精品解析：重庆市部分学校2025-2026学年七年级上学期新生入学考试数学试卷

数学试题 一、计算题 1. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）． 二、填空题 2. 的末尾共有零的个数是___________． 3. 有100个苹果分给幼儿园某班的小朋友，已知其中有人至少分到3个．那么，这个班的小朋友最多有_________人． 4. 某个大于1的自然数分别除442，297，210得到相同的余数，则该自然数是_________． 5. 甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是9元，元，7元．现把甲种糖果5千克，乙种糖果4千克，丙种糖果3千克混合在一起，那么用10元可买_________千克这种混合糖果． 6. 在边长为1的正方形中，与相交于，以、、、分别为圆心，以对角线长的一半为半径画圆弧与正方形的边相交，如图，则图中阴影部分的面积为_________．（） 7. 为正整数，且为完全平方数，的最小值是_________． 三、填空题 8. 5个大小不同的圆的交点最多有_________个． 9. 一副中国象棋，黑方有将、车、马、炮、士、相、卒16个子，红方有帅、车、马、炮、士、相、兵16个棋子．把全副棋子放在一个盒子内，至少要取出_________个棋子来，才能保证有3个同样的棋子（例如3个车或3个炮等）． 10. 某种商品，以减去定价的卖出，可得5250元的利润；以减去定价的2成5卖出，就会亏损1750元．这个物品的购入价是_________元． 11. 某校为开展体育活动，购买同样的篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，后来又买同样的篮球3个，排球2个，足球1个共花费170元，问买同样的篮球1个，排球1个，足球1个，共需_________元． 四、解答题 12. 如图，为圆心，垂直于直径．以为圆心，为半径画弧将圆分出一个弯月形．试说明，为什么的面积等于弯月形的面积？ 13. 苹果、梨子、桔子三种水果都有许多，混在一起成了一大堆，最少要分成_________堆（每堆内都有三种水果）．才能保证找得到这样的两堆，将这两堆合在一起，三种水果的个数都是偶数． 14. 有一高楼，每上一层楼需2分钟，每下一层楼需1分30秒，小明家住底层，他从底层于12点25分开始上楼送信给住最高层的王老师，交信时用了1分钟，立即返回底层家中，此时时间是13点15分，这座高楼一共有多少层？ 15. 如图，与是两条平行直线，在直线上有且只有4个不同的点，请你在上取若干个不同的点．将直线与上的点连成线段，这些线段在与之间的交点最少有60个时，那么在直线上至少要取多少个点？ 16. 某小学举行数学、语文、常识三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，语文179人，常识165人．参加两科的：数学、语文143人，数学、常识116人，语文、常识97人，三科都参加的：89人．问这个小学参加竞赛的总人数有多少人？ 17. 某校组织甲、乙两班去距离学校30公里处参观，学校有一辆交通车，只能坐一个班，车速每小时45公里，人行速度每小时5公里，为了使两班同学尽早到达，他们上午8时同时从校出发，那么两班到达参观地点时是多少时间？ 18. 甲、乙两地相距999公里，沿路设有标志着距甲地及乙地的里程碑（如图所示）．试问：有多少个里程碑上只有两个不同的数码？ （说明：例如，里程碑上只有两个不同的数码0和9；而里程碑上有4个不同的数码0，1，9和8．）（本题要求得出符合题意的里程碑的个数，并说明理由．不要求写出一个个具体的里程碑．） 19. 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中取三个不同的数组成三位数，那么的最小值是多少？ 20. 有一个位数，在它的两头各添上一个1以后就变成一个位的数．若是的99倍，求当最小时，求的值． 五、综合拓展 21. 如图是从一个立体图形的正上面与正侧面看到的图形，试回答下列问题： （1）以每秒1毫升的速度，往容器内注水时，水面到离台面的地方为止，需要多少秒？ （2）求这个立体图形的体积； （3）求这个立体图形的表面积．（） 22. 【立体图形的体积】如图1，用塑料制作的三棱柱形的筒里装着水，这个筒的展开图如图2．现在，如图1那样，把这个筒的面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2厘米．按上面讲的条件回答下列问题： （1）把面作为底面，放在水平的桌面上，水面高多少厘米? （2）把面（直角三角形的面）作为底面，放在水平的桌面上，水面高又是多少厘米? 23. 