14.1全等三角形及其性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元教学分层优化练 2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 14.1全等三角形及其性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 全等图形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释： 在平面几何中，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 题型1图形的全等 例1．下列各组给出的两个图形中，全等的是( ) A. B. C. D. 【变式1-1】．下列选项中能够表示两个全等图形的是( ) A.形状相同的两个图形 B.能够完全重合的两个图形 C.面积相等的两个图形 D.周长相等的两个图形 【变式1-2】．如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图1中给出了一种设计方案，请在图2、图3和图4中再画出两种不同的设计方案. 【变式1-3】．手工劳动课上,老师给每个小组发一张硬纸板(如图),要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形.他们该怎么分？请你试一试. 知识点2 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点诠释： 1. 用符号“≌”表示，如△ABC ≌ △A'B'C'，对应顶点字母写在对应位置. 2. 隐含等量元素 ：公共边、对顶角、平行线同位角等 3.对应边、对应角和对应顶点 对应边、对应角、对应顶点的定义： 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 1.在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 题型2全等三角形的概念 例2．如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【变式2-2】．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 知识点3 全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等； （2）全等三角形的对应角相等； 要点诠释： 全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 题型3 利用全等三角形性质求角度 例3．如图，若，且，，则的度数是 ． 【变式3-1】．如图，，则的度数为 ． 【变式3-2】．如图，，若，且，则的度数为 ． 【变式3-3】．如图，已知与全等，那么 ． 题型4 利用全等三角形性质求线段长度 例4．已知，其中，，，则中的的长度为 ． 【变式4-1】．如图，，，，，，则的长是 ． 【变式4-2】．一个三角形的三条边的长分别是，另一个三角形的三条边的长分别是．若这两个三角形全等，则的值分别是 ． 【变式4-3】．如图，C、D、B在同一直线上，A、B、E在同一直线上，，若，，则的长为 ． 题型5 利用全等三角形性质求三角形周长 例5．若，，，，则的周长为 【变式5-1】．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形组成一个大正方形．若，，则小正方形的周长为 ． 【变式5-2】．如图，将周长为的三角形沿边方向向右平移得到三角形，则四边形的周长为 ． 【变式5-3】．．如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为 ． 题型6 利用全等三角形性质进行证明 例6．如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？ 【变式6-1】．．如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、交于点F，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式6-2】．如图，已知，点A、C、D在同一条直线上． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求线段的长． 【变式6-3】．如图，已知，是的高，点在延长线上，点在上，，和是对应边，试证明：． 题型7 利用全等三角形性质解决动点问题 例7．如下图，中，，，．点P从点A出发沿路径向终点B运动；点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某一时刻，分别过点P，Q作于点E，于点F．若与全等，则点P运动了多长时间？ 【变式7-1】．如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 【变式7-2】．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．两点的坐标分别为，且，点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求的范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】．在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为． (1)如图1，当时，___________，当时，___________（用含的式子表示）； (2)如图1，当___________s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和可以完全重合，直接写出点的运动速度． 例8．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【变式8-1】．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． (1)若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； (2)若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 【变式8-2】．如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． (1)判断直线与是否垂直？请说明理由； (2)若，求的度数． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列各组图形中，是全等形的是( ) A. B. C. D. 2．下列说法： ①全等三角形的形状相同、大小相等 ②全等三角形的对应边相等、对应角相等 ③面积相等的两个三角形全等 ④全等三角形的周长相等 其中正确的说法为( ) A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.①②④ 3．如图,,且,,则的长为( ) A.1 B.2 C.5 D.6 4．如图，已知，B，D，E，C四点共线，下列结论中，不正确的是( ) A. B. C. D. 5．如图,,和是对应角,和是对应角.若,,,则的度数为( ) A. B. C. D. 6．如图,,,,,则的度数为( ) A. B. C. D. 7．如图，，，，交边AB于P（点P不与A，B重合），BO，CO分别平分，.若，则的值为( ) A.20 B.40 C.60 D.100 8．如图,在四边形中,,,,,点P在线段上以的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动,若与在某一时刻全等,则点Q运动速度为( ) A.或 B. C.或 D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知的三边长互不相等,若以B、C为两个顶点画不同位置的三角形(与原三角形不重合),使所画的三角形与全等,这样的三角形最多可以画____________个. 10．如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_______. 11．如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是 ________ .    12．如图，中，，，，点D是的中点，点E在边上以的速度由B点向C点运动，同时点F在边上由A点向C点运动，当点F的运动速度为________时，可以与全等. 13．如图,在中,,,,,在中,,,,.现有一动点P,从点C出发,沿着三角形的边运动,回到点C停止,速度为.若另外有一个动点Q,与点P同时出发,从点A开始沿着边运动,回到点A停止.若在两点运动过程中的某一时刻,恰好和全等,设点Q的运动速度为,则v的值为____________. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图,点C,F,E,B在一条直线上,,,.求证： (1)； (2). 15．如图，，和CD，BC和DA是对应边.写出其他对应边及对应角. 16．如图，，点E在边上（不与点B，C重合），与交于点F. (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和； 17．如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形. 18．如图，在中，点D在边BC上，点E在边AD上，延长BE交AC于点F，且. （1）若，，求CD的长度； （2）求证：； （3）若，，则___________. 19．如图1，在长方形中，，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为. （1）____________.（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，？ （3）如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，P、Q两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由. 20．如图,在平面直角坐标系中,已知,以为一边在第四象限内画正方形,为x轴上的一个动点,以为一直角边在第四象限内画等腰直角,其中. (1)点B的坐标为____________ (2)试判断线段、的关系,并说明理由； (3)设的中点为F,直线交y轴于点G.问：随着点D的运动,点G的位置是否会发生变化？若保持不变,请求出点G的坐标；若发生变化,请说明理由. B 抓核心 二大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A 夯基础 五大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 14.1全等三角形及其性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 全等图形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释： 在平面几何中，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 题型1图形的全等 例1．下列各组给出的两个图形中，全等的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：选项A、B、D中的两个图形的形状不一样，不是全等形，故不符合题意； 选项C中的两个图形能够完全重合，是全等形，故符合题意； 故选：C. 【变式1-1】．下列选项中能够表示两个全等图形的是( ) A.形状相同的两个图形 B.能够完全重合的两个图形 C.面积相等的两个图形 D.周长相等的两个图形 答案：B 解析：A、形状相同的两个图形，大小不一定相同，故此选项错误，不符合题意； B、能够完全重合的两个图形是全等图形，故此选项正确，符合题意； C、面积相等的两个图形，形状、大小不一定相同，故此选项错误，不符合题意； D、周长相等的两个图形，形状、大小不一定相同，故此选项错误，不符合题意； 故选：B. 【变式1-2】．如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图1中给出了一种设计方案，请在图2、图3和图4中再画出两种不同的设计方案. 答案：图见解析 解析：方案如下.（答案不唯一，合理即可） 【变式1-3】．手工劳动课上,老师给每个小组发一张硬纸板(如图),要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形.他们该怎么分？请你试一试. 答案：见详解 解析：先将图根据标记的数字画出等面积的小格,然后以阴影部分为基本图形,可以分别得出下图所示的四种分法： 知识点2 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点诠释： 1. 用符号“≌”表示，如△ABC ≌ △A'B'C'，对应顶点字母写在对应位置. 2. 隐含等量元素 ：公共边、对顶角、平行线同位角等 3.对应边、对应角和对应顶点 对应边、对应角、对应顶点的定义： 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 1.在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 题型2全等三角形的概念 例2．如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是， 故选：． 【变式2-1】．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念、图形的全等 【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键． 根据全等形的概念以及全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2-2】．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 【变式2-3】．如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 【答案】 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 知识点3 全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等； （2）全等三角形的对应角相等； 要点诠释： 全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 题型3 利用全等三角形性质求角度 例3．如图，若，且，，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质．根据全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，结合已知条件和角度的计算即可求得． 【详解】解：， ， 即， ， ， ． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】．如图，，则的度数为 ． 【答案】95 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，先由全等三角形的性质：全等三角形对应角相等得，再运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：95． 【变式3-2】．如图，，若，且，则的度数为 ． 【答案】/70度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，全等三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据直角三角形两锐角互余得到，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【变式3-3】．如图，已知与全等，那么 ． 【答案】72 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边所对的角是对应角，由此即可得到答案． 【详解】解：∵与全等，和是对应边， ∴， 故答案为：72． 题型4 利用全等三角形性质求线段长度 例4．已知，其中，，，则中的的长度为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 本题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键 【详解】解：∵，，，， ， 故答案为：． 【变式4-1】．如图，，，，，，则的长是 ． 【答案】5 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：， ， ， 即， ，， ， ， 故答案为：5 【变式4-2】．一个三角形的三条边的长分别是，另一个三角形的三条边的长分别是．若这两个三角形全等，则的值分别是 ． 【答案】，或， 【知识点】加减消元法、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解二元一次方程组，掌握全等三角形的性质是解题的关键．利用全等三角形对应边相等列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：由题意得，或， 解得或， ∴的值分别是，或，， 故答案为：，或，． 【变式4-3】．如图，C、D、B在同一直线上，A、B、E在同一直线上，，若，，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：6． 题型5 利用全等三角形性质求三角形周长 例5．若，，，，则的周长为 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求出、，根据三角形的周长公式计算．解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 【变式5-1】．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形组成一个大正方形．若，，则小正方形的周长为 ． 【答案】4 【知识点】全等三角形的性质、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质．根据全等三角形的性质和正方形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵是四个全等的直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的周长为， 故答案为：4． 【变式5-2】．如图，将周长为的三角形沿边方向向右平移得到三角形，则四边形的周长为 ． 【答案】31 【知识点】全等三角形的性质、利用平移的性质求解 【分析】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．先根据图形平移的性质得出，，进而可得出结论． 【详解】解：∵三角形沿边方向向右平移得到三角形， ∴，， ∴，， ∴的周长是， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：31． 【变式5-3】．．如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，进而求得，根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵，，． ∴，， ∴， ∴的周长为 故答案为：． 题型6 利用全等三角形性质进行证明 例6．如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？ 【答案】(1)见解析 (2)为直角 【知识点】两直线平行内错角相等、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，再结合，即可得证； （2）由平行线的性质结合全等三角形的性质可得，再结合平角的定义求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即当满足为直角时，． 【变式6-1】．．如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、交于点F，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰直角三角形，关键是由全等三角形的性质推出，． （1）由全等三角形的性质推出,,由邻补角的性质得到, 求出, 推出是等腰直角三角形； （2）求出的面积的面积, 得到的面积的面积,即可求出四边形的面积. 【详解】（1）证明: ∵, ∴,, ∵, ∴, ∴是等腰直角三角形； （2）解：， ∴的面积的面积, ∵, ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积的面积． 【变式6-2】．如图，已知，点A、C、D在同一条直线上． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)7 【知识点】内错角相等两直线平行、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行线的判定，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等；内错角相等，两直线平行． （1）由全等三角形的性质推出，判定； （2）由全等三角形的性质推出，求出，即可得到的长． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式6-3】．如图，已知，是的高，点在延长线上，点在上，，和是对应边，试证明：． 【答案】证明见解析． 【知识点】垂线的定义理解、全等三角形的性质 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的性质，由，则，则有，又，则，从而可得，从而得出即可求证，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型7 利用全等三角形性质解决动点问题 例7．如下图，中，，，．点P从点A出发沿路径向终点B运动；点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某一时刻，分别过点P，Q作于点E，于点F．若与全等，则点P运动了多长时间？ 【答案】点P运动了或或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查动点与几何图形的变换．根据点的运动规律，设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分类讨论，①如图1，在上，在上，则，；②如图2，在上，在上，则，；③如图3所示，当都在上时；④当到点停止，在上时，；⑤和都在上的情况；图形结合，根据三角形全等的判定方法即可求解． 【详解】解：设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图1，在上，在上，则，，    ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ②如图2，在上，在上，则，，    由①知：， ∴， ∴； ∵此时， ∴此种情况不符合题意； ③当都在上时，如图3，   ， ∴； ④当到点停止，在上时，， ∴时，解得； ⑤∵的速度是每秒，的速度是每秒， ∴，， ∵， ∴和都在上的情况不存在； 综上所述，点P运动了或或时，与全等． 【变式7-1】．如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 【答案】与全等时，点运动的时间为秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，设点、的运动时间为，表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边， ②与是对应边两种情况，列方程求解即可. 【详解】解：∵，， 点为的中点， ， 设点、的运动时间为， 则， ， ∴， ①、是对应边时， ∵与全等，， ∴， ， ∴且，解得； ②与是对应边时， ， ∵与全等， ∴，， ∴且， 解得 且(相互矛盾，则舍去) ， 综上所述，与全等时，点运动的时间为秒． 【变式7-2】．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．两点的坐标分别为，且，点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求的范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的范围是且 (3)存在，的值是3或9 【知识点】绝对值非负性、与三角形的高有关的计算问题、全等三角形的性质、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出m、n的值，即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论，用t表示出三角形的面积，然后分别求出t的取值范围即可； （3）根据时，一定要使，然后分两种情况：P在线段上时或P在线段的延长线上进行讨论，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：分为两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； 即t的范围是且； （3）解：∵， ∴， 分两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ∵， ∴； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵， ∴； 即存在这样的点P，使，t的值是3或9． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的性质，注意进行分类讨论． 【变式7-3】．在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为． (1)如图1，当时，___________，当时，___________（用含的式子表示）； (2)如图1，当___________s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和可以完全重合，直接写出点的运动速度． 【答案】(1)6， (2)6 (3)5.5或9.5 (4)或或或 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求面积、全等三角形的性质 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可； （3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可； （4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，； ， 当时，此时点在边上，； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：； 故答案为：6； （3）解：①当点为的中点时，为的中线，则：， ； ②当点为的中点时，为的中线，则：， ； 综上：或； （4）解：①当，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； ②当时，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； 综上：点的速度为或或或． 例8．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1) (2)或； (3)或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、与线段有关的动点问题、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：由题意可知，，，，， ①当点在上，点在上， ， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点在上，点在上， ， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，恰好． 【变式8-1】．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． (1)若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； (2)若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 【答案】(1)厘米，（厘米） (2)，或， 【知识点】列代数式、与线段有关的动点问题、全等三角形的性质 【分析】本题考查了动点问题，全等三角形的性质，解题的关键是行程问题的数量关系的运用及利用全等三角形的性质找到等量关系式． （1）根据路程=速度时间，即可得的长度，再根据，即可得的长度； （2）先表示出，，，分类讨论当和时的情况，再根据全等三角形对应边相等，列出等式，即可计算出对应的a和t的值． 【详解】（1）解：由题意得，（厘米）， （厘米）． （2）解：由题意得厘米，厘米，厘米， ∵点D是的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴． 当时，则，， ∴，， ∴，； 当时，则，， ∴，， ∴， 综上所述得，，或，． 【变式8-2】．如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． (1)判断直线与是否垂直？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理应用，平行线的性质，垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据，得出，证明，求出，即可得出结论； （2）根据，得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列各组图形中，是全等形的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：观察发现：B，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形； A选项中两个图形能完全重合，是全等形， 故选：A. 2．下列说法： ①全等三角形的形状相同、大小相等 ②全等三角形的对应边相等、对应角相等 ③面积相等的两个三角形全等 ④全等三角形的周长相等 其中正确的说法为( ) A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.①②④ 答案：D 解析：①全等三角形的形状相同、大小相等，原说法正确； ②全等三角形的对应边相等、对应角相等，原说法正确； ③面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误； ④全等三角形的周长相等，原说法正确； 故选：D. 3．如图,,且,,则的长为( ) A.1 B.2 C.5 D.6 答案：C 解析：∵,, ∴,, ∵, ∴, ∴. 故选：C 4．如图，已知，B，D，E，C四点共线，下列结论中，不正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：∵， ∴，，，，故D错误，符合题意； ∵B，D，E，C四点共线， ∴，，， ∴，，故A、B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C正确，不符合题意； 故选：D. 5．如图,,和是对应角,和是对应角.若,,,则的度数为( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：∵,, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, 故选：D. 6．如图,,,,,则的度数为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：,, , , , 故选：B. 7．如图，，，，交边AB于P（点P不与A，B重合），BO，CO分别平分，.若，则的值为( ) A.20 B.40 C.60 D.100 答案：B 解析：，，，，，.，分别平分，，，，，则.点在AB边上且不与A，B重合，，，，，，.故选B. 8．如图,在四边形中,,,,,点P在线段上以的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动,若与在某一时刻全等,则点Q运动速度为( ) A.或 B. C.或 D. 答案：A 解析：设点P运动时间为t秒,点Q运动速度为,则,, ∴, ∵, ∴或, 当时,,, ∴,解得：, ∴, 解得：； 当时,, ∴,解得：； 综上所述,点Q运动速度为或. 故选：A. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知的三边长互不相等,若以B、C为两个顶点画不同位置的三角形(与原三角形不重合),使所画的三角形与全等,这样的三角形最多可以画____________个. 答案：3 解析：如图,可以画、、与全等,因此这样的三角形最多可以画3个. 故答案为：3. 10．如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_______. 答案：24 解析：， ，， ， ， . 故答案为：24 11．如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是 ________ .    答案： 解析：如图：    在和中， ， . 故答案为： 12．如图，中，，，，点D是的中点，点E在边上以的速度由B点向C点运动，同时点F在边上由A点向C点运动，当点F的运动速度为________时，可以与全等. 答案：或 解析：， ； D为中点， ， 当时，则，， E为中点， ， 点E运动时间为； ， ， 点F的运动速度为； 当时，则，， ， 点E的运动时间为：， ， ， 点F的运动速度为； 综上，当点F的运动速度为或时，可以与全等. 故答案为：或. 13．如图,在中,,,,,在中,,,,.现有一动点P,从点C出发,沿着三角形的边运动,回到点C停止,速度为.若另外有一个动点Q,与点P同时出发,从点A开始沿着边运动,回到点A停止.若在两点运动过程中的某一时刻,恰好和全等,设点Q的运动速度为,则v的值为____________. 答案：5或9或 解析：假设运动的时间为, 当时,即点P在上,如图, 若, 则,, , ； 若, 则,, , ； 当时,即点P在上, 若, 则,, , ； 若, 则,, , 所以, 当时,即点P在上, 此时, ∴所以不存在和全等, 综上所述,点Q的运动速度为：或或, 故答案为：5或9或. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图,点C,F,E,B在一条直线上,,,.求证： (1)； (2). 答案：(1)证明见解析 (2)证明见解析 解析：(1)证明：, , 即：, ∵在和中, , ∴； (2)证明：∵, ∴, ∴. 15．如图，，和CD，BC和DA是对应边.写出其他对应边及对应角. 答案：见解析 解析：对应边：AC与CA. 对应角：与，与，与. 16．如图，，点E在边上（不与点B，C重合），与交于点F. (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和； 答案：(1) (2)33.5 解析：(1)∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)∵，，， ∴，， 与的周长和为 . 17．如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形. 答案：见解析 解析：如图所示： 18．如图，在中，点D在边BC上，点E在边AD上，延长BE交AC于点F，且. （1）若，，求CD的长度； （2）求证：； （3）若，，则___________. 答案：（1）3 （2）证明见解析 （3）4 解析：（1），， . （2）证明：，，. ，. ，， . （3），，. ，， .故答案为4. 19．如图1，在长方形中，，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为. （1）____________.（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，？ （3）如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，P、Q两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由. 答案：（1） （2） （3）存在，或2，理由见解析 解析：（1）由题意得，， ， 故答案为：； （2）若， 则， ， 即， ， 当时，； （3）存在，理由如下： 当，时，， ， ， ， ， ； ， ， ； 当，时，， ， ， ， ， ， ， . 综上所述，当或2时，与全等. 20．如图,在平面直角坐标系中,已知,以为一边在第四象限内画正方形,为x轴上的一个动点,以为一直角边在第四象限内画等腰直角,其中. (1)点B的坐标为____________ (2)试判断线段、的关系,并说明理由； (3)设的中点为F,直线交y轴于点G.问：随着点D的运动,点G的位置是否会发生变化？若保持不变,请求出点G的坐标；若发生变化,请说明理由. 答案：(1) (2),且,理由见解析 (3)不变,,理由见解析 解析：(1),以为一边在第四象限内画正方形, . 故答案为：. (2).理由如下： 由正方形,可得,, 由等腰直角三角形,可得,, , 即, , . (3)点G的位置不会发生变化.理由如下： 如图,过点E作,分别交直线,于点P,Q, , , , 又, , ,, 是的中点, , , , 又, , , ,即, , 又, , 是等腰直角三角形, , ,即点G的位置不会发生变化. C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 B 抓核心 二大题型提升练 A 夯基础 五大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $$