精品解析：北京市海淀区人大附中2025～2026学年上学期九年级开学考数学试卷

2025-2026学年度第一学期初三年级数学练习1 2025.8 考生须知 1．本试卷共6页，共两部分，27道题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的识别； 根据中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、正三角形是轴对称图形不是中心对称图形，A不符合题意； B、等腰直角三角形是轴对称图形不是中心对称图形，B不符合题意； C、平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，C不符合题意； D、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，D符合题意； 故选：D． 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，绝对值，有理数的减法，乘法．先根据点在数轴上的位置得出，再结合有理数的减法，绝对值，相反数，有理数的乘法逐项分析即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， ∴正确的结论是C． 故选：C 3. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法； 通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，对比选项即可确定正确结果． 【详解】解：将常数项移到方程右边得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：， 方程左边可写成完全平方形式：， 故选：D． 4. 把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为． 故选：B 5. 2024年末，人工智能公司在全球范围内迅速发展．据统计，其平台某月（按30天计算）处理的用户请求量约为次，据此推断，该平台平均每日处理的用户请求量约为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 6. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 【答案】B 【解析】 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 7. 已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：如图所示， A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意； 故选：D 8. 如图，在中，，平分交于点D，交于点E，交于点F，有以下结论： ①四边形一定是平行四边形； ②保持的大小不变，改变的长度可使成立； ③保持的长度不变，改变的大小可使成立． 其中所有的正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键． ①根据平行四边形的判定方法即可证明；②保持的大小不变，改变的长度，当时，可使成立．由平分和得到，从而，由平行四边形得到，从而．当时可得到，进而，从而．即可判断②．③改变的大小，保持的长度不变，由于，得到，从而，即可判断③． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形．故①正确． ②保持的大小不变，改变的长度，当时，可使成立． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴．故②正确． ③改变的大小，保持的长度不变，由于，则， 由②可得， ∴， ∵ ∴．故③错误． 故选：A． 第二部分非选择题 二、填空题（共18分，第9-14题，每题2分，第15-16题，每题3分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】x≥4 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意得：x-4≥0， ∴x≥4， 故答案为：x≥4． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，二次根式的加减，绝对值，分别根据负整数指数幂，二次根式的性质，绝对值进行化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 用一组a，b的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是：______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题主要考查了命题与定理，解答此题的关键是要明确：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【详解】解：当，时，，， ∵，符合，但， ∴不成立，故命题错误． 故答案为：， 13. 如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据题意求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由图形可知，，边上的高为3， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得，， 故答案为：3 14. 某研发小组设计了甲、乙两款软件，邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 若甲款软件的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，一元一次不等式的应用； 先根据四个维度所占比例求出两款软件的评分，再根据甲软件的评分更高列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得： 甲软件的评分为：， 乙软件的评分为：， 因为甲软件的评分更高， 所以， 解得：， 所以表中k（k为整数）的最小值为， 故答案为：． 15. 已知 为抛物线上任意两点，当时，对于，总有，则的取值范围是 _____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】由点M、N是抛物线上的点得到、，然后代入，中，结合和求出a的取值范围． 【详解】因为为抛物线上任意两点， 所以、， 代入，得， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以 所以，且 ∴， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意列出关于a的不等式是解题的关键． 16. 某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下： 每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成； 每人同一时间只能进行一项工作： “家务”与“家务”的第二阶段由机器完成； 每项家务的各阶段所需时间如下表所示： 家务类别 阶段用时 第一阶段用时（分） 第二阶段用时（分） 家务 家务 家务 家务 在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要______分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要______分钟． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 因为家务的第二阶段可以由机器完成，小明在完成家务的第一阶段后，就可以开始完成家务，小明在完成家务的时间段内，机器可以完成家务的第二阶段，所以小明完成家务和家务，则至少需要分钟； 因为家务的第二阶段需要分钟，完成家务需要分钟，所以把家务和分为一组，家务的第二阶段需要分钟，而完成家务需要分钟，所以把家务和分为一组，这样一来，完成家务和需要分钟，完成家务和需要分钟，所以 这四项家务全部完成最少需要分钟． 【详解】解：小明先完成家务的第一阶段，用时分钟， 由机器完成家务的第二阶段，同时小明开始家务的第一阶段， 小明完成家务的第一阶段和第二阶段共用时分钟， 在小明完成家务（第一阶段和第二阶段）时间段内，机器完成了家务的第二阶段， 小明完成家务和家务，则至少需要分钟； 小明和哥哥合作完成四项家务，把和分为一组，和分为一组， 和分为一组，最少需要的时间是分钟， 和分为一组，最少需要的时间是分钟， 小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要分钟． 故答案为：，． 三、解答题（共66分，第17-18题，每题5分，第19-21题，每题6分，第22题5分，第23-25题，每题6分，第26题8分，第27题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键． 先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18. 若，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值； 先利用分式的运算法则对所求式子化简，再根据得到，然后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∵， ∴原式 ． 19. 判断下列命题是真命题还是假命题，若为真命题，请写出已知，求证，再进行证明；若为假命题，请直接画出反例． （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）若一个三角形一边上的中线与该边所对角的角平分线重合，则该三角形为等腰三角形． 【答案】（1）假命题，反例见解析 （2）真命题，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，举反例，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定． （1）它是假命题，可举等腰梯形为反例； （2）它是真命题，写出已知和求证，通过倍长中线，根据全等三角形的判定和性质进行证明即可． 【小问1详解】 解：该命题为假命题，反例如下： 如图， ，，四边形是等腰梯形，不是平行四边形． 【小问2详解】 解：该命题为真命题，证明如下： 如图，在中，平分，交于点D，点D是的中点． 求值：是等腰三角形． 证明：∵延长至点E，使得， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 20. 已知：关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 【答案】（1）且 （2） 证明：∵， ∴由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【小问1详解】 解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； 【小问2详解】 略 21. 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象是函数的图象向上平移1个单位得到的． （1）直接写出k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移及一次函数与一次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解； （2）求出两直线交点坐标，数形结合解决问题． 【小问1详解】 解：函数的图象向上平移1个单位，可得， ∵函数的图象是函数的图象向上平移1个单位得到的， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）一次函数的解析式为， 当时，， 把点代入，得， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴． 23. 如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（）由平行线的性质可得，又是的角平分线，则，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，又从而求证； （）先证明是等边三角形，则，由平行四边形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，经过点，直线l经过点A，B． （1）求直线l的表达式； （2）点是抛物线上一点，其中，过点M作垂直于x轴的直线，交直线l于点N，判断线段的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由． 【答案】（1） （2）线段的长有最大值，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式； （1）先求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求解即可；． （2）先表示出点N，点M的纵坐标，求出，再利用二次函数的性质求出最大值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点A，经过点， ∴，， ∴， 设直线l的表达式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线l的表达式为； 【小问2详解】 ∵过点作垂直于x轴的直线，交直线l于点N， ∴点N的纵坐标为，点M的纵坐标为， ∵抛物线开口向上，抛物线与直线l交于点，， ∴当时，点N在点M的上方， ∴， ∴线段的长有最大值，最大值为． 25. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶____km（结果精确到0.1）； ②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车____（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园； ③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为____（精确到）． 【答案】（1） 如图： （2）①7.1（答案不唯一）；②不能；③ 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际问题．解题关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电量相关的实际问题． （1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出与、与对应的坐标点，然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象．例如对于与，有， 等点；对于与，有，等点． （2）①先根据函数图象或数据找到时，和的值，然后计算两者差值． ②找到时的值，与小明家到幼儿园的路程比较大小． ③小明家到幼儿园路程为，幼儿园到单位路程为，分别估算对应的值，相加即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①从表格数据或图象估算，当时，，， ∴． ②从表格数据或图象估算，当时，的值约为， ∵， ∴不能将小明送到幼儿园． ③观察的数据，当时，， 观察的数据，当时， ∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为． 26. 在中，，过点B作，且，点D与点A在异侧，连接． （1）当时，如图1，若，，求线段的长； （2）当时，点E，F分别为，的中点，连接，请在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由勾股定理在中求得，过点D作，交的延长线于点E，证明，得到，，从而在中根据勾股定理即可求解； （2）根据题意即可补全图形．过点C作，交的延长线于点M，过点D作于点N，易证，得到．由是等腰直角三角形，得到，因此，根据线段的和差得到．连接，，，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，进而证明，得到，因此点F在的垂直平分线上．连接，可证，因此点E在的垂直平分线上，从而有．取的中点G，连接，根据中位线定理有，，因此．根据勾股定理在中有，转化为相关线段即可解答． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 过点D作，交的延长线于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 【小问2详解】 解：根据题意作图如下： 线段，，之间的数量关系为，证明如下： 过点C作，交的延长线于点M，过点D作于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即． 连接，，， ∵点F是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上． 连接， ∵点E是的中点，， ∴， ∴点E在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 取的中点G，连接， ∵点G是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴， ∴． 连接，， ∵，， ∴， ∵点G是的中点，点F是的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，对于线段及线段上一点（不与，重合）给出如下定义：分别以，为底边作顶角均为的等腰三角形和等腰三角形，点为线段的中点．则称将点为线段关于点的“中顶点”． （1）如图1，点，，．在图中画出线段关于点的“中顶点”； （2）已知点，，若有且只有一条坐标轴上存在线段的“中顶点”，直接写出满足条件的的取值范围； （3）已知点，，点为线段上一动点，矩形的顶点坐标分别为，，，．若矩形的四条边（包含端点）上，都存在线段关于点的某个“中顶点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1） 点，，，为线段关于点的“中顶点”： （2）满足条件的的取值范围是； （3）的取值范围是或． 【解析】 【分析】（1）以 为边作等边三角形与等边三角形，以为边作等边三角形与等边三角形，根据等边三角形的判定和性质，以及菱形的判定和性质，可得点，，，的坐标，从而可得出线段关于点的“中顶点”； （2）根据“中顶点”的定义，结合三角形的内角和定理可得，可证得四边形为平行四边形，从而确定线段的“中顶点”的运动轨迹，分析运动过程，确定临界值，解三角形，即可得满足条件的的取值范围； （3）由“中顶点”的定义，结合的取值范围，以为底边，作顶角为的等腰三角形和等腰三角形，作等边三角形和等边三角形，确定线段关于点的某个“中顶点”的分布区域，随着的变化，“中顶点”的分布区域沿轴平移，解三角形，确定临界值，从而可得的取值范围． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， 以 为边作等边三角形与等边三角形，连接，交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， 以为边作等边三角形与等边三角形，连接，交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ，， ∴的中点，的中点，的中点，的中点， 如图，点，，，为线段关于点的“中顶点”： 【小问2详解】 解：的中点记为，的中点记为，的中点记为，的中点记为， 延长，交于点，的中点记为点，的中点记为点， 延长，交于点，的中点记为点，的中点记为点， 根据“中顶点”的定义可知，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴点在线段上运动，且不与点，点重合， 同理可得，， 点在线段上运动，且不与点，点重合， 点在线段上运动，且不与点，点重合， 点在线段上运动，且不与点，点重合， ∵，， ∴，， ∴， 在延长线上截取，则，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 线段的垂直平分线交轴于点，连接，则， ∴， ∴， 当时，两条坐标轴上都存在线段的“中顶点”，不符合题意， 当时，只有轴上存在线段的“中顶点”，符合题意， 当时，两条坐标轴上都不存在线段的“中顶点”，不符合题意， ∴满足条件的的取值范围是． 【小问3详解】 解：∵，， ∴，线段的中点为， 以为底边，作顶角为的等腰三角形和等腰三角形，作等边三角形和等边三角形，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，阴影区域为线段关于点的某个“中顶点”的运动轨迹， ∵矩形的四条边（包含端点）上，都存在线段关于点的某个“中顶点”， ∴矩形的四条边与阴影区域有交点， 随着的变化，阴影区域沿轴平移，，，，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， ∴的取值范围是或． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期初三年级数学练习1 2025.8 考生须知 1．本试卷共6页，共两部分，27道题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 2024年末，人工智能公司在全球范围内迅速发展．据统计，其平台某月（按30天计算）处理的用户请求量约为次，据此推断，该平台平均每日处理的用户请求量约为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 6. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 7. 已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，在中，，平分交于点D，交于点E，交于点F，有以下结论： ①四边形一定是平行四边形； ②保持的大小不变，改变的长度可使成立； ③保持的长度不变，改变的大小可使成立． 其中所有的正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分非选择题 二、填空题（共18分，第9-14题，每题2分，第15-16题，每题3分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 10. 分解因式：________． 11. 计算：______． 12. 用一组a，b的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是：______，______． 13. 如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为__________． 14. 某研发小组设计了甲、乙两款软件，邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 若甲款软件的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为______． 15. 已知 为抛物线上任意两点，当时，对于，总有，则的取值范围是 _____． 16. 某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下： 每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成； 每人同一时间只能进行一项工作： “家务”与“家务”的第二阶段由机器完成； 每项家务的各阶段所需时间如下表所示： 家务类别 阶段用时 第一阶段用时（分） 第二阶段用时（分） 家务 家务 家务 家务 在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要______分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要______分钟． 三、解答题（共66分，第17-18题，每题5分，第19-21题，每题6分，第22题5分，第23-25题，每题6分，第26题8分，第27题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解不等式组：． 18. 若，且，求的值． 19. 判断下列命题是真命题还是假命题，若为真命题，请写出已知，求证，再进行证明；若为假命题，请直接画出反例． （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）若一个三角形一边上的中线与该边所对角的角平分线重合，则该三角形为等腰三角形． 20. 已知：关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 21. 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象是函数的图象向上平移1个单位得到的． （1）直接写出k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 23. 如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，经过点，直线l经过点A，B． （1）求直线l的表达式； （2）点是抛物线上一点，其中，过点M作垂直于x轴的直线，交直线l于点N，判断线段的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由． 25. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶____km（结果精确到0.1）； ②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车____（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园； ③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为____（精确到）． 26. 在中，，过点B作，且，点D与点A在异侧，连接． （1）当时，如图1，若，，求线段的长； （2）当时，点E，F分别为，的中点，连接，请在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 27. 在平面直角坐标系中，对于线段及线段上一点（不与，重合）给出如下定义：分别以，为底边作顶角均为的等腰三角形和等腰三角形，点为线段的中点．则称将点为线段关于点的“中顶点”． （1）如图1，点，，．在图中画出线段关于点的“中顶点”； （2）已知点，，若有且只有一条坐标轴上存在线段的“中顶点”，直接写出满足条件的的取值范围； （3）已知点，，点为线段上一动点，矩形的顶点坐标分别为，，，．若矩形的四条边（包含端点）上，都存在线段关于点的某个“中顶点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $