精品解析：湖南省长沙市长雅中学2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷

2025年下学期数学暑假作业错题回练 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 在战“疫”诗歌创作大赛中，有7名同学进入了决赛，他们的最终成绩均不同．小弘同学想知道自己能否进入前3名，除要了解自己的成绩外，还要了解这7名同学成绩的（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 3. 已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ） A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 5. 如图，的对角线与相交于点O，添加下列条件不能证明是菱形的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知关于x的方程2x2＋x＋a＝0有一个根为1，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 9. 如图，一矩形场地，两边长分别为、，现欲在矩形内修两条宽为的小路，剩余部分的面积是，则与之间的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 13. 一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是_______． 14. 如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________． 15. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 16. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为________． 三、解答题：本题共9小题，共72分． 17. 计算： 18. 解下列方程 （1）2x2+3x+1=0 （2）4（x+3）2-9（x-3）2=0． 19. 如图，已知直线l1：y＝2x+1、直线l2：y＝﹣x+7，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于点A． （1）求A、B、C三点坐标； （2）求△ABC的面积． 20. 已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）直接写出m的取值范围 （2）若满足，求m的值． 21. 某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，试根据以上提供的信息解答下列问题： 一班竞赛成绩统计图 二班竞赛成绩统计图 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 90 二班 87.6 80 （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据表格填空：___________，___________，___________； 22. 我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？ 23. 如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，点E、F分别在、上，，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若点E是的中点，，，求四边形的面积． 24. 使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点． 已知函数(m为常数)． （1）当=0时，求该函数的零点； （2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分 别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式． 25. 如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为． （1）求二次函数的解析式和直线的解析式； （2）点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于点、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期数学暑假作业错题回练 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意； B、是分式方程，故该选项不符合题意； C、是二元二次方程，故该选项不符合题意； D、，整理得：，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 2. 在战“疫”诗歌创作大赛中，有7名同学进入了决赛，他们的最终成绩均不同．小弘同学想知道自己能否进入前3名，除要了解自己的成绩外，还要了解这7名同学成绩的（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数的意义即可得出答案． 【详解】因为7名同学成绩的中位数是第四名的成绩，所以只要知道中位数之后，拿中位数和自己的成绩进行比较即可知道自己能否进入前3名， 故选：A． 【点睛】本题主要考查中位数的意义，掌握中位数的意义是解题的关键． 3. 已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数，且随的增大而增大， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 4. 抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ） A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】由平移前后的解析式，结合平移法则即可得解； 【详解】解：抛物线通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线， 故选择：D 【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键． 5. 如图，的对角线与相交于点O，添加下列条件不能证明是菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是菱形，故选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形，故选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形，故选项不符合题意， D、∵四边形是平行四边形，， ∴是矩形，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 6. 已知关于x的方程2x2＋x＋a＝0有一个根为1，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于该方程的常数项是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算． 【详解】解：设方程的另一根为x1， 由根与系数的关系可得：，1+x1=，解得x1＝． 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1•x2＝． 7. 已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的对称性可得抛物线对称轴，由a＜0可得抛物线开口向下，进而求解． 【详解】解：根据题意，则 ∵， ∴对称轴是：， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，正确的进行判断． 8. 如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠可得△BEF≌△BAE，得出AE=EF，然后根据勾股定理列方程即可. 【详解】∵矩形ABCD， ∴∠BAD=90°， 由折叠可得△BEF≌△BAE， ∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF， 在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8， 根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4， 设EF=AE=x，则有ED=8﹣x， 根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2， 解得：x=3（负值舍去）， 则DE=8﹣3=5， 故选C. 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）和矩形的性质．根据勾股定理列方程是解决本题的关键. 9. 如图，一矩形场地，两边长分别为、，现欲在矩形内修两条宽为的小路，剩余部分的面积是，则与之间的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移、二次函数的应用等知识．把两条路进行平移，一条移动到上方，一条移动到左方，那么剩余部分就变成了边长为和的长方形，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：依题意得把两条路分别进行平移， 长为的路移动到上方，长为的路移动到左方， ∴草坪就变成了边长为和的长方形， ∴， 故选：C． 10. 已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为，抛物线与轴的交点为， ∵点是该函数图象上一点，当时，， ∴①当时，对称轴， 此时，当时，，即， 解得； ②当时，对称轴， 当时，随增大而减小， 则当时，恒成立； 综上，的取值范围是：或． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】x≥−4且x≠0． 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，即可得解． 【详解】解：由题意得，x＋4≥0且x≠0， 解得x≥−4且x≠0． 故答案为：x≥−4且x≠0． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果． 【详解】解：根据题意得：（分）． 故小明的最终比赛成绩为分． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键． 13. 一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，然后根据三角形三边的关系，确定三角形的周长．用因式分解法求出方程的两个根分别是2和6，有三角形的三边关系，2为底，6为腰，可以求出三角形的周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 当腰长是2时，不能构成三角形，舍去； ∴腰长是6，底边是2， 周长为：， 故答案为： 14. 如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 15. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象交点和一元一次不等式的问题的应用，数形结合思想是关键．结合图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可得：两直线的交点横坐标为， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 如图，连接AD，则， ∴当时，的值最小，此时，的面积， ∴， ∴的最小值为； 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，本题属于中考常考题型． 三、解答题：本题共9小题，共72分． 17. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算绝对值、零次幂、二次根式、负整数次幂，再进行加减运算，即可求解． 【详解】解： ． 18. 解下列方程 （1）2x2+3x+1=0 （2）4（x+3）2-9（x-3）2=0． 【答案】（1），x2=-1（2）x1=15， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法把原方程转化为2x+1＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可； （2）利用平方差公式原方程转化为2（x+3）﹣3（x﹣3）＝0或2（x+3）+3（x﹣3）＝0，然后解两个一次方程即可． 【详解】（1）（2x+1）（x+1）＝0，2x+1＝0或x+1＝0，所以x1，x2＝﹣1； （2）[2（x+3）﹣3（x﹣3）][[2（x+3）+3（x﹣3）]＝0，2（x+3）﹣3（x﹣3）＝0或2（x+3）+3（x﹣3）＝0，所以x1＝15，x2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 19. 如图，已知直线l1：y＝2x+1、直线l2：y＝﹣x+7，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于点A． （1）求A、B、C三点坐标； （2）求△ABC的面积． 【答案】(1) A（2，5），B（﹣0.5，0），C（7，0）； (2). 【解析】 【分析】（1）联立两直线解析式，解方程即可得到点A的坐标，两直线的解析式令y＝0，求出x的值，即可得到点A、B的坐标； （2）根据三点的坐标求出BC的长度以及点A到BC的距离，然后根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：（1）直线l1：y＝2x+1、直线l2：y＝﹣x+7联立得，， 解得， ∴交点为A（2，5）， 令y＝0，则2x+1＝0，﹣x+7＝0， 解得x＝﹣0.5，x＝7， ∴点B、C的坐标分别是：B（﹣0.5，0），C（7，0）； （2）BC＝7﹣（﹣0.5）＝7.5， ∴S△ABC＝×7.5×5＝． 故答案为(1) A（2，5），B（﹣0.5，0），C（7，0）； (2). 【点睛】本题考查了两直线的相交问题，联立两直线的解析式，解方程即可得到交点的坐标，求直线与x轴的交点坐标，令y＝0即可，求直线与y轴的交点坐标，令x＝0求解． 20. 已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）直接写出m的取值范围 （2）若满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的两个不相等的实数根，得，即可列式作答； （2）结合一元二次方程根与系数的关系，得和，因为，所以，解得，，结合，即可作答； 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根 ∴， 即； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴ 整理得， 解得：， ∵由（1）知， ∴ 检验：当时，，即； 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键． 21. 某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，试根据以上提供的信息解答下列问题： 一班竞赛成绩统计图 二班竞赛成绩统计图 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 90 二班 87.6 80 （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据表格填空：___________，___________，___________； 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2）；； 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图，平均数、中位数、众数及其意义，利用统计图表得出所需数据是解题关键． （1）先求出C等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）利用条形统计图，结合平均数公式和中位数的定义，即可求出、的值，利用扇形统计图可知，二班级的同学最多，即可得出的值． 【小问1详解】 解：（人），即C等级的人数为2 【小问2详解】 解：一班平均数为（分）， ； 25名同学参加比赛， 中位数为第13名同学的成绩， 由条形统计图可知，一班第13名同学的成绩在级， 一班中位数是分， ； 由扇形统计图可知，二班成绩在级的同学最多， 二班的众数为分， ， 故答案为：；；． 22. 我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为 （2）当商品降价5元时，商品获利1950元． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：250件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：360件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润1950列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：或（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当商品降价m元时，商品获利1950元， 根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商品获利1950元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 23. 如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，点E、F分别在、上，，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若点E是的中点，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ∴平行四边形是菱形； （2）16 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，由直角三角形斜边上的中线性质得，然后根据勾股定理和菱形面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ，，， ， ∵点E是的中点， ， ， ∴在中，，即， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的性质，等腰三角形的性质、菱形的面积、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 24. 使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点． 已知函数(m为常数)． （1）当=0时，求该函数的零点； （2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分 别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式． 【答案】（1）当=0时，该函数的零点为和． （2）证明：令y=0，得△= ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论取何值，该函数总有两个零点． （3）AM的解析式为． 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点； （2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式 【详解】（1）当=0时，该函数的零点为和． （2）略. （3）依题意有， 由解得． ∴函数的解析式为． 令y=0，解得 ∴A()，B(4,0) 作点B关于直线的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线的交点就是满足条件的M点． 易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（） 设直线AB’的解析式为，则 ，解得 ∴直线AB’的解析式为， 即AM的解析式为． 25. 如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为． （1）求二次函数的解析式和直线的解析式； （2）点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于点、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在满足条件的点，其坐标为或 【解析】 【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线解析式； （2）设出P点坐标，从而可表示出的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值； （3）过Q作轴，交于点G，过Q和于H，可设出Q点坐标，表示出的长度，由条件可证得为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点的坐标为， 可设抛物线解析式为， 点在该抛物线的图象上， ，解得， 抛物线解析式为，即 点在轴上，令可得， 点的坐标为， 可设直线解析式为， 把点代入可得，解得， 直线解析式为； 【小问2详解】 解：设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为， 点在第一象限， 点在点的上方， ， 当时，有最大值； 【小问3详解】 解：存在满足条件的点，理由如下： 如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作于点， 设点坐标为，则点坐标为， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，  ， ， ， ， ， 当中边上的高为时，即， ， ， 当时，，方程无实数根， 当时，解得或， 或， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用P点坐标表示出的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $