专题1.7 集合中的参数问题讲义（8类必考点）-2025-2026学年高一数学人教A版2019必修第一册

专题1.7 集合中的参数问题 【知识梳理】 1 【考点1：根据元素与集合关系求参数】 2 【考点2：根据集合中元素的个数求参数】 4 【考点3：根据集合相等求参数】 7 【考点4：根据集合的包含关系求参数】 10 【考点5：根据交集结果求参数】 13 【考点6：根据并集结果求参数】 15 【考点7：根据补集结果求参数】 18 【考点8：根据交并补混合运算结果求参数】 20 【知识梳理】 1．元素与集合关系中的含参问题 (1)解题方法：已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见类型，一般利用分类讨论思想求解. (2)求解步骤： ①分类讨论：由元素属于或不属于集合入手，进行分类讨论； ②检验：将所求参数值回代到集合，利用集合中元素的互异性检验能否构成集合； ③经检验后找出符合条件的参数值，即可得出最终结果. 求解过程中要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验. 2．集合中元素个数的含参问题 (1)解题方法：对于集合中元素个数的含参问题，我们要考虑集合是否为空集；此类类型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参数，常利用根的判别式求解，要注意一元二次方程的二次项系数是否为零. (2)求解步骤： 对于一元一次方程，直接进行求解即可； 对于一元一次方程： ①对集合中的方程的二次项系数是否为零进行讨论； ②当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解. 3．集合关系中的含参问题 集合关系中的含参问题主要有两类：一、根据集合的相等关系求参数问题；二、根据集合的包含关系求参数问题. (1)根据集合的相等关系求参数问题的解题策略 要求解此类问题，就要明确两集合相等的定义，即两集合中所含元素完全相同，与元素顺序无关，对此分类讨论集合中元素的所有情况即可，要做到不重不漏． (2)根据集合的包含关系求参数问题的解题策略 ①解题方法：由两个集合间的包含关系求参是一种常见类型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解. ②求解步骤： 第1步，确定两个集合中谁是谁的子集； 第2步，看集合中是否含有参数，如果子集中含有参数，要对子集是否为空集进行讨论， 第3步，把集合的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)来求解，求出参数，最后合并结果. 4．集合的运算中的含参问题 (1)解题方法：对于此类问题，通常要通过集合的运算结果得到集合间的关系，进而得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组进行求解. (2)求解步骤： ①通过集合运算结果，分析得到各集合间的关系； ②利用集合间的包含关系，列出相应的方程组或不等式组，进行求解； ③综合得到最终参数的取值或范围，要注意对所求结果进行检验. 【考点1：根据元素与集合关系求参数】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，． 故选：C． 2．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，即可求解. 【详解】， 则：或， 当时：，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时：，解得：（舍去）；或； 故答案为：2 4．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【答案】 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 5．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 6．（25-26高一上·全国·课堂例题）不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 【答案】 【分析】利用迭代法，将所得的数依次代入，即可求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 开始循环， 综上，． 【考点2：根据集合中元素的个数求参数】 1．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得只有一个解，由求解即可. 【详解】解：因为集合中有且只有一个元素， 所以方程只有一个解， 所以，解得. 故选：D. 2．（多选）（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意可知，方程的根只有一个，分当和当时，直接根据方程只有一个根求解即可. 【详解】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD 3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中的元素恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是根据集合中整数元素的个数，确定集合对应区间长度的取值范围，列出不等式求解，同时一定要注意确定集合中的整数元素，进而对集合的左端点和右端点值进行限制求解. 4．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 【答案】 【分析】根据给定条件，化方程为一元二次方程，再利用根的情况列式计算得解. 【详解】方程化为：， 由已知集合只有一个元素， ①，解得， 此时方程的解为，符合题意； ②是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； ③是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； 所以k的取值集合为. 故答案为： 5．（2025高一·全国·专题练习）若集合中只有一个元素，求实数a的值． 【答案】0或 【分析】一元二次方程二次项系数含参数，对a是否为0进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意有：当时，原方程为一元一次方程，有一个解； 当时，原方程为一元二次方程，需有两个相同的实数根， 则，解得． 综上可知，的值为0或． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 【考点3：根据集合相等求参数】 1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知，且，则（   ） A．0 B． C．0或3 D．或3 【答案】D 【分析】分，两种情况解方程，可求的值. 【详解】由题意知n为方程的根，当时，； 当时，一元二次方程有两个相同的根，则，解得， 此时，即． 综上所述：或． 故选：D． 2．（24-25高一·全国·课后作业）集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解. 【详解】因为集合， 所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题. 3．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 4．（24-25高一上·河南驻马店·期中）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】根据求得，由此求得. 【详解】由于， 所以对于集合有或. 若，则，此时符合题意，. 若，则集合不满足互异性，不符合. 所以的值为. 故选：A 5．（24-25高一上·山西·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A．2 B．1 C．-2 D．-1 【答案】A 【解析】由集合相等，求得，得到，求得，即可求得的值. 【详解】由题意，集合，可得，即， 所以，可得，解得， 所以, 即的值. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据集合相等求解参数问题，其中解答中熟记集合相等的条件，根据元素对应相等，列出方程求得的值是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 6．（24-25高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 【答案】0 【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案． 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 故答案为：0. 【考点4：根据集合的包含关系求参数】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先求出集合中绝对值不等式的解集，然后根据子集的定义求出结果. 【详解】集合，由，得 解得且， 所以实数的取值范围是且. 故选：D. 2．（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 3．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知集合，，且，则可以取（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】BD 【分析】分别讨论情况下的集合的元素，然后结合子集的定义求出的可能取值. 【详解】当时，集合，满足，B正确； 当时，集合，要使，则或． 当时，，此时，集合不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时，集合，满足题意，D正确， 所以的值可以为0或1． 故选：BD. 4．（多选）（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABD 【分析】先求出集合，分和两种情况结合包含关系求解即可. 【详解】由， ， 当时，，满足； 当时，，则或， 解得或. 综上所述，或或. 故选：ABD. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为 . 【答案】15 【分析】根据集合需要满足的条件，结合集合的非空子集个数计算公式，即可得到集合的个数. 【详解】是自然数集，，需要舍去， 所以满足“， 若，则”的集合是集合的非空子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， 所以将集合看作有4个元素，其非空子集个数为. 故答案为：15. 6．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，非空集合，若，求实数的值． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的知识对集合中的方程求出解集，然后根据子集的定义求出的值. 【详解】因为，所以．由题知， 当时，，即，解得或． 若，则，所以，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 综上所述，实数的值为2． 【考点5：根据交集结果求参数】 1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知集合，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】求出，又，可得即可求解. 【详解】，，， 所以，又， 所以，则. 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集结果得出集合间的包含关系，由包含关系可得的不等关系，从而得的范围. 【详解】由题意， 在，中， ， ∴解得. 故选：C. 3．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值为 ． 【答案】或. 【分析】根据交集运算得出，，根据方程求解即可. 【详解】因为的解集为，所以， 又，所以，，所以，， 所以，，解得或. 故答案为：或 4．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知集合，，若，则实数的值是 . 【答案】0或1或 【分析】由题可知，则或即可求解. 【详解】由题易得，，， 或，或. 故答案为：0或1或. 5．（2025高一·全国·专题练习）设集合或，．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据交集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】由，知． ①当时，满足，则，得； ②当时，则或，解得或． 综上所述，实数的取值范围为或. 故答案为：或. 6．（2025高一上·上海·专题练习）已知集合，集合． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合交集的结果，建立不等式组，解得答案； （2）先求出集合的补集，根据包含关系，可得答案. 【详解】（1）因为，所以，解得. （2）因为或，且， 所以或，解得或， 则实数m的取值范围为：或. 【考点6：根据并集结果求参数】 1．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得， 故选：D 2．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程先确定集合的元素，由，，逐一验证所有可能符合情况即可. 【详解】方程的两根为或 ，. 可能为 (1)    时，，符合 (2)    时，，符合 (3)    时，，符合 综上，实数m组成的集合为 故选：D 3．（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，，，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】解方程求集合，再由并集结果，讨论、分别求出对应参数值，即可得. 【详解】由题设，又，则. 所以，显然不可能有， 当时，若，此时， 若，此时， 当时，有， 综上，. 故答案为： 5．（25-26高一上·全国·单元测试）设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用子集概念来确定参数满足的条件即可求解； （2）利用分类讨论，子集有可能是空集和非空集，然后进行列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以，解得，所以的取值范围是． （2）因为，所以． 若，则，可得，满足； 若，要使，则，不等式组无解． 综上，的取值范围是． 6．（2025高三·全国·专题练习），，，已知，，求a的值及m的取值范围． 【答案】或；或． 【分析】先求出集合，化简集合，根据得到,，对集合B和集合进行分类讨论，即可得到实数a，m的取值结果. 【详解】由解得或，所以， ∵，∴ 由，得． 所以或， 所以或，所以或． 又由得，，所以可能为，，， 当时，只需，解得； 当为单元集时，只需，解得. 时，不符合题意；时，不符合题意； 当时，则，解得； 所以或 综上得：或；或． 【考点7：根据补集结果求参数】 1．（2025·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．不存在 【答案】B 【分析】根据补集的定义可得，即可求解. 【详解】由可得，若，则,故， 故选：B 2．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据补集的定义及集合的特性计算即可. 【详解】因为集合，，又， 所以,解得或. 当时，集合A互异性不成立舍去； 当时，符合题意； 所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据补集定义求出集合A，然后由韦达定理可得. 【详解】因为，，所以， 所以和是方程的两根，故，经检验满足题意. 故答案为：4 4．（24-25高一上·安徽宿州·期中）设集合，. (1)若，求实数的值： (2)若，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题及补集定义可得答案； （2）由题，或，据此可得答案. 【详解】（1）由得，解得． （2）若，解得，此时，，满足题意． 若，解得，此时，，满足题意． 综上所述，实数的取值集合为． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)当时，求； (2)若存在集合，使得，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集概念求出答案； （2）根据补集的概念求出，结合，从而得到，得到答案. 【详解】（1）当时，，所以． （2）因为集合，所以， 又，所以，解得． 6．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）求得集合，由分类讨论可得值； （2）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值． 【详解】（1）若，可得，因为，所以． 当，则；当，则；当，． 综上，可得实数a组成的集合为． （2）因为，， 且，，所以，，所以， 解得，解，得或，所以， 所以，所以，解得． 【考点8：根据交并补混合运算结果求参数】 1．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 2．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出集合，根据可得出实数的取值范围. 【详解】因为全集，集合，则， 因为集合，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】{或} 【分析】方法一，分类讨论化简集合A，由确定实数的取值范围；方法二，考虑的反面，利用补集思想求解. 【详解】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以. 方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或. 即实数的取值范围为或. 方法二  ，考虑的反面， 显然时符合； 当时，需满足且，即且.综上得. 由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或. 故答案为：或. 4．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，. 5．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 6．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 集合中的参数问题 【知识梳理】 1 【考点1：根据元素与集合关系求参数】 2 【考点2：根据集合中元素的个数求参数】 3 【考点3：根据集合相等求参数】 4 【考点4：根据集合的包含关系求参数】 4 【考点5：根据交集结果求参数】 5 【考点6：根据并集结果求参数】 6 【考点7：根据补集结果求参数】 7 【考点8：根据交并补混合运算结果求参数】 9 【知识梳理】 1．元素与集合关系中的含参问题 (1)解题方法：已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见类型，一般利用分类讨论思想求解. (2)求解步骤： ①分类讨论：由元素属于或不属于集合入手，进行分类讨论； ②检验：将所求参数值回代到集合，利用集合中元素的互异性检验能否构成集合； ③经检验后找出符合条件的参数值，即可得出最终结果. 求解过程中要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验. 2．集合中元素个数的含参问题 (1)解题方法：对于集合中元素个数的含参问题，我们要考虑集合是否为空集；此类类型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参数，常利用根的判别式求解，要注意一元二次方程的二次项系数是否为零. (2)求解步骤： 对于一元一次方程，直接进行求解即可； 对于一元一次方程： ①对集合中的方程的二次项系数是否为零进行讨论； ②当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解. 3．集合关系中的含参问题 集合关系中的含参问题主要有两类：一、根据集合的相等关系求参数问题；二、根据集合的包含关系求参数问题. (1)根据集合的相等关系求参数问题的解题策略 要求解此类问题，就要明确两集合相等的定义，即两集合中所含元素完全相同，与元素顺序无关，对此分类讨论集合中元素的所有情况即可，要做到不重不漏． (2)根据集合的包含关系求参数问题的解题策略 ①解题方法：由两个集合间的包含关系求参是一种常见类型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解. ②求解步骤： 第1步，确定两个集合中谁是谁的子集； 第2步，看集合中是否含有参数，如果子集中含有参数，要对子集是否为空集进行讨论， 第3步，把集合的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)来求解，求出参数，最后合并结果. 4．集合的运算中的含参问题 (1)解题方法：对于此类问题，通常要通过集合的运算结果得到集合间的关系，进而得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组进行求解. (2)求解步骤： ①通过集合运算结果，分析得到各集合间的关系； ②利用集合间的包含关系，列出相应的方程组或不等式组，进行求解； ③综合得到最终参数的取值或范围，要注意对所求结果进行检验. 【考点1：根据元素与集合关系求参数】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 2．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的值为 ． 4．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 5．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 6．（25-26高一上·全国·课堂例题）不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 【考点2：根据集合中元素的个数求参数】 1．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 4．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 5．（2025高一·全国·专题练习）若集合中只有一个元素，求实数a的值． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【考点3：根据集合相等求参数】 1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知，且，则（   ） A．0 B． C．0或3 D．或3 2．（24-25高一·全国·课后作业）集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25高一上·河南驻马店·期中）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 5．（24-25高一上·山西·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A．2 B．1 C．-2 D．-1 6．（24-25高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 【考点4：根据集合的包含关系求参数】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知集合，，且，则可以取（   ） A． B．0 C． D．1 4．（多选）（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为 . 6．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，非空集合，若，求实数的值． 【考点5：根据交集结果求参数】 1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知集合，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值为 ． 4．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知集合，，若，则实数的值是 . 5．（2025高一·全国·专题练习）设集合或，．若，则实数的取值范围是 ． 6．（2025高一上·上海·专题练习）已知集合，集合． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 【考点6：根据并集结果求参数】 1．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，，，则实数的取值集合为 . 5．（25-26高一上·全国·单元测试）设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 6．（2025高三·全国·专题练习），，，已知，，求a的值及m的取值范围． 【考点7：根据补集结果求参数】 1．（2025·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．不存在 2．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二下·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则 ． 4．（24-25高一上·安徽宿州·期中）设集合，. (1)若，求实数的值： (2)若，求实数的取值集合. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)当时，求； (2)若存在集合，使得，求． 6．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【考点8：根据交并补混合运算结果求参数】 1．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 2．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 4．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 5．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 6．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$