精品解析：四川省内江市第一中学2025-2026学年高一上学期开学测试数学试题

2025年四川省内江市第一中学开学测试 一.选择题（每题3分，满分36分） 1. 下列各对数是互为倒数的是（ ） A. 1和 B. 和 C. 和 D. 0和0 2. “白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的孢荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 如图，由若干个小正方体组成的一个几何体，从它的正面看得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB是⊙O的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. ≌ D. 7. 函数中自变量x的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8或12 D. 7或9 9. 观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 10. 二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④.其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 11. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为，点C的坐标为，且，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，点是平行四边形内一点，轴，且，轴，连接并延长与交于点，，的面积为.若反比例函数的图象经过点和点，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 15 二.填空题（每小题5分，满分20分） 13. 因式分解： _____________ . 14. 如图，边长为10的菱形ABCD，对角线，分别以点A，B，C，D为圆心，5为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ______ .（结果保留） 15. 关于x的分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是 ______________ . 16. 如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于.我们把这样的等腰三角形称作黄金三角形.如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第三个黄金三角形；…以此类推，第n个黄金三角形的腰长是 ________ . 三.解答题 17. 计算：. 18. 如图，已知E、F分别是平行四边形的边BC、AD上的点，且. （1）求证：； （2）若，且，直接判断四边形的形状是 . 19. 希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 随机问卷调查部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在1～3.5h范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：h）是 ①1～1.5②1.5～2③2～2.5④2.5～3⑤3～3.5 （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A.家政B.烹饪C.剪纸D.园艺E.陶艺 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）参与本次问卷调查的学生人数 名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为 度； （2）补全周家务劳动时间的频数分布直方图； （3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数； （4）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率. 20. 茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”，融合了雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多样的中国古建筑元素，展现了浓郁的地方古建筑特色，是信阳市的文化与形象象征.某数学课外活动小组开展了“测量茗阳阁的高度”的课题活动，具体方案及数据如表： 课题 测量茗阳阁的高度 测量方案 活动小组在距坡底C处的E处测得茗阳阁顶A的仰角为，在坡底C处测得茗阳阁顶A的仰角为.B，C，F三点在同一直线上. 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 参考数据 CE的坡度，，，. 求茗阳阁高度AB.（结果精确到整数） 21. 荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便.某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克.市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克，设降价x元. （1）设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式； （2）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 四.填空题（满分24分，每小题6分） 22. 关于x的方程的一个根为，则该方程的另一个根是 _____ . 23. 如图，平行四边形ABCD中，，动点P从点A出发沿折线运动，到达点C停止运动.在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动路程为，记为的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围______ . 24. 如图，在中，，角平分线，交于点M.现给出以下结论：①；②；③；④点M关于AC对称点一定在的外接圆上.其中正确的是 ________ .（写出所有正确结论的序号） 25. 如图，在▱ABCD中，，点E为BC边上一点，，点F是AB边上的动点，将沿直线EF折叠得到，若点恰好落在线段DE上，则AF的值为______ . 五.解答题（满分36分，每小题12分） 26. 小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖.若该商场采用下两种不同方式混合：方式1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；方式2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合.哪种混合方式的什锦糖的单价更低？ （1）小明设甲、乙糖果单价分别为a、b，用含a、b的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价请你写出他的解答过程； （2）为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：结论1：若，则；若，则；若，则；结论2：反比例函数的图象上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；结论3：若P的坐标为，Q的坐标为，则线段PQ的中点坐标为，.小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程： ①利用结论1求解； ②利用结论2、结论3求解. 27. 欧几里德，古希腊著名数学家.被称为“几何之父”.他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书.他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”.如图1，设点P是已知点，圆O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：①连接，作线段的中点A；②以A为圆心，以为半径作圆A，与圆O交于两点Q和R；③连接、，则、是圆O的切线. （1）按照上述作图步骤在图1中补全图形（保留作图痕迹，痕迹要清晰）； （2）为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“PQ、PR是圆O的切线”的过程； （3）如图2，连接并延长交圆O于点B，连接BR，已知，圆O半径，求. 28. 如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点在抛物线上. （1）求该抛物线的表达式； （2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若与全等，求点P的坐标； （3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将沿PQ所在的直线翻折得到，连接，求线段长度的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四川省内江市第一中学开学测试 一.选择题（每题3分，满分36分） 1. 下列各对数是互为倒数的是（ ） A. 1和 B. 和 C. 和 D. 0和0 【答案】C 【解析】 【分析】根据互为倒数的定义即可得到答案. 【详解】根据互为倒数的定义知和互为倒数. 故选：C. 2. “白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的孢荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学计数法的含义即可得到答案. 【详解】根据科学计数法的含义得用科学记数法表示为：. 故选：B. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数幂的运算即可判断. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确 故选：D. 4. 如图，由若干个小正方体组成的一个几何体，从它的正面看得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正视图即可得到答案. 【详解】根据正视图可知其正面看得到的平面图形是： . 故选：B. 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断. 【详解】显然A,C的图形不是轴对称图形，故AC错误； B中的图形不是中心对称图形，故B错误； 而D中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确. 故选：D. 6. 如图，AB是⊙O的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. ≌ D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂径定理逐项判断AB；利用三角形全等证明C；M在AB上的位置不能确定即可判断D. 【详解】因为AB是⊙O的直径，弦，垂足为M，所以，，故选项AB正确； 因为，，且， 所以≌，故选项C正确； 由于不能确定M在AB上的位置，故不一定成立，故D错误. 故选：D 7. 函数中自变量x的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据根号下大于等于0得到的范围即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 则自变量x的值可以是3. 故选：A. 8. 某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8或12 D. 7或9 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数与平均数定义，对的取值进行分类讨论即可得出结果. 【详解】当时，将数据进行排列，得到， 因为这组数据的中位数和平均数相等，所以，解得， 当时，将数据进行排列，得到， 因为这组数据的中位数和平均数相等，所以， 解得，与范围不符，故排除 当时，将数据进行排列，得到， 因为这组数据的中位数和平均数相等，所以， 解得，经检验，和均符合题意. 故选：C 9. 观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】结合题设直接求解即可. 【详解】由题意，若输入x为2，则计算. 故选：B. 10. 二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④.其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据开口判断，再根据对称轴得到，根据图像得到，最后逐一分析选项即可. 【详解】抛物线开口向下，， 抛物线的对称轴为直线，， 抛物线与轴的交点在轴上方，， ，所以①错误； ，，所以②正确； 抛物线的对称轴为， 当时的函数值有最大值， ， ，所以③正确； 时，， ，所以④错误． 其中正确的选项有：②③，共2个． 故选：C． 11. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为，点C的坐标为，且，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作关于的对称点，利用三点共线即可得到最小值为，再根据勾股定理求出其长度即可. 【详解】如图，过点作关于的对称点，连接与相交， 则与的交点，即为所求的点，的最小值， 过点作于， 点的坐标为，且， ，， 顶点的坐标为，点的坐标为，， ，， 在Rt中，由勾股定理得，. 故选：C. 12. 如图，在平面直角坐标系中，点是平行四边形内一点，轴，且，轴，连接并延长与交于点，，的面积为.若反比例函数的图象经过点和点，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】延长交轴于点，作垂直轴，，设，根据反比例函数的性质及全等三角形的性质求得与的关系式，即可求解. 【详解】 如图，延长交轴于点，作垂直轴，， 设，则， 则，， ，即， ， 所以， 所以，即， 所以，即， 即，所以， 在平行四边形中，， 所以， 又因为轴， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 二.填空题（每小题5分，满分20分） 13. 因式分解： _____________ . 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式并结合完全平方公式即可因式分解. 【详解】. 故答案为：. 14. 如图，边长为10的菱形ABCD，对角线，分别以点A，B，C，D为圆心，5为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ______ .（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】先利用菱形ABCD性质求得，再求出菱形ABCD的面积，进而结合圆的面积公式利用面积割补法求解即可. 【详解】如图，记对角线AC与BD交于点O， ∵菱形ABCD中，，， ∴，，，∴， ∴， ∴菱形ABCD的面积为， ∵， ∴四个扇形的面积面积之和等于一个以的长为半径的圆的面积， ∴图中阴影部分的面积为. 故答案：. 15. 关于x的分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是 ______________ . 【答案】且 【解析】 【分析】先求出分式方程和不等式，再进行求解即可. 【详解】由，则， 则，即，解得， 由，则，解得， 由题意得，，则且. 故答案为：且. 16. 如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于.我们把这样的等腰三角形称作黄金三角形.如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第三个黄金三角形；…以此类推，第n个黄金三角形的腰长是 ________ . 【答案】 【解析】 【分析】依次求出黄金三角形的腰长，发现规律即可求解. 【详解】由题知， 第1个黄金三角形的腰长为AB，所以第1个黄金三角形的腰长为1； 第2个黄金三角形的腰长为BC，且， 所以，即第2个黄金三角形的腰长为； 第3个黄金三角形的腰长为CD，且， 所以，即第3个黄金三角形的腰长为； …， 依次类推，第n个黄金三角形的腰长为. 故答案为：. 三.解答题 17. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的余弦值、负整数指数幂的运算、二次根式的化简计算即可. 【详解】原式. 18. 如图，已知E、F分别是平行四边形的边BC、AD上的点，且. （1）求证：； （2）若，且，直接判断四边形的形状是 . 【答案】（1）证明见解析 （2）菱形 【解析】 【分析】1）由平行四边形的性质可得，再由，可得，即可利用SAS定理判定； （2）首先证明，再结合可得，进而结合菱形的特征即可判断. 【小问1详解】 证明：连接AE，CF， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，∴， ∴. 【小问2详解】 ∵，∴， ∵，∴，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴四边形AECF是菱形， 19. 希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 随机问卷调查部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在1～3.5h范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：h）是 ①1～1.5②1.5～2③2～2.5④2.5～3⑤3～3.5 （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A.家政B.烹饪C.剪纸D.园艺E.陶艺 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）参与本次问卷调查的学生人数 名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为 度； （2）补全周家务劳动时间的频数分布直方图； （3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数； （4）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率. 【答案】（1）100； （2）频数分布直方图见解析 （3）176人 （4） 【解析】 【分析】（1）利用可求总人数；由第④组的频率可得扇形的圆心角是，计算即可. （2）求出周家条劳动时间是2～2.5的人数即可求解. （3）根据频数与频率的关系即可求解. （4）列举出所有可能的结果，找到两人恰好选到同一门课程的结果，即可求解概率. 【小问1详解】 参与本次问卷调查的学生人数为（名）. 在扇形统计图中，第④组所对应扇形圆心角的度数为. 故答案为：100； 【小问2详解】 周家条劳动时间是③2～2.5的人数为（人）. 补全周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示. 【小问3详解】 （人）. ∴估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数约176人. 【小问4详解】 列表如下： A B C D E A B C D E 共有25种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有5种， ∴两人恰好选到同一门课程的概率为. 20. 茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”，融合了雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多样的中国古建筑元素，展现了浓郁的地方古建筑特色，是信阳市的文化与形象象征.某数学课外活动小组开展了“测量茗阳阁的高度”的课题活动，具体方案及数据如表： 课题 测量茗阳阁的高度 测量方案 活动小组在距坡底C处的E处测得茗阳阁顶A的仰角为，在坡底C处测得茗阳阁顶A的仰角为.B，C，F三点在同一直线上. 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 参考数据 CE的坡度，，，. 求茗阳阁的高度AB.（结果精确到整数） 【答案】 【解析】 【分析】过点E作于点D，设，得到方程解出值，再设，利用正切三角函数定义得到，解出即可. 【详解】由题意得，. 如图，过点E作于点D，则四边形为矩形. 的坡度, 故设，，则，，解得. ，. 设，，. . 由条件可知，. 在中，，， . ，解得. 答：茗阳阁的高度AB约为. 21. 荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便.某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克.市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克，设降价x元. （1）设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式； （2）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【答案】（1） （2）24元/千克 【解析】 【分析】（1）根据题意列出函数关系式化简即可求解； （2）令，解方程即可. 【小问1详解】 根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝：千克， ∴，整理得. 【小问2详解】 令，代入函数得，解得或4， ∵要尽可能地减少库存压力，∴， 此时荔枝定价为（元/千克）. 四.填空题（满分24分，每小题6分） 22. 关于x的方程的一个根为，则该方程的另一个根是 _____ . 【答案】3 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得. 【详解】由题意得，关于x的方程有两个根， ∴， ∵方程的一个根为， ∴设方程的另一个根为m，则：， ∴， 故答案为：3. 23. 如图，平行四边形ABCD中，，动点P从点A出发沿折线运动，到达点C停止运动.在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动路程为，记为的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围______ . 【答案】或 【解析】 【分析】过点A作，利用等面积法求得，当点P在AB上时，，则；当点P在CB上时，同理可得，描点连线绘制图象，结合图象直接求解m的取值范围. 【详解】过点A作于点M， 则， 则平行四边形ABCD的面积为，即，则， 当点P在AB上时，则，则； 当点P在CB上时，同理可得：， 即y1， 当时，，当时，，当时，， 根据上述3点坐标描点、连线绘制图象如下： 当图象过和、时，为符合题意的临界点， 当图象过时，则， 直线k的表达式为：，即， 当图象过时，则610+m，则， 故或， 故答案为：或. 24. 如图，在中，，角平分线，交于点M.现给出以下结论：①；②；③；④点M关于AC的对称点一定在的外接圆上.其中正确的是 ________ .（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用角平分线性质即可判断①，根据圆心角和弧关系即可判断②；利用三角形全等 即可判断③；利用角互补和共圆关系即可判断④. 【详解】如图，，， 分别是，的角平分线， ， ，故①正确， ，， ，四点共圆， 连接，则， ，，故②正确， 在上取一点，使得，连接， 在和中，， ，因， 则， ，， 在和中，， ，， ，故③正确， 如图作出点关于AC的对称点，连接，则， ， ，因不一定为，故与不一定互补， ∴点不一定在的外接圆上，故④错误， 故答案为：①②③. 25. 如图，在▱ABCD中，，点E为BC边上一点，，点F是AB边上的动点，将沿直线EF折叠得到，若点恰好落在线段DE上，则AF的值为______ . 【答案】 【解析】 【分析】作于M，作交BC延长线于N，用勾股定理得，进而求得，，再证明，用勾股定理得，分别延长EF，DA交于点P，由翻折可知，求得，由得，即可求解. 【详解】作于M，作交BC延长线于N， ∴、都是直角三角形， ∵，∴，∴， ∵，，即， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，，，∴， ∴， ∴， 分别延长EF，DA交于点P， 由翻折可知，， ∴，∴， ∵，∴∽， ∴， ∴. 故答案为：. 五.解答题（满分36分，每小题12分） 26. 小明探究下列问题：商场将单价不同甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖.若该商场采用下两种不同方式混合：方式1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；方式2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合.哪种混合方式的什锦糖的单价更低？ （1）小明设甲、乙糖果的单价分别为a、b，用含a、b的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价请你写出他的解答过程； （2）为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：结论1：若，则；若，则；若，则；结论2：反比例函数的图象上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；结论3：若P的坐标为，Q的坐标为，则线段PQ的中点坐标为，.小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程： ①利用结论1求解； ②利用结论2、结论3求解. 【答案】（1）方式1混合的什锦糖的单价为，方式2混合的什锦糖的单价为 （2）①方式2将总价相等的甲、乙糖果进行混合的方式的什锦糖的单价更低； ②方式2将总价相等的甲、乙糖果进行混合的方式的什锦糖的单价更低 【解析】 【分析】（1）设甲、乙糖果的质量均为，利用单价的公式求得方式1的混合单价，设甲、乙糖果的总价均为，利用单价的公式求得方式2的混合单价. （2）①利用作差法比较大小即可得解； ②结合中点坐标公式，利用反比例函数图象与性质比较大小即可得解. 【小问1详解】 设按方式1混合后单价为m，按方式2混合后单价为n， 设甲、乙糖果的质量均为，则总质量为，所以， 设甲、乙糖果的总价均为，则甲、乙糖果的质量分别为，总质量为， 所以； 【小问2详解】 ①设按方式1混合后单价为m，按方式2混合后单价为n， 则，则， 因为甲，乙单价不同，所以，则， 又，所以，即，所以， 所以方式2将总价相等的甲、乙糖果进行混合的方式的什锦糖的单价更低； ②由①知，，则有， 如图： 设是反比例函数的图象上的两点，C是线段的中点， 令点的纵坐标分别为，不妨设，过点C作轴，垂足为D， CD与函数图象交于点E，由结论2得点的横坐标分别为， 由结论3，得点C的坐标为，因为点C与点E的横坐标相等，所以点E的横坐标为， 由结论2得点E的坐标为，因为点E是线段上一点，且不与点重合， 所以，所以， 所以方式2将总价相等的甲、乙糖果进行混合的方式的什锦糖的单价更低. 27. 欧几里德，古希腊著名数学家.被称为“几何之父”.他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书.他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”.如图1，设点P是已知点，圆O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：①连接，作线段的中点A；②以A为圆心，以为半径作圆A，与圆O交于两点Q和R；③连接、，则、是圆O的切线. （1）按照上述作图步骤在图1中补全图形（保留作图痕迹，痕迹要清晰）； （2）为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“PQ、PR是圆O的切线”的过程； （3）如图2，连接并延长交圆O于点B，连接BR，已知，圆O的半径，求. 【答案】（1）图形见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据等腰三角形性质和三角形内角和关系得到，则证明是圆O的切线，同理可得另外一条切线； （3）首先证明，从而求得，再利用勾股定理即可得到答案. 【小问1详解】 如图1， 【小问2详解】 连接，如图2， ，， ，，， 是圆O半径，是圆O的切线， 同理可得，是圆O的切线； 【小问3详解】 连接交于点H，连接，如图3， 、是圆O的切线，， ，是线段的垂直平分线， ，， ，，， ，，， ，即， 在中，， ， 解得（负值舍去）. 28. 如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点在抛物线上. （1）求该抛物线的表达式； （2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若与全等，求点P的坐标； （3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将沿PQ所在的直线翻折得到，连接，求线段长度的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3）1 【解析】 【分析】（1）先根据直线求出点A、点B的坐标，然后将点A、点B、点C的坐标代入抛物线方程求解即可； （2）分两种情况讨论：≌和≌，利用全等三角形的性质求解即可； （3）根据点的运动轨迹，求得当点，P，C三点共线时，有最小值，即可得解. 【小问1详解】 在直线中，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 把点，点，点代入， ，解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 ①当≌时，， 又∵四边形OPDE为正方形，∴， 此时点P的坐标为， ②当≌时，， 又∵四边形OPDE为正方形，∴， 此时点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或； 【小问3详解】 如图， 点在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动， ∴当点，点P，点C三点共线时，有最小值， 由（2）可得点P的坐标为或，且C点坐标为， ∴的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$