精品解析：河北省邢台市琢名小渔名校联考2025-2026学年高三上学期开学调研检测数学试题

琢名小渔名校联考2026届高三年级开学调研检测 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，则（ ） A. 12 B. C. 17 D. 4. 定义在上的函数的周期为4，且满足，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 5. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点为抛物线上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. 2037 B. 2047 C. 1014 D. 1021 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若双曲线的方程为，则（ ） A. 的焦距为 B. 的渐近线方程为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为2 10. 由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则所有组成的五位数中（ ） A. 奇数有60个 B. 能被5整除的有24个 C. 1在万位而2不在个位的有18个 D. 比12345大的有108个 11. 已知函数，则（ ） A. 与均为偶函数 B. 与的最小正周期均为 C. 与在区间上均单调递增 D. 与的图象均关于直线对称 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与圆关于直线对称的圆的标准方程为______. 13. 一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则__________，__________. 14. 已知一圆锥的底面直径和母线长相等.在其内部放入半径分别为的三个小球，若三个小球两两相切，且三个小球均与圆锥的底面和侧面相切，则圆锥的母线长为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下列联表： 性别 出生时间 合计 晚上 白天 男婴 30 20 50 女婴 25 25 50 合计 55 45 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“婴儿出生的时间与性别有关联”？ （2）从样本中"晚上出生的婴儿中按性别采用比例分配的分层抽样方法抽取11个婴儿，再从这11婴儿中随机抽取3人测其体重，则三个婴儿中恰有两个女婴的概率. 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知在中，角所对的边分别是，且满足. （1）求角的大小； （2）若的外接圆半径为1，求面积的最大值. 17. 在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面. （1）证明：三棱柱为正三棱柱； （2）若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. （1）求椭圆的方程； （2）过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 19. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若， （i）若，在上恒成立，求实数的取值范围； （ii）若，，使成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 琢名小渔名校联考2026届高三年级开学调研检测 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，然后利用集合的并集运算即可. 【详解】因为， 又，所以， 故选：C. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，由复数的几何意义求解即可. 【详解】因为， 所以其在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 3. 已知向量，则（ ） A. 12 B. C. 17 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法和数量积的坐标公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C 4. 定义在上的函数的周期为4，且满足，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用周期函数的性质求出函数值. 【详解】对于，令，得， 又定义在上的函数的周期为4，所以，所以， 所以. 故选：C 5. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点为抛物线上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求出焦点和点的坐标，再利用抛物线的定义和已知条件求出点的坐标，最后根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】对于抛物线，其焦点的坐标为，准线方程为， 准线与轴的交点的坐标为，则， 设点的坐标为，由抛物线的定义可知， 已知，则，解得. 因为点为抛物线上一点，将代入抛物线方程可得，解得. 在中，，点到轴的距离即为中边上的高，即高， 因此的面积. 故选：C. 6. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. 2037 B. 2047 C. 1014 D. 1021 【答案】A 【解析】 【分析】先由递推公式变形求出等比数列的公比和首项，求出新数列的通项，再代入可得. 【详解】由可得，即， 又，可得， 所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列， 即，所以， 所以. 故选：A. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的二倍角公式，由求出，将原式根据二倍角公式转换为的二次式，代入即可求出结果. 【详解】由二倍角公式，， 由二倍角公式，， 将代入得. 故选：C. 8. 已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将方程问题转化为函数图象交点问题，分情况讨论的表达式，利用导数分析的单调性和极值点，画出函数的大致图象，结合图象即可求解. 【详解】，因为，所以, 令， 当时，， 所以在上单调递增， 当时，， 当时，， 令，即，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以在处取到极大值， ，且， 方程有三个不相同的实根，即函数与函数有3个不同的交点， 由图可知，. 所以实数的取值范围为. 故选：. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若双曲线的方程为，则（ ） A. 的焦距为 B. 的渐近线方程为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线的性质对每个选项进行判断即可. 【详解】因为双曲线的方程为， 所以，所以， 所以的焦距为，所以A正确； 的渐近线方程为，所以B错误； 的离心率为，所以C错误； 的虚轴长为，所以D正确. 故选：AD. 10. 由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则所有组成的五位数中（ ） A. 奇数有60个 B. 能被5整除的有24个 C. 1在万位而2不在个位的有18个 D. 比12345大的有108个 【答案】BC 【解析】 【分析】先选末位为奇数再排列可判断A；先选末位为，再排列可判断B；先排数字，再排列其他数字可判断C；利用间接法可判断D. 【详解】对于A，要使组成的五位数为奇数，则末位有种选择， 再将其他数字进行排列，故奇数有个，故A错误； 对于B，要使组成的五位数能被5整除，则末位为， 再将其他数字进行排列，共个，故B正确； 对于C，由于1在万位而2不在个位，则数字的位置有种选择，再将其他数字进行排列， 则1在万位而2不在个位的有个，故C正确； 对于D，由组成没有重复数字的五位数共个，其中最小的五位数是， 故比12345大的有119个，故D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. 与均为偶函数 B. 与的最小正周期均为 C. 与在区间上均单调递增 D. 与的图象均关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义，结合诱导公式即可判断A，根据，即可判断B，对分奇偶，即可结合三角函数的性质求解C，利用对称的性质，结合诱导公式即可求解D. 【详解】对于A, 与的定义域均为,且，故与均为偶函数，A正确， 对于B, ， 故是的一个周期，因此的最小正周期不是，故B错误， 对于C，当时，， 则 ， 故， 此时与在区间上均单调递增， 当时，， 则 ， 故， 此时与在区间上均单调递增， 综上可知与在区间上均单调递增，C正确， 对于D, ， ， 故与的图象均关于直线对称，D正确， 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与圆关于直线对称的圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求出圆心关于直线对称的坐标，结合半径，代入圆的标准方程得解. 【详解】由题意得，圆，化简得， 所以圆心坐标为，半径， 设圆心关于直线的对称点的坐标为 得，解得，则所求圆的圆心坐标为，半径也为， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 13. 一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】两边同时取对数，求得，结合，求得，得到的值，再由，求得，结合，即可求解. 【详解】由，两边同时取对数，可得， 因为变换后的线性回归方程为，可得， 即，所以， 又因为，且， 所以， 因为，可得，所以. 故答案为：；. 14. 已知一圆锥的底面直径和母线长相等.在其内部放入半径分别为的三个小球，若三个小球两两相切，且三个小球均与圆锥的底面和侧面相切，则圆锥的母线长为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆锥和球的对称性，因为其中两个小球半径相等，由题意可知底面圆的圆心一定在这两个半径相等的小球球心在底面的投影的连线的垂直平分线上.因此，利用三个小球球心在圆锥底面的投影之间的距离，及这三个投影与底面圆圆心间的距离可列得关于底面圆半径的方程，从而求得底面圆半径，求得圆锥母线长. 【详解】如图，圆锥的母线长与底面直径相等，设底面半径为R.,则,因为,所以. 当一个小球与圆锥的底面和侧面相切时，根据圆锥和球的对称性，其轴截面如图所示，记为,则平面. 记与底面和侧面都相切的小球O1的球心O1在底面和侧面的投影分别为, 则两点,且,又, 所以,所以,. 记另一个半径为1的小球的球心为在底面和侧面的投影分别为, 记半径为2的小球的球心为在底面和侧面的投影分别为. 同理可得，. 因为,所以. 记线段的中点为G,则,所以 所以. 因为所以，所以, 所以 解得：. 所以圆锥的母线长为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下列联表： 性别 出生时间 合计 晚上 白天 男婴 30 20 50 女婴 25 25 50 合计 55 45 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“婴儿出生的时间与性别有关联”？ （2）从样本中"晚上出生的婴儿中按性别采用比例分配的分层抽样方法抽取11个婴儿，再从这11婴儿中随机抽取3人测其体重，则三个婴儿中恰有两个女婴的概率. 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）婴儿出生的时间与性别无关. （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据零假设进行独立性检验得出. （2）先由分层抽样选出11人中，男生6人，女生5人，从中选出3人中女生的人数为服从超几何分布解得. 【小问1详解】 零假设：婴儿出生的时间与性别无关. 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立， 即婴儿出生的时间与性别无关. 【小问2详解】 根据分层抽样的性质可知：晚上出生的婴儿中男生与女生的比例为. 因此选出11人中，男婴儿人数为人，女婴儿人数为人 ， 16. 已知在中，角所对的边分别是，且满足. （1）求角的大小； （2）若的外接圆半径为1，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再利用两角和的正弦公式化简等式，得出，结合三角形内角取值范围，求出角. （2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式求出面积最大值. 【小问1详解】 根据正弦定理， 所以，， 所以， 又因为，， 代入化简得①， 根据两角和的正弦公式， 又，则， 代入①化简得：， 因为角，所以角. 【小问2详解】 已知的外接圆半径为1，由正弦定理， 可得， 由余弦定理可知，代入的值可得. 由基本不等式，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取最大值3. 由三角形面积公式可得， 因为，当且仅当时，面积最大， 所以. 17. 在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面. （1）证明：三棱柱为正三棱柱； （2）若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出线面垂直，进而证明侧棱垂直于底面，结合底面形状可证结论； （2）建立坐标系，利用平面与平面夹角求出高，结合点面距的向量公式可求答案. 【小问1详解】 证明：作于，因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面，即侧棱垂直于底面， 因为底面是正三角形，所以三棱柱为正三棱柱. 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则； ， 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 因为平面与平面夹角的余弦值为，所以， 解得，即. ，设点到平面的距离为，则. 18. 已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. （1）求椭圆的方程； （2）过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程即可得到坐标，再结合椭圆的性质即可得到三角形的周长；（ii）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，然后分别联立直线与椭圆方程，表示出的纵坐标，再由代入计算，即可得到的关系，即可得到结果. 【小问1详解】 依题意可得，则，因为焦点，则， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 （i）当直线的斜率为时，则直线方程为， 与椭圆方程联立，解得， 不妨设点，， 则， 设椭圆的左焦点为， 由椭圆的性质可得， 所以的周长为， 又， 所以的周长为， 所以当直线的斜率为1时，求的周长为. （ii）依题意可设直线， 与椭圆方程联立可得，整理可得， 设， 则， 设直线，与椭圆方程联立可得， 整理可得， 设， 则， 又，所以， 同理可得， 由题意与关于原点对称，所以， 即， 整理可得， 即， ， 将代入上式可得， 又不恒为，故， 所以直线恒过点. 19. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若， （i）若，在上恒成立，求实数的取值范围； （ii）若，，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为，； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）首先对函数求导，根据的取值情况判断的正负情况，进而得到的增减情况； （2）（i）当时，可知；当时，，利用导数求解出时，的最大值，从而，当时，，可得，综上可得;（ii）由题意可得函数值域为函数值域的子集，判断函数的奇偶性，当时，求得函数值域，列不等式求解，当时，根据对称性可直接得出结论. 【小问1详解】 因为， 所以． 当时，与的变化情况如表所示： 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 所以当时，函数的单调递增区间为，， 函数的单调递减区间为，； 【小问2详解】 （i）当时，， 当时，原不等式化为：恒成立，可知； 当时，则，令， 则                     令，则 当时，，则 所以在上单调递减 ，所以， 即，所以 在上单调递减， 所以 所以， 即 ， 当时， ，即 ， 综上所述：； （ii）因为且， 所以函数为定义在上的偶函数， 由（1）可得，，所以函数的值域为， 因为且， 所以函数为定义在上的奇函数， 要使，，都有成立， 则函数值域为函数值域的子集， 当时，，不符合题意， 当时，， 因为当时，；当时， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以函数的值域为， 要使函数值域为函数值域的子集，即，解得； 当，由函数为奇函数，根据对称性可知， 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $