河北省秦皇岛市实验中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

河北省秦皇岛市实验中学 2025 - 2026 学年度第一学期开学考试 高二数学试题 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一 符合题目要求的。 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 复数 A. B. C. D. 3. 已知，，且，则的最小值是( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是( ) A. B. C. D. 5. 已知，，，则，，的大小关系为( ) A. B. C. D. 6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是( ) A. B. C. D. 7. 在正方体中，下列几种说法正确的是( ) A. B. C. 与平面成 D. 与成 角 8. 已知向量，，若，则向量与夹角的余弦值为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 下列说法正确的是(     ) A. ， B. 是的充分不必要条件 C. 函数的零点为 1 D. 若的定义域为，则的定义域为 10. 下列选项中，值为的是(     ) A. B. C. D. 11. 给出下列说法，其中正确的是(     ) A. 数据 0，1，1，2，2，2，3，4 的极差与众数之和为 6 B. 已知一组数据 1，2，，8，，9 的平均数为 6，则这组数据的中位数是 8 C. 已知某班共有 45 人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第 9 名，则小明成绩是全班数学成绩的第 20 百分位数 D. 一组不完全相同数据，，，的方差为 3，则数据 ，，，的方差为 12 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 不等式的解集是____ 13. 设，，夹角为，则等于____ 14. 如图，在棱长为 2cm 的正方体中，四面体的体积等于____ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. (本小题 13 分) 已知函数. (1)判断函数的单调性,并证明: (2)求函数在上的最大值和最小值 16. (本小题 15 分) 已知向量，，函数 (1)求函数的最小正周期; (2)求函数的单调递减区间. (3)求函数的对称轴方程与对称中心坐标。 17. (本小题 15 分) 在中，，。 (1)若点是线段的中点，，求边的值; (2)若，求的面积. 答案和解析 1. 【答案】C 解：由已知，， 于是。 故选：C。 2. 【答案】C 解：。 故选 C 3. 【答案】C 解：根据题意，若，，且， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是9。 故选：C。 4. 【答案】D 解：题目要求偶函数，排除A，B选项，C选项在区间上单调递减，故排除C选项， D选项既是偶函数，又在区间上单调递增， 故选：D。 5. 【答案】D 解：， ， ， 所以 ，，的大小关系。 故选 D。 6. 【答案】B 解：由于函数最小正周期为，函数的定义域为R，，则为偶函数，故A错误； 由于函数最小正周期为，函数的定义域为，，则为奇函数，故正确； 由于函数正周期为且为奇函数，故错误； 由于函数，它的最小正周期为且为奇函数，故错误， 故选． 7.【答案】 【解析】解：在正方体中，与是异面直线，所以错误； 在正方体中，连接，，，由题可知，平面，平面，所以， 又因为，，，平面，所以平面，平面，故，所以正确； 取的中点，连接，则可得为与平面所成的角，这个角不等于，所以不正确； 在正方体中，和所成的角为，所以不正确． 故选． 8.【答案】 【解析】解：根据题意，因为，，， 所以，解得， 所以，， 所以向量与夹角的余弦值为： ． 故选：． 9.【答案】 解：对于.因为对恒成立，故错误; 对于.因为，所以是的充分不必要条件，故正确; 对于.因为由得，所以函数的零点为，故正确; 对于.因为函数的定义域为，所以，因此函数的定义域为，故错误． 10.【答案】BC 解：，故 A 错误； ，故 B 正确； ，故 C 正确； ，故 D 错误. 故选：BC. 11.【答案】AD 解：A.数据 0，1，1，2，2，2，3，4 的极差是 4，众数是 2，所以极差与众数之和为 6，故 A 正确； B.∵ 数据 1，2，m，8，m + 1，9 的平均数为 6，故， 解得，故这组数据的中位数是，故 B 错误. C.某班共有 45 人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第 9 名，即小明的成绩是全班成绩从小到大排列的第 37 个数， 由于 45×20％ = 9，则小明成绩不是第 20 百分位数，故 C 错误； D.若样本数据，，…，的方差为 3， 则数据，，…，的方差为，故 D 正确. 故选：AD. 12.【答案】(-2,4) 解：原不等式等价于， 等价于， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为(-2,4). 13.【答案】 【解答】 解：由已知，，夹角为 60°， 则 故答案为. 14.【答案】 【解析】解：四面体的体积等于正方体体积减去四个小三棱锥体积 即. 故答案为：. 15.【答案】解：(1)函数在上单调递增; 证明如下:设任意的满足, 因为 因为,所以,因此,即, 所以函数在上单调递增. (2)由(1)知函数在上单调递增,所以; ,因此函数在上的最大值为,最小值为. 16.【答案】解：(1)因为,所以 ,所以,故函数的最小正周期是. (2)由,得,解得:, 所以函数的单调递减区间为. (3) 对称轴方程 对称中心坐标 17. (1)设 ,则 , ∴在 中, , ∴ ,整理得 ,解得 ( 舍去), ∴ ,即 为等边三角形,则 . (2)由正弦定理知: ,由已知得 , ∵ ,即 , ∴ ,而 , ∴ . 18. 【答案】证明: (1)取 的中点为 ,连接 、, 因为 平面 , 平面 ,故 ,而 为等边三角形, 为 的中点,所以 ,又 、 分别为 、 所在棱的中点,所以 , .又 , ,所以 , ,故四边形 为平行四边形,所以 ,则 , ,又 ,所以 平面 . (2)∵ 平面 , 平面 ∴ ,且 为直线 与平面 所成角,由题知 , , ,则 ,即直线 与平面 所成角的余弦值为 . 19. 【答案】解: (1)由频率分布表知: 数据在 的频数为17, ∴频率为0.17, ∴ ; 数据在 的频数为25, ∴频率为0.25, ∴ ; (2)数据的平均数为: (小时); (3)第60百分位数: . 学科网（北京）股份有限公司 $$