湖南省娄底市涟源市部分高中2025-2026学年高三上学期9月开学摸底联考数学试题

囿A 2026届高三开学摸底联考 数学参考答案及评分意见 1.C【解析】因为集合B={x|1nx≤0}=(x0<x≤1}，A={一2,0,1}，所以A∩B={1),故选C. 2.D【解析因为z=1+i,所以：=中i1+Di-1-i,故的虚部为-1，故选D, 3.B【解析】因为f(x)=(x3一5x)cosx,x∈R,f(一x)=(-x8十5x)cosx=一f(x),所以函数f(x)为奇函 数，排除选项A,D;又f(1)=一4cos1<0,排除选项C,故选B 4D【懈折抽eo(+)-号得coz+}2os(e+}1-2x付)°-1-名， 所以sim2z-)=in2z+号--eos2z+）-了故选D 5.C【解析】数据已从小到大排序，因为18×60%=10.8，第11个数据是135，所以第60百分位数是135，故选C 6.A【解析】因为函数∫(x)=ln(x十1)一√x+1,由x十1>0得x>一1，所以函数f(x)的定义域为（一1， +),且广(x)2元=25令函数g()=2-1+工z∈（-1，+o,易知g)在 (一1，十∞)上单调递减，且g(3)=0,所以f(x)在（一1,3）上单调递增，在(3，十∞)上单调递减，所以f(x)在 x-3处取得最大值，即f(x)≤f(3),所以f(1)<f(3),f(7)<f(3).因为f(7)-f(1)-ln8一22一(ln2- √2)=21n2-2≈1.38-1.4<0，所以f(7)<f(1).综上，f(7)<f(1)<f(3).故选A. 7.B【解析】由题设，得a2=2-a1=1,a3=2十a2=3,a,=2-aa=一1，as=2十a4=1,…,所以数列{a.}的周期 为4，所以a2026=a4×50a+1=a1=1.故选B. 8.B【解析】令g(x)=f(x)一x2+x,x∈R,则g(一x)=f(-x)-x一x=f(x)+2x一x2-x=g(x),所以 g(x)为R上的偶函数.又当x≥0时，f'(x)>2x-1,则g'(x)=f'(x)-2x十1>0，所以g(x)在(0，+∞)上单 调递增，在(-∞，0)上单调递减.因为f(x-2)-f(2x)<-3x2-3x+6,所以f(x一2)一(x-2)2+(x一2)< f(2x)-4x2+2x,即g(x一2)<g(2x),所以|z-2|<|2x|,即(x-2)2<4x,化简得(3x-2)(x+2)>0,解 得z<-2或x>号，所以不等式fú-2)-f2)K-x-3x十6的解集为(-，-2U(得+故选B 2 2十m>0, x +3y2 9.BCD【解析】方程2十m7m=1,即2十m十m一7=1.若曲线C是圆，则m-7>0, 无解，所以曲线C不 2十m=m一7， 2十m>0, 会是圆，故A错误：若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则m一7>0， 解得m>7,故B正确：若曲线C是焦点 2十m>m一7， 12十m0, 在x轴上的双曲线，则 解得一2<m<7,故C正确：因为2十m>m一7恒成立，所以当曲线C是椭圆 7-m>0, 时，该椭圆为焦点在x轴上的椭圆，则a2=2十m,b=m一7，c8=a8一b2=9,所以椭圆的焦距2c=6:当曲线C 是双曲线时，该双曲线为焦点在x轴上的双曲线，a2=2十m,b2=7-m,则c2=a2十b2=2十m十7一m=9,所以 双曲线的焦距2c=6.故D正确.故选BCD 10,AD【解析】由二项式系数的性质，得(2一3x)的展开式中所有项的二项式系数的和为2，故A正确：由二项 开学摸底联考数学答案第1页（共6页） 式定理，得(2-3x)的展开式的通项T,+1=C122-(一3x)”,r=0,1,2,…,12,由题意，得a,=Ca×2-X (-3),r=0,1,2,…,12,令r=10,则a10=C8×212-10×(-3)0=264×3°，故B错误：由B选项的分析知，当 r为奇数时，a,<0,当r为偶数时，a,>0,所以|ao|十|a:|十|a2|十十|a12|=a。一a1十a2一…十a2,令 x=-1,得la。|+la1l+|agl十…十|aa|=(2+3)2=52,故C错误，令x=1,得a。十a1十a2+…+a2= (2-3X1)12=1,令x=一1，得a。一a1十a2一…十am=52,两式相加，得a。十a:十a4十…+a2= ,放D 正确故选AD. 11.BD【解析】因为am+1=S。十2，所以当n≥2时，a=S。-1十2.两式相减，得a,+1一a,=an,即a+1=2an(n≥ 2).又因为a1=2,当n=1时，az=S1十2=4，满足a2=2a1,所以数列{am}是首项为2，公比为2的等比数列，所 以a。=2. 对任意正整数n,都有a1b.十azb.-1十abn-2十…十a.b1=3×2+1一4n一6成立， 即2b.十22b。-1十236.-2+…+2"b1=3×2+1-4n-6①. 又2b.+1+2b.+2b。-1+…+2+1b1=3×2+2-4(n+1)-6②， ②-①×2，得bm+1=2n+1, 又a:b1=3×22-4×1-6=2,所以b1=1,所以b.=2m-1. 所以6，+b:+6,十…+6，=n,由6，十6十b,十…十b.=a,得m=2,所以 m1. 记fm)-,则f)=2f2)=1f3)=号，f0=1 下面证明：当n>4时，f(n)<1. 因为当m≥4时，fm+1D-fn)=n+1)-=二n+2m+1--n12+2<0, 2n+ 2 2+1 2n+1 所以当n≥4时，f(n)单调递减.因为f(4)=1,所以当n>4时，f(n)<1. 综上，满足等式b1十b2十b3十…十b.=am的正整数n的值为2或4.故选BD. 12.[1,2]【解析】解不等式|x-a|<1,得a-1<x<a十1. 若“1<1<2”是z一a<1“的充分不必要条件，则-1C1. 解得1≤a≤2. a+1>2, 经验证，符合题意，所以实数a的取值范围为[1,2]. 18.7【解折1因为a在b方向上的投影向量为0，所以6合-b,所以ab=1b1=6,因为a=红，一D.b (1,2),所以a·b=x-2,b2=5,所以x-2=5,解得x=7. 14.(√2十1，十∞)【解析】由题意，在△PF1F:中，由余弦定理得 |PF12=|F,F,2+|PFa-21F1F,|·IPF:|·cos∠PF2F1=4c2+4c2-2·2c·2c·cos∠PFF1= 8c2(1-cos∠PF:F1),.|PF1l=2W2c·√/1-cos∠PF2Fi, 1 2aPF-PF,=22c·-cosZPF,F-2则e-aE:copR ∠PF,F∈(G}0cos∠PF,R<1-0sPF,E,<1, 开学摸底联考数学答案第2页（共6页） ∴.W2·√/1-eos/PF2F-1∈(0W2-1),∴.e∈(w2+1,+∞). 15.解：(1)因为A+B+C=r,所以由3 sin Csin A+cos Csin A=sinB+sinC, 得√3 sin Csin A+cos Csin A=sin(A+C)+sinC, 3sin Csin A+cos Csin A=sin Acos C++cos Asin C+sin C, 化简，得3 sin Csin A=cos Asin C十sinC.… …3分 又因为sinC≠0，所以√3sinA=cosA十l, 化简，得A-osA=：即nA-君- 1 …5分 因为0<A<x,所以A-看-石解得A=子 …6分 (2)因为AD是△ABC边BC上的中线， 所以2AD=AB+AC,所以|2AD1'=|AB+AC1?, 即2AD1=Ai+2AB|AC|cos∠BAC+|AC2..…9分 由(1)得∠BAC-子，又因为AD-25,所以48=6+c2+c≥36c, 所以bc≤16，当且仅当b=c时，等号成立. 所以△ABC的面积S=cia∠BAC- 2 fc≤43， 即△ABC面积的最大值为4V3, …13分 16.(1)证明：取AD的中点O,连接PO,CO. ,△PAD是正三角形，∴.PO⊥AD 在菱形ABCD中，∠ADC-子△ACD是正三角形，.coLAD.…. …2分 AC=23,∴.AD=23,∴.P0=C0=3. PC=3W2,∴.P02+C02=PC2,.PO⊥C0. …4分 CO∩AD=O,CO,ADC平面ABCD, ∴.PO⊥平面ABCD ,POC平面PAD,∴.平面PAD⊥平面ABCD.… …7分 (2)解：由(1)知，直线OC,OD,OP两两垂直，故以O为坐标原点，分别以直线OC,OD,OP为x,y,z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,3),A(0,-3,0),B(3,-2√5,0)，C(3,0,0),PC=(3,0,-3),BC=(0,2√3,0).…9分 1 9 开学摸底联考数学答案第3页（共6页） m·P元=3x-3z=0, 设平面PBC的法向量为n=(x,y,x),则 n·BC=2W3y=0, 令x=1,则y=0,2=1,n=(1,0,1).…12分 易知平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0). n·m_1×1+0×0+1×0√2 ..cos(n,m)=nmT 2×1 2 ∴平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为 …15分 17.解：(1)零假设为H。:学生是否积极参与手工制作社团与年级无关联. 由题意，得x:=100×(30×25-20×25)2100 50×50×55×45 99 1.010<3.841=x0.s, 根据a=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立， 即认为该校学生是否积极参与手工制作社团与年级无关联。………………5分 (2)记事件A1:周一选手工制作社团，事件A2:周一选绘画社团，事件B:周二选绘画社团， 则PA,)=PA,)=2,PBA)=1-号-3，PB1A,)=1-是-是 4-4 …7分 由全概率公式.得P(8)=P4,PBA+PA,PBA)=名×号+合×是-是 所以小李周二选绘画社团的概率为· …10分 (3)用颜率估计概率，该校高一、二学生中“积极参与”手工制作社团的概率P一100=0.55， 55 则XB(20,0.55), 且P(X=k)=C·0.55·(1-0.55)0-=C·0.55·0.450-*,k=0,1,2,…,20.…12分 201 P(X=k)C·0.55·0.450-4 设t=pXk-C,0.55·0.46可」 k1(20-k刀·0.55 20！ 质-1)！(21-k1·0.45 号.2k=12a…20 若>1，则P(X=k)>P(x=k-1),解。·。>1，得0<k<11.55, 若1<1，即P(X=)<P(X=k-1D,解日.21<1，得k>11.5, 9 k 所以当k=11时，P(X=)最大，故k的值为11.…15分 18解：(1)设动圆圆心P(x,y). 当x≠0时，由题意得√x2十4=√(x一2)2十y,化简，得y2=4x(x≠0)；…2分 当工=0时，点P为坐标原点(0,0)，满足y2=4江，……4分 综上，曲线C的方程为y2一4红，………5分 开学摸底联考数学答案第4页（共6页） (2)①如图： 设A(x1y1),B(xgy2). 由题意，得直线AB的斜率k≠0，且k十m≠2. 将直线AB的方程y=kx十m代入y2=4x,消去y并化简，得 k2x2+(2km-4)x十m2=0, 由(2km-4)2-4km>0,得km<1,所以x1十，=4一2km, …7分 因为直线PA与直线PB的倾斜角互补，所以kA十kB=O. 因为P1,2》,所以之二2+二名_红+m-2+红+m-2-0. x1-1x-1x,-1 x&-1 化商，得2张++m-儿，+)一2++m-》-0, x1十x2-2 4-2km一2k 所以2k+(k+m一2》+m-2)+m+2-0, 即2k+426m-26: k十m十2 =0,解得k=一1.……11分 ②由①可知x2-(2m十4)x+m3=0, 由△=(2m+4)2-4m>0,解得m>一1，所以-1<m<3, 所以x1十x:=4十2m,x1x2=m2, 则|AB|=√/1+1(x1十x2)2-4x1x=4V2V/1+m. 又点P到直线AB的距离为3一m, 2 1 所以△PAB的面积S= 交×42义1+mX3-m=23-m)(m十D,…13分 √2 因为3-m(a+1D-(8-m3-m)2m+2)<作m+3+2m±'-20， 3 27 所以S<32,5,当且仅当3-m=2m十2，即m=号时，等号城立， 9 所以△PAB面积的最大值为32,5 9· 17分 19.1)解：因为f(x)=x-lnx十a,z∈(0，+o∞)，所以f'(x)=1-1=x」 ……1分 当x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)在(0,1)上单调递减； 当x∈(1，十∞)时，f(x)>0,f(x)在(1，十o∞)上单调递增.…3分 开学摸底联考数学答案第5页（共6页） 又当x→0时，f(x)→+∞，当x→十∞时，f(x)→+∞， 所以若函数f(x)有唯一零点，则f(1)=1十a=0,解得a=一1. …5分 (2)解：由(1)得f(x)=x-1nx-1, 则不等式f(x)+xlnx-2x≥b,即(x-1)1nx-x-1>≥b. …6分 设ge)=e-1Dnx-x-1>0).则g')=hx-是 因为函数y=nx和)y=一-上均在(0，十∞)上单调递增，所以gx)在(0，十∞)上单调递增 又因为g'1=-1<0,g'(2)=1h2-2>0, 所以存在唯一的实数x,∈(1,2)，使得g'(x)=0,即1nx,=成立. 所以当x∈(0，x。)时，g'(x)<0;当x∈(xo,十∞)时，g'(x)>0. 所以g(x)在(0，x。)上单调递减，在(x。,+∞)上单调递增. 所以gmg=6,-1Dn6--1-二--1=-（侵+小人其中xE,2.…9分 令)-是+小 由对勾函数的性质，得函数h(x)在区间[1,2]上单调递诚， 所以当x∈1,2时，h(2)<h)<hD,即-<h<-2, g(云)=g(红)-号，-2所以整数6的最大值为-3… 11分 (3)证明：由(1)知f(x)=x-1-lnx≥0，即lnx≤x-1,当且仅当x=1时，等号成立， 则ln(x十1)≤x恒成立，当且仅当x=0时，等号成立， 当x-安A∈N时，+分， 因此+)+n+)+…++)<+安+…+-1-<1， 则[++)(+]1，所以++)+)< ，…15分 所以对于任意正整数(+号)+)-(+)3恒成立。 …17分 开学摸底联考数学答案第6页（共6页）2026届高三开学摸底联考 数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上 2.回答进择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.设集合A={-2,0,1},B={z|In z≤0}，则A∩B= A.{-2,0,1} B.{0,1} C.1} D.(-∞，1] 2.若复数z满足iz=1+i,则z的虚部为 A.i B.-i C.1 D.-1 3.函数f(x)=(x3-5x)cosx的部分图象大致为 4.已知eos(+)-专，则m2z-)- A.-22 9 R-日 c&v D.9 开学摸底联考数学试题第1页（共4页）》 5为响应“全民健身十电竟”融合潮流，某电竞馆举办“运动达人电竞赛”，赛前通过简单随机 抽样，获得了18名选手1分钟内健身操动作完成数，结合电竞互动得分换算后如下（单 位：分)： 105112118120123125127129130132135137139141143 145147150 这18名选手1分钟内健身操动作完成数得分的第60百分位数为 A.132 B.133.5 C.135 D.136 6.已知函数f(x)=ln(x+1)一√x+I,则f(1),f(3),f(7)的大小关系为（参考数据：ln2≈ 0.69) A.f(7)<f(1)<f(3) B.f(7)<f(3)<f(1) C.f(1)<f(3)<f(7) D.f(3)<f(1)<f(7) 2一am,n为奇数， 7.已知数列{a.}满足a1=1,am+1= 则a225= 2十an,n为偶数， A.-1 B.1 C.2 D.3 8设函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),对于Hx∈R,f(-x)=f(x)+2x,且当 x≥0时，f'(x)>2x-1,则不等式f(x-2)-f(2x)<-3x2一3x十6的解集为 A(o,-)u2,+o∞) B(-,-2u(后+∞） c(号2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知曲线C的方程为2十m一7一m x y =1(m∈R),则下列说法中正确的有 A曲线C可以是圆 B.当m>7时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆 C,当一2<m<7时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线 D.当曲线C是椭圆或双曲线时，焦距均为6 10.设(2-3x)2=a。十a1x十azx2十…十a12x2,则下列说法正确的有 A,(2一3x)2的展开式中所有项的二项式系数的和为2” B,a0=-8X30 C.la1+la:1+la:1++lanl=1 51+1 D,a。十ax十a,+…十ax= 2 开毕摸底联考数学试题第2页（共4页） 11,设数列(a.)的前#项和为S。·a,一2,4.+1=S。十2，若对任意的正整数n,都有a,6。十 ab,,十a,b.,+…十ab,=3×21-一4n一6成立，则满足等式b,千1+6，+…+6. a。的正整数#的值可以是 A.1 B.2 C.3 D,4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12若"1<x<2“是“|x一a<1”的充分不必要条件，则实数“的取值范围为 13.已知向量a=(x,一1)，b=(1,2),若a在b方向上的投影向量为b,则x= x y 14.已知F1F:分别为双曲线C:。=1a>0:b>0)的左，右焦点，P是双曲线C上一点若 E,F:=F,P1,且∠PFF,∈（行），则双曲线C的离心率的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且√3 sin Csin A+ cos Csin A=sin B+sin C. (1)求角A: (2)若△ABC边BC上的中线AD的长度为2√3，求△ABC面积的最大值. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ADC-弩△PAD为正 三角形，AC=2√3，PC=3√2. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD: (2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值。 开学摸底联考数学试题第3页（共4页） 17,(15分)在校园文化建设中，社活动丰富多彩.学校为了解高一，二学生对手工制作社 引的参与热情，将每月参与手工制作社团活动次数超过4次的学生认定为“积极参与”， 每月参与手工制作社活动次数不超过4次甚至从不参与的学生认定为“一般参与”随 机抽取100名学生，得到如下统计数据： 参与热情 学生 合计 积极参与 一股参与 高一学生 30 20 50 高二学生 25 25 50 合计 55 45 100 (1)依据a=0.05的独立性检验，能否认为该校学生是否积极参与手工制作社团与年级 有关联？ (2)该校学生小李周一、周二计划参与社团活动，且周一从手工制作社团、绘画社团中随 机选一个，若周一选手工制作社团，周二选手工制作社团的概率为号：若周一选绘画社 团，周二选手工制作社团的概率为求小李周二选绘画社团的概率。 (3)用频率估计概率，现从该校高一、二学生中随机抽取20名，记其中“积极参与”手工制作 社团的学生人数为X,记“X=k”的概率为P(X=k),求使P(X=k)取得最大值的k的值. 参考公式及数据：X:= n (ad-bc)" a+b)(c+d)(a+c)(6+d其中n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.(17分)已知坐标平面内一动圆过点T(2,0),且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心P的 轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程。 (2)设直线l:y=kx+m与曲线C交于A,B两点，P(1,2),直线PA与直线PB的倾斜 角互补 ①求k的值： ②若m<3,求△PAB面积的最大值. 19.(17分)已知函数f(x)=x-1nx十a有唯一的零点. (1)求实数a的值： (2)设不等式f(x)+xlnx一2x≥b(b∈Z)恒成立，求b的最大值： (3证明：对于任意正整数m++一+园下3 开学摸底联考数学试题第4页（共4面） ⑥A