精品解析：四川省眉山市东坡区冠城实验学校2025-2026学年高一上学期入学考试数学试题

眉山冠城实验学校高2025级高一数学入学考试试题 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】由于， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2. 设命题: “”，则的否定（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题否定的定义即可判断答案. 【详解】由题意，的否定为：. 故选：B. 3. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性. 【详解】充分性：因为，，则或，所以成立；必要性：因为，，则或，可得成立；所以是的充要条件. 故选：C. 4. 设集合A={1,2,3,5,7}，B={x∈Z|1<X≤6},全集U=A∪B，则A∩CUB = A. {1，4，6，7} B. {2，3，7} C. {1，7} D. {1} 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为集合，故A∩CUB ={1，7}，所以选C． 考点：集合的运算． 5. 已知，，若，则（ ） A. 0或4 B. 1或4 C. 0 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性即可求得的值. 【详解】且， 或 当时，，满足题意； 当时，得或 当时，，满足题意； 当时，带入集合中，不满足集合得互异性. 综上：可取0，4 故选：A 6. 已知集合则等于 （ ） A. {0，1，2，3，4} B. C. {-2，-1，0，1，2，3，4} D. {2，3，4} 【答案】A 【解析】 【详解】∵故选A. 7. 设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出． 【详解】当时，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述：I的所有好子集的个数为8， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键理解题中定义，运用分类讨论思想进行求解. 8. 如图，抛物线交轴于点、，点的坐标为，对称轴为直线，有以下结论：①该抛物线的最大值为；②；③；④；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根． 其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的形状特征，结合抛物线、二次函数以及一元二次方程的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由题意可知抛物线开口向下，对称轴为直线， 故可得当时，该抛物线取到最大值为，①正确； 由题意知点坐标为，对称轴为直线，故点B的坐标为， 结合抛物线开口向下可知时，， 故当时，，②正确； 由于抛物线轴有2个不同的交点，故有2个不等实数根， 故，③正确； 因为抛物线的对称轴为直线，故，④错误； 由图可知抛物线与轴有2个不同的交点， 故有2个不等实数根，⑤正确， 故选：C 二、多选题（每小题6分，多选或错选不得分，选对部分得部分分，共计18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. ； B. 高台一中高一全体学生可以构成一个集合； C. 集合有两个元素； D. 小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合. 【答案】BC 【解析】 【分析】区分的含义判断A；根据集合的定义判断B；根据一元二次方程有两个不相等的实数根判断C；根据集合元素的无序性判断D. 【详解】对于A，0是一个数，是一个集合，二者不相等，A错误； 对于B，根据集合定义知，高台一中高一全体学生可以构成一个集合，B正确； 对于C，由于的判别式， 故有两个不相等的实数根，故集合有两个元素，正确； 对于D，集合元素具有无序性，故小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到的两个集合是同一个集合，D错误， 故选：BC 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. “”是“是反比例函数”的既不充分也不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“有实数解”的充要条件 D. “”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合选项即可求解. 【详解】对于选项A，当时，不是反比例函数，当是反比例函数时，，所以“”是“是反比例函数”的既不充分也不必要条件，故A正确； 对于选项B，“”时，，当时，或，所以不能得出，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于选项C，“有实数解，等价于，故“”是“有实数解”的充分不必要条件，故C错误； 对于选项D，“方程有一个正根和一个负根”等价于， 解得，所以，“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 设A为非空实数集，若对任意x，，都有，，且，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为（ ） A. 集合为封闭集 B. 集合为封闭集 C. 封闭集一定是无限集 D. 若A为封闭集，则一定有 【答案】BD 【解析】 【分析】由封闭集的定义逐一判断即可求解 【详解】对于A，在集合中， 不在集合A中，集合A不是封闭集，故A错误； 对于B，集合， 设x，，则，，，， ，，， 集合为封闭集，故B正确； 对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误； 对于D，若A为封闭集，则取得，故D正确． 故选：BD 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 因式分解：______． 【答案】. 【解析】 【分析】先提取公因数3，再利用平方差公式求解. 【详解】. 故答案：. 13. 设集合，，当时，集合的非空真子集的个数为___________；当时，实数的取值范围是___________. 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】求出集合A中元素个数，即可求出非空真子集的个数；讨论和，根据集合包含关系可列出关系求解. 【详解】易得. 若，则，即A中含有个元素， 的非空真子集的个数为; ①当，即时，，； ②当时，， 因此，要使，则需，解得. 综上所述，的取值范围是或. 故答案为：；或. 14. 设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】解不等式，根据充分不必要条件列不等式可得解. 【详解】由已知，即， ，即， 又是的充分不必要条件， 所以， 解得， 故答案为：. 四、解答题（共5个小题，共计77分） 15. 设，． （1）求的值及集合、； （2）设全集，求的所有子集． 【答案】: （1）,；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，2是两方程的根，代入求出，即可求出集合、，并验证是否成立； （2）先求出，即可求出所有子集. 【详解】，2是 两方程的解，代入方程解得，此时 并且满足条件， 故，； （2）， ， 所有的子集有:. 【点睛】本题考查了集合间的交、并、补的混合运算，熟练掌握各自的定义是解题的关键，属于中档题. 16. 在①；②“”是“”的充分条件：③“”是“”的必要条件，在这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合，． （1）当时，求； （2）若________，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解一元二次不等式得到集合，再求出集合，最后根据交集的定义计算可得； （2）根据所选条件均可得到，即可得到不等式，解得即可； 【小问1详解】 解：由，解得，所以，当时，，所以 【小问2详解】 解：若选①，则，所以，解得，即； 若选②“”是“”的充分条件，所以，所以，解得，即； 若选③“”是“”的必要条件，所以，所以，解得，即； 17. 若． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据交集的运算求出答案即可； （2）分、两种情况求解即可. 【小问1详解】 当时，， 【小问2详解】 当，即时，，满足 当时，若，则或，所以 综上：a的取值范围为 18. 如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连、，若，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆的切线的定义，即可证明结论； （2）设圆半径为r，利用三角形相似求出相关线段的长，结合直角三角形中，角的正切的定义，即可求得答案； （3）根据已知可求得，继而求出，然后证明∽，可得，即可求得答案. 【小问1详解】 连接，因为是的直径，故， 即， 又，故，结合， 可得，则， 即，故，又为半径，故直线是的切线； 小问2详解】 由，得∽， 故； 设圆的半径为r，因为，故， 在中，， 故在中，； 【小问3详解】 在（2）的条件下，，则， 故， 在中，， 则， 由于的平分线交于，交于，故， 又，故∽，故， 故. 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上有一动点，连接、，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接、，当的面积取得最大值时，求点的坐标以及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点为中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2），最小值为； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出点B，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）利用抛物线解析式得到，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，过点作轴 ，交直线于点，则点，进而得到，再根据，结合二次函数最值求出点P的坐标，作关于直线的对称点，连接交直线于点，结合轴对称，平行四边形性质和判定，勾股定理得到的最小值进行求解，即可解题． （3）根据抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，结合解直角三角形，以及勾股定理推出向右平移个单位，向下平移个单位得到新的抛物线的解析式，再根据，结合平行线性质，以及相似三角形性质求出直线的解析式，再联立抛物线的解析式求解，即可解题． 【小问1详解】 ， ，又， ，即， 把坐标代入表达式，则，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 抛物线的解析式为； ， 设直线的解析式为，把代入， ，解得， 直线的解析式为， 设点，过点作轴 ，交直线于点，如图， 则点， ∴， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的面积取最大值， ∴， ∴， 作关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∵点为直线上一动点，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值； 【小问3详解】 抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线， 又， ， 则设向右平移个单位，则向下平移个单位， 且有，解得或（不合题意，舍去）， 向右平移个单位，向下平移个单位， ， 点E为中点， ， 如图，当时，， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 联立与， 解得或（不合题意，舍去）， ， 点的坐标为； 当，与轴的交点为， ， ， ， ， ，， ， ，解得， ， 设直线的解析式为，把代入， ，解得， 直线的解析式为， 联立与， 整理得，解得或（不合题意，舍去）， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 眉山冠城实验学校高2025级高一数学入学考试试题 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设命题: “”，则的否定（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则是（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 设集合A={1,2,3,5,7}，B={x∈Z|1<X≤6},全集U=A∪B，则A∩CUB = A. {1，4，6，7} B. {2，3，7} C. {1，7} D. {1} 5 已知，，若，则（ ） A. 0或4 B. 1或4 C. 0 D. 4 6. 已知集合则等于 （ ） A. {0，1，2，3，4} B. C. {-2，-1，0，1，2，3，4} D. {2，3，4} 7. 设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（ ） A 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如图，抛物线交轴于点、，点的坐标为，对称轴为直线，有以下结论：①该抛物线的最大值为；②；③；④；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根． 其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、多选题（每小题6分，多选或错选不得分，选对部分得部分分，共计18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. ； B. 高台一中高一全体学生可以构成一个集合； C. 集合有两个元素； D. 小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合. 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. “”是“是反比例函数”的既不充分也不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“有实数解”的充要条件 D. “”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件 11. 设A为非空实数集，若对任意x，，都有，，且，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为（ ） A. 集合为封闭集 B. 集合为封闭集 C. 封闭集一定是无限集 D. 若A为封闭集，则一定有 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 因式分解：______． 13. 设集合，，当时，集合的非空真子集的个数为___________；当时，实数的取值范围是___________. 14. 设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是___________ 四、解答题（共5个小题，共计77分） 15. 设，． （1）求的值及集合、； （2）设全集，求的所有子集． 16. 在①；②“”是“”的充分条件：③“”是“”的必要条件，在这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合，． （1）当时，求； （2）若________，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 若． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 18. 如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连、，若，求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线下方抛物线上有一动点，连接、，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接、，当的面积取得最大值时，求点的坐标以及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点为中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $