最低． 【变式10-2】．某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元 (2)该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元，利用数量总价单价，结合用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每个种书包的进价，再将其代入中，可得出每个种书包的进价； （2）设该商场购进个种书包，则购进个种书包，根据“购进种书包不少于个，且购进，两种书包的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元； （2）解：设该商场购进个种书包，则购进个种书包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的值为、、， 当时，， 当时，， 当时，， 该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 【变式10-3】．某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍．请解答下列问题： (1)A，B两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元 (2)该商场共有种进货方案：方案：购进个种书包，个种书包；方案：购进个种书包，个种书包；方案：购进个种书包，个种书包． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元，利用数量总价单价，结合用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每个种书包的进价，再将其代入中，可得出每个种书包的进价； （2）设该商场购进个种书包，则购进个种书包，根据“购进种书包不少于个，且购进，两种书包的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元； （2）解：设该商场购进个种书包，则购进个种书包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的值为、、， 当时，， 当时，， 当时，， 该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 题型11商品利润问题 例11．某商店用6000元购进商品若干件，用8000元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少10元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件45元，商品售价为每件60元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润恰好相等，求的值． ②已知是不大于10的正整数，是不小于100的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为6500元，则的值为_____．（直接写出结果） 【答案】(1)每件商品进价为30元，购进商品的数量为200件 (2)①；②5或10 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意后设每件商品进价为元，则商品进价（元），然后列出分式方程，即可作答． （2）①读懂题意后列出一元一次方程，解出的值，即可作答． ②先由题意列式化简得，因为是不大于10的正整数，是不小于100的正整数，整理得或，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设每件商品进价为元，则商品进价（元） ∵用6000元购进商品若干件，用8000元购进商品若干件，购进、商品数量恰好相等． ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴每件商品进价为30元， 则（件）， ∴购进商品的数量为200件 （2）解：①依题意， 解得， ②依题意， ， 解得， ∵是不小于100的正整数， ∴， ∴， ∵是不大于10的正整数， ∴， ∴或， ∴的值是或． 故答案为：或． 【变式11-1】．哈尔滨某商场准备采购一批亚冬会吉祥物进行销售，下面是一段对话． 用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍．    一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．    (1)根据对话信息，求每件A、B型商品的进价分别是多少？ (2)若该商场购进A、B型商品共150件进行试销，已知每件A型商品的售价为230元，每件B型商品售价为210元，这批货全部售出且获得的利润不多于9800元．求至多购进A型商品多少件？ 【答案】(1)A型商品的进价160元；型商品的进价150元 (2)至多购进A型商品80件 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键． （1）根据“用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍”列出方程进行计算即可； （2）表示出利润，再根据“利润不多于9800元”列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴（元）， 答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元． （2）解：设商场购进A型商品m件，则购进A型商品件， ， 解得， ∴至多购进A型商品80件． 【变式11-2】．自中欧班列开通以来，重庆与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在重庆采购一批特色商品，经调查，用1600元采购A型商品的件数是用1000元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价少20元． (1)求A、B型商品的进价； (2)该客商计划投入18000元用于购进这两种商品，已知购进A、B两种商品共200件，A型商品的售价为160元/件，B型商品的售价为240元/件，若该客商全部销售完这些商品，则可获得的利润是多少元？ 【答案】(1)一件A型商品的进价为80元，一件B型商品的进价为100元 (2)若该客商全部销售完这些商品，则可获得的利润是22000元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．（1）设一件A型商品的进价为x元，则一件B型商品的进价为元，根据用1600元采购A型商品的件数是用1000元采购B型商品的件数的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A种商品m件，购进B种商品n件，根据该客商计划投入18000元用于购进这两种商品，已知购进A、B两种商品共200件，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题. 【详解】（1）解：设一件A型商品的进价为x元，则一件B型商品的进价为元， 由题意得：， 解得：, 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：一件A型商品的进价为80元，一件B型商品的进价为100元； （2）解：设购进A种商品m件，购进B种商品n件， 由题意得，， 解得，， 即购进A种商品100件，购进B种商品100件， ∴（元）， 答：若该客商全部销售完这些商品，则可获得的利润是22000元． 【变式11-3】．某商场准备购进A、B两种商品进行销售，有关信息如下表．已知1500元购进A产品的数量与400元购进的B产品数量相等． 进价(元) 售价(元) A产品 a 400 B产品 120 (1)求表中a的值； (2)该商场准备购进A、B两种商品共60件，若要使这些产品售完后利润不低于4800元，A 种产品至少要购进多少件？ 【答案】(1) (2)A 种产品至少要购进40件 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，根据题意找到相等关系与不等关系，列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据等量关系：1500元购进A产品的数量与400元购进的B产品数量相等，列出分式方程，并求解，最后检验即可； （2）设A 种产品购进x件，则B种产品购进件，根据：售完后利润不低于4800元，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故a的值为300； （2）解：设A 种产品购进x件，则B种产品购进件， 由题意得：， 解得：； 答：A 种产品至少要购进40件． 题型12 其他问题 例12．班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【答案】(1) (2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元；②每年行驶超过千米，买新能源车的年费用更低 【分析】（）用总电价除以续航里程列出代数式即可； （）①根据题意列出分式方程，解方程求出的值，进而即可求解；②设每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可求解； 本题考查了列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为； （2）解：①由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴，； 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； ②解：设每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低． 【变式12-1】．种粮大户蔡伯伯准备租用A，B两种型号的收割机收割小麦，已知A型收割机收割100亩小麦的时间与B型收割机收割80亩小麦的时间相同，A型收割机每小时比B型收割机多收割2亩小麦． (1)两种型号的收割机每天各可收割小麦多少亩？（以每天工作8小时计算） (2)已知两种收割机在收割小麦过程中，都会造成一定程度的遗落或破损，两种型号收割机造成每亩的损失率分别为和，已知蔡伯伯家有1000亩小麦成熟待收割，计划租用两种型号的收割机在一天内完成收割任务，若要使小麦的损失率不超过，则蔡伯伯最多可租用A型收割机多少台？ 【答案】(1)型号的收割机每天可收割小麦80亩，型号的收割机每天可收割小麦64亩 (2)5台 【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式在实际问题中的应用，通过设合适的未知数建立方程和不等式是解决本题的关键． （1）利用“A型收割机收割100亩小麦的时间与B型收割机收割80亩小麦的时间相同”这一条件建立分式方程，从而可求解A型收割机与B型收割机每小时的收割亩数，进而可得到每天的收割亩数； （2）由（1）中结论可得A型收割机一天收割亩，由此可得B型收割机一天收割的亩数，再根据“两种型号收割机的损失率以及总损失率不超过”这一限制条件列不等式，可求解出租用A型收割机数量的最大值，由此可求解． 【详解】（1）解：∵A型收割机每小时比B型收割机多收割2亩小麦， 设B型收割机每小时收割小麦x亩，则A型收割机每小时收割小麦亩， ∵A型收割机收割100亩小麦的时间与B型收割机收割80亩小麦的时间相同， ∴， 即，解得， 经检验，是原方程的根， ∴A型收割机每小时收割小麦10亩，B型收割机每小时收割小麦8亩， ∵每天工作8小时， ∴，， 答：型号的收割机每天可收割小麦80亩，型号的收割机每天可收割小麦64亩； （2）解：设租用A型收割机a台， 则A型收割机一天收割亩， ∴租用B型收割机收割亩， ∵两种型号收割机造成每亩的损失率分别为和， 且小麦的损失率不超过， ∴， 整理可得， 即，解得， 答：蔡伯伯最多可租用A型收割机5台． 【变式12-2】．如图1，是虹桥高铁站的一组智能通道闸机，当旅客通过时智能闸机会自动识别旅客身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过，如图2，是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径cm，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为． (1)一名旅客携带一件长方体行李箱进站，行李箱规格为（长宽高，单位：）． 当双翼收回进闸机箱内时，试通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机？ (2)经实践调查，一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数比一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数多人，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约2分钟求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】(1)该旅客的行李箱可以通过闸机 (2)人 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，分式方程的应用，掌握“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”、列分式方程并求解是解题的关键． （1）先求出、之间的距离，再通过比较得出结果； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，列出分式方程求解，验根后求出一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点G，延长交于点H． 由题意可知，，， ∵，， ，， ∵， ∴， ∴闸机通道的宽度即与之间的距离为， ∵行李箱规格为（长宽高，单位：），， ∴该旅客的行李箱可以通过闸机； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意，得， 解得：（舍去），， 经检验是分式方程的根， 所以一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为（人）． 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过人． 【变式12-3】．某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为5000元和8300元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【答案】(1)燃油车每千米行驶费用为元；纯电新能源车每千米行驶费用为元 (2)每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低 【分析】本题主要考查了列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）根据表中的信息，用油和电的费用除以a，表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，求出燃油车和纯电新能源车的每千米费用，由年费用年行驶费用年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为：（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为：（元）； （2）解：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意； 故，， 设每年行驶里程超过x千米时，新能源车的年费用比燃油车更低， ， 解得， 答：每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低． 例13．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 【答案】(1) (2)在串联电路上，在并联电路上，理由见详解 (3)并联，再与串联，能够使得总电阻最小，理由见详解 (4)见详解 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了列分式方程，解分式方程，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； （3）分类讨论，设这三个电阻，则，①当并联，则；②当并联，则；③当并联，则由得，即，因此并联，再与串联，能够使得总电阻最小， （4）同理由（2）（3）问可推导，与并联，再与串联，再与并联，最后与串联． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： （3）解：设这三个电阻，，即， ①当并联，则； ②当并联，则； ③当并联，则 由得 ∴， ∴并联，再与串联，能够使得总电阻最小， 如图： （4）解：同理，由（2）（3）问可推导按照如下图方式摆放： 【变式13-1】．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a吨，原来产m吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨． （1）当a＝0.8，m＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？ （2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是　 　吨，现在小麦的平均每公顷产量是　 　吨；（用含a、m的式于表示） （3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？ 【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2），；（3）两组一起收割完这块麦田需要小时． 【分析】（1）设原来小麦平均每公顷产量是x吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为：，乙的工作效率为：，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间. 【详解】解：（1）设原来平均每公顷产量是x吨，则现在平均每公顷产量是（x+0.8）吨， 根据题意可得： 解得：x＝4， 检验：当x＝4时，x（x+0.8）≠0， ∴原分式方程的解为x＝4， ∴现在平均每公顷产量是4.8吨， 答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨． （2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y+a）吨， 根据题意得： 解得；y＝， 经检验：y＝是原方程的解， 则现在小麦的平均每公顷产量是: 故答案为:，； （3）根据题意得： 答：两组一起收割完这块麦田需要小时． 【点睛】本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键. 【变式13-2】．某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶)．如果二人都做匀速运动，且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍．又已知男孩走了27级到达顶部，女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级)． (1)扶梯在外面的部分有多少级． (2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯，台阶级数与扶梯级数相等，这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯，到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．则男孩第一次追上女孩时，他走了多少台阶？ 【答案】(1)楼梯有54级 (2)198级 【分析】本题考查应用类问题，分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题． （1）设女孩速度为级/分，电梯速度为级/分，楼梯(扶梯)为级，则男孩速度为级/分， 根据时间相等列方程，可得方程组即可求解； （2）由（1）先求出男孩乘扶梯上楼的速度为级/分，女孩乘扶梯上楼的速度为级/分，设男孩第一次追上女孩时，走过扶梯次，走过楼梯次，则这时女孩走过扶梯次，走过楼梯次．由此列方程求出，进而根据中必有一个为正整数，且，求出解． 【详解】（1）设女孩速度为级/分，电梯速度为级/分，楼梯(扶梯)为级，则男孩速度为级/分， 根据时间相等列方程，有： ① 两式相除，得 ， 解方程得即可． 因此楼梯有54级． （2）设男孩第一次追上女孩时，走过扶梯次，走过楼梯次，则这时女孩走过扶梯次，走过楼梯次． 将代入方程组①， 得，即男孩乘扶梯上楼的速度为级/分，女孩乘扶梯上楼的速度为级/分． 于是有 从而， 即． 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时， 中必有一个为正整数，且， 经试验知只有符合要求． 这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是： (级)． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．DeepSeek公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x-2）=1.2 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． 设单独处理需要x小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作1.2小时完成，可得出方程． 【详解】解：依题意得， 故选：C． 2．已知甲做个零件与乙做个零件所用的时间相同，两人每天共做个零件；设甲每天做个零件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间工作总量工作效率． 设甲每天做x个零件，根据甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设甲每天做x个零件，根据题意得： ； 故选A． 3．某校美术社团为练习素描，他们第一次用元买了若干本资料，第二次用元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（   ） A．4 B．4 C．4 D．4 【答案】D 【分析】本题考查列分式方程解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．设他们第一次买了x本资料，则设第二次买了本资料，以“第二次比第一次每本优惠4元”为等量关系列方程即可． 【详解】解：设他们第一次买了x本资料，则这次买了本， 根据题意得：4． 故选：D． 4．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找出题目中的等量关系． 先弄清因客户要求工作提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程即可． 【详解】解：因客户的要求每天应该做件，所用的时间为：， 根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去新完成时间， 可以列出方程：． 故选：D． 5．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，以及这批椽的价钱为6210文可分别表示出1株椽的价钱，据此可建立方程． 【详解】解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱， ∴1株椽的价钱为文， ∵这批椽的价钱为6210文， ∴1株椽的价钱为文， ∴， 故选：D． 6．，两地相距千米，甲车和乙车的平均速度之比为，两车同时从地出发到地，乙车比甲车早到分钟，求甲车的平均速度．设甲车的平均速度为千米时，则所列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列分式方程，设甲车的平均速度为千米时，则设乙车的平均速度为千米时，根据乙车比甲车早到分钟，列出方程，即可求解． 【详解】解：设甲车的平均速度为千米时，则设乙车的平均速度为千米时， 根据题意得． 故选：B． 7．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键． 根据现在与原计划工作效率间的关系，可得出原计划平均每天生产台机器，利用工作时间、工作总量、工作效率的关系，结合现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天列出关于x的分式方程即可解答． 【详解】解：∵该工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，且现在平均每天生产x台机器， ∴原计划平均每天生产台机器． 根据题意得：． 故选：B． 8．某商店销售一种休闲上装，月份的营业额为元．为了扩大销售，在月份将每件上装按原价的折销售，销售量比月份增加了件，营业额比月份增加了元．设月份每件上装的售价为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列分式方程． 设月份每件上装的售价为元，则月份每件上装的售价为元，根据销售量增加件和营业额增加元的条件，列方程即可． 【详解】解：设月份每件上装的售价为元，则月份每件上装的售价为元， 月份的销售量为件，月份销售量为件， 根据题意得， 故选：D． 二、填空题(每小题4发，共20分) 9．“端午食粽”是节日习俗之一甲、乙两人每小时共包个粽子，甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包个粽子，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查分式方程的应用，根据“甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等”即可列出分式方程． 【详解】解：设甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子， 根据题意可得：， 故答案为：． 10．为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？设原计划每天种x棵树，由题意列方程得 ． 【答案】 【分析】设原计划每天种树x棵，实际每天植树棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程求出其解即可． 【详解】设原计划每天种树x棵，实际每天植树棵，由题意，得 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 11．今年大葱减产，使得大葱的价格持续上涨,王厨师想去市场购买大葱，已知今年大葱的价格是去年大葱价格的3倍，去年王厨师花200元购买大葱的质量比今年花480元购买的质量多10千克，请问王厨师去年买了多少千克的大葱？若设王厨师去年买了x千克的大葱，则根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出正确的等式关系是解决本题的关键． 根据去年王厨师花200元购买大葱可得，去年大葱的单价为元千克，然后根据今年价格是去年的3倍可得，今年大葱的单价为元千克，最后根据去年王厨师购买大葱的质量比今年购买的质量多10千克可得，今年花480元购买的大葱质量为千克，则今年的单价也可表示为元千克，进而即可列出式子解答． 【详解】解：根据题意得去年大葱的单价为元千克， ∵今年价格是去年的3倍， ∴今年大葱的单价为元千克， 根据题意得，今年花480元购买的大葱质量为千克， ∴今年的单价也可表示为元千克， ∴可列方程：， 故答案为：． 12．用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题，列出分式方程，根据甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，列出方程即可． 【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，由题意： ； 故答案为： 13．如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口．    【答案】琳琳 【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解答本题的关键． 设琳琳从到的速度为，则从到的速度为，根据从到的时间为从到时间的一半可列分式方程，求出的值，再分别计算出琳琳和华华到达出口的时间进行比较即可得出答案． 【详解】解：设琳琳从到的速度为，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 琳琳所用的时间为：， 华华所用的时间为：， ， 琳琳先到达出口， 故答案为：琳琳． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．某市建设地铁2号线，有一项工程原计划由甲工程队独立完成需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天完成任务．求： ⑴ 乙工程队独立完成这项工程需要的时间； ⑵ 甲、乙两工程队分别完成这项工程工作量的比． 【答案】⑴乙工程队独立完成这项工程需12天. ⑵甲工作量乙工作量＝. 【详解】试题分析：设乙独立完成这项工程需要x天，甲乙合作施工的天数为：20－10－4=6天，甲独坐4天完成的工程量为：4×，后来甲乙合作完成的工程量为（+）×6，所以可列方程：4×+（+）（20－10－4）=1，解出x即可；（2）分别求出甲乙完成的工程量，然后算出比值即可． 试题解析：⑴ 设乙工程队独立完成这项工程需要x天，则： 4×+（+）（20－10－4）=1， +（+）×6=1， （+）×6=， +=，       解得x=12． 经检验x=12是分式方程的解，所以乙工程队独立完成这项工程需12天． ⑵ 甲工作量=＝，乙工作量＝＝， ∴甲工作量∶乙工作量＝1∶1． 点睛：工作总量一般设为1，工作时间×工作效率=工作量． 15．有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么x满足怎样的分式方程？ 【答案】． 【分析】关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积=第二块试验田的面积． 【详解】解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg，则第一块试验田的面积为：，第二块试验田的面积为：． 由题意得：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 16．作为我国八纵八横高铁网的重要组成部分，集太原高铁预计在2024年年底开通，届时呼和浩特至太原旅行时间将大大缩减．经查询，呼和浩特到太原目前只有动车，两地动车路程为610公里．新的高铁运行路线开通后，路程缩短了100公里，高铁的平均速度比动车的平均速度快了82公里/小时，呼和浩特到太原的时间缩短为原来的一半．问高铁的平均速度为多少公里/小时？ 【答案】204公里/小时 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，掌握理解题意，找到等量关系是解题的关键． 高铁的平均速度为公里/小时，则动车的平均速度为公里/小时，先表示出时间，再根据呼和浩特到太原的时间缩短为原来的一半建立方程． 【详解】解：设高铁的平均速度为公里/小时， 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，． 是原方程的解，且符合题意， 答：高铁的平均速度为204公里/小时． 17．某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下． 生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵元．” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．” (1)设每本软面笔记本x元，请你通过计算分析学习委员说得对不对； (2)在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)学习委员说得对，见解析 (2)3或9 【分析】（1）设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元，根据买到相同数量的笔记本建立方程求出其解就可以得出结论； （2）设每本软面笔记本m元（的整数），则每本硬面笔记本元，根据能买到相同数量的笔记本建立方程就可以得出m与a的关系，就可以求出结论． 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，解答时求出根据两种笔记本购买的数量相等建立方程是关键． 【详解】（1）解：设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元， 根据题意，得， 解得． 此时，不是整数，所以学习委员说得对． （2）解：存在； 设每本软面笔记本m元（是整数），则每本硬面笔记本元， 根据题意，得． 解得． ∵a为正整数， ∴， 故，此时，，符合题意； 故，此时，，不符合题意； 故，此时，，符合题意； ∴a的值为3或9． 18．小王在书店和网上共买了套相同的书，网上的售价比书店的售价每套便宜元，已知网上购书共花了元，比书店购书多花了元，小王在书店和网上各买了多少套书？ (1)购书费用问题的数量关系是：单价= ． (2)设小王在书店购买了套书，则在网上购买了套书．完成下列表格： 总费用（元） 数量（套） 单价（元） 书店 x 网上 25－x (3)根据“网上的售价比书店的售价每套便宜元”这个条件，可列方程： ． 【答案】(1)总费用÷数量； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）购书费用问题的数量关系是：总费用＝数量×单价，据此填空即可； （2）根据题意可知在书店购书花费1000元，单价为元，在网上购书花费1350元，，单价为元，填表即可； （3）根据“网上的售价比书店的售价每套便宜元”可列出方程． 【详解】（1）由总费用＝数量×单价，可得：单价＝总费用÷单价． 故答案为：总费用÷单价． （2）填表如下 总费用（元） 数量（套） 单价（元） 书店 1000 x 网上 1350 （3）根据题意，可列方程：． 故答案为：． 【点睛】本题考查列分式方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程． 19．《花卉装点校园，喜迎新春佳节》项目学习方案： 项目情景 春节将至，东莞某中学购买花卉装点校园．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜3元，用600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设① 的单价为x元，由题意得方程：； 小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，由题意得方程：② ． 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同． 任务二 求m的值． (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______； (2)列出关于m的方程，并完成任务二，求出m的值． 【答案】(1)种花卉； (2)， 【分析】本题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程是解题的关键： （1）任务一：由题意，可知：用600元购买的种花卉数量为，根据每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，可得①处的答案；根据小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，结合单价之间的数量关系可得方程，可得②处的答案； （2）任务二：根据完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，表示600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍， ∴小组成员甲设的是种花卉的单价为元； ∴①处填种花卉； 小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，由题意得方程： ； ∴②处填： （2）解：由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的根且符合题意， ∴． 20．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班需各种植的草地，已知2班每小时比1班多制作的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍，求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程，请将画横线的部分补充完整． 小聪：设1班每小时种植的草地，所列方程为：_____； 小薏：设_____，所列方程为：_____； (2)任选其中一种方法求出1、2两班每小时各种植多少的草地： (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 【答案】(1)；2班所用时间为y小时；6 (2)1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地 (3)两班速度保持不变，他们不能在乘车前完成任务；理由见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）根据所列方程运用的等量关系进行作答即可； （2）解分式方程即可； （3）求出剩余需要制作的方格数量，再求出两队合作一小时所作的方格数，即可得出结果． 【详解】（1）解：小聪：设1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地，所列方程为：； 小薏：设2班所用时间为y小时，则1班所用时间为，所列方程为：； （2）小聪：解：设1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地； 小薏：解：设2班所用时间为y小时，则1班所用时间为，根据题意得： ， 解得：； 经检验是原方程的解， ∴，； 答：1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地； （3）解：不能；1小时20分钟小时 1班已完成：； 2班已完成：； 还剩余：； 两队合作1小时可完成：， ∵， ∴两班速度保持不变，他们不能在乘车前完成任务． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 18.5分式方程二（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点：列分式方程解应用题的一般步骤 解决应用题的思路可以概括为以下步骤： 1.审：仔细读题，弄清已知条件、未知量以及它们之间的关系。 2.设：设未知数。根据问题选择直接设元（问什么设什么）或间接设元。 3.列：寻找等量关系，列出分式方程。这是最关键也最难的一步。 4.解：解所列出的分式方程。 5.验：双重检验。一是检验是否为分式方程的增根；二是检验解是否符合实际问题的意义（如速度不能为负，人数必须为正整数等）。 6.答：写出完整、清晰的答案。 题型1和、差、倍、分问题 例1．为培养学生的动手能力，某校组织开展了手工制作比赛，甲、乙两名同学同时参加手工纸花制作比赛，已知甲每小时比乙每小时少制作20朵，甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同，求乙每小时制作多少朵纸花？ 【变式1-1】3．甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工10个这种零件，甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件？ 【变式1-2】．伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 【变式1-3】．秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节．阳澄湖大闸蟹大量上市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元．若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍． (1)求公蟹、母蟹的售价； (2)赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价6元．某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？ 题型2 工程问题 例2．智能机器人已广泛应用于各类工业生产领域，某化工厂要在规定时间内搬运2000千克化工原料，现有两种智能机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成的工作量的2.5倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少20小时，求型机器人每小时各搬运多少千克原料？ 【变式2-1】．某机械加工厂计划在一定时间内组装240个机器人，后因市场供不应求，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多组装8个．问原计划每天组装多少个机器人？ 【变式2-2】．在改进生产工艺后，某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同，则现在平均每天生产多少台机器？ 【变式2-3】．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程．已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，并且挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天．求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米的隧道？ 题型3 行程问题 例3．某学校为开展社会实践活动共租用一辆大巴车和一辆中巴车，已知活动地点距离学校，大巴车和中巴车同时从学校出发，大巴车的速度是中巴车的1.2倍，结果大巴车比中巴车早到，求中巴车的速度． 【变式3-1】．随着京沈客运专线的开通，沈阳已进入方便快捷的高铁时代．由沈阳到市乘坐普通列车路程为千米，而乘坐高铁路程为千米，且高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的倍，因此由沈阳到市乘坐高铁列车所用时间比乘普通列车少用小时．求高铁列车的平均速度． 【变式3-2】．王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发分钟，才能按原驾车的时间到达学校．问：王老师驾车平均每小时行多少千米？ 【变式3-3】．王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 题型4经济问题 例4．为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． (1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元； (2)若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【变式4-1】．某超市预测某饮料会畅销，先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． (1)第一批饮料进货单价多少元？ (2)若两次购进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？ 【变式4-2】．某商店用1800元购进一批背包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的背包，所购数量与第一批购进数量相同，但进价每个便宜了10元，结果购买第二批背包用了1500元．求第一批购进每个背包的进价是多少元． 【变式4-3】．某超市计划购进、两类礼盒水果，已知用元购进类礼盒水果的盒数与用元购进类礼盒水果的盒数相同，类礼盒水果的单价比类礼盒水果的单价少20元，求类礼盒水果的单价． 题型5 古代问题 例5．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设文钱购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是 ． 【变式5-1】．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 【变式5-2】．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为多少天? 【变式5-3】．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，现有如下两个约定： （I）方程的整数解称之为“趣根”； （II）若两个方程存在相同的“趣根”，则称这两个方程为“同源方程”． 已知分式方程与一元一次方程； 请判断方程是否为“同源方程”，并说明理由． 题型6 数字问题 例6．有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数． 【变式6-1】．阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与、与都是“臻美数对”． 解决如下问题： (1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由； (2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数． 【变式6-2】．为丰富同学们的课余生活，培养同学们的创新意识和实践能力，某校七年级举办了“玩转科技、畅想未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校准备采购A、B两种奖品.这两种奖品在甲、乙两个商场的标价相同，A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元． (1)求A奖品和B奖品的单价分别是多少？ (2)甲、乙两商场举办让利活动：甲商场所有商品以相同折扣打折销售，乙商场买一份A奖品送一份B奖品.采购时发现在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件． ①甲商场的商品打几折？ ②若学校分别在甲、乙两商场均采购10件A奖品和n件B奖品，整理时，采购人员发现在甲、乙两商场购买奖品的总费用记账单，只有百位上的数字5能看的清楚，十位和个位上的数字均已被墨水污染．问学校购进B奖品的总数量为多少？ 【变式6-3】．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：． （1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：　 　.　 　． （2）解分式方程：； （3）当x取什么整数值时，分式的值为整数． （4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m． 题型7销售问题 例7．综合与实践 问题背景：近年来，随着人工智能、机器人技术的快速发展，机器人在各个领域的应用越来越广泛．在旅游行业，凭借科技感十足的外观设计和实用便捷的辅助功能，外骨骼机器人一跃成为新晋“网红”，得到了不少景区的追捧． 信息收集：某景区计划购置甲、乙两种型号的外骨骼机器人，销售信息和购买计划如下： 信息1：已知甲种外骨骼机器人的单价比乙种外骨骼机器人的单价多万元，花万元购进甲种外骨骼机器人的数量是花万元购进乙种外骨骼机器人数量的倍． 信息2：该景区计划购进甲、乙两种外骨骼机器人共台，且经费预算不超过万元． 问题解决： (1)求购买甲、乙两种外骨骼机器人的单价分别是多少万元； (2)该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人多少台? 【变式7-1】．【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 端午节，是中国四大传统节日之一，习俗主要有吃粽子、赛龙舟、挂艾草、佩香囊等．“端午节”来临之际，各超市纷纷搞促销活动，小亮妈妈发现离家不远的永恒超市有蜜枣粽和肉粽两种粽子正在参加活动． 素材1 小亮妈妈购买蜜枣粽和肉粽各花去120元． 素材2 肉粽的单价比蜜枣的单价贵2元，小亮妈妈购买蜜枣的数量是肉粽数量的倍． 素材3 永恒超市根据平时消费者购买情况，在“端午节”当天，将肉粽的单价提高，蜜枣粽单价降低，节日当天总销售量是400个，超市想要当天粽子销售总额不低于1800元，至少销售多少个肉粽． 问题解决 任务1 确定产品数量 请运用所学知识，求出小亮妈妈在超市两种粽子各买了多少． 任务2 探究 按素材要求确定端午节当天肉粽的销售情况． 请同学们根据以上素材完成探究任务． 【变式7-2】．为了有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开展了丰富多彩的寒假托管服务．为表彰在此次托管服务中表现优秀的学生，学校决定购买A、B两种文具进行奖励．已知购买A文具用了600元，购买B文具用了900元，A文具比B文具每件多5元，且购买B文具的数量是A文具的2倍． (1)求A、B文具的单价； (2)为了调动学生的积极性，学校决定再次在该商店购买A、B两种文具共80件．在购买当日，恰逢该商店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1100元的情况下，最多可购买A文具多少件？ 【变式7-3】．外出时佩戴口罩可以有效防控流感病毒，某药店用4000元购进若干包医用外科口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批同种口罩，第二批购进的包数比第一批多，每包口罩的进价比第一批每包的进价多元，请解答下列问题： (1)求购进的第一批医用口罩有多少包？ (2)政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持不变，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？ 题型8 航行问题 例8．轮船顺水航行所需要的时间与逆水航行所需要的时间相同，已知水流的速度是，求轮船在静水中的速度． 【变式8-1】．A、B两港之间的距离为150千米． (1)若从A港口到B港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快15千米/时，顺流所用时间比逆流少用4小时，求水流的速度； (2)若轮船在静水中的速度为v千米/时，水流速度为u千米/时，该船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为；若轮船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，且所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 【变式8-2】．甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为．若甲、乙两船在静水中的速度一样，求此航行中甲、乙两船的速度分别为多少？ 【变式8-3】．一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江逆流航行所用的时间与以该航速沿江顺流航行所用的时间相等，则这艘货轮的逆流速度为多少千米每小时？（列分式方程解答） 注：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度 题型9 图形问题 例9．知识拓展：解分式方程除了转化整式方程外，还有其他的解法，请仔细阅读并完成填空： （1）例题：解方程， 解法1：利用分式的基本性质，将原方程化为，由分子相同，得分母相同，即______． 解法2：分式两边通分，得，由分母相同，得分子相同，即______． （2）解法3：用图形的方式表示出来，就可以用下图来解释． 如图，，．则，，，由，得______，从而求得______． 问题解决： （3）如图所示，在三角形中，是边上的点，且，，求的长． 【变式9-1】．在中，，，射线上有一点分别为点P关于直线的对称点，连接 (1)如图1，当点P在线段 上时，则______，______． (2)如图2，当点P在线段的延长线上时．根据题意补全图形，并探究是否存在点P，使得，若存在，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由． 【变式9-2】．综合与实践 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．比如，我们知道，若用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，如题图1． 【发现问题】（1）①如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着__________个正六边形的内角；②平面镶嵌的一个“奥秘”是：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于__________度； 【探究问题】（2）人们为了达到某种图案效果，往往会选择同时用多种不同的正多边形镶嵌平面．那么，是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？请通过计算加以说明； 【解决问题】（3）小明家浴室装修，在墙中央留下了如题图2所示的空白区域，经测量该区域完全可以按题图3所示的边长为的正三角形瓷砖镶嵌．小明经过市场调查后发现：一块边长为的正三角形瓷砖比一块边长为的正六边形瓷砖便宜45元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①正三角形瓷砖的单价为__________元，正六边形瓷砖的单价为__________元； ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为的正三角形瓷砖和边长为的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白区域全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要__________元． 【变式9-3】．请阅读下面材料，并完成相应的任务．用“几何代数法”解分式方程． 《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据．在意大利数学家斐波那契（约1170—1250）编写的《计算之书》中频繁运用了这种方法．例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程． 例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为人，则可列方程为． 解：构造如图1所示的图形，，，矩形的面积为90，矩形的面积为120，则，．显然，． 根据图形可知． 所以．（将分式方程转化成了整式方程） 解得．         图1 答：第一次分硬币的人数为18人． 任务：      (1)   如图2，，，矩形和矩形的面积均为60，下列代数式可以表示边的是___________．（多选） A．    B．    C．    D． (2)如图3，，，矩形的面积为60，矩形的面积为20，，则可列方程为___________． (3)请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程的解． 题型10方案设计问题 例10．某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 【变式10-1】．某校计划组织八年级师生进行研学旅行，拟租用辆车数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，得到如下信息：大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，一辆中型客车的租金比一辆大型客车少元，用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同． (1)一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ (2)已知该校八年级师生共人． 该校至少需要租用多少辆大型客车？ 若租车费用的预算为元，学校有哪几种租车方案？哪种方案花费最低？ 【变式10-2】．某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 【变式10-3】．某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍．请解答下列问题： (1)A，B两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？ 题型11商品利润问题 例11．某商店用6000元购进商品若干件，用8000元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少10元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件45元，商品售价为每件60元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润恰好相等，求的值． ②已知是不大于10的正整数，是不小于100的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为6500元，则的值为_____．（直接写出结果） 【变式11-1】．哈尔滨某商场准备采购一批亚冬会吉祥物进行销售，下面是一段对话． 用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍．    一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．    (1)根据对话信息，求每件A、B型商品的进价分别是多少？ (2)若该商场购进A、B型商品共150件进行试销，已知每件A型商品的售价为230元，每件B型商品售价为210元，这批货全部售出且获得的利润不多于9800元．求至多购进A型商品多少件？ 【变式11-2】．自中欧班列开通以来，重庆与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在重庆采购一批特色商品，经调查，用1600元采购A型商品的件数是用1000元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价少20元． (1)求A、B型商品的进价； (2)该客商计划投入18000元用于购进这两种商品，已知购进A、B两种商品共200件，A型商品的售价为160元/件，B型商品的售价为240元/件，若该客商全部销售完这些商品，则可获得的利润是多少元？ 【变式11-3】．某商场准备购进A、B两种商品进行销售，有关信息如下表．已知1500元购进A产品的数量与400元购进的B产品数量相等． 进价(元) 售价(元) A产品 a 400 B产品 120 (1)求表中a的值； (2)该商场准备购进A、B两种商品共60件，若要使这些产品售完后利润不低于4800元，A 种产品至少要购进多少件？ 题型12 其他问题 例12．班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【变式12-1】．种粮大户蔡伯伯准备租用A，B两种型号的收割机收割小麦，已知A型收割机收割100亩小麦的时间与B型收割机收割80亩小麦的时间相同，A型收割机每小时比B型收割机多收割2亩小麦． (1)两种型号的收割机每天各可收割小麦多少亩？（以每天工作8小时计算） (2)已知两种收割机在收割小麦过程中，都会造成一定程度的遗落或破损，两种型号收割机造成每亩的损失率分别为和，已知蔡伯伯家有1000亩小麦成熟待收割，计划租用两种型号的收割机在一天内完成收割任务，若要使小麦的损失率不超过，则蔡伯伯最多可租用A型收割机多少台？ 【变式12-2】．如图1，是虹桥高铁站的一组智能通道闸机，当旅客通过时智能闸机会自动识别旅客身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过，如图2，是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径cm，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为． (1)一名旅客携带一件长方体行李箱进站，行李箱规格为（长宽高，单位：）． 当双翼收回进闸机箱内时，试通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机？ (2)经实践调查，一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数比一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数多人，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约2分钟求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【变式12-3】．某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为5000元和8300元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 例13．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 【变式13-1】．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a吨，原来产m吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨． （1）当a＝0.8，m＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？ （2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是　 　吨，现在小麦的平均每公顷产量是　 　吨；（用含a、m的式于表示） （3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？ 【变式13-2】．某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶)．如果二人都做匀速运动，且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍．又已知男孩走了27级到达顶部，女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级)． (1)扶梯在外面的部分有多少级． (2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯，台阶级数与扶梯级数相等，这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯，到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．则男孩第一次追上女孩时，他走了多少台阶？ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．DeepSeek公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x-2）=1.2 2．已知甲做个零件与乙做个零件所用的时间相同，两人每天共做个零件；设甲每天做个零件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．某校美术社团为练习素描，他们第一次用元买了若干本资料，第二次用元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（   ） A．4 B．4 C．4 D．4 4．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（   ） A． B． C． D． 5．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 6．，两地相距千米，甲车和乙车的平均速度之比为，两车同时从地出发到地，乙车比甲车早到分钟，求甲车的平均速度．设甲车的平均速度为千米时，则所列方程是（   ） A． B． C． D． 7．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．某商店销售一种休闲上装，月份的营业额为元．为了扩大销售，在月份将每件上装按原价的折销售，销售量比月份增加了件，营业额比月份增加了元．设月份每件上装的售价为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题(每小题4发，共20分) 9．“端午食粽”是节日习俗之一甲、乙两人每小时共包个粽子，甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包个粽子，则可列方程为 ． 10．为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？设原计划每天种x棵树，由题意列方程得 ． 11．今年大葱减产，使得大葱的价格持续上涨,王厨师想去市场购买大葱，已知今年大葱的价格是去年大葱价格的3倍，去年王厨师花200元购买大葱的质量比今年花480元购买的质量多10千克，请问王厨师去年买了多少千克的大葱？若设王厨师去年买了x千克的大葱，则根据题意可列方程 ． 12．用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意可列方程为 ． 13．如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口．    三、解答题（每小题8分，共56分） 14．某市建设地铁2号线，有一项工程原计划由甲工程队独立完成需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天完成任务．求： ⑴ 乙工程队独立完成这项工程需要的时间； ⑵ 甲、乙两工程队分别完成这项工程工作量的比． 15．有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么x满足怎样的分式方程？ 16．作为我国八纵八横高铁网的重要组成部分，集太原高铁预计在2024年年底开通，届时呼和浩特至太原旅行时间将大大缩减．经查询，呼和浩特到太原目前只有动车，两地动车路程为610公里．新的高铁运行路线开通后，路程缩短了100公里，高铁的平均速度比动车的平均速度快了82公里/小时，呼和浩特到太原的时间缩短为原来的一半．问高铁的平均速度为多少公里/小时？ 17．某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下． 生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵元．” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．” (1)设每本软面笔记本x元，请你通过计算分析学习委员说得对不对； (2)在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由． 18．小王在书店和网上共买了套相同的书，网上的售价比书店的售价每套便宜元，已知网上购书共花了元，比书店购书多花了元，小王在书店和网上各买了多少套书？ (1)购书费用问题的数量关系是：单价= ． (2)设小王在书店购买了套书，则在网上购买了套书．完成下列表格： 总费用（元） 数量（套） 单价（元） 书店 x 网上 25－x (3)根据“网上的售价比书店的售价每套便宜元”这个条件，可列方程： ． 19．《花卉装点校园，喜迎新春佳节》项目学习方案： 项目情景 春节将至，东莞某中学购买花卉装点校园．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜3元，用600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设① 的单价为x元，由题意得方程：； 小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，由题意得方程：② ． 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同． 任务二 求m的值． (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______； (2)列出关于m的方程，并完成任务二，求出m的值． 20．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班需各种植的草地，已知2班每小时比1班多制作的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍，求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程，请将画横线的部分补充完整． 小聪：设1班每小时种植的草地，所列方程为：_____； 小薏：设_____，所列方程为：_____； (2)任选其中一种方法求出1、2两班每小时各种植多少的草地： (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $