精品解析：吉林省长春市长春外国语(南关、净月)学校2025-2026学年八年级上学期期初考试数学试卷

长春外国语（南关、净月）学校2025-2026学年 第一学期初二年级期初考试数学试卷 本试卷包括三道大题，共道24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间90分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形．又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A 2. 已知，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴, 故B符合题意； C、∵， ∴， 故C不符合题意； D、∵， ∴不一定成立 故D不符合题意； 故选：B． 3. 方程组的解，的值互为相反数，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0.5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组等知识．根据相反数的定义得到，代入方程组得，即可求出a的值． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∴， 把代入方程组得 得， 解得． 故选：B 4. 如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据大长方形的宽为以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 5. 下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（　　） A. 正三角形和正六边形 B. 正方形和正六边形 C. 正三角形和正十二边形 D. 正三角形、正方形和正六边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满，据此即可解答． 【详解】解：A．正三角形和正六边形内角分别为，因为，所以能构成的周角，故能铺满，不符合题意； B．正方形和正六边形内角分别为，不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意； C．正三角形和正十二边形内角分别为，因为，所以能构成的周角，故能铺满，不符合题意； D．正三角形、正方形和正六边形内角分别为，因为，所以能构成的周角，故能铺满，不符合题意． 故选：B． 6. 已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了尺规作图—作一条线段等于已知线段．根据作图可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C 7. 如图线段两两相交于三点，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、对顶角定义等知识，在中，在中，在中及在中，根据三角形内角和定理，得到相关角度的等式，再由对顶角定义等量代换即可得到答案，数形结合，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则； 在中，，则； 在中，，则； ， ，，， 在中，，则， ， 故选：B． 8. 如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点 B对应点，点刚好落在边上，，，则等于（　　） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解答关键. 由旋转的性质求得，，，再利用等腰三角形的性质和外角性质求解. 【详解】解：由绕顶点旋转得到可知： ，，， ∴. ∵， ∴， 故． 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 在方程中，用含的代数式表示为：___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数，求出即可．看作已知数，表示出即可． 【详解】解：， 解得：． 故答案为：． 10. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式，掌握不等式的性质是解题的关键． 先移项、合并同类项，再根据不等式的性质系数化为1即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 11. 已知正n边形的一个外角是45°，则n＝____________ 【答案】8 【解析】 【分析】根据正多边形的外角和的特征即可求出多边形的边数． 【详解】解：． 所以的值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查多边形的外角和的特征，解题的关键是掌握多边形的外角和等于，是基础题型． 12. 如图，垂直平分，交于点，交于点，，的周长为，则的周长是____． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知，进而得出，进一步可得出答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长是 故答案为：24． 13. 已知的三边长为3，5，7，的三边长为5，，，若与全等，则x等于________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质，分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：∵的三边长为3，5，7，的三边长为5，，，若与全等， ∴当时，，则，符合题意； 当时，，则，不符合题意； ∴． 故答案为：3． 14. 在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是_______．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【详解】∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴． 故④正确； 综上正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题：本大题共10小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）根据解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； 【小问1详解】 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得，③， 得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， 原方程组的解为． 17. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，把它的解集在数轴上表示出来，如下： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求解不等式组，把解集在数轴上表示出来，这是解题的关键． 先求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后把解集在数轴上表示出来． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 18. 已知一个正多边形的边数为，若这个正多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多，求n的值． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了求多边形内角与外角，掌握多边形外角和的公式是解题的关键．设每个外角的度数为，则每个内角的度数为，列出方程并求出每个外角的度数，再用外角和除以外角的度数得到边数即可． 【详解】解：设每个外角的度数为，则每个内角的度数为， ， ， ． 19. 如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据平行线的性质得到，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 20. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点、点都在网格的格点上． （1）平移，使点A与重合，画出平移后得到的； （2）连接、，四边形的面积是___________． （3）画出的高． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—平移变换、四边形的面积、三角形的高等知识点，掌握平移变换的性质以及利用割补法求四边形的面积是解题的关键． （1）根据点A到，可知平移方式为先向右移动三个单位，再向上移动一个单位，利用平移规律分别作出B、C的对应点，然后顺次连接即可； （2）连接、，把四边形的面积看成长方形的面积减去周围的四个三角形面积即可； （3）根据三角形高的定义以及网格的特点即可解答． 【小问1详解】 解：由图形可知：先向右移动三个单位，再向上移动一个单位得到，则如图：即为所求． 【小问2详解】 解：四边形的面积是． 故答案为：5． 【小问3详解】 解：如图：线段即为所求． 21. 好街坊厨具店购进电饭煲和电压力锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价/（元/台） 售价/（元/台） 电饭煲 200 250 电压力锅 160 200 （1）一季度，厨具店购进这两种电器共30台，用去了5520元，若将这些电器全部售出，则厨具店赚了多少钱？ （2）为了满足市场需求．二季度厨具店决定用不超过8850元的资金采购电饭煲和电压力锅共50台，且电饭煲的利润不少于电压力锅的利润的，则厨具店有哪几种进货方案？并说明理由． 【答案】（1）1380元 （2）①购买电饭煲19台，购买电压锅31台；②购买电饭煲20台，购买电压锅30台；③购买电饭煲21台，购买电压锅29台，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据橱具店购进这两种电器共30台且用去了5520元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据总利润单个利润购进数量即可得出结论； （2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅台，根据已知列不等式组，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由此即可得出各进货方案． 