11.2整式的乘法（知识点梳理+题型举一反三+同步练习）易错重难点同步备课2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册

11.2整式的乘法 【题型 1】整式乘法基础计算（单 × 单、单 × 多、多 × 多） 1. 知识点 单项式×单项式：系数相乘（含符号），同底数幂指数相加，单独字母连同指数保留，如。 单项式×多项式（分配律）：用单项式乘多项式每一项，再求和，即。 多项式×多项式：用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再求和，即。 运算本质：均通过“转化”简化计算（多项式乘法→单项式乘法→有理数乘法与同底数幂运算）。 2. 考点 直接计算：如、、。 含多字母/负号的运算：如、、。 多步混合运算：如先算单项式×多项式，再算多项式×多项式（不含合并同类项的纯展开）。 3. 易错点 漏乘项：单项式漏乘多项式的常数项（如错得）；多项式漏乘交叉项（如漏算）。 符号错误：负系数与多项式负项相乘时符号判断失误（如错得）。 同底数幂运算混淆：错将算成（应是），混淆“乘法（指数加）”与“乘方（指数乘）”。 4. 解题技巧 分步标记法：单项式×多项式时，用序号标记每一项的乘积（如“①，②”）；多项式×多项式时，用“首×首、首×尾、尾×首、尾×尾”口诀避免漏项。 符号优先处理：先确定每一步运算的符号（负号个数为奇则负，偶则正），再计算绝对值，减少符号失误。 【例题1】．（2024-2025•揭阳期末）下列式子运算正确的是（　　） A．3x•4x＝12x B．（x2y）3＝x2y3 C．x3•x4＝x7 D．（x3）4＝x7 【变式题1-1】．（2025•西安校级二模）下列计算正确的是（　　） A．6x2•3xy＝9x3y B．（2ab2）•（﹣3ab）＝﹣6a2b3 C．m2n•（﹣m2n）＝﹣m3n3 D．（﹣3x3y）•（﹣3xy）＝9x3y2 【变式题1-2】．（2024-2025•清城区校级月考）计算：2a3•　 　 ＝﹣2a5． 【变式题1-3】．（2024-2025•安宁区校级期末）计算： （1）3a2b•（﹣2ab）； （2）． 【题型2】整式乘法中“不含某一项”求字母值 1. 知识点 “不含某一项”的本质：整式展开并合并同类项后，目标项的系数为0（如不含项，则项系数=0）。 适用范围：单项式×多项式、多项式×多项式均可能涉及，核心是“展开→合并→析系数”。 2. 考点 单项式×多项式中不含某一项：如展开后不含项，求。 多项式×多项式中不含某一项：如展开后不含项，求。 不含多项：如展开后不含项且常数项为6，求、。 3. 易错点 展开不彻底：多项式×多项式漏乘项，导致目标项系数计算错误（如漏算，错判常数项）。 合并同类项失误：同类项系数符号或数值计算错误（如错算成，正确应为）。 忽略隐含系数：目标项系数由多部分组成时漏加（如中项系数为，错漏“+1”）。 4. 解题技巧 系数拆解法：展开后，将同类项的系数单独提取（如项系数=所有含项的系数和），用“□ + △ + ○”形式标记，清晰对应目标项。 方程验证法：列出系数方程（如“不含项→系数=0”），求解后代入原式展开验证，确保目标项确实消失。 【例题2】．（2024-2025•江口县期末）若（x+5）（3x﹣m）的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为（　　） A．3 B．5 C．8 D．15 【变式题2-1】．（2024-2025•荷塘区期末）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n，若不论a为何值，2m﹣n的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2 【变式题2-2】．（2024-2025•渭城区校级月考）小红准备完成题目：计算（■x﹣1）（﹣3x+1）时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：（2x﹣1）（﹣3x+1）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【变式题2-3】．（2024-2025•碧江区 期中）我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为4×5×（﹣6）＝﹣120．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是5×（﹣6）+2×4×（﹣6）+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x． 请你参考上面的计算方法，解答下列问题： （1）计算（x+1）（3x+2）（5x﹣3）求所得多项式的一次项系数； （2）如果计算（x+5）（﹣2x+a）（3x﹣3）所得多项式中不含一次项，求常数a的值． 【题型 3】多项式 × 多项式的整体代入求值 1. 知识点 整体代入前提：若已知 “多项式的值”（如），且化简后的式子可整理成含该多项式的形式（如），则无需求单个字母值，直接代入多项式的值计算。 式子变形技巧：通过添括号、拆项等方式，将化简后的式子与已知多项式对齐（如已知，将变形为）。 2. 考点 已知一次多项式的值求值：如已知，求的值（可先求，也可整体变形）。 已知二次多项式的值求值：如已知，求的值。 3. 易错点 不会式子变形：强行求解单个字母值（如已知，解方程求，导致计算复杂且易出错），忽略整体代入。 变形时符号错：如将变形为时，错漏“+6”，导致代入后结果错误。 4. 解题技巧 目标式“凑”已知式：化简目标式时，刻意保留与已知多项式相同的部分（如已知，化简时，保留，不彻底展开为）。 分步验证：变形后先检查“目标式是否等于已知式+常数/其他项”，再代入已知值计算，确保变形正确。 【例题3】．（2024-2025•惠山区校级期末）已知（x+3）（x+2）＝x2+mx+n，则m+n的值为（　　） A．11 B．6 C．5 D．1 【变式题3-1】．（2025•岳麓区校级模拟）若（x+2）（x﹣3）＝x2+ax﹣6，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．5 【变式题3-2】．（2024-2025•长汀县期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为s1，s2．若满足条件0＜n＜|s1﹣s2|的整数n有且只有8个，则m为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【变式题3-3】．（2024-2025•鄄城县期中）阅读下列文字，并解决问题． 已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值． 分析：考虑到满足x2y＝3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入． 解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24． 请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值． 【题型4】整式乘法的化简求值 1. 知识点 运算顺序：先算整式乘法（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式），再合并同类项，最后代入数值计算。 整体代入思想：若已知代数式的值（如），可将化简后的式子整理成含该代数式的形式，直接代入（避免求单个字母值）。 2. 考点 直接代入求值：如化简，再代入求值。 整体代入求值：如已知，求化简后式子的值。 3. 易错点 化简不彻底：未合并同类项就代入数值，导致计算量增大且易出错（如未合并为，直接代入）。 代入负数/分数时符号错：代入时，未给负数加括号，如错算成（正确应为）。 4. 解题技巧 化简优先：严格遵循“先化简，再求值”，合并同类项时用“不同符号标记不同类项”（如项画“△”，项画“○”，常数项画“□”）。 代入分步算：代入数值后，先算乘方，再算乘除，最后算加减，每一步标注计算结果，减少失误。 【例题4】．（2024-2025•项城市期末）若2a2+a﹣3＝0，则（2a+5）（a﹣2）的值为　 　 ． 【变式题4-1】．（2024-2025•海宁市期末）已知m+n＝﹣5，mn＝﹣2，则（1﹣2m）（1﹣2n）的值为　 　 ． 【变式题4-2】．（2024-2025•新邵县期末）已知a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）的值为　 　 ． 【变式题4-3】．（2024-2025•郫都区期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，则m+n的值为 　 　 ． 【题型5】整式乘法与图形面积问题 1. 知识点 图形面积公式关联：长方形面积=长×宽、正方形面积=边长×边长、组合图形面积=各部分面积和/差，这些公式可转化为整式乘法（如长为2、宽为的长方形面积= ）。 边长表达：根据图形标注（如“小路宽为”“剪去边长为的正方形”），用含字母的整式表示未知边长。 2. 考点 用整式表示面积：如求长为、宽为的长方形面积（含小路的组合图形面积）。 根据面积关系求字母：如已知长方形面积为，长为，求宽（转化为多项式除法，本质关联多项式乘法）。 3. 易错点 边长分析错误：误解图形标注（如“剪去四角边长为的正方形”，错将折成的长方体底面边长算成“原长-”，正确应为“原长-2）。 面积公式混用：混淆长方形与正方形面积公式，或组合图形面积 “加 / 减” 关系搞反（如漏减小路面积，错将 “总面积 - 小路面积” 算成 “总面积 + 小路面积”）。 4. 解题技巧 图形标注法：在图形上直接标注已知边长和未知边长（用含字母的整式表示），明确各部分的位置关系（如 “横向总长 = 阴影部分长 + 2× 小路宽”）。 面积公式转化：将图形面积问题直接转化为整式乘法式子（如 “面积 = 长 × 宽→整式 = A×B”），再按整式乘法法则计算或逆推。 【例题5】．（2024-2025•乳山市期末）如图，城建部门计划在长为（4a﹣b）米、宽为2（a+b）米的长方形草坪内修建两条互相垂直，且宽均为b米的硬化通道． （1）求剩余草坪的面积；（用含a，b的式子表示） （2）若a＝50，b＝10，求剩余草坪的面积的具体值． 【变式题5-1】．（2024-2025•渭南期末）如图，在长为（2a+b）米，宽为（3b﹣a）米的长方形铁片上，剪去一个长为（a+2）米、宽为b米的小长方形铁片和边长为b米的正方形铁片． （1）计算剩余部分（即阴影部分）的面积； （2）当a＝6，b＝4时，求图中阴影部分的面积． 【变式题5-2】．（2024-2025•上城区校级期中）如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为S1，S2，S3.且，则S3＝（　　） A． B． C． D． 【变式题5-3】．分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片． （1）用这些卡片拼一些新的长方形，并计算新长方形的面积； （2）从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为（2a2+3ab）的长方形． 【题型 6】整式乘法中的新定义问题 1. 知识点 新定义转化：理解题目给出的新运算规则（如 “定义a★b = ab + a b^2$”“二阶行列式”），将其转化为熟悉的整式乘法运算。 规则优先级：新定义运算需遵循题目规定的顺序，若含常规整式运算（如乘方、乘法），需先算常规运算，再算新定义运算。 2. 考点 直接按新定义计算：如定义，求的值。 新定义与整式乘法结合：如定义，化简。 3. 易错点 误解新定义规则，导致运算方向错误。 漏用新定义的特殊条件。 4. 解题技巧 规则“翻译”：将新定义的符号/文字描述转化为数学式子，写在草稿纸上。 分步代入：按新定义规则，先代入已知整式，再按整式乘法法则展开、化简，确保每一步符合规则。 【例题6】．（2024-2025•东明县期中）定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（　　） A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 【变式题6-1】．（2024-2025•东港市期末）【新型定义】若A﹣B＝7，则称A与B是关于7的“奇妙数”． 例如：如果2x+2﹣（2x﹣5）＝2x+2﹣2x+5＝7，那么2x+2与2x﹣5是关于7的“奇妙数”． （1）【初步探究】求 ①5与　 　 是关于7的“奇妙数”； ②　 　 与x﹣10是关于7的“奇妙数”； ③（x﹣1）（x+2）与　 　 是关于7的“奇妙数”； （2）【拓展提升】若M＝x（2x﹣3）﹣4与N＝（x+3）（2x﹣1）是关于7的“奇妙数”，求x的值． 【变式题6-2】．（2024-2025•岳阳期末）18世纪欧拉引进了求和符号““（其中i≤n，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即 ．例如：当i＝1时，．若 ，则p和m所表示的数分别为（　　） A．﹣6和9 B．﹣15和20 C．30和﹣81 D．27和﹣243 【变式题6-3】．（2024-2025•庐阳区校级期末）定义：Φ[a，b，c]是以a、b、c为系数的二次多项式，即Φ[a，b，c]＝ax2+bx+c，其中a、b、c均为实数．例如Φ[1，2，3]＝x2+2x+3、Φ[2，0，﹣2]＝2x2﹣2． ①当x＝2时，求Φ[1，1，1]×Φ[﹣1，﹣1，﹣1]＝　 　 ； ②若Φ[p，q，﹣1]×Φ[m，n，﹣2]＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，求（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝　 　 ． 【题型7】多项式乘法中的规律探索问题 1. 知识点 展开式规律：如、，可总结出。 2. 考点 找等式规律并计算：如根据杨辉三角与系数规律：的展开式系数对应杨辉三角第行（如系数为1、3、3、1），可根据规律直接写出展开式。 3. 易错点 规律总结不全面：仅观察1-2个等式就下结论，导致规律错误（如错将、总结为“”，漏写“括号内为”）。 杨辉三角行与次数对应错：混淆“对应杨辉三角第行”，如错将第3行（1、2、1）对应（正确应为）。 4. 解题技巧 多列等式找规律：至少列出3-4个相关等式，对比等式左右两边的“项数、系数、指数”变化，总结通用规律（如用验证规律）。 杨辉三角标记法：在杨辉三角的行旁标注对应的次数，明确系数与次数的对应关系，再结合“符号规则”（如的系数正负交替）写出展开式。 【例题7】．（2024-2025•镇平县期末）观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣9x+14，则a，b的值可能分别是（　　） A．﹣2，﹣7 B．﹣2，7 C．2，﹣7 D．2，7 【变式题7-1】．（2024-2025•涟源市期末）阅读以下内容： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024＝　 　 ． 【变式题7-2】．（2024-2025•渌口区期末）在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①（x+1）（x+2）；②（x+3）（x﹣4）． 解：①原式＝x2+1•x+2•x+1×2 ＝x2+（1+2）•x+2 ＝x2+3x+2； ②原式＝x2+3•x+（﹣4）•x+3×（﹣4） ＝x2+[3+（﹣4）]•x+3×（﹣4） ＝x2﹣x﹣12． （1）观察上式，比较它们的计算结果，并填空：（x+a）（x+b）＝x2+　 　 x+ab． （2）用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①（x﹣2）（x+3）＝　 　 ； ②（x﹣5）（x﹣1）＝　 　 ； ③（x﹣2y）（x+4y）＝　 　 ； ④（x﹣5y）（x﹣4y）＝　 　 ． 【变式题7-3】．（2024-2025•辽宁校级月考）观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1； （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+33； （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+63； … （1）按以上等式的规律，填空： ①（x+10）（x2﹣10x+100）＝　 　 ； ②（a+b）（a2﹣ab+b2）＝　 　 ； （2）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+3y）（x2﹣3xy+9y2）． 【题型8】整式的乘法阅读理解题 【例题8】．（2024-2025•南安市期末）八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2．利用多项式的乘法运算，还可以得到：（a+b）3＝（a+b）（a2+2ab+b2）＝a3+3a2b+3ab2+b3．当a+b≠0时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①（a+b）4展开式中a3b的系数是 　 　 ； ②（a+b）10展开式中所有项的系数和为 　 　 ； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求a1+a2+a3+⋯+a2024+a2025的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记an，求的值． 【变式题8-1】．（2024-2025•沈阳期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式m+n+p中任意两个字母交换位置，可得到代数式n+m+p，p+n+m，m+p+n，因为n+m+p＝p+n+m＝m+p+n，所以m+n+p是对称式． 又如：交换代数式m﹣n中字母m，n的位置，得到代数式n﹣m，因为m﹣n≠n﹣m，所以m﹣n不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于a，b的代数式（ka+3）（b﹣3）为对称式（k为常数）． （1）求k的值； （2）已知（x﹣a）（x﹣b）＝x2+px+q，若p＝4，q＝﹣3，求对称式（ka+3）（b﹣3）的值． 【变式题8-2】．（2024-2025•南山区期中）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1； （a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和，按照这个规律可以将这个表继续往下写． （1）判断（a+b）5的展开式共有 　 　 项；写出（a+b）6的第三项的系数是 　 　 ； （2）结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1； ②猜想：（2x﹣1）6的展开式中含x3项的系数是 　 　 ． （3）运用：若今天是星期二，那么再过82025天是星期 　 　 ． 【变式题8-3】．（2024-2025•兰州校级期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式x+a，x+b，x+c，x+d（a，b，c，d是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式x+1，x+2，x+5，x+6，因为（7x+10）＝﹣4，所以多项式x+1，x+2，x+5，x+6是一组平衡多项式，其平衡因子为|﹣4|＝4． 任务： （1）小明发现多项式x+3，x+4，x+6，x+7是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：（x+3）（x+7）﹣（x+4）（x+6），要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； （2）判断多项式x﹣1，x﹣2，x﹣4，x﹣5是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； （3）若多项式x+2，x﹣4，x+1，x+m（m是常数）是一组平衡多项式，求m的值． 【题型9】单项式×单项式的实际应用题 知识点 实际数量关系转化：如“产品数量×单件体积=总体积”“速度×时间×人数=总工作量”，这些关系中的量若用整式表示，可转化为单项式×单项式运算。 单位统一：若题目中涉及不同单位（如厘米、米），需先统一单位，再列整式计算。 【例题9】．（2024-2025•平陆县期中）综合与实践 某学校计划改造一片空地，如图，在空地中间修建一个长方形的花坛，花坛的长度为（3x+4）米，宽度为（3x﹣4）米，在花坛的四周铺设一条宽度为2米的走道，走道的外围为装饰区域，装饰区域外圈围成的图形为正方形，其边长比走道外圈围成的长方形区域的长边多1米，请根据以上信息回答下列问题： （1）填空：走道外圈的周长为 　 　 米． （2）分别计算花坛和走道的面积． （3）如果每平方米的装饰区域铺设费用为60元，计算铺设装饰区域的总费用． 【变式题9-1】．（2024-2025•佛山校级期中）某校同学在社会实践的过程中，遇到一些各具特色的建筑，有在加拿大魁北克城举行的第32届世界遗产大会上正式被列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有新中式风格的传统民宿，同学们对于哪个建筑的占地面积更大展开了争论． ①组的同学们认为回字形福建土楼占地面积更大； ②组的同学们认为新中式民宿占地面积更大； 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据的测量，数据如图所示． （1）请你选择一组同学，帮助他们计算建筑物的占地面积为多少？ （2）村口王大叔告诉同学们a＝b，两栋建筑的占地面积均为324m2，求a的值为多少？ 【变式题9-2】．（2024-2025•环翠区期末）现有n人参加会议，若每两人之间只握一次手，则一共握手1+2+⋯+n﹣1①次．这个法则被称为握手法则，数学上有很多题目可以用握手法则解决．①式获得的方法如下： 法一：假设法 假设每两个人之间都一一握手（每两个人之间共握手两次），则共握n（n﹣1）②次，再将②式除以2即可． 法二：倒置法 设x＝1+2+⋯+n﹣1①，则x＝n﹣1+n﹣2+⋯+1②， ①+②，得 2x， 所以，x． 请你借助握手法则，完成以下问题： （1）若过n边形的一个顶点可以画出a条对角线，则n﹣a＝　 　 ； （2）现有10名同学，她们赠送彼此各一张卡片，则共需要卡片　 　 张； （3）乘地铁从甲地出发，沿途经过4站后到达乙地，那么在甲、乙两地之间需要　 　 种不同的票价，需要　 　 种车票； （4）计算：2+4+6+⋯+594+596+598． 【变式题9-3】．（2024-2025•安徽期末）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x一5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式（a+3）x﹣6y+5， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴a+3＝0，解a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，则m值为 　 　 ． （2）已知A＝（2x+1）（x﹣2），B＝x（m﹣x），且A+2B的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 同步练习 一．选择题（共4小题） 1．下列各式中，结果错误的是（　　） A．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6 B．（x﹣4）（x+4）＝x2﹣16 C．（2x+3）（2x﹣6）＝2x2﹣3x﹣18 D．（2x﹣1）（2x+2）＝4x2+2x﹣2 2．若多项式（x﹣m）（x2+x﹣3）的展开式中不含关于x的一次项，则m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 3．若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（　　） A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6 4．图1是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1，S2，若a＝4，b＝2，S1﹣S2的值是（　　） A．8 B．16 C．12 D．32 二．填空题（共5小题） 5．若2a2+a﹣3＝0，则（2a+5）（a﹣2）的值为　 　 ． 6．一个多项式M与xy的积为﹣2x3y4z+xy，则M＝　 　 ． 7．若x+m与x2+2x﹣1的乘积中不含x的二次项，则实数m的值为 　 　 ． 8．已知单项式2a3y2与﹣4a2y4的积为ma5yn，则m+n＝　 　 ． 9．“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 10．计算： （1）2a2•（3a2﹣5b）； （2）（x+5）（x﹣7）． 11．在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24；乙错把a看成了4，得到的结果是2x2+14x+20． （1）求a，b的值． （2）计算（2x+a）（x+b）的正确结果． 12．已知2x2+4x﹣7＝0，求代数式x（x+2）的值． 13．（1）已知2x+3y﹣3＝0，求4x•8y的值； （2）若多项式x+1与ax2+bx+2的积不含x2项和x项，求a和b的值． 14．甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3． （1）求（﹣2a+b）（a+b）的值； （2）若整式中的a的符号不抄错，第二个多项式中x的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 15．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） （2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积． 16．如图，某小区有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a﹣3b）米的长方形地块，角上有四个边长为b米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）求该小区绿化的总面积； （2）若a＝10，b＝2，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 17．有若干张如图1所示的A，B，C三种卡片，A表示边长为m的正方形，B表示边长为n的正方形，C表示长为m、宽为n的长方形． （1）小明和小亮玩卡片拼图游戏，发现可以用图1中的若干张卡片拼出长方形来解释某些等式，如图2可以解释等式（2m+n）（m+n）＝2m2+3mn+n2，则图3可以解释的等式是　 　 ． （2）要用这三种卡片拼一个长为（m+3n），宽为（2m+n）的长方形，通过计算说明需要A，B，C三种卡片各多少张？ （3）请你利用图1中的三种卡片各若干张，拼出一个正方形来解释（m+n）2＝m2+2mn+n2，画出你的正方形示意图． 18．对于关于x的四个多项式A＝x+a，B＝x+b，C＝x+c，D＝x+d（a，b，c，d是常数），任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差，若其中一种组合得到结果为常数n，称这种组合为消元组合，常数n是这种组合的消元余量． 例如：对于多项式A＝x+1，B＝x+2，C＝x+3，D＝x+4， 因为A×D﹣B×C＝（x+1）（x+4）﹣（x+2）（x+3）＝﹣2， 所以A×D﹣C×B这种组合为消元组合，其消元余量为﹣2． 因为A×B﹣C×D＝（x+1）（x+2）﹣（x+3）（x+4）＝﹣4x﹣10，结果不是常数； 所以A×B﹣C×D这种组合不是消元组合． （1）若多项式A＝x+1，B＝x+4，C＝x+8，D＝x+5，判断A×C﹣B×D是否为消元组合，若是，请求出消元余量，若不是，请说明理由． （2）若多项式A＝x+1，B＝x﹣2，C＝x+5，D＝x+p存在消元组合，则p的值为 　 　 ． （3）若多项式A＝2x+1，B＝x+4，C＝2x+a，D＝x+b存在消元组合，求a与b的关系式． 19．观察以下等式： （x÷1）（x2﹣x+1）＝x3÷1 （x÷3）（x2﹣3x÷9）＝x3÷33 （x÷6）（x2﹣6x+36）＝x3÷63 （1）按以上等式的规律，填空： ①（x+8）（x2﹣8x+64）　 　 ． ②（a+b）（a2﹣ab+b2）＝　 　 ． （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． （3）利用（1）中的公式化简； （x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+4y）（x2﹣4xy+16y2） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.2整式的乘法 【题型 1】整式乘法基础计算（单 × 单、单 × 多、多 × 多） 1. 知识点 单项式×单项式：系数相乘（含符号），同底数幂指数相加，单独字母连同指数保留，如。 单项式×多项式（分配律）：用单项式乘多项式每一项，再求和，即。 多项式×多项式：用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再求和，即。 运算本质：均通过“转化”简化计算（多项式乘法→单项式乘法→有理数乘法与同底数幂运算）。 2. 考点 直接计算：如、、。 含多字母/负号的运算：如、、。 多步混合运算：如先算单项式×多项式，再算多项式×多项式（不含合并同类项的纯展开）。 3. 易错点 漏乘项：单项式漏乘多项式的常数项（如错得）；多项式漏乘交叉项（如漏算）。 符号错误：负系数与多项式负项相乘时符号判断失误（如错得）。 同底数幂运算混淆：错将算成（应是），混淆“乘法（指数加）”与“乘方（指数乘）”。 4. 解题技巧 分步标记法：单项式×多项式时，用序号标记每一项的乘积（如“①，②”）；多项式×多项式时，用“首×首、首×尾、尾×首、尾×尾”口诀避免漏项。 符号优先处理：先确定每一步运算的符号（负号个数为奇则负，偶则正），再计算绝对值，减少符号失误。 【例题1】．（2024-2025•揭阳期末）下列式子运算正确的是（　　） A．3x•4x＝12x B．（x2y）3＝x2y3 C．x3•x4＝x7 D．（x3）4＝x7 【答案】C 【分析】根据幂的运算，am×an＝am+n，（ab）n＝anbn，进行计算，即可． 【解答】解：A.3x与4x是同类项，可以合并，3x+4x＝7x，A不符合题意； B．根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘”知（x2y）3＝x6y3，B不符合题意； C．根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知x3•x4＝x3+4＝x7，C符合题意； D．根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”知（x3）4＝x12，D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题1-1】．（2024-2025••西安校级二模）下列计算正确的是（　　） A．6x2•3xy＝9x3y B．（2ab2）•（﹣3ab）＝﹣6a2b3 C．m2n•（﹣m2n）＝﹣m3n3 D．（﹣3x3y）•（﹣3xy）＝9x3y2 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则逐项判断即可． 【解答】解：A、6x2•3xy＝18x3y，原计算错误，不符合题意； B、（2ab2）•（﹣3ab）＝﹣6a2b3，原计算正确，符合题意； C、m2n•（﹣m2n）＝﹣m4n2，原计算错误，不符合题意； D、（﹣3x3y）•（﹣3xy）＝9x4y2，原计算错误，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘单项式的运算法则． 【变式题1-2】．（2024-2025•清城区校级月考）计算：2a3•　（﹣a2）　 ＝﹣2a5． 【答案】（﹣a2）． 【分析】根据单项式除以单项式运算法则计算即可． 【解答】解：﹣2a5÷2a3＝﹣a2． 故答案为：（﹣a2）． 【点评】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式运算法则是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•安宁区校级期末）计算： （1）3a2b•（﹣2ab）； （2）． 【答案】（1）﹣6a3b2； （2）2x3﹣x2+6x． 【分析】（1）根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘多项式法则计算即可． 【解答】解：（1）3a2b•（﹣2ab）＝﹣6a3b2； （2）2x3﹣x2+6x． 【点评】本题考查了单项式乘单项式、单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型2】整式乘法中“不含某一项”求字母值 1. 知识点 “不含某一项”的本质：整式展开并合并同类项后，目标项的系数为0（如不含项，则项系数=0）。 适用范围：单项式×多项式、多项式×多项式均可能涉及，核心是“展开→合并→析系数”。 2. 考点 单项式×多项式中不含某一项：如展开后不含项，求。 多项式×多项式中不含某一项：如展开后不含项，求。 不含多项：如展开后不含项且常数项为6，求、。 3. 易错点 展开不彻底：多项式×多项式漏乘项，导致目标项系数计算错误（如漏算，错判常数项）。 合并同类项失误：同类项系数符号或数值计算错误（如错算成，正确应为）。 忽略隐含系数：目标项系数由多部分组成时漏加（如中项系数为，错漏“+1”）。 4. 解题技巧 系数拆解法：展开后，将同类项的系数单独提取（如项系数=所有含项的系数和），用“□ + △ + ○”形式标记，清晰对应目标项。 方程验证法：列出系数方程（如“不含项→系数=0”），求解后代入原式展开验证，确保目标项确实消失。 【例题2】．（2024-2025•江口县期末）若（x+5）（3x﹣m）的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为（　　） A．3 B．5 C．8 D．15 【答案】D． 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（x+5）（3x﹣m）＝3x2+（15﹣m）x﹣5m不含x的一次项， ∴15﹣m＝0， 解得m＝15． 故选：D． 【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 【变式题2-1】．（2024-2025•荷塘区期末）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n，若不论a为何值，2m﹣n的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2 【答案】A 【分析】先对原式左边展开，接着整理出a（2﹣b）+2b，再根据已知条件得出b＝2，进而得出答案． 【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，（x+a）（x+b）＝x2+mx+n， ∴x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n， ∴a+b＝m，n＝ab， ∴2m﹣n＝2a+2b﹣ab ＝a（2﹣b）+2b， ∵不论a为何值，2m﹣n的值始终是一个确定的值， ∴2﹣b＝0， ∴b＝2， ∴2m﹣n＝2b＝4． 故答案为：A． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，理解“不论a为何值，2m﹣n的值始终是一个确定的值”是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•渭城区校级月考）小红准备完成题目：计算（■x﹣1）（﹣3x+1）时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：（2x﹣1）（﹣3x+1）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】（1）﹣6x2+5x﹣1； （2）﹣3． 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）设被遮住的一次项系数为a，利用多项式乘多项式的法则展开，利用不含一次项得出ax+3x＝0，求解即可． 【解答】解：（1）由题意知：（2x﹣1）（﹣3x+1）＝﹣6x2+5x﹣1； （2）设被遮住的一次项系数为a， 即（ax﹣1）（﹣3x+1）＝﹣3ax2+ax+3x﹣1， 因为这个题目的正确答案是不含一次项的， 所以ax+3x＝0，所以a＝﹣3， 所以被遮住的一次项系数为﹣3． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式相乘的法则． 【变式题2-3】．（2024-2025•碧江区 期中）我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为4×5×（﹣6）＝﹣120．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是5×（﹣6）+2×4×（﹣6）+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x． 请你参考上面的计算方法，解答下列问题： （1）计算（x+1）（3x+2）（5x﹣3）求所得多项式的一次项系数； （2）如果计算（x+5）（﹣2x+a）（3x﹣3）所得多项式中不含一次项，求常数a的值． 【答案】（1）﹣5；（2）． 【分析】（1）在三个二项式相乘时，一次项的系数由每次选取一个括号中的x项，其余两个括号选取常数项，再将所有可能的组合乘积相加得到． （2）不含某项的条件：若多项式不含一次项，则一次项的系数之和为0，据此可建立方程求解参数． 【解答】解：（1）一次项的系数就是： 1×2×（﹣3）+3×1×（﹣3）+5×1×2 ＝﹣6+（﹣9）+10 ＝﹣5； （2）一次项系数为： 1×a×（﹣3）+（﹣2）×5×（﹣3）+3×5×a ＝﹣3a+30+15a ＝12a+30， 因为所得多项式中不含一次项， 所以12a+30＝0， 所以． 【点评】本题考查了多项式乘多项式、有理数的混合运算、单项式乘单项式，解决本题的关键是按照示例计算一次项系数． 【题型 3】多项式 × 多项式的整体代入求值 1. 知识点 整体代入前提：若已知 “多项式的值”（如），且化简后的式子可整理成含该多项式的形式（如），则无需求单个字母值，直接代入多项式的值计算。 式子变形技巧：通过添括号、拆项等方式，将化简后的式子与已知多项式对齐（如已知，将变形为）。 2. 考点 已知一次多项式的值求值：如已知，求的值（可先求，也可整体变形）。 已知二次多项式的值求值：如已知，求的值。 3. 易错点 不会式子变形：强行求解单个字母值（如已知，解方程求，导致计算复杂且易出错），忽略整体代入。 变形时符号错：如将变形为时，错漏“+6”，导致代入后结果错误。 4. 解题技巧 目标式“凑”已知式：化简目标式时，刻意保留与已知多项式相同的部分（如已知，化简时，保留，不彻底展开为）。 分步验证：变形后先检查“目标式是否等于已知式+常数/其他项”，再代入已知值计算，确保变形正确。 【例题3】．（2024-2025•惠山区校级期末）已知（x+3）（x+2）＝x2+mx+n，则m+n的值为（　　） A．11 B．6 C．5 D．1 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的计算法则求出（x+3）（x+2）的展开结果即可得到m、n，再代值计算即可得到答案． 【解答】解：根据多项式乘多项式的计算法则可得：（x+3）（x+2）＝x2+mx+n， ∴x2+5x+6＝x2+mx+n， ∴m＝5，n＝6， ∴m+n＝5+6＝11， 故选：A． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键． 【变式题3-1】．（2024-2025••岳麓区校级模拟）若（x+2）（x﹣3）＝x2+ax﹣6，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算（x+2）（x﹣3），再根据（x+2）（x﹣3）＝x2+ax﹣6求出a即可． 【解答】解：（x+2）（x﹣3） ＝x2﹣3x+2x﹣6 ＝x2﹣x﹣6， ∵（x+2）（x﹣3）＝x2+ax﹣6， ∴a＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：让一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得积相加． 【变式题3-2】．（2024-2025•长汀县期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为s1，s2．若满足条件0＜n＜|s1﹣s2|的整数n有且只有8个，则m为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据面积公式计算出s1，s2，根据题意找出关于m的不等式，解之即可求出m． 【解答】解：∵s1＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7， s2＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8， ∴s1﹣s2＝2m﹣1， ∵m为正整数， ∴m最小为1， ∴2m﹣1＞0， ∴|s1﹣s2|＝|2m﹣1|＝2m﹣1， ∵0＜n＜|s1﹣s2|， ∴0＜n＜2m﹣1， 由题意得8＜2m﹣1≤9， 解得：m≤5， ∵m为正整数， ∴m＝5． 故选：B． 【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是能够找出关于m的不等式． 【变式题3-3】．（2024-2025•鄄城县期中）阅读下列文字，并解决问题． 已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值． 分析：考虑到满足x2y＝3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入． 解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24． 请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案． 【解答】解：（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b） ＝﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab ＝﹣4×（ab）3+6（ab）2﹣8ab ＝﹣4×33+6×32﹣8×3 ＝﹣108+54﹣24 ＝﹣78． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，整体代入是解题关键． 【题型4】整式乘法的化简求值 1. 知识点 运算顺序：先算整式乘法（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式），再合并同类项，最后代入数值计算。 整体代入思想：若已知代数式的值（如），可将化简后的式子整理成含该代数式的形式，直接代入（避免求单个字母值）。 2. 考点 直接代入求值：如化简，再代入求值。 整体代入求值：如已知，求化简后式子的值。 3. 易错点 化简不彻底：未合并同类项就代入数值，导致计算量增大且易出错（如未合并为，直接代入）。 代入负数/分数时符号错：代入时，未给负数加括号，如错算成（正确应为）。 4. 解题技巧 化简优先：严格遵循“先化简，再求值”，合并同类项时用“不同符号标记不同类项”（如项画“△”，项画“○”，常数项画“□”）。 代入分步算：代入数值后，先算乘方，再算乘除，最后算加减，每一步标注计算结果，减少失误。 【例题4】．（2024-2025•项城市期末）若2a2+a﹣3＝0，则（2a+5）（a﹣2）的值为　﹣7　 ． 【答案】﹣7． 【分析】先化简（2a+5）（a﹣2），再将2a2+a﹣3＝0化为2a2+a＝3代入计算即可． 【解答】解：原式＝2a2﹣4a+5a﹣10 ＝2a2+a﹣10， 由条件可知2a2+a＝3， ∴（2a+5）（a﹣2）＝2a2+a﹣10＝3﹣10＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查的是多项式的乘法，熟练掌握该知识点是关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•海宁市期末）已知m+n＝﹣5，mn＝﹣2，则（1﹣2m）（1﹣2n）的值为　3　 ． 【答案】3． 【分析】把（1﹣2m）（1﹣2n）化为1﹣2（m+n）+4mn，再代入m+n＝﹣5，mn＝﹣2计算即可． 【解答】解：原式＝1﹣2（m+n）+4mn ＝1﹣2×（﹣5）+4×（﹣2） ＝1+10﹣8 ＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查整体代入求代数式的值，正确进行计算是解题关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•新邵县期末）已知a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）的值为　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【分析】将a﹣b、ab的值代入（a+1）（b﹣1）＝ab﹣a+b﹣1＝ab﹣（a﹣b）﹣1计算可得． 【解答】解：当a﹣b＝5，ab＝3时， （a+1）（b﹣1） ＝ab﹣a+b﹣1 ＝ab﹣（a﹣b）﹣1 ＝3﹣5﹣1 ＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【变式题4-3】．（2024-2025•郫都区期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，则m+n的值为 　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题． 【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x﹣6． ∵（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n， ∴m＝1，n＝﹣6． ∴m+n＝1+（﹣6）＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题主要多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 【题型5】整式乘法与图形面积问题 1. 知识点 图形面积公式关联：长方形面积=长×宽、正方形面积=边长×边长、组合图形面积=各部分面积和/差，这些公式可转化为整式乘法（如长为2、宽为的长方形面积= ）。 边长表达：根据图形标注（如“小路宽为”“剪去边长为的正方形”），用含字母的整式表示未知边长。 2. 考点 用整式表示面积：如求长为、宽为的长方形面积（含小路的组合图形面积）。 根据面积关系求字母：如已知长方形面积为，长为，求宽（转化为多项式除法，本质关联多项式乘法）。 3. 易错点 边长分析错误：误解图形标注（如“剪去四角边长为的正方形”，错将折成的长方体底面边长算成“原长-”，正确应为“原长-2）。 面积公式混用：混淆长方形与正方形面积公式，或组合图形面积 “加 / 减” 关系搞反（如漏减小路面积，错将 “总面积 - 小路面积” 算成 “总面积 + 小路面积”）。 4. 解题技巧 图形标注法：在图形上直接标注已知边长和未知边长（用含字母的整式表示），明确各部分的位置关系（如 “横向总长 = 阴影部分长 + 2× 小路宽”）。 面积公式转化：将图形面积问题直接转化为整式乘法式子（如 “面积 = 长 × 宽→整式 = A×B”），再按整式乘法法则计算或逆推。 【例题5】．（2024-2025•乳山市期末）如图，城建部门计划在长为（4a﹣b）米、宽为2（a+b）米的长方形草坪内修建两条互相垂直，且宽均为b米的硬化通道． （1）求剩余草坪的面积；（用含a，b的式子表示） （2）若a＝50，b＝10，求剩余草坪的面积的具体值． 【答案】（1）（8a2﹣2b2）平方米； （2）剩余草坪的面积是19800平方米． 【分析】（1）将两条路平移后，可以用代数式表示出剩余草坪的面积； （2）将a＝4，b＝1代入（1）中的结果，即可解答本题． 【解答】解：（1）将两条路平移后，剩余草坪的面积： （4a﹣b﹣b）•[2（a+b）﹣b] ＝（4a﹣2b）•（2a+2b﹣b） ＝（4a﹣2b）•（2a+b） ＝8a2+4ab﹣4ab﹣2b2 ＝8a2﹣2b2， ∴剩余草坪的面积为（8a2﹣2b2）平方米； （2）8a2﹣2b2 ＝8×502﹣2×102 ＝19800， ∴剩余草坪的面积是19800平方米． 【点评】本题考查多项式乘多项式运算的实际应用，理解题意是关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•渭南期末）如图，在长为（2a+b）米，宽为（3b﹣a）米的长方形铁片上，剪去一个长为（a+2）米、宽为b米的小长方形铁片和边长为b米的正方形铁片． （1）计算剩余部分（即阴影部分）的面积； （2）当a＝6，b＝4时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）（2b2﹣2a2+4ab﹣2b）平方米；（2）48平方米． 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于大长方形的面积减去小1个长方形的面积和1个正方形的面积即可求解； （2）将字母的值代入（1）中结果进行计算即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可知，阴影部分的面积为大长方形的面积减去小长方形的面积再减去小正方形的面积，平方米． （2）当a＝6，b＝4时， 原式＝48（平方米）． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•上城区校级期中）如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为S1，S2，S3.且，则S3＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别为a，b，根据图1和图2列出等式，求出a，b，再根据图3表示出阴影部分面积，代入求解即可． 【解答】解：设大正方形和小正方形的边长分别为a，b，根据图1和图2列出方程为： ， 整理得a2﹣b2＝5， ， 整理得b2＝4，解得：b＝2； ∴a＝3， ∴S3＝a2+b2． 故选：A． 【点评】该题考查了多项式乘法与图形面积，解题的关键是表示出图中阴影部分面积． 【变式题5-3】．分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片． （1）用这些卡片拼一些新的长方形，并计算新长方形的面积； （2）从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为（2a2+3ab）的长方形． 【答案】（1）新长方形面积为2a2+3ab+b2，a2+4ab+3b2，（答案不唯一，也可选择其他卡片组合）， （2）选择2张边长为a的正方形卡片和3张长为a、宽为b的长方形卡片来拼这个长方形，拼为长为2a+3b，宽为a的长方形． 【分析】（1）①先画图，新的长方形长为2a+b，宽为a+b，利用多项式乘以多项式法则计算得到面积，②先画图，新的长方形长为a+3b，宽为a+b，利用多项式乘以多项式法则计算得到面积， （2）将（2a2+3ab）分解为a（2a+3b）即解题的关键，结合长方形面积公式求解． 【解答】解：（1）如图： ①用3张A卡片、1张B卡片、2张C卡片它们拼出一个长为2a+b，宽为a+b的新长方形， ， S＝（2a+b）（a+b）＝2a2+2ab+ab+b2＝2a2+3ab+b2， ②用4张A卡片、3张B卡片、1张C卡片拼出一个长为a+3b，宽为a+b的新长方形， S＝（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2， ， 答案不唯一，也可选择其他卡片组合； （2）∵（2a2+3ab）＝a（2a+3b）， ∴选择2张边长为a的正方形卡片和3张长为a、宽为b的长方形卡片来拼这个长方形，拼为长为2a+3b，宽为a的长方形． 【点评】本题主要考查了乘法公式的几何表示，根据图形的总面积等于各个部分的面积的和来理解多项式乘以多项式的法则是解题的关键． 【题型6】整式乘法中的新定义问题 1. 知识点 新定义转化：理解题目给出的新运算规则（如 “定义a★b = ab + a b^2$”“二阶行列式”），将其转化为熟悉的整式乘法运算。 规则优先级：新定义运算需遵循题目规定的顺序，若含常规整式运算（如乘方、乘法），需先算常规运算，再算新定义运算。 2. 考点 直接按新定义计算：如定义，求的值。 新定义与整式乘法结合：如定义，化简。 3. 易错点 误解新定义规则，导致运算方向错误。 漏用新定义的特殊条件。 4. 解题技巧 规则“翻译”：将新定义的符号/文字描述转化为数学式子，写在草稿纸上。 分步代入：按新定义规则，先代入已知整式，再按整式乘法法则展开、化简，确保每一步符合规则。 【例题6】．（2024-2025•东明县期中）定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（　　） A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 【答案】B 【分析】根据题意理解三角和方框表示的意义，然后即可求出要求的结果． 【解答】解：根据题意得：原式＝9mn×（8m+5n）＝72m2n+45mn2． 故选：B． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，解答本题的关键在于理解题中所给的新定义． 【变式题6-1】．（2024-2025•东港市期末）【新型定义】若A﹣B＝7，则称A与B是关于7的“奇妙数”． 例如：如果2x+2﹣（2x﹣5）＝2x+2﹣2x+5＝7，那么2x+2与2x﹣5是关于7的“奇妙数”． （1）【初步探究】求 ①5与　﹣2　 是关于7的“奇妙数”； ②　x﹣3　 与x﹣10是关于7的“奇妙数”； ③（x﹣1）（x+2）与　x2+x﹣9　 是关于7的“奇妙数”； （2）【拓展提升】若M＝x（2x﹣3）﹣4与N＝（x+3）（2x﹣1）是关于7的“奇妙数”，求x的值． 【答案】（1）①﹣2；②x﹣3；③x2+x﹣9； （2）x＝﹣1． 【分析】（1）根据新定义的“奇妙数”的定义进行计算即可； （2）根据“奇妙数的定义”列方程求解即可． 【解答】解：（1）①∵5﹣（﹣2）＝7， ∴5与﹣2是关于7的“奇妙数”； 故答案为：﹣2； ②∵（x﹣3）﹣（x﹣10）＝7， ∴x﹣3与x﹣10是关于7的“奇妙数”； 故答案为：x﹣3； ③∵（x﹣1）（x+2）﹣（x2+x﹣9）＝7， ∴（x﹣1）（x+2）与x2+x﹣9是关于7的“奇妙数”； 故答案为：x2+x﹣9； （2）∵M＝x（2x﹣3）﹣4与N＝（x+3）（2x﹣1）是关于7的“奇妙数”， ∴M﹣N＝7， 即x（2x﹣3）﹣4﹣（x+3）（2x﹣1）＝7， 解得x＝﹣1． 【点评】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法，连接“奇妙数”的定义是正确解答的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•岳阳期末）18世纪欧拉引进了求和符号““（其中i≤n，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即 ．例如：当i＝1时，．若 ，则p和m所表示的数分别为（　　） A．﹣6和9 B．﹣15和20 C．30和﹣81 D．27和﹣243 【答案】B 【分析】根据3x2+px+m中二次项系数为3，求出n的值，然后根据新定义计算，最后根据两个多项式相等，它们对应项的系数相等，求出p，m． 【解答】解：∵，且3x2+px+m中二次项系数为3， ∴n＝4， ∴ ＝（x﹣2）（x﹣1）+（x﹣3）（x﹣2）+（x﹣4）（x﹣3） ＝x2﹣x﹣2x+2+x2﹣2x﹣3x+6+x2﹣3x﹣4x+12 ＝3x2﹣15x+20， ∵， ∴3x2﹣15x+20＝3x2+px+m， ∴p＝﹣15，m＝20， 故选：B． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义，解题关键是理解新定义的含义． 【变式题6-3】．（2024-2025•庐阳区校级期末）定义：Φ[a，b，c]是以a、b、c为系数的二次多项式，即Φ[a，b，c]＝ax2+bx+c，其中a、b、c均为实数．例如Φ[1，2，3]＝x2+2x+3、Φ[2，0，﹣2]＝2x2﹣2． ①当x＝2时，求Φ[1，1，1]×Φ[﹣1，﹣1，﹣1]＝　﹣49　 ； ②若Φ[p，q，﹣1]×Φ[m，n，﹣2]＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，求（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝　﹣6　 ． 【答案】①﹣49； ②﹣6． 【分析】①根据Φ[a，b，c]定义即可代入计算； ②根据Φ[a，b，c]定义分别求出p，q，m，n的关系，再代入计算即可求解． 【解答】解：①Φ[1，1，1]×Φ[﹣1，﹣1，﹣1]＝（x2+x+1）×（﹣x2﹣x﹣1）＝﹣（x2+x+1）2， 当x＝2时，原式＝﹣（x2+x+1）2＝﹣（22+2+1）2＝﹣49， 故答案为：﹣49； ②Φ[p，q，﹣1]×Φ[m，n，﹣2] ＝（px2+qx﹣1）×（mx2+nx﹣2） ＝pmx4+（pn+qm）x3+（﹣2p+qn﹣m）x2+（﹣n﹣2q）x+2 ＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2， ∴， （4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1） ＝8pm﹣4pn﹣4p﹣4qm+2qn+2q﹣2m+n+1 ＝8pm﹣4（pn+qm）+2（﹣2p+qn﹣m）﹣（﹣n﹣2q）+1 ＝8×2﹣4×1+2×（﹣10）﹣（﹣1）+1 ＝16﹣4﹣20+1+1 ＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查多项式乘多项式和新定义问题，解题的关键是理解题意，对新定义的理解． 【题型7】多项式乘法中的规律探索问题 1. 知识点 展开式规律：如、，可总结出。 2. 考点 找等式规律并计算：如根据杨辉三角与系数规律：的展开式系数对应杨辉三角第行（如系数为1、3、3、1），可根据规律直接写出展开式。 3. 易错点 规律总结不全面：仅观察1-2个等式就下结论，导致规律错误（如错将、总结为“”，漏写“括号内为”）。 杨辉三角行与次数对应错：混淆“对应杨辉三角第行”，如错将第3行（1、2、1）对应（正确应为）。 4. 解题技巧 多列等式找规律：至少列出3-4个相关等式，对比等式左右两边的“项数、系数、指数”变化，总结通用规律（如用验证规律）。 杨辉三角标记法：在杨辉三角的行旁标注对应的次数，明确系数与次数的对应关系，再结合“符号规则”（如的系数正负交替）写出展开式。 【例题7】．（2024-2025•镇平县期末）观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣9x+14，则a，b的值可能分别是（　　） A．﹣2，﹣7 B．﹣2，7 C．2，﹣7 D．2，7 【答案】A 【分析】从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出a、b． 【解答】解：根据题意，知：a+b＝﹣9，ab＝14， ∴a，b的值可能分别是﹣2，﹣7， 故选：A． 【点评】本题考查多项式乘多项式，理解题例的运算过程并发现规律是解决本题的关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•涟源市期末）阅读以下内容： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据题意，先求出1+2+22+23+24+25+…+22023＝（2﹣1）×（22023+⋯+22+2+1）＝22024﹣1，再计算1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024即可． 【解答】解：根据题意可得： 1+2+22+23+24+25+…+22023 ＝（2﹣1）×（22023+⋯+22+2+1） ＝22024﹣1， ∴1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024 ＝22024﹣1﹣22024 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查的是多项式乘多项式，从题目中找出式子间的变化规律是解题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•渌口区期末）在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①（x+1）（x+2）；②（x+3）（x﹣4）． 解：①原式＝x2+1•x+2•x+1×2 ＝x2+（1+2）•x+2 ＝x2+3x+2； ②原式＝x2+3•x+（﹣4）•x+3×（﹣4） ＝x2+[3+（﹣4）]•x+3×（﹣4） ＝x2﹣x﹣12． （1）观察上式，比较它们的计算结果，并填空：（x+a）（x+b）＝x2+　（a+b）　 x+ab． （2）用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①（x﹣2）（x+3）＝　x2+x﹣6　 ； ②（x﹣5）（x﹣1）＝　x2﹣6x+5　 ； ③（x﹣2y）（x+4y）＝　x2+2xy﹣8y2　 ； ④（x﹣5y）（x﹣4y）＝　x2﹣9xy+20y2　 ． 【答案】（1）（a+b）；（2）①x2+x﹣6；②x2﹣6x+5；③x2+2xy﹣8y2；④x2﹣9xy+20y2． 【分析】（1）观察阅读材料得到结果即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝x2+（a+b）x+ab． 故答案为：（a+b）； （2）①原式＝x2+x﹣6； ②原式＝x2﹣6x+5； ③原式＝x2+2xy﹣8y2； ④原式＝x2﹣9xy+20y2． 故答案为：①x2+x﹣6；②x2﹣6x+5；③x2+2xy﹣8y2；④x2﹣9xy+20y2． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•辽宁校级月考）观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1； （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+33； （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+63； … （1）按以上等式的规律，填空： ①（x+10）（x2﹣10x+100）＝　x3+103　 ； ②（a+b）（a2﹣ab+b2）＝　a3+b3　 ； （2）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+3y）（x2﹣3xy+9y2）． 【答案】（1）①x3+103；②a3+b3； （2）﹣26y3． 【分析】（1）①读懂题意，按照题中的规律填空；②按照题中的规律填空； （2）根据规律化简式子． 【解答】解：（1）①（x+10）（x2﹣10x+100）＝x3+103； ②（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3， 故答案为：x3+103；a3+b3； （2）原式＝x3+y3﹣[x3+（3y）3] ＝x3+y3﹣（x3+27y3） ＝x3+y3﹣x3﹣27y3 ＝﹣26y3． 【点评】本题考查了整式的探究性题型，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式． 【题型8】整式的乘法阅读理解题 【例题8】．（2024-2025•南安市期末）八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2．利用多项式的乘法运算，还可以得到：（a+b）3＝（a+b）（a2+2ab+b2）＝a3+3a2b+3ab2+b3．当a+b≠0时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①（a+b）4展开式中a3b的系数是 　4　 ； ②（a+b）10展开式中所有项的系数和为 　210　 ； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求a1+a2+a3+⋯+a2024+a2025的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记an，求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据已知条件即可得出答案； （2）当x＝0时，，当x＝1时，a1+a2+a3+⋯+a2024+a2025+a2026＝1，进而得出答案； （3）先找到规律，再变形，进而得出答案． 【解答】解：（1）①根据已知可得，（a+b）4展开式中a3b的系数是4； ②根据已知可得，（a+b）0展开式中所有项的系数和为1＝20， （a+b）2展开式中所有项的系数和为1+2+1＝22， （a+b）3展开式中所有项的系数和为1+3+3+1＝8＝23， （a+b）4展开式中所有项的系数和为1+4+6+4+1＝24， ⋯， 则（a+b）10展开式中所有项的系数和为210． 故答案为：4；210． （2）∵， ∴当x＝0时，， 当x＝1时，a1+a2+a3+⋯+a2024+a2025+a2026＝1， ∴a1+a2+a3+⋯+a2024+a2025＝2． （3）由题意可得：a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3， ， ∴， ∴ ． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式、规律型：图形的变化、几何体的展开图，找到规律是解题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•沈阳期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式m+n+p中任意两个字母交换位置，可得到代数式n+m+p，p+n+m，m+p+n，因为n+m+p＝p+n+m＝m+p+n，所以m+n+p是对称式． 又如：交换代数式m﹣n中字母m，n的位置，得到代数式n﹣m，因为m﹣n≠n﹣m，所以m﹣n不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于a，b的代数式（ka+3）（b﹣3）为对称式（k为常数）． （1）求k的值； （2）已知（x﹣a）（x﹣b）＝x2+px+q，若p＝4，q＝﹣3，求对称式（ka+3）（b﹣3）的值． 【答案】（1）﹣1； （2）﹣18． 【分析】（1）先求出（ka+3）（b﹣3）＝kab﹣3ka+3b﹣9，交换a、b的位置得出（kb+3）（a﹣3）＝kab﹣3kb+3a﹣9，根据对称式的定义得出kab﹣3ka+3b﹣9＝kab﹣3kb+3a﹣9，得出3k+3＝0，求解即可； （2）解（x﹣a）（x﹣b）＝x2+px+q，p＝4，q＝﹣3得出a+b＝﹣4，ab＝﹣3，把k＝﹣1代入（ka+3）（b﹣3）即可求解． 【解答】解：（1）（ka+3）（b﹣3）＝kab﹣3ka+3b﹣9， 交换a、b的位置（kb+3）（a﹣3）＝kab﹣3kb+3a﹣9， 根据新定义可得kab﹣3ka+3b﹣9＝kab﹣3kb+3a﹣9， ∴3k（b﹣a）+3（b﹣a）＝0， ∴（3k+3）（b﹣a）＝0， ∴3k+3＝0， 解得：k＝﹣1； （2）∵（x﹣a）（x﹣b）＝x2+px+q，p＝4，q＝﹣3， ∴x2﹣ax﹣bx+ab＝x2+4x﹣3， 即x2﹣（a+b）x+ab＝x2+4x﹣3， ∴a+b＝﹣4，ab＝﹣3， 把k＝﹣1代入（ka+3）（b﹣3）得： 原式＝﹣ab+3a+3b﹣9 ＝﹣ab+3（a+b）﹣9 ＝﹣（﹣3）+3×（﹣4）﹣9 ＝3﹣12﹣9 ＝﹣18． 【点评】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•南山区期中）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1； （a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和，按照这个规律可以将这个表继续往下写． （1）判断（a+b）5的展开式共有 　六　 项；写出（a+b）6的第三项的系数是 　15　 ； （2）结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1； ②猜想：（2x﹣1）6的展开式中含x3项的系数是 　﹣160　 ． （3）运用：若今天是星期二，那么再过82025天是星期 　三　 ． 【答案】（1）六，15； （2）①1；②﹣160； （3）三． 【分析】（1）通过观察，可知（a+b）4展开式有五项，分别写出（a+b）4和（a+b）5展开式的系数，从而得到（a+b）6展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1，从而得到答案； （2）①通过观察可知，25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣5）5，从而得出答案；②写出（2x﹣1）6的展开项，从而算得x3的系数； （3）82025＝（7+1）2025，其展开式除最后一项外，均含有因数7，都能被7整除，求出其展开式的最后一项为1×70×12025＝1，往后数一天即可． 【解答】解：（1）根据题意，可知四次展开式有五项，系数分别是1，4，6，4，1； 五次展开式有六项，系数分别是1，5，10，10，5，1； 六次展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1； 故答案为：六，15； （2）①25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1 ＝32﹣80+80﹣40+10﹣1 ＝1， ②﹣160，理由如下： （2x﹣1）6展开后共7项， 第一项是：（2x）6， 第二项是：6×（2x）5×（﹣1）， 第三项是：15×（2x）4×（﹣1）2， 第四项是：20×（2x）3×（﹣1）3＝﹣160x3， 故答案为：﹣160； （3）82025＝（7+1）2025，其展开式除最后一项外，均含有因数7，都能被7整除， 其展开式的最后一项为1×70×12025＝1， 从星期二往后数82025天是星期三， 答案为：三． 【点评】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． 32．（2024-2025•兰州校级期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式x+a，x+b，x+c，x+d（a，b，c，d是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式x+1，x+2，x+5，x+6，因为（7x+10）＝﹣4，所以多项式x+1，x+2，x+5，x+6是一组平衡多项式，其平衡因子为|﹣4|＝4． 任务： （1）小明发现多项式x+3，x+4，x+6，x+7是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：（x+3）（x+7）﹣（x+4）（x+6），要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； （2）判断多项式x﹣1，x﹣2，x﹣4，x﹣5是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； （3）若多项式x+2，x﹣4，x+1，x+m（m是常数）是一组平衡多项式，求m的值． 【答案】（1）3； （2）是，3； （3）﹣3或7或﹣5． 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，并求出平衡因子； （2）根据运算法则计算（x﹣1）（x﹣5）﹣（x﹣2）（x﹣4），并求出平衡因子； （3）分三种情况列出算式，再计算求值． 【解答】解：（1）根据题意，得（x+3）（x+7）﹣（x+4）（x+6） ＝x2+10x+21﹣（x2+10x+24） ＝﹣3， 所以平衡因子是|﹣3|＝3； （2）是平衡多项式，理由如下： 根据题意，得（x﹣1）（x﹣5）﹣（x﹣2）（x﹣4） ＝x2﹣6x+5﹣（x2﹣6x+8） ＝﹣3， 所以是平衡多项式，平衡因子是|﹣3|＝3； （3）若（x+2）（x﹣4）﹣（x+1）（x+m） ＝x2﹣2x﹣8﹣[x2+（m+1）x+m] ＝（﹣2﹣m﹣1）x﹣8﹣m， ∴﹣2﹣m﹣1＝0， 解得m＝﹣3； 若（x+2）（x+1）﹣（x﹣4）（x+m） ＝x2+3x+2﹣[x2+（m﹣4）x﹣4m] ＝（3﹣m+4）x+2+4m， ∴3﹣m+4＝0， 解得m＝7； 若（x+2）（x+m）﹣（x﹣4）（x+1） ＝x2+（m+2）x+2m﹣（x2﹣3x﹣4） ＝（m+2+3）x+2m+4， ∴m+2+3＝0， 解得m＝﹣5． 所以m的值为﹣3或7或﹣5． 【点评】本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算，读懂材料是解题的关键． 【题型9】单项式×单项式的实际应用题 知识点 实际数量关系转化：如“产品数量×单件体积=总体积”“速度×时间×人数=总工作量”，这些关系中的量若用整式表示，可转化为单项式×单项式运算。 单位统一：若题目中涉及不同单位（如厘米、米），需先统一单位，再列整式计算。 【例题9】．（2024-2025•平陆县期中）综合与实践 某学校计划改造一片空地，如图，在空地中间修建一个长方形的花坛，花坛的长度为（3x+4）米，宽度为（3x﹣4）米，在花坛的四周铺设一条宽度为2米的走道，走道的外围为装饰区域，装饰区域外圈围成的图形为正方形，其边长比走道外圈围成的长方形区域的长边多1米，请根据以上信息回答下列问题： （1）填空：走道外圈的周长为 　（12x+16）　 米． （2）分别计算花坛和走道的面积． （3）如果每平方米的装饰区域铺设费用为60元，计算铺设装饰区域的总费用． 【答案】（1）（12x+16）； （2）花坛的面积为（9x2﹣16）平方米，走道的面积为（24x+16）平方米； （3）（1800x+4860）元． 【分析】（1）求出走道外圈的长、宽，根据长方形的周长的计算方法进行计算即可； （2）根据长方形的面积的计算方法进行计算即可； （3）求出铺设装饰区域的面积，再根据总价＝单价×数量计算总费用即可． 【解答】解：（1）走道外圈的长为3x+4+2+2＝（3x+8）米，宽为3x﹣4+2+2＝3x米， 所以走道外圈的周长为（3x+8+3x）×2＝（12x+16）米， 故答案为：（12x+16）； （2）花坛的面积为（3x+4）（3x﹣4）＝（9x2﹣16）平方米， 走道的面积为3x（3x+8）﹣（3x+4）（3x﹣4）＝9x2+24x﹣9x2+16＝（24x+16）平方米， 答：花坛的面积为（9x2﹣16）平方米，走道的面积为（24x+16）平方米； （3）正方形的边长为3x+8+1＝（3x+9）米， 所以装饰区域的面积为（3x+9）2﹣3x（3x+8）＝（30x+81）平方米， 因此铺设装饰区域的总费用为60×（30x+81）＝（1800x+4860）元． 【点评】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 34．（2024-2025•佛山校级期中）某校同学在社会实践的过程中，遇到一些各具特色的建筑，有在加拿大魁北克城举行的第32届世界遗产大会上正式被列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有新中式风格的传统民宿，同学们对于哪个建筑的占地面积更大展开了争论． ①组的同学们认为回字形福建土楼占地面积更大； ②组的同学们认为新中式民宿占地面积更大； 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据的测量，数据如图所示． （1）请你选择一组同学，帮助他们计算建筑物的占地面积为多少？ （2）村口王大叔告诉同学们a＝b，两栋建筑的占地面积均为324m2，求a的值为多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用含a，b的式子表示出图形的长和宽，再利用多项式乘多项式求解； （2）结合：a＝b，两栋建筑的占地面积均为324m2，可得9a2＝324，即可求解． 【解答】解：（1）回字形福建土楼占地面积为： （3a+2b）（2a+b）﹣（2b+a）（b+a） ＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣2b2﹣2ab﹣ab﹣a2 ＝5a2+4ab； 新中式民宿占地面积为： （a+a+b）（2a+b+a+a）﹣（2a+b）（a+b） ＝（2a+b）（4a+b）﹣（2a+b）（a+b） ＝（2a+b）（4a+b﹣a﹣b） ＝（2a+b）•3a ＝6a2+3ab； （2）解：∵a＝b，两栋建筑的占地面积均为324m2， ∴5a2+4ab＝5a2+4a2＝9a2＝324， ∴a2＝36， ∴a＝6（负值舍去）， 即a的值为6． 【点评】本题考查多项式乘法的实际应用，算术平方根的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 35．（2024-2025•环翠区期末）现有n人参加会议，若每两人之间只握一次手，则一共握手1+2+⋯+n﹣1①次．这个法则被称为握手法则，数学上有很多题目可以用握手法则解决．①式获得的方法如下： 法一：假设法 假设每两个人之间都一一握手（每两个人之间共握手两次），则共握n（n﹣1）②次，再将②式除以2即可． 法二：倒置法 设x＝1+2+⋯+n﹣1①，则x＝n﹣1+n﹣2+⋯+1②， ①+②，得 2x， 所以，x． 请你借助握手法则，完成以下问题： （1）若过n边形的一个顶点可以画出a条对角线，则n﹣a＝　3　 ； （2）现有10名同学，她们赠送彼此各一张卡片，则共需要卡片　90　 张； （3）乘地铁从甲地出发，沿途经过4站后到达乙地，那么在甲、乙两地之间需要　15　 种不同的票价，需要　30　 种车票； （4）计算：2+4+6+⋯+594+596+598． 【答案】（1）3； （2）90； （3）15；30； （4）89700． 【分析】（1）对于n边形，从一个顶点出发可画的对角线数为n﹣3，代入n﹣a计算即可． （2）根据握手法则，若每两人之间握手两次，共握n（n﹣1）次求解即可． （3）根据握手法则求解即可． （4）先提出2，再根据握手法则代入求解即可． 【解答】解：（1）对于n边形，a＝n﹣3，因此n﹣a＝n﹣（n﹣3）＝3． 故答案为：3； （2）根据握手法则，若每两人之间握手两次，共握n（n﹣1）次， 所以10名同学，她们赠送彼此各一张卡片，则共需要卡片10×（10﹣1）＝90张． 故答案为：90； （3）从甲地出发，沿途经过4站后到达乙地，那么一共有4+2＝6个站， 两个站之间确定一种票价，类似于两人之间只握一次手，根据握手法则，共需要种不同的票， 车票：因为甲到乙和乙到甲是不同的车票，类似于两人之间握手两次，所以需要6×（6﹣1）＝30种车票． 故答案为：15；30； （4）2+4+6+⋯+594+596+598 ＝2（1+2+3+••+297+298+299） ＝89700． 【点评】本题主要考查了有理数运算规律题，掌握握手法则是解题的关键． 36．（2024-2025•安徽期末）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x一5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式（a+3）x﹣6y+5， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴a+3＝0，解a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，则m值为 　4　 ． （2）已知A＝（2x+1）（x﹣2），B＝x（m﹣x），且A+2B的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）4； （2）； （3）a＝2b． 【分析】（1）把含有x的项提取公因式x，然后根据关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，列出关于m的方程，解方程即可； （2）把已知条件中的A和B代入A+2B，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据A+2B的值与x无关，列出关于m的方程，解方程即可； （3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），然后再求出S1﹣S2，最后根据S1﹣S2的值始终保持不变，得到关于a，b的等式即可． 【解答】解：（1）mx﹣4x+3 ＝（m﹣4）x+3， ∵关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关， ∴m﹣4＝0， 解得：m＝4， 故答案为：4； （2）∵A＝（2x+1）（x﹣2） ＝2x2﹣4x+x﹣2 ＝2x2﹣3x﹣2， 2B＝2x（m﹣x） ＝2mx﹣2x2， ∴A+2B＝2x2﹣3x﹣2+2mx﹣2x2 ＝2x2﹣2x2+2mx﹣3x﹣2 ＝2mx﹣3x﹣2 ＝（2m﹣3）x﹣2， ∵A+2B的值与x无关， ∴2m﹣3＝0， 解得：； （3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a）， ∴S1﹣S2 ＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a） ＝ax﹣3ab﹣2bx+4ab ＝（a﹣2b）x+ab， ∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变， ∴S1﹣S2取值与x无关， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式和合并同类项，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 答案 C B D B 一．选择题（共4小题） 1．下列各式中，结果错误的是（　　） A．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6 B．（x﹣4）（x+4）＝x2﹣16 C．（2x+3）（2x﹣6）＝2x2﹣3x﹣18 D．（2x﹣1）（2x+2）＝4x2+2x﹣2 【答案】C 【分析】原式各项利用多项式除以多项式法则计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、原式＝x2﹣3x+2x﹣6＝x2﹣x﹣6，正确，不符合题意； B、原式＝x2﹣16，正确，不符合题意； C、原式＝4x2﹣12x+6x﹣18＝4x2﹣6x﹣18，错误，符合题意； D、原式＝4x2+4x﹣2x﹣2＝4x2+2x﹣2，正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．若多项式（x﹣m）（x2+x﹣3）的展开式中不含关于x的一次项，则m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【答案】B 【分析】利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，再根据展开式中不含关于x的一次项列得关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：（x﹣m）（x2+x﹣3） ＝x3+x2﹣3x﹣mx2﹣mx+3m ＝x3+（1﹣m）x2﹣（m+3）x+3m， ∵展开式中不含关于x的一次项， ∴m+3＝0， 解得：m＝﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 3．若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（　　） A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6 【答案】D 【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可． 【解答】解：已知等式整理得：x2+x﹣6＝x2+ax+b， 利用多项式相等的条件得：a＝1，b＝﹣6， 故选：D． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．图1是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1，S2，若a＝4，b＝2，S1﹣S2的值是（　　） A．8 B．16 C．12 D．32 【答案】B 【分析】根据题意，分别表示出S1，S2，两块面积相减，即可得到结果． 【解答】解：设EF＝x， S1＝（4b+x）•2b＝（8+x）×4＝32+4x， S2＝（a+x）•a＝（4+x）×4＝16+4x， ∴S1﹣S2＝（32+4x）﹣（16+4x）＝32+4x﹣16﹣4x＝16． 故选：B． 【点评】本题考查了整式的运算，熟练相关运算法则是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 5．若2a2+a﹣3＝0，则（2a+5）（a﹣2）的值为　﹣7　 ． 【答案】﹣7． 【分析】先化简（2a+5）（a﹣2），再将2a2+a﹣3＝0化为2a2+a＝3代入计算即可． 【解答】解：原式＝2a2﹣4a+5a﹣10 ＝2a2+a﹣10， 由条件可知2a2+a＝3， ∴（2a+5）（a﹣2）＝2a2+a﹣10＝3﹣10＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查的是多项式的乘法，熟练掌握该知识点是关键． 6．一个多项式M与xy的积为﹣2x3y4z+xy，则M＝　﹣2x2y3z+1　 ． 【答案】﹣2x2y3z+1． 【分析】应用单项式除多项式法则进行计算便可． 【解答】解：由题意得M•xy＝﹣2x3y4z+xy， ∴M＝（﹣2x3y4z+xy）÷xy＝﹣2x2y3z+1， 故答案为：﹣2x2y3z+1． 【点评】本题主要考查了整式的除法，关键是熟记单项式除多项式的法则． 7．若x+m与x2+2x﹣1的乘积中不含x的二次项，则实数m的值为 　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】利用多项式与多项式相乘，展开后合并同类项，再令含x的二次项系数为0，求解即可． 【解答】解：（x+m）（x2+2x﹣1） ＝x3+2x2﹣x+mx2+2mx﹣m ＝x3+（2+m）x2﹣（1﹣2m）x﹣m， ∵x+m与x2+2x﹣1的乘积中不含x的二次项， ∴2+m＝0， 解得：m＝﹣2， ∴实数m的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了多项式与多项式的乘积，掌握多项式与多项式的乘法法则与合并同类项是关键． 8．已知单项式2a3y2与﹣4a2y4的积为ma5yn，则m+n＝　﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据单项式乘法计算，根据ma5yn可得m、n的值，进而可得答案． 【解答】解：∵单项式2a3y2与﹣4a2y4的积为ma3yn， ∴2a3y2×（﹣4a2y4）＝﹣8a5y6， ∴m＝﹣8，n＝6， ∴m+n＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 9．“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是 　（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2　 ． 【答案】（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2． 【分析】根据大矩形的面积＝8个小矩形的面积公式进行解答． 【解答】解：根据题意，得（a+b）（a+3b）＝a2+3ab+ab+3b2＝a2+4ab+3b2． 故答案为：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，平方差公式的几何背景．本题是操作型题目，依据题干的模式画出图形，再利用数形结合与多边形的面积解答是解题的关键． 三．解答题（共10小题） 10．计算： （1）2a2•（3a2﹣5b）； （2）（x+5）（x﹣7）． 【答案】（1）6a4﹣10a2b； （2）x2﹣2x﹣35． 【分析】（1）根据单项式乘多项式法则计算，即可求解； （2）根据多项式乘多项式法则计算，即可求解． 【解答】解：（1）2a2•（3a2﹣5b）＝6a4﹣10a2b； （2）原式＝x2﹣7x+5x﹣35 ＝x2﹣2x﹣35． 【点评】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键． 11．在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24；乙错把a看成了4，得到的结果是2x2+14x+20． （1）求a，b的值． （2）计算（2x+a）（x+b）的正确结果． 【答案】（1）a＝﹣4，b＝5； （2）2x2+6x﹣20． 【分析】（1）根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出a，b的值； （2）将（1）的a，b的值代入代数式求解即可． 【解答】解：（1）∵甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24， （2x+a）（x+6） ＝2x2+12x+ax+6a ＝2x2+（12+a）x+6a， ∴6a＝﹣24， ∴a＝﹣4， （2x+4）（x+b） ＝2x2+2bx+4x+4b ＝2x2+（2b+4）x+4b， ∵乙错把a看成了4，得到的结果是2x2+14x+20， ∴4b＝20， ∴b＝5； （2）∵a＝﹣4，b＝5， ∴（2x﹣4）（x+5） ＝2x2+10x﹣4x﹣20 ＝2x2+6x﹣20． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，正确地计算是解题的关键． 12．已知2x2+4x﹣7＝0，求代数式x（x+2）的值． 【答案】． 【分析】先按照整式的乘法运算化简代数式，再把2x2+4x﹣7＝0变形后，整体代入求值即可． 【解答】解：根据题意可知，， ∴x（x+2）． 【点评】本题主要考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是关键． 13．（1）已知2x+3y﹣3＝0，求4x•8y的值； （2）若多项式x+1与ax2+bx+2的积不含x2项和x项，求a和b的值． 【答案】（1）8；（2）a＝2，b＝﹣2． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法运算的逆运算求解即可； （2）根据多项式乘多项，再根据不含某项，让该项的系数为0，列式求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，2x+3y＝3， ∵4x•8y＝22x•23y＝22x+3y， ∴22x+3y ＝23 ＝8； （2）多项式x+1与ax2+bx+2的积不含x2项和x项， ∴（x+1）（ax2+bx+2） ＝ax3+bx2+2x+ax2+bx+2 ＝ax3+（a+b）x2+（2+b）x+2， ∴a+b＝0，2+b＝0， 解得a＝2，b＝﹣2． 【点评】本题主要考查了单项式乘多项式，同底数幂的乘法的，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 14．甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3． （1）求（﹣2a+b）（a+b）的值； （2）若整式中的a的符号不抄错，第二个多项式中x的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 【答案】（1）﹣14；（2）2x2+5x﹣3． 【分析】（1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出a，b的值； （2）将a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【解答】解：（1）甲的错误计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3， 故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3； 乙的错误计算计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3， 故对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3， ∴， 解得：， ∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14； （2）由（1）可知，， 正确的计算结果为：原式＝（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 15．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） （2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积； （2）代入a＝3，b＝2计算即可． 【解答】解：（1）阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2 ＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝5a2+3ab； （2）当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）． 【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 16．如图，某小区有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a﹣3b）米的长方形地块，角上有四个边长为b米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）求该小区绿化的总面积； （2）若a＝10，b＝2，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）绿化的总面积＝矩形面积﹣4个正方形面积，利用多项式乘多项式法则，然后合并同类项即可得出答案； （2）将a与b的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为50元/平方米，即可得出答案． 【解答】解：（1）（3a+2b）（2a﹣3b）﹣4b2 ＝6a2+4ab﹣9ab﹣6b2﹣4b2 ＝6a2﹣5ab﹣10b2， 答：该小区绿化的总面积（6a2﹣5ab﹣10b2）平方米； （2）当a＝10，b＝2时， 原式＝6×102﹣5×10×2﹣10×22＝460， ∴50×460＝23000（元）． 答：完成绿化共需要23000元． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算﹣化简求值，弄清题意列出相应的式子是解题的关键． 17．有若干张如图1所示的A，B，C三种卡片，A表示边长为m的正方形，B表示边长为n的正方形，C表示长为m、宽为n的长方形． （1）小明和小亮玩卡片拼图游戏，发现可以用图1中的若干张卡片拼出长方形来解释某些等式，如图2可以解释等式（2m+n）（m+n）＝2m2+3mn+n2，则图3可以解释的等式是　（m+2n）（2m+n）＝2m2+5mn+2n2　 ． （2）要用这三种卡片拼一个长为（m+3n），宽为（2m+n）的长方形，通过计算说明需要A，B，C三种卡片各多少张？ （3）请你利用图1中的三种卡片各若干张，拼出一个正方形来解释（m+n）2＝m2+2mn+n2，画出你的正方形示意图． 【答案】（1）（m+2n）（2m+n）＝2m2+5mn+2n2； （2）需要A卡片2张，B卡片3张，C卡片7张； （3） 【分析】（1）图3中长方形的长为m+2n，宽为2m+n，面积为（m+2n）（2m+n）．图 3 中A卡片有2张，B卡片有2张，C卡片有5张，所以面积也可表示为2m2+5mn+2n2．即可得出答案； （2）先求出（m+3n）（2m+n）＝2m2+7mn+3n2，进而可得出答案； （3）A卡片1张，B卡片1张，C卡片2张，可以拼成边长为m+n，面积为m2+2mn+n2的正方形，画出图形即可． 【解答】解：（1）图3中长方形的长为m+2n，宽为2m+n，面积为（m+2n）（2m+n）． 图 3 中A卡片有2张，B卡片有2张，C卡片有5张，所以面积也可表示为2m2+5mn+2n2． 所以图3可以解释的等式是（m+2n）（2m+n）＝2m2+5mn+2n2， 故答案为：（m+2n）（2m+n）＝2m2+5mn+2n2； （2）（m+3n）（2m+n）＝2m2+7mn+3n2， 由题意可得： ∴需要A卡片2张，B卡片3张，C卡片7张； （3）A卡片1张，B卡片1张，C卡片2张，可以拼成边长为m+n，面积为m2+2mn+n2的正方形， 拼图如下： 【点评】本题考查多项式乘多项式，正确进行计算是解题关键． 18．对于关于x的四个多项式A＝x+a，B＝x+b，C＝x+c，D＝x+d（a，b，c，d是常数），任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差，若其中一种组合得到结果为常数n，称这种组合为消元组合，常数n是这种组合的消元余量． 例如：对于多项式A＝x+1，B＝x+2，C＝x+3，D＝x+4， 因为A×D﹣B×C＝（x+1）（x+4）﹣（x+2）（x+3）＝﹣2， 所以A×D﹣C×B这种组合为消元组合，其消元余量为﹣2． 因为A×B﹣C×D＝（x+1）（x+2）﹣（x+3）（x+4）＝﹣4x﹣10，结果不是常数； 所以A×B﹣C×D这种组合不是消元组合． （1）若多项式A＝x+1，B＝x+4，C＝x+8，D＝x+5，判断A×C﹣B×D是否为消元组合，若是，请求出消元余量，若不是，请说明理由． （2）若多项式A＝x+1，B＝x﹣2，C＝x+5，D＝x+p存在消元组合，则p的值为 　﹣6或8或2　 ． （3）若多项式A＝2x+1，B＝x+4，C＝2x+a，D＝x+b存在消元组合，求a与b的关系式． 【答案】（1）是，﹣12； （2）﹣6或8或2； （3）a＝9﹣2b或a＝2b﹣7． 【分析】（1）利用多项式乘多项式法则和合并同类项法则计算A×C﹣B×D，再根据已知条件中的新定义求出答案即可； （2）分三种情况讨论：①若A×B﹣C×D是消元组合，求出A×B﹣C×D，②若A×C﹣B×D是消元组合，求出A×C﹣B×D；③若A×D﹣B×C是消元组合，求出A×D﹣B×C；再根据新定义判断对各种情况判断即可； （3）分三种情况讨论：①若A×B﹣C×D是消元组合，求出A×B﹣C×D，②若A×C﹣B×D是消元组合，求出A×C﹣B×D；③若A×D﹣B×C是消元组合，求出A×D﹣B×C；再根据新定义列出关于a，b的方程进行解答即可； 【解答】解：（1）∵A＝x+1，B＝x+4，C＝x+8，D＝x+5， ∴A×C﹣B×D ＝（x+1）（x+8）﹣（x+4）（x+5） ＝x2+9x+8﹣（x2+9x+20） ＝x2+9x+8﹣x2﹣9x﹣20 ＝﹣12， ∴A×C﹣B×D是消元组合，消元余量是﹣12； （2）分三种情况讨论， ①若A×B﹣C×D是消元组合， A×B﹣C×D ＝（x+1）（x﹣2）﹣（x+5）（x+p） x2﹣x﹣2﹣（x2+px+5x+5p） ＝x2﹣x﹣2﹣x2﹣5x﹣px﹣5p ＝﹣6x﹣px﹣2﹣5p ＝（﹣6﹣p）x﹣2﹣5p， ∴﹣6﹣p＝0， 解得：P＝﹣6； ②若A×C﹣B×D是消元组合， A×C﹣B×D ＝（x+1）（x+5）﹣（x﹣2）（x+p） ＝x2+6x+5﹣（x2+px﹣2x﹣2p） ＝x2+6x+5﹣x2﹣px+2x+2p ＝（8﹣p）x+5+2p， ∴8﹣p＝0， 解得：p＝8； ③若A×D﹣B×C是消元组合， A×D﹣B×C ＝（x+1）（x+p）﹣（x﹣2）（x+5） ＝x2+px+x+p﹣（x2+5x﹣2x﹣10） ＝x2+px+x+p﹣x2﹣3x+10 ＝（p﹣2）x+10+p， ∴p﹣2＝0， 解得：p＝2， 故答案为：﹣6或8或2； （3）分三种情况讨论： ①A×B﹣C×D ＝（2x+1）（x+4）﹣（2x+a）（x+b） ＝2x2+8x+x+4﹣（2x2+2bx+ax+ab） ＝2x2+9x+4﹣2x2﹣2bx﹣ax﹣ab ＝（9﹣a﹣2b）x+4﹣ab， 若A×B﹣C×D是消元组合，则9﹣a﹣2b＝0， ∴a＝9﹣2b； ②∵A×C﹣B×D ＝（2x+1）（2x+a）﹣（x+4）（x+p） ＝4x2+2ax+2x+a﹣（x2+px+4x+4p） ＝4x2+2ax+2x+a﹣x2﹣px﹣4x﹣4p ＝3x2+（2a﹣2﹣p）x+a﹣4p， ∴A×C﹣B×D不是消元组合， ③A×D﹣B×C ＝（2x+1）（x+b）﹣（x+4）（2x+a） ＝2x2+2bx+x+b﹣（2x2+ax+8x+4a） ＝2x2+2bx+x+b﹣2x2﹣ax﹣8x﹣4a ＝（2b﹣a﹣7）x+b﹣4a， 若A×D﹣B×C是消元组合，则2b﹣a﹣7＝0， ∴a＝2b﹣7， ∴a与b的关系式为：a＝9﹣2b或a＝2b﹣7． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则，理解新定义的含义． 19．观察以下等式： （x÷1）（x2﹣x+1）＝x3÷1 （x÷3）（x2﹣3x÷9）＝x3÷33 （x÷6）（x2﹣6x+36）＝x3÷63 （1）按以上等式的规律，填空： ①（x+8）（x2﹣8x+64）　x3+83　 ． ②（a+b）（a2﹣ab+b2）＝　a3+b3　 ． （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． （3）利用（1）中的公式化简； （x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+4y）（x2﹣4xy+16y2） 【答案】（1）x3+83；a3+b3； （2）a3+b3； （3）﹣63y3． 【分析】（1）根据材料提示的方法即可求解； （2）运用多项式乘以多项式，再根据整式的运算法则即可求解； （3）根据材料提示，分别计算（x+y）（x2﹣xy+y2）与（x+4y）（x2﹣4xy+16y2）的值，再运用整式加减运算即可求解． 【解答】解：（1）根据材料提示， ①（x+8）（x2﹣8x+64）＝x3+83． ②（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3． 故答案为：x3+83；a3+b3； （2）（a+b）（a2﹣ab+b2） ＝a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3 ＝a3+b3； （3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+4y）（x2﹣4xy+16y2） ＝x3+y3﹣（x3+64y3） ＝x3+y3﹣x3﹣64y3 ＝﹣63y3． 【点评】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$