第四讲 全等三角形及其性质（导图指引+知识梳理+4个考点分类讲练+难度分层随堂练 共32题）-2025-2026学年人教版数学七升八年级暑假衔接培优同步讲练（新教材）

2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优同步精讲练●2025新教材【新课衔接篇】 第四讲 全等三角形及其性质（章节14.1） （导图指引+知识梳理+4个考点分类讲练+难度分层随堂练 共32题） 知识点梳理：全等三角形的定义和性质 1．定义： 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 完全重合时，互相重合的点为对应点； 互相重合的角为对应角； 互相重合的边为对应边． 2．性质： （1）全等三角形的对应边相等． 若，则，，． （2）全等三角形的对应角相等． 若，则，，． （3）全等三角形的周长相等，面积相等． 若，则，． 考点01：图形的全等 例1 （24-25八年级上·江苏宿迁·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 ． （2）试找出图中的全等图形： ． 【答案】 完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨ 【思路引导】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键． （1）根据全等图形的定义求解即可； （2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解； 【完整解答】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合； （2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 故答案为：（1）完全重合； （2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 演练1 （24-25八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【完整解答】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 演练2 （2024八年级上·江苏·专题练习）找出下列各组图中的全等图形． 【答案】（）③和④是全等形；（）①和④是全等形 【思路引导】本题考查了全等形的概念和性质，利用能够完全重合的两个图形称为全等图形，全等图形的大小和形状都相同，据此即可判断求解，掌握全等形的概念和性质是解题的关键． 【完整解答】解：（）由图形可得，③和④是全等形； （）由图形可得，①和④是全等形． 考点02：将已知图形分割成几个全等图形 例2 （22-23七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【完整解答】解：如图所示： （答案不唯一）． 演练1 （18-19七年级下·山东青岛·期末）图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形. （1）用实线把图①分割成六个全等图形； （2）用实线把图②分割成四个全等图形. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【思路引导】设正方形的面积为2，则等腰直角三角形的面积为1， （1）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六等腰个直角三角形即可； （2）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可． 【完整解答】解：如图所示： 【考点评析】本题考查复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键，难度中等，但不容易考虑． 演练2 把大小4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形,例如,图1,请在图2中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形.    【答案】见解析. 【思路引导】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【完整解答】解：∵要求分成全等的两块， ∴每块图形要包含有8个小正方形. 考点03：全等三角形的概念 例3 （24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为，若与全等（与不重合），则点的坐标是 ． 【答案】或或 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 先根据题意画出符合条件的，然后直接写出坐标即可． 【完整解答】解：如图：根据题意可画出与全等的三角形, 根据图形可得：． 故答案为：或或． 演练1 （23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 【答案】(1) (2)与，与，与；与，与，与 【思路引导】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意写出全等三角形即可； （2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角． 【完整解答】（1）解：点与点，点与点是对应顶点， ； （2）解：， 故与，与，与为对应边；与，与，与为对应角． 演练2 （23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）作图题：        (1)如图，在图1所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图2中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．（分割线画成实线） (2)如图3，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②请直线l上找到一点P，使得的距离之和最小． ③的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析；③ 【思路引导】（1）根据全等三角形的性质即可作图； （2）①先画出点A、B、C的对应点，再依次连接即可；②连接交直线l于点P，点P即为所求；③用割补法求解即可． 【完整解答】（1）解：如图所示： 连接， 与①对应的三角形全等， 与②对应的三角形全等， 与③对应的三角形全等，    （2）解：①如图，即为所求； ②连接交直线l于点P，点P即为所求； 连接， ∵和关于l对称， ∴， ∴，此时最小， 故点P即为所求． ③ ． 故答案为：．    【考点评析】本题主要考查了全等三角形的性质，轴对称的作图，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；以及轴对称的作图方法． 考点04：全等三角形的性质 例4 （23-24八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围． 【答案】(1)，或； (2)， 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系， （1）有两种情况：与8、与10分别是对应边；与10、与8分别是对应边；分别求出m与n即可； （2）根据（1）中结果，确定，；再根据三角形三边关系分析即可． 熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键． 【完整解答】（1）解：当与8、与10分别是对应边时，则， ∴； 当与10、与8分别是对应边时，则， ∴； 综上，或； （2）因为边长小于边长，所以取，； 当时，以a，m，n为三角形的三边长， 则边长a取值范围为． ∴． 演练1 （24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是 ． 【答案】2或3 【思路引导】本题考查全等三角形性质，代数式表示．根据题意利用与全等分两种情况讨论，①当，时，再分别表示出线段的代数式列式计算即可；②当，时，再分别表示出线段的代数式列式计算即可得到本题答案． 【完整解答】解：∵与全等， ①当，时， ∵点在线段上以的速度由点A向点B运动， ∴， ∵点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：； ②当，时， ∵点在线段上以的速度由点A向点B运动， ∴， ∵，， ∴， ∵点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴， ∴，解得：， 综上所述：的值是2或3， 故答案为：2或3． 演练2 （24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 【答案】(1) (2)或 (3)运动的速度为或或或 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【完整解答】（1）解：当时，点P在线段上， ∵点P速度为， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点P在上时， ， ∴， ． ②当点P在上时， 过点C作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或 （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点在上，点在上，时， ， ∴； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴． ∴运动的速度为或或或 1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，据此求出，即可得解． 【完整解答】解：∵， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查全等三角形性质，三角形内角和定理等．根据题意可知，继而得到本题答案． 【完整解答】解：∵两个三角形全等， ∴由题意得：， 故选：A． 3．（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质即可得出答案． 【完整解答】解：如图所示： ， 两个三角形全等，与是对应角， ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为 ；当时，x的值为 ． 【答案】 2 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题．当时，可得：；当时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可． 【完整解答】解：当时，可得：， 运动时间相同， ，的运动速度也相同， ； 当时， ，， ， ， 故答案为：或． 6．（19-20八年级上·河南安阳·期末）三个全等三角形按如图所示摆放，则的度数为 °． 【答案】180 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角和等知识点，利用三角形的外角和为得出，根据全等三角形的性质得出，，然后结合三角形的内角和定理求解即可． 【完整解答】解：三角形的外角和是， ． 三个全等三角形， ，， 又， ， 的度数是， 故答案为：180． 7．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）2024年9月10日是第40个教师节．数学老师用与教师节年月日相关的数字，编拟了一道运用全等三角形的性质和解方程等知识求解的题目：一个三角形的三边长分别是4，9，10，另一个三角形三边的长分别是4，，．若这两个三角形全等，则的值为 ． 【答案】2或 【思路引导】本题考查的是全等三角形的性质，二元一次方程组的应用；由全等三角形的性质可得或，再解方程组即可． 【完整解答】解：由题意得或， 当， ②①得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为：， ∴， 当， 同理解得： ∴； 的值为2或． 故答案为：2或 8．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)直线与直线垂直，理由见解析． 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证； （）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解． 【完整解答】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴ ∴， ∴； （3）解：直线与直线垂直，理由： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，点对应点，点对应点，点、、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质，内错角相等两直线平行等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，进而可得，于是结论得证； （2）由全等三角形的性质可得，然后由内错角相等两直线平行即可得出答案． 【完整解答】（1）证明：， ， ， 即：； （2）解：，理由如下： ， ， ． 10．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，，．现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A时停止，速度为，设运动时间为． (1)如图1，当时，_____；当时，_____（用含t的式子表示）． (2)如图1，当的面积等于的面积的一半时． ①若点P在上，则_____； ②若点P在上，求t的值． (3)如图2，在中，，，．在的边上，若有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A时停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好．求点Q的运动速度． 【答案】(1)6； (2)①；②t的值为； (3)Q运动的速度为或． 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【完整解答】（1）解：当时，， 当时，点P在上，； 故答案为：6；； （2）解：①如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， 故答案为：， ②当在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， t的值为； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 11．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，延长交于，由全等三角形的性质可得，，，，再由三角形内角和定理得出，即，即可得解． 【完整解答】解：如图，延长交于， ∵， ∴，，，，故选项A、C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故选项B正确，不符合题意； 和不一定相等，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 12．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，再由全等三角形的性质即可求解． 【完整解答】解：如图， 由题意得：， ∵这两个三角形是全等三角形，均是的夹角， ∴， 故选：C． 13．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的知识点是一元一次方程、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质．设能够使与全等的时间为，则，，，分两种情况分别讨论即可得解：①；②． 【完整解答】解：，， ， 设能够使与全等的时间为， 则，，， 分两种情况考虑： ①时， ， 即， 解得， 此时， 时能够使与全等； ②， ， 即， 解得， 此时，， 即，与矛盾（舍去）； 综上，能够使与全等的时间为． 故选：． 14．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（   ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【思路引导】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别点在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【完整解答】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选D． 15．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是 ． 【答案】/40度 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键． 如图，先根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质求出的度数即可． 【完整解答】解：由三角形内角和定理得：， 两个三角形全等， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，．线段，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，当和全等时，长为 ． 【答案】4或8 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据垂直的定义可得，再分两种情况：①和②，根据全等三角形的性质求解即可得． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则分以下两种情况： ①当时， 则； ②当时， 则； 综上，长为4或8， 故答案为：4或8． 17．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，，，则 ． 【答案】/度 【思路引导】 本题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质并准确判断出对应角是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，再根据全等三角形对应角相等可得． 【完整解答】 解：，， ， ， ． 故答案为： 18．（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，、、三点在坐标轴上，，，，且，满足． (1)________，________； (2)如图2，为线段上一点，为外角平分线上一点，连接、，且，求证：； (3)如图3，点从点出发沿轴负半轴向左运动，连接，以为边在第二象限内作等边，连接并延长交轴于点，在运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化范围． 【答案】(1)，2 (2)见解析 (3)的值不变，定值为8 【思路引导】（1）根据得，继而得到，解答即可； （2）先证明是等边三角形，过点D作交于点F，再证明是等边三角形，接下来证明，等量代换证明即可． （3）先，利用直角三角形的性质，全等三角形的性质，等量代换，解答即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，2． （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由E为外角平分线上一点， ∴， ∴； 过点D作交于点F， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ． （3）证明：的值不变，定值为8．理由如下： ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴； ∴； ∴； ∴； ∴ ． ． 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 19．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交轴的正半轴交于点A，交轴的正半轴于点，且，． (1)求点A、B的坐标； (2)点是线段上的一点（与点、A不重合），其横坐标为，点在第四象限内的直线上，且的纵坐标为，点在轴的负半轴上，线段的长为，连接、、，当时，求与之间的关系式； (3)在（2）的条件下，连接，交线段于点，点在线段上，连接，若，，求点的横坐标． 【答案】(1)， (2) (3)的横坐标是4 【思路引导】（1）先证明三角形是等腰直角三角形，再根据面积即可求出边长，即可得到答案； （2）过点作轴，垂足为H，证明，再证明，最终通过证明四边形为矩形求得答案； （3）在轴负半轴上取一点，使，连接，在上取一点，使，连接，过作，垂足为，通过证明进一步证明，从而证得求得答案． 【完整解答】（1）解：， ， ， ， ， ， 或（舍）， ，； （2）解：点在轴上，横坐标为， ， ， 过点作轴，垂足为H，如下图所示， ， ∵， ， ， 点纵坐标为， ， ， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，， 四边形中，， ， 四边形为矩形， ， ， ； （3）解：在轴负半轴上取一点，使，连接， 是的中线， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 是的角分线， ， ∵ ∴， ，， ∵ ∴， ， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，在上取一点，使，连接， ∵ ， ， ∵，， ∴ ∴， ， ， ， ， ， ， ， 过作，垂足为， ， ， ， 的横坐标是4． 【考点评析】本题考查全等三角形、等腰直角三角形和矩形的性质，属于全等三角形综合题，解题的关键是灵活添加辅助线，构造全等三角形． 20．（2020·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【思路引导】（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到可得，得出 ，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围； （2）如图②：绕着点D旋转 得到可得，得出 ，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论； （3）将绕着点C按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出 ，再由证明，得出，进而证明结论． 【完整解答】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到 ∴（）， ∴，,即 ∵是边上的中线， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴ ，即， ∴； 故答案为； （2）证明：如图②：绕着点D旋转 得到 ∴（）， ∴， ∵ ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转 ∴△DCF≌△BCH， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴点A、B、H三点共线 ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵ ∴． 【考点评析】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优同步精讲练●2025新教材【新课衔接篇】 第四讲 全等三角形及其性质（章节14.1） （导图指引+知识梳理+4个考点分类讲练+难度分层随堂练 共32题） 知识点梳理：全等三角形的定义和性质 1．定义： 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 完全重合时，互相重合的点为对应点； 互相重合的角为对应角； 互相重合的边为对应边． 2．性质： （1）全等三角形的对应边相等． 若，则，，． （2）全等三角形的对应角相等． 若，则，，． （3）全等三角形的周长相等，面积相等． 若，则，． 考点01：图形的全等 例1 （24-25八年级上·江苏宿迁·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 ． （2）试找出图中的全等图形： ． 演练1 （24-25八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 演练2 （2024八年级上·江苏·专题练习）找出下列各组图中的全等图形． 考点02：将已知图形分割成几个全等图形 例2 （22-23七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 演练1 （18-19七年级下·山东青岛·期末）图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形. （1）用实线把图①分割成六个全等图形； （2）用实线把图②分割成四个全等图形. 演练2 把大小4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形,例如,图1,请在图2中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形.    考点03：全等三角形的概念 例3 （24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为，若与全等（与不重合），则点的坐标是 ． 演练1 （23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 演练2 （23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）作图题：        (1)如图，在图1所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图2中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．（分割线画成实线） (2)如图3，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②请直线l上找到一点P，使得的距离之和最小． ③的面积是________． 考点04：全等三角形的性质 例4 （23-24八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围． 演练1 （24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是 ． 演练2 （24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为 ． 5．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为 ；当时，x的值为 ． 6．（19-20八年级上·河南安阳·期末）三个全等三角形按如图所示摆放，则的度数为 °． 7．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）2024年9月10日是第40个教师节．数学老师用与教师节年月日相关的数字，编拟了一道运用全等三角形的性质和解方程等知识求解的题目：一个三角形的三边长分别是4，9，10，另一个三角形三边的长分别是4，，．若这两个三角形全等，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 9．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，点对应点，点对应点，点、、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 10．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，，．现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A时停止，速度为，设运动时间为． (1)如图1，当时，_____；当时，_____（用含t的式子表示）． (2)如图1，当的面积等于的面积的一半时． ①若点P在上，则_____； ②若点P在上，求t的值． (3)如图2，在中，，，．在的边上，若有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A时停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好．求点Q的运动速度． 11．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（   ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 15．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是 ． 16．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，．线段，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，当和全等时，长为 ． 17．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，，，则 ． 18．（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，、、三点在坐标轴上，，，，且，满足． (1)________，________； (2)如图2，为线段上一点，为外角平分线上一点，连接、，且，求证：； (3)如图3，点从点出发沿轴负半轴向左运动，连接，以为边在第二象限内作等边，连接并延长交轴于点，在运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化范围． 19．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交轴的正半轴交于点A，交轴的正半轴于点，且，． (1)求点A、B的坐标； (2)点是线段上的一点（与点、A不重合），其横坐标为，点在第四象限内的直线上，且的纵坐标为，点在轴的负半轴上，线段的长为，连接、、，当时，求与之间的关系式； (3)在（2）的条件下，连接，交线段于点，点在线段上，连接，若，，求点的横坐标． 20．（2020·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$