【小问1详解】 解：设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据题意得： ， 解得：， ∴ (元)． 答：橱具店在该买卖中赚了1380元； 【小问2详解】 解：①购买电饭煲19台，购买电压锅31台；②购买电饭煲20台，购买电压锅30台；③购买电饭煲21台，购买电压锅29台，理由如下： 设购买电饭煲a台，则购买电压锅台，根据题意得： ， 解得：， ∵a为整数， ∴a取19，20，21， 故有三种方案：①购买电饭煲19台，购买电压锅31台；②购买电饭煲20台，购买电压锅30台；③购买电饭煲21台，购买电压锅29台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x，y的二元一次方程组；（2）根据数量关系，列出关于a的一元一次不等式组． 22. 如图，已知平面上有A、、三点，请按要求作图： （1）画直线，射线，线段； （2）在射线上作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出结论） （3）在直线上方作．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．写出结论） 【答案】（1） 如图，直线，射线，线段即为所求． （2） 如图，点D即为所求作的点． （3） 如图：即为所求作的角． 【解析】 【分析】本题主要考查直线、射线、线段的定义，两点间距离、作相等的角、作相等的线段等知识点，理解直线、射线、线段的定义是解题的关键． （1）根据直线、射线、线段的定义画出图形； （2）根据线段和差定义作出图形即可； （3）利用尺规在直线上方作即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 综合与探究 【提出问题】数学课上，王老师示了这样一个问题：如图①，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：． 【问题解决】如图②，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可得出结论，证明过程如下： 证明：， ， ， ，即， 请补全余下的证明过程． 【学以致用】如图③，在中，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，则的长为___________． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识点，添加辅助线、全等三角形和相似三角形是解题的关键． （1）已说明，由等边对等角可得，运用等量代换可得，依据等角对等边得到，最后运用等量代换即可证明结论； （2）如图：取的中点G，连接，则，再根据三角形中位线可得，；再根据平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边可得，再证明，然后根据相似三角形的性质列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：取的中点G，连接，则 ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：，解得：， ∴． 24. 如图①，已知，是直线、间的一点，于点，交于点． （1）的度数是___________． （2）如图②，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按每秒的速度返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数： ②当时，则时间的值为___________． 【答案】（1） （2）①或；②秒或秒或秒 【解析】 【分析】（1）延长交于点G，可得，再由三角形内角和定理解答即可； （1）①分两种情况讨论，根据题意画出图形，即可求解；②分三种情况讨论，根据题意画出图形，结合平行线的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①第一种情况，如图， ∵，， ∴， ∴射线的运动时间为， ∴射线旋转的角度为， ∵， ∴； 第二种情况，如图， ∵，， ∴， ∴射线的运动时间为， ∴射线旋转的角度为， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或； ②如图，射线从出发，运动至如图位置时，，与交于点H， 根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 射线垂直后，再顺时针向运动至如图位置时，， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 射线从出发，运动至如图位置时，，此时垂直时，立刻按每秒的速度向运动， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，满足条件的t的值为秒或秒或秒． 【点睛】本题主要考查平行线性质，三角形内角和定理，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语（南关、净月）学校2025-2026学年 第一学期初二年级期初考试数学试卷 本试卷包括三道大题，共道24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间90分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形．又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程组的解，的值互为相反数，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0.5 D. 4. 如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　） A. B. C. D. 5. 下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（　　） A. 正三角形和正六边形 B. 正方形和正六边形 C. 正三角形和正十二边形 D. 正三角形、正方形和正六边形 6. 已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（ ） A. B. C. D. 7. 如图线段两两相交于三点，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点 B对应点，点刚好落在边上，，，则等于（　　） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 在方程中，用含的代数式表示为：___________． 10. 不等式的解集是___________． 11. 已知正n边形的一个外角是45°，则n＝____________ 12. 如图，垂直平分，交于点，交于点，，的周长为，则的周长是____． 13. 已知的三边长为3，5，7，的三边长为5，，，若与全等，则x等于________ 14. 在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是_______．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 三、解答题：本大题共10小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解方程 （1） （2） 16. 解方程组： 17. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 已知一个正多边形的边数为，若这个正多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多，求n的值． 19. 如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 20. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点、点都在网格的格点上． （1）平移，使点A与重合，画出平移后得到的； （2）连接、，四边形的面积是___________． （3）画出的高． 21. 好街坊厨具店购进电饭煲和电压力锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价/（元/台） 售价/（元/台） 电饭煲 200 250 电压力锅 160 200 （1）一季度，厨具店购进这两种电器共30台，用去了5520元，若将这些电器全部售出，则厨具店赚了多少钱？ （2）为了满足市场需求．二季度厨具店决定用不超过8850元的资金采购电饭煲和电压力锅共50台，且电饭煲的利润不少于电压力锅的利润的，则厨具店有哪几种进货方案？并说明理由． 22. 如图，已知平面上有A、、三点，请按要求作图： （1）画直线，射线，线段； （2）在射线上作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出结论） （3）在直线上方作．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．写出结论） 23. 综合与探究 【提出问题】数学课上，王老师示了这样一个问题：如图①，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：． 【问题解决】如图②，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可得出结论，证明过程如下： 证明：， ， ， ，即， 请补全余下的证明过程． 【学以致用】如图③，在中，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，则的长为___________． 24. 如图①，已知，是直线、间的一点，于点，交于点． （1）的度数是___________． （2）如图②，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按每秒的速度返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数： ②当时，则时间的值为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $