2025年中考数学复习：锐角三角函数

2025年中考数学复习：锐角三角函数 一、单选题 1．如图，用三角支架固定空调外机，已知，，米，则点O到墙面距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．当锐角时，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．已知∠A，∠B均为锐角，且cosA＝，sinB＝，则下列结论中正确的是（    ） A．∠A＝∠B＝60° B．∠A＝∠B＝30° C．∠A＝30°，∠B＝60° D．∠A＝60°，∠B＝30° 4．sin60°的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB＝（　　） A． B． C． D． 6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是(     ) A． B． C． D． 7．如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为（ ）m． A．10 B．8 C．6 D．6 8．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为（  ）　 A．2 B． C． D． 二、填空题 9．用计算器求的值，按键顺序是 ． 10．若tan（α–15°）=，则锐角α的度数是 ． 11．如图，在矩形中，为上的点，，，则 ． 12．如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了 米． 13．如图：的顶点、的坐标分别是，，，，函数的图像经过点，则的值为 ． 14．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为，已知米，山坡坡度为，且O，A，B在同一条直线上，则此人所在位置点P的铅直高度为 米．    三、解答题 15．如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：2，求坡角α的正弦值sinα 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足为D，求sin∠ACD和tan∠BCD的值． 17．如图，在中，于D，，，，求的值．    18．已知（为锐角） 证明：① ② 19．如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B相距27米的C处，用高1.5米的测角仪DC测得纪念碑顶端A的仰角为47°，求纪念碑的高度．（结果精确到0.1米） 【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D B B D A B 1．B 【分析】利用，即可得出结果． 【详解】解：∵，，米， ∴， ∴米； 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．正确的识图，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 2．A 【分析】由30°角的正弦值直接可得答案． 【详解】解：∵sin30°=； 故选A. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键. 3．D 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵∠A，∠B均为锐角，cosA=，sinB=， ∴∠A=60°，∠B=30°． 故选D． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 4．B 【分析】根据特殊角的三角函数值进行回答即可． 【详解】解：sin60°=， 故选：B． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 5．B 【详解】过C作CD⊥AB， 根据勾股定理得： AC=AB= = ， S△ABC=4---=， 即 CD•AB=，所以 CD =， 解得：CD= ， 则sin∠CAB== ， 故选B． 6．D 【详解】∵tanA=， 故用计算器求锐角三角比的顺序为： . 故选：D. 7．A 【详解】∵天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为， ∴sinC=， 则， 解得：AC=10， 则坡面AC的长度为10m． 故选A． 8．B 【分析】连接BC，先根据勾股定理求出AC2、BC2、AB2，由勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：如图，连接BC． 根据勾股定理可得AC2=22+22=8， BC2=12+12=2， AB2=12+32=10， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， ∴tan∠BAC===． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义，判断△ABC是直角三角形是解题关键． 9．MODE，tan，35，=． 【分析】根据计算器中对应的已知一个角的正切值求这个角的算法求解即可． 【详解】解：先按MODE，选择模式；再键tan，35，最后按=；可得到这个角的函数值． 故答案为：MODE，tan，35，= 【点睛】本题考查计算器—三角函数，要求同学们能熟练应用计算器，会用计算器进行计算． 10．75° 【分析】根据特殊角三角函数值，可得（α–15°）的度数，根据有理数的减法，可得答案． 【详解】由tan(α−15°)=，得 α−15°=60°， 解得α=75°， 故答案为75° 【点睛】考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角是三角函数值是解题的关键. 11．/ 【详解】解：设， 在矩形中，为上的点，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，掌握正确的定义是解题的关键． 12．1000 【分析】过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB=200米，∠A=30°，求出BC的长度即可． 【详解】过点B作BC⊥水平面于点C， 在Rt△ABC中，∵AB=2000米，∠A=30°， ∴BC=ABsin30°=2000×=1000（米）， 故答案为：1000 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，直角三角形30度角的性质． 13． 【分析】过点作轴于，如图，先利用勾股定理得到，再利用等腰三角形的性质可得，再判断为等腰直角三角形得到，则可计算出，所以，然后利用反比例函数图像上点的坐标特征即可求出的值． 【详解】解：过点作轴，垂足为， ∵点、的坐标分别是，， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点的坐标代入得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征：反比例函数（为常数，）的图像是双曲线，图像上的点的横坐标的积是定值，即．也考查了反比例函数的性质，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质．理解和掌握反比例函数的性质和图像上点的坐标特征是解题的关键． 14． 【分析】在图中共有三个直角三角形，即、，利用、以及坡度比，分别求出、、，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决． 【详解】解：作于点，于点， 在中，，， （米）． 设米， ， ． 在中，，，， ， ， 解得． 答：此人所在位置点的铅直高度米， 故答案为：．    【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 15． 【详解】试题分析：首先过点A作AC⊥BC于点C，设AC=x，根据AC=x，根据坡比可得BC=2x，根据勾股定理求出AB的长度，然后根据正弦的求法得出答案． 试题解析：过A作AC⊥BC于C， ∵AB的坡度i=1：2， ∴tanα=，   设AC=x，BC=2x， 根据勾股定理可得：AB=， 则sinα=． 16．sin∠ACD＝，tan∠BCD＝. 【详解】试题分析：由勾股定理可求出AB=5，再由已知条件不难证明∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，所以求出sinB、tanA的值即可. 试题解析： ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB＝5， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴∠B＋∠BCD＝90°，∠A＋∠ACD＝90°. 又∵∠BCD＋∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A， ∴sin∠ACD＝sinB＝＝， tan∠BCD＝tanA＝＝. 点睛：本题关键在于将要求的角转化为与之相等的角. 17． 【分析】先解求出，则由勾股定理可得，即可求出，则． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知正弦和正切的定义是解题的关键． 18．（1）详见解析；（2）. 【分析】根据已知和同角三角函数关系解答. 【详解】证明：①∵左式通分得   又由知 ∴左式==右式 ∴命题得证. ②在已知中等量代换，使成为一个关于的方程． ∵ ∴ 即解之得 但为锐角， 【点睛】本题考查同角三角函数关系：，解题关键是熟练掌握此关系式. 19．30.4． 【详解】试题分析：作DE⊥AB于E，根据正切的概念求出AE的长，再结合图形根据线段的和差计算即可求解． 试题解析：作DE⊥AB于E，由题意得DE=BC=27米，∠ADE=47°，在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=27×1.072=28.944米，AB=AE+BE≈30.4米． 答：纪念碑的高度约为30.4米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$