精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

富锦市2025－2026学年度上学期开学摸底考试九年级数学试卷 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用当二次根式有意义时，被开方数为非负数，得到有关的一元一次不等式，解之即可得到本题答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 故选：D． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象（根据一次函数解析式判断其经过的象限），熟练掌握、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键：当时，一次函数图象必过一、三象限；当时，一次函数图象必过二、四象限；当时，一次函数图象与轴交于正半轴；当时，一次函数图象与轴交于负半轴；或者说：当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限． 根据、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数， ，， 函数图象经过第一、二、四象限， 故选：． 4. 平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 5. 已知一组数据：1，3，5，5，6，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 3，5 B. 5，5 C. 5，6 D. 1，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数，根据中位数和众数的定义即可求解． 【详解】解：将数据从小到大排列为1，3，5，5，6，最中间的数是5，则中位数是5； 5出现的次数最多，则众数是5． 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用合并同类二次根式法则、二次根式的乘除法法则逐项判断即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，不可以合并，故错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 7. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【详解】A、不正确，两组对边分别平行，两者均有此性质； B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质； C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质； D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质． 故选D． 8. 已知点在一次函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比较一次函数的函数值大小问题，根据一次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而增大， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴   故选：C ． 9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P为AD上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE＋PF的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由勾股定理求得矩形对角线AC的长为5， 过点A作AM⊥BD，垂足为M， ∴，则 ． 连接PO，则有． ∵OA＝OD， ∴， 故选A． 10. 甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是 A. 甲、乙两人的速度相同 B. 甲先到达终点 C. 乙用的时间短 D. 乙比甲跑的路程多 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：利用图象可得出，甲，乙的速度，以及所行路程等，注意利用所给数据结合图形逐个分析． 解：结合图象可知：两人同时出发，甲比乙先到达终点，甲的速度比乙的速度快， 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 12. 若一次函数（，为常数，）的图象经过点，且与轴交点的纵坐标为3，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，把，代入求解即可． 【详解】解：函数图象与轴交点的纵坐标为3， 经过， 把，代入得， 解得． 故答案为：． 13. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为6，8， ∴由勾股定理得，斜边=10． ∴斜边上的中线长=×10=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是能正确求出斜边的长度． 14. 一组数据2，5，4，x，3的平均数是4，则这组数据的方差是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方差的计算，先利用平均数的计算公式得到，解得，然后根据方差公式计算这组数据的方差即可．解题的关键是掌握：一般地，设个数据，，，…，的平均数为，则方差． 【详解】解：∵2，5，4，x，3的平均数是， ∴， 解得：， 数据为：，，，，， ∴， ∴这组数据的方差是． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，与相交于点，，则的周长为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，结合三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：因为平行四边形对角线互相平分， 所以，， 则的周长为． 故答案为：12． 16. 观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 【答案】（，且n取整数） 【解析】 【详解】解：∵； ； … ∴第个等式为（，且n取整数）． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）先化简，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 已知一次函数． （1）若函数图象经过原点，求的值； （2）若函数图象与轴交点的纵坐标为，求的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键； （1）将代入一次函数解析式，即可求解； （2）将代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：因为函数图象经过原点， 把代入 得， 解得． 【小问2详解】 因为函数图象与轴交点的纵坐标为， 即当时，， 把代入 得， 解得． 19. 在中，，中线．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定，由题意可得，由勾股定理逆定理得出为直角三角形，再由勾股定理计算出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：，为的中线， ， ，，， ， 为直角三角形， ， ， ， ， 是等腰三角形． 20. 无锡市某中学为了解学生的课外阅读情况 就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学仅选一项），并根据调查结果制作了尚不完整的频数分布表： 类别 频数（人数） 频 率 文学 m 0 42 艺术 22 0 11 科普 66 n 其他 28 合计 1 （1）表中m＝ ，n＝ ； （2）在这次抽样调查中，最喜爱阅读哪类读物的学生最多? 最喜爱阅读哪类读物的学生最少? （3）根据以上调查，试估计该校1200名学生中最喜爱阅读科普读物的学生有多少人? 【答案】（1）84，0 33；（2）最喜爱阅读文学类读物的学生最多（84人），最喜爱阅读艺术类读物的学生最少（22人）；（3）396人 【解析】 【详解】试题分析：（1）首先根据艺术类的频数22和频率0 11求出调查的总人数= 人，然后m=200×0 42，n= ；（2）根据频数分布表中的数据和m的值可回答问题；（3）计算1200n=1200×0 33=396人 试题解析：（1）m=84，n="0" 33； （2）从频数分布表中可以看出：最喜爱阅读文学类读物的学生最多（84人），最喜爱阅读艺术类读物的学生最少（22人）； （3）1200×0 33=396 ∴估计该校1200名学生中最喜爱阅读科普类读物的学生有396人． 考点：1 频数与频率；2 频数分布表；3 用样本估计总体 21. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点． （1）求证：四边形EBFD为平行四边形； （2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N.求证：△ABN≌△CDM． 【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴BE=DF， ∵BE∥DF， ∴四边形EBFD为平行四边形； （2）证明：∵四边形EBFD为平行四边形， ∴DE∥BF， ∴∠CDM=∠CFN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD． ∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN， ∴∠ABN=∠CDM，在△ABN与△CDM中， ∵∠BAN=∠DCM，AB=CD，∠ABN=∠CDM， ∴△ABN≌△CDM （ASA）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据平行四边形的性质，得到AB∥CD，AB=CD；再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案； （2）根据平行四边的性质，可得AB∥CD，AB=CD，∠CDM=∠CFN；根据全等三角形的判定，可得答案． 试题解析：（1）略 （2）略 考点：1．平行四边形的判定与性质；2．全等三角形的判定． 22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 【答案】（1）每件衬衫应降价元 （2）每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元 【解析】 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)， 的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设每件衬衫应降价元，用表示出每天多销售的件数，再根据题中的等量关系列出一元二次方程求解； （2）设商场每天的盈利为元，列出二次函数，转化为顶点式，求出最值． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，由题意，得 ， 解得：，． 要扩大销售，减少库存， 每件衬衫应降价元． 【小问2详解】 设商场每天的盈利为元，由题意，得 ， 时，最大元． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元． 23. 如图，在矩形中，，，动点以2个单位/秒的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以1个单位/秒的速度从点出发，沿向点移动，当、两点中其中一点到达终点时停止运动，在、两点移动过程中，当为等腰三角形时，求时间的值． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，根据矩形的性质，结合勾股定理求出的长，根据题意，表示出的长，分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 由勾股定理得：， 由题意，得：， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时，有， 解得：； ②当时，作于点，则：， ∴， ∴； 解得：； ③当时，作于点，则：， ∴， ∴， 解得：； 所以，当为或或时，为等腰三角形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点． （1）求； （2）过点作交于，求点坐标； （3）若直线与线段有交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）利用一次函数的性质求出点和点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解； （2）过点作轴，交的延长线于点，通过证明，得到，进而得出，直线的解析式为，再联立函数解析式即可求出点坐标； （3）分别求出直线经过点和点时对应的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：当，则，解得； 当，则； ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交的延长线于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得 ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：当直线经过点，则，解得； 当直线经过点，则，解得； ∵直线与线段有交点， ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 富锦市2025－2026学年度上学期开学摸底考试九年级数学试卷 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 3. 一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 4. 平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据：1，3，5，5，6，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 3，5 B. 5，5 C. 5，6 D. 1，5 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. 2 C. D. 7. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 8. 已知点在一次函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P为AD上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE＋PF的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是 A. 甲、乙两人的速度相同 B. 甲先到达终点 C. 乙用的时间短 D. 乙比甲跑的路程多 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：_______． 12. 若一次函数（，为常数，）的图象经过点，且与轴交点的纵坐标为3，则_________． 13. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 14. 一组数据2，5，4，x，3的平均数是4，则这组数据的方差是______． 15. 如图，在平行四边形中，与相交于点，，则的周长为__________． 16. 观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知一次函数． （1）若函数图象经过原点，求的值； （2）若函数图象与轴交点的纵坐标为，求的值． 19. 在中，，中线．求证：是等腰三角形． 20. 无锡市某中学为了解学生的课外阅读情况 就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学仅选一项），并根据调查结果制作了尚不完整的频数分布表： 类别 频数（人数） 频 率 文学 m 0 42 艺术 22 0 11 科普 66 n 其他 28 合计 1 （1）表中m＝ ，n＝ ； （2）在这次抽样调查中，最喜爱阅读哪类读物的学生最多? 最喜爱阅读哪类读物的学生最少? （3）根据以上调查，试估计该校1200名学生中最喜爱阅读科普读物的学生有多少人? 21. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点． （1）求证：四边形EBFD为平行四边形； （2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N.求证：△ABN≌△CDM． 22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 23. 如图，在矩形中，，，动点以2个单位/秒的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以1个单位/秒的速度从点出发，沿向点移动，当、两点中其中一点到达终点时停止运动，在、两点移动过程中，当为等腰三角形时，求时间的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点． （1）求； （2）过点作交于，求点坐标； （3）若直线与线段有交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $