四川省内江市第六中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题

第 1 页 共 4 页 内江六中高 2027 届高一(上)入学考试数学试题 时间:120 分钟 满分:150 分 一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 1. 8 的立方根是 ( ) A.2 B. 2 C. 2 D. 2 2 2.下列关系正确的是 ( ) A. 2 2 2| | | |a a a B. 2 2 2| | | |a a a C. 2 2 2| | | |a a a D. 2 2 2| | | |a a a 3.函数 ky x 与 2 ( 0)y kx k k 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 4.命题 20, 1 0x x x 的否定是 ( ) A. 20, 1 0x x x B. 20, 1 0x x x C. 20, 1 0x x x D. 20, 1 0x x x 5.如图,AD是 ABC 中 BAC 的平分线,DE AB ,交 AB于点 E,DF AC , 交 AC于点 F .若 7ABCS , 2DE , 4AB ,则 AC的长是 ( ) A.4 B.3 C.6 D.5 6.某班级共有 50名同学,其中爱好书法的有 25名,爱好绘画的有 24名,书法和绘画都爱好的有 10名, 则书法和绘画都不爱好的人数为 ( ) A.12 B.11 C.10 D.9 7.在Rt ABC 中, 90BAC , AD BC 于点 D,若 3 4 AC AB ,则 (BD CD ) A. 4 3 B. 3 4 C. 16 9 D. 9 16 8.代数式 2 24 (12 ) 9x x 的最小值是( ) A.10 B.11 C.12 D.13 第 2 页 共 4 页 二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求,全部选对得 5 分,部分选对得 2 分,有选错得 0 分.) 9.如图,若二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 图象的对称轴为直线 1x ,与 y轴交于点C,与 x轴交于点 A、 点 ( 1,0)B ,则 ① 0a b c ; ②二次函数的最大值为 a b c ; ③ 2 4 0b ac ; ④当 0y 时, 1 3x .其中正确的有 ( ) A.① B.② C.③ D.④ 10.下列式子正确的是 ( ) A.因式分解 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b B. 2 2 2 2(2 ) 4 4 4 2m n k m n k mn mk nk C.因式分解 2 1 85 1 853 7 3( )( ) 6 6 x x x x D. 11 2 0321 27(2 ) 0.1 ( ) 99 4 8 11.已知 a R ,关于 x 的方程 2 2 3 0ax ax 有两个不相等的正实数根 1 2,x x ,则 2 21 2x x 可取的值为( ) A.2 B. 5 2 C. 7 2 D.4 12.关于函数 2 3 2 1y x x 的最值,下列说法正确的有( ) A.最小值为 4 B.最小值为 2 C.最大值为 2 D.最大值为 4 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.为开展某教育宣讲活动,某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲,则恰好选中 甲和丙的概率是 . 14.不等式: 3 1 0 2 4 x x 的解集为 . 15.已知正方形OABC 在如图的平面直角坐标系,点 B的坐标为 (2,2),D,E,F 的坐标分别为 (0,1), (1,2 2) , (2,1),则圆弧 DEF 的弧长为 . 16.已知正整数 n满足: 1 1 1 6 1 4 4 7 (3 2) (3 1) 19n n ,则 n . 第 3 页 共 4 页 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.其中,第 17 题 10 分,其余每题 12 分.解答题应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.) 17.小欣和小敏打算利用节假日在内江游玩,其中 4个景点分别是: A“张大千纪念馆”、 B“重龙山”、 C“罗泉古镇”和D“古宇湖”.他们各自在这 4个景点中任意选择一个游览,每个被选择的可能性相同. (1)小欣选择C “罗泉古镇”的概率是多少? (2)用画树状图或列表的方法,求小欣和小敏恰好选择同一景点的概率. 18.如图,在平行四边形 ABCD中, F 是 AD的中点, EF CF ,证明:CE AB . 19.某学校从高一同学中任意选取 40 人,随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试,由测试 成绩绘制出统计表和如图的统计图(成绩均为整数,满分为 10分). 甲组成绩统计表: 成绩 7 8 9 10 人数 1 9 5 5 请根据上面的信息,解答下列问题: (1)m ,甲组成绩的中位数是 ,乙组成绩的众数是 ;(直接写答案) (2)参考下面甲组成绩方差的计算过程,求出乙组成绩的方差,并判断哪个小组的成绩更加稳定? 1 7 9 8 5 9 5 10 8.7 20 x 甲 ,即甲组的平均成绩为 8.7分. 2 2 2 2 2 1 (7 8.7) 9 (8 8.7) 5 (9 8.7) 5 (10 8.7) 0.81 20 S 甲 ,即甲组的方差为 0.81. 20.如图,已知Rt ABC 中, 90ACB , 2AC , 4BC ,点 P是CB边的一点,且 1tan 2 PAC , O 是 APB 的外接圆, (1)求证: PAC ABC ; (2)判断 O 与直线 AC的位置关系,并说明理由; (3)请直接写出 O 的半径. 第 4 页 共 4 页 21.在平面直角坐标系中,已知抛物线 2: 2 1( 0)C y ax x a 和直线 l;y kx b ,点 ( 3, 3)A 、 (1, 1)B 均在直线 l上. (1)若抛物线C 与直线 l有交点,求 a的取值范围; (2)当 1a , 2 2 1y ax x 的自变量 x满足 2m x m 时,函数 y的最大值为 4 ,求m的值; (3)若抛物线C 与线段 AB有两个不同的交点,请直接写出 a的取值范围. 22.阅读下面资料: 问题情境: (1)如图 1,等边 ABC , CAB 和 CBA 的平分线交于点O,将顶角为120 的等腰三角形纸片(纸片 足够大)的顶点与点O重合,已知 2OA ,则图 1中重叠部分 OAB 的面积是 .(直接写答案) 探究: (2)在(1)的条件下,将纸片绕O点旋转至如图 2所示位置,纸片两边分别与 AB, AC交于点 E,F , 求图 2中重叠部分的面积. (3)如图 3,若 (0 90 )ABC ,点O在 ABC 的角平分线上,且 2BO ,以O为顶点的等腰三 角形纸片(纸片足够大)与 ABC 的两边 AB, AC分别交于点 E、F , 180EOF ,求出重叠部分 的面积.(用含 的式子表示)内江六中高2027届高一（上)入学考试数学试题 参考答案 一、单选题（每题5分） 1-8:BADC BBCD 二、多选题（每题全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9:BD 10:ABC 11:BC 12:AD 三、填空题（每题5分） 13:614:⊙或x<-2 l5:2 16:6 四、解答题（第17题10分，其余每题12分） 17:解：(1)在这四个景点中任选一个，每个被选中的可能性相同，所以小欣选择C“罗 泉古镇”的概率是} 。。。,。,。。。。。,4。,。。。。。+。。+,4。t。。+, (2)画树状图如下： 开始 D AB CD AB CD AB CD AB CD 共有16种等可能的结果，小欣和小敏恰好选择同一景点的结果有4种，则概率为4= 164 10分 18:证明：延长EF,交CD的延长线于点M, 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB/ICD,∴∠A=∠FDM, 在△EAF和△MDF中， ∠A=∠FDM AF=DF ∠AFE=∠DFM ∴.△EAF三△MDF(ASA), .EF=MF, 'EF=CF,∴.EF=FM=CF,,∠ECM=90°， AB//CD, .∠BEC=∠ECM=90°， ∴CE⊥AB. 12分 第1页共4页 19:解：(1)由题意可得：1+9+5+5+2+9+6+m=40,解得m=3, 甲组成绩一共有20组，从小到大最中间为8和9，则中位数为$2=85， 乙组成绩中最多的为8，则众数为8. 6分（每空2分） (2)反-2x7+9x8+6x9+3×10=85, 20 2-2x7-85+9x8-85+6x9-85+3x10-85-075. 20 S2<S隔，乙组的成绩更加稳定.12分 20:证明：I)RtAACP中，an∠PAC.PC- AC 2 4C=2,BC=4,4C=1, BC2'· PC AC AC BC 且∠PCA=∠ACB=90°，∴.△MCP∽ABCA ,.∠PAC=∠ABC. 4443分 (2)⊙0与直线AC相切，理由如下： 如图I,作直径AD,交⊙O于点D,连接PD, D :AD为⊙O的直径，.∠APD=90°，.∠PAD+∠PDA=90 :∠PDA=∠ABC,又由(I)得∠PAC=∠ABC,∴∠PDA=∠PAC 图1 ∠PAC+∠PAD=90°，∠CAD=90°，，AD⊥AC ·AD为⊙O的直径，.⊙O与直线AC相切. 8分 8月 42分 (详解： mLPAC-PC-.4C-2.CP-1.:AP=AC+CP- AC 2 :∠PDA=∠PAC:an∠PAC=in∠PDA=4P=:PD=2AP=2N5 PD 2 AD=√AP2+PD=5O0的半径为3) 2 第2项共4页 [k+b=-1 21:解：(1)点A-3.-3),B1,-)代入y=c+b得 -3认+b=-3’解得： 2 =x-多，联立y=心+2r-1与x.3,则有2ar2+3r+10 ~抛物线C与直线1有交点，△=9-8a0,六a≤ 9且a+0: 4分 (2)根据题意可得，y=-x2+2x-1,a<0,“抛物线开口向下，对称轴x=1, m≤x≤m+2时，y有最大值-4，六当y=-4时，有-x2+2x-1=-4, x=-1或x=3, ①在x=1左侧，y随x的增大而增大，，x=m+2=-1时，y有最大值-4，m=-3: ②在对称轴x=1右侧，y随x最大而减小，∴x=m=3时，y有最大值-4： 综上所述：m=-3或m=3;48分 (3）4≤8<或a飞-2.12分 8 (详解：抛物线与直线联立得：22+3x+1=0,因为有两个不同交点，所以△=9-8a>0, :a-8' 9 ①a<0时，x=1时，y≤-1，即a+1≤-1，∴≤-2： 4 ②a>0时，x=-3时，y2-3,即9a-7≥-3，a> 9 六a的取值范围为<a<号或K-2.) 4 9 8 22:解：(1)E 4分 (详解：过点O作ON⊥AB,垂足为N,如图1， ,△ABC为等边三角形，∠CAB=∠CBA=60°， :点O为△MBC的内心：∠OAB=∠CAB,∠OBA= ∠CBA. .∠OAB=∠OBA=30°..OB=OA=2. 图1 ON⊥AB,,AN=NB,PN=1.AN=√5， .AB-24N-255..--P) (2)图2中重叠部分的面积为√5. 第3页共4页 证明：连接AO、B0,如图2， 由旋转可得：∠EOF=∠AOB,则∠EOA=∠FOB. 在△EOA和△FOB中， ∠EAO=∠FBO=30 OA=OB ,,△EOA=△FOB. ∠EOA=∠FOB ∴.SY边形4EOF=SAM0 图2中重叠部分的面积与图1重叠部分的面积相等，为√3. 8分 (3)在射线BC上取一点G,使得OG=OB,过点O作OH⊥BF,垂足为H,如图3， 则有BH=GH=BG, 2 :∠ABC=a,BO为∠CAB的角平分线， ∠0BE=∠OBF=ABC= .OB=0G, ∠OGB=∠OBG= 2 图3 .∠BOG=180°-a. ∠EOF=180°-， ∴.∠BOG=∠EOF, 同理可得：S边形BEOr=SAOG· OB=2, 0H=2sing,8朗=2cosg :.BG=2BH=4cos SoGOH4sincos 重叠部分的面积为：S飘=4sng 2 12分 第4页共4页