直角梯形的上底是18厘米，下底是27厘米，高是24厘米（如图）．请你过梯形的某一个顶点画两条直线，把这个梯形分成面积相等的三部分（要求写出解答过程，画出示意图，图中的有关线段要标明长度）． 24. 有5个砝码，它们的质量分别为1000克、1001克、1002克、1004克和1007克，但砝码上并未注明质量而外观又完全相同．现有一台带指针的台秤，它可以称量物体质量的克数，怎样才能只称3次，就确定出重为1000克的砝码？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、计算题 1. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）． 【答案】（1）17 （2）4 （3） （4） （5） （6） （7）2 （8） （9） （10） （11） （12）3 （13） （14） （15） 【解析】 【分析】本题考查的是分数的混合运算，牢记法则是解题关键， （1）利用乘法分配律进行简便计算； （2）根据分数的混合运算的顺序计算即可求解； （3）利用乘法分配律进行简便计算； （4）将小数化为分数，再除法运算转化为乘法运算，最后按顺序进行计算即可； （5）先计算乘除，再计算加减即可； （6）把原式化为，再进行简便计算即可； （7）将小数化为分数，再利用乘法分配律进行简便计算； （8）将小数化为分数，利用乘法分配律进行简便计算即可； （9）将除法运算转化为乘法运算，再按顺序进行计算即可； （10）将原式整理成，再利用裂项相消法进行计算即可； （11）把带分数拆分为整数和分数的差，观察发现分母是分子的2倍； （12）把第一个括号运用分配律转化为，再计算除法即可； （13）利用数列规律计算即可； （14）根据分数的混合运算的顺序计算即可求解； （15）利用等差数列求和公式分别计算分式中分子和分母的值，然后化简分式，最后进行乘法运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解： ； 【小问7详解】 解： ； 【小问8详解】 解： ； 【小问9详解】 解： ； 【小问10详解】 解： ； 【小问11详解】 解： ； 【小问12详解】 解： ； 【小问13详解】 解： ； 【小问14详解】 解： ； 【小问15详解】 解： ． 二、填空题 2. 的末尾共有零的个数是___________． 【答案】3986 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律．根据乘法分配律法则把原式变形为，进一步计算求解即可． 【详解】解： ． 即末尾共有零的个数是3986． 故答案为：3986． 3. 有100个苹果分给幼儿园某班的小朋友，已知其中有人至少分到3个．那么，这个班的小朋友最多有_________人． 【答案】49 【解析】 【分析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的方法．此题是一个关于抽屉原理的问题，把小朋友的人数看作抽屉个数，人数最多，则分得3个苹果的人数最少，假设每人都分得2个，则一共有人，又因为至少有一个人分得3个苹果，所以最多有人，由此即可解决问题． 【详解】解：根据题干分析可得： （人） 答：这个班的小朋友最多有49人． 故答案为：49． 4. 某个大于1的自然数分别除442，297，210得到相同的余数，则该自然数是_________． 【答案】29 【解析】 【分析】本题主要考查了公约数的应用．设，a是余数，，，x，y，z能被这个自然数整除，相减之后即能被这个自然数整除，所以得到这个结论:这个数能同时能整除它们的差，然后求出公约数即可解答． 【详解】解：， ， ， 这个数能同时被145，232，87整除， 145，232，87大于1的公约数为29． 故答案为：29． 5. 甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是9元，元，7元．现把甲种糖果5千克，乙种糖果4千克，丙种糖果3千克混合在一起，那么用10元可买_________千克这种混合糖果． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了价格问题．求出每千克的混合糖果的价格，即可求解． 【详解】解：每千克的混合糖果的价格：元， 千克， 即用10元可买千克这种混合糖果． 故答案为： 6. 在边长为1的正方形中，与相交于，以、、、分别为圆心，以对角线长的一半为半径画圆弧与正方形的边相交，如图，则图中阴影部分的面积为_________．（） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆的面积．根据题意可得阴影部分的面积为四个扇形面积之和与正方形面积之差，即可求解． 【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积为四个扇形面积之和与正方形面积之差， 四个扇形的半径满足， 所以扇形面积之和为， 图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 7. 为正整数，且为完全平方数，的最小值是_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了数的整除．，所以a是7的倍数，，b是正整数，所以，所以即可求解． 【详解】解：， 因为为完全平方数， 所以a是7的倍数，，b是正整数，所以，所以， 所以的最小值为8． 故答案为：8． 三、填空题 8. 5个大小不同的圆的交点最多有_________个． 【答案】20 【解析】 【分析】此题主要考查计数方法的应用．每两个圆最多有2个交点，由此即可得出规律解决问题． 【详解】解：5个大小不同的圆的交点最多有：(个)， 故答案为：20． 9. 一副中国象棋，黑方有将、车、马、炮、士、相、卒16个子，红方有帅、车、马、炮、士、相、兵16个棋子．把全副棋子放在一个盒子内，至少要取出_________个棋子来，才能保证有3个同样的棋子（例如3个车或3个炮等）． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了抽屉原理．象棋中，将和帅只有一个，兵和卒各有5个，其它的都有四个，先把所有种类的棋子都取两个，将和帅取一个，再任意取一个，就会有3个同样的棋子，据此解答． 【详解】解：“将”和“帅”都只有1个，其他7种棋子（车、马、炮、士、相、卒、兵）数量均不少于2个， 考虑最差情况，每种棋子都尽量取出而不满足3个，即取出1个“将”、1个“帅”、其他7种棋子各2个， 此时共取出（个）， 再多取1个，就必然能满足有3个同样的棋子，故至少要取出： （个） 答：至少要取出17个棋子来，才能保证有3个同样的棋子． 故答案为：17． 10. 某种商品，以减去定价的卖出，可得5250元的利润；以减去定价的2成5卖出，就会亏损1750元．这个物品的购入价是_________元． 【答案】28000 【解析】 【分析】本题考查了百分数的应用．减去定价的2成5卖出，是指减去了原价的；本题的单位“1”是定价，那么减价后的价格是原价的，减去2成5后的价格就是原价的，这两者之间的差距就是得5250元的利润和亏损1750元之间差距，因为一个是得利润，一个是亏损，所以它们之间的差距应是：，它对应的分数是．我们就可以求出单位“1”定价的量．商品的购入价就是不盈利也不亏损的价格，即用定价的再减去此时的利润． 【详解】解：商品的定价为： (元)． 商品的购入价为： (元)． 答：这个物品的购入价是28000元． 故答案为：28000． 11. 某校为开展体育活动，购买同样的篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，后来又买同样的篮球3个，排球2个，足球1个共花费170元，问买同样的篮球1个，排球1个，足球1个，共需_________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元，依题意得，，然后作答即可． 【详解】解：设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元，依题意得， ， 由②得：， 由得：， 则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费元， 故答案为：． 四、解答题 12. 如图，为圆心，垂直于直径．以为圆心，为半径画弧将圆分出一个弯月形．试说明，为什么的面积等于弯月形的面积？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要查了圆的面积．设圆的半径为r，则的面积等于两个直角边长为r的等腰直角三角形面积之和， 从而得到，再由弯月形面积半圆的面积扇形的面积，即可求解． 【详解】解：设圆的半径是r， 所以， 又， 所以， 因为弯月形面积半圆的面积扇形的面积． 所以的面积等于弯月形的面积． 13. 苹果、梨子、桔子三种水果都有许多，混在一起成了一大堆，最少要分成_________堆（每堆内都有三种水果）．才能保证找得到这样的两堆，将这两堆合在一起，三种水果的个数都是偶数． 【答案】9 【解析】 【分析】本题属于奇偶数问题和抽屉原理，属于比较难的题目，考查学生对奇偶数的认识及对最不利原则的运用情况，解答本题的关键是在明确这两堆水果的个数在相加前奇偶性相同的基础上． 根据抽屉原理的解决方法最不利原则进行分析即可． 【详解】奇偶数的性质：偶数偶数偶数，奇数奇数偶数， 因为相加后都是偶数， 所以两堆水果相加前每种水果的奇偶性相同， 因为这两堆水果相加前每种水果都为奇数、偶数两种性质， 所以三种水果的奇偶性有种， 即得到奇偶性不同的8堆； 根据最不利原则得：只要分成堆，必有两堆奇偶性相同，合并后这三种水果的个数都是偶数． 故答案为：9． 14. 有一高楼，每上一层楼需2分钟，每下一层楼需1分30秒，小明家住底层，他从底层于12点25分开始上楼送信给住最高层的王老师，交信时用了1分钟，立即返回底层家中，此时时间是13点15分，这座高楼一共有多少层？ 【答案】这座高楼一共有15层． 【解析】 【分析】此题考查了时间的计算．首先用返回时间13点15分减去开始时间12点25分，求出总共用的时间，在减去交信用的时间1分钟，得到的时间除以上和下一层楼用的时间分，即可得解． 【详解】解：1分30秒=1.5分， 13时15分-12时25分=50分， （分）， （分）， （层）， （层）； 答：这座高楼一共有15层． 15. 如图，与是两条平行直线，在直线上有且只有4个不同的点，请你在上取若干个不同的点．将直线与上的点连成线段，这些线段在与之间的交点最少有60个时，那么在直线上至少要取多少个点？ 【答案】5个 【解析】 【分析】本题主要考查了直线交点的个数．设直线m上至少有n个点，分别求出直线l上四个点与直线m上的点连线的交点的个数，再根据至少有60个交点，即可求解． 【详解】解：设直线m上至少有n个点， ∵l 上只有4个点， ∴第1个点与m上的点的连线没有交点， 第2个点与m上的点的连线有个交点， 第3个点与m上的点的连线有个交点， 第4个点与m上的点的连线有个交点， ∴两线之间的交点共有个， 又∵至少有60个交点， ∴， 解得：， 即直线m上至少有5个点． 16. 某小学举行数学、语文、常识三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，语文179人，常识165人．参加两科的：数学、语文143人，数学、常识116人，语文、常识97人，三科都参加的：89人．问这个小学参加竞赛的总人数有多少人？ 【答案】这个小学参加竞赛的总人数有280人． 【解析】 【分析】因为至少参加一科的：数学203人，语文179人，常识165人；参加两科的：数学、语文143人，数学、常识116人，语文、常识97人；根据容斥原理可知，参加三类项目的共有，由于三项同时都参加的有89人，这89人被重复减了一次，要加上，所以参加参加竞赛的共有人． 【详解】解：全部人数有：(人)， 答：这个小学参加竞赛的总人数有280人． 17. 某校组织甲、乙两班去距离学校30公里处参观，学校有一辆交通车，只能坐一个班，车速每小时45公里，人行速度每小时5公里，为了使两班同学尽早到达，他们上午8时同时从校出发，那么两班到达参观地点时是多少时间？ 【答案】大约在上午9时33分20秒到达． 【解析】 【分析】本题考查了分数除法的应用，比例的应用．要使两班同学尽早到达，应使两班同学始终在行走，且在中途及终点没有等待最省时间．如图设A是学校，D是目的地．甲班先乘车到C地下车后步行，空车自C返回在途中B处遇到从A步行到B的乙班，乙班同学在B处乘车与步行的甲班同时到达D． 因车速与人速之比为，故（车行路程）与之比为．故．又显然有（否则两班不能同时到达）．故有（公里），（公里）．车行总路程为（公里）总时间为（小时），即大约在上午9时33分20秒到达． 【详解】解：如图，设A是学校，D是目的地．甲班先乘车到C地下车后步行，空车自C返回在途中B处遇到从A步行到B的乙班，乙班同学在B处乘车与步行的甲班同时到达D． 则． ， ， ， ， 故．又， 所以，（公里）， （公里）． （公里）， 车行总路程为（公里）， 总时间为（小时）， 即约1小时33分20秒．故大约在上午9时33分20秒到达． 18. 甲、乙两地相距999公里，沿路设有标志着距甲地及乙地的里程碑（如图所示）．试问：有多少个里程碑上只有两个不同的数码？ （说明：例如，里程碑上只有两个不同的数码0和9；而里程碑上有4个不同的数码0，1，9和8．）（本题要求得出符合题意的里程碑的个数，并说明理由．不要求写出一个个具体的里程碑．） 【答案】在这1000个里程碑中有40个里程碑只出现过两个不同的数码． 【解析】 【分析】本题考查了数字问题．完成本题要注意里程碑是表示两地双向里程的，所以前后相对应的里程碑组成数字相同，但数字的位置相反．由于(x，y，z，m，n，p都是0到9的整数)，所以，所以，，， 当时，或；或；当，或；或；0和9对应有8组，，，，，，，；同理求出其它对应组数即可． 【详解】解：由于(x，y，z，m，n，p都是0到9的整数)， 所以， 所以，，， 当时，或；或； 当，或；或； 0和9对应有8组．，，，，，，，； 同理： 1和8对应有8组， 2和7对应有8组， 3和6对应有8组， 4和5对应有8组， 综上40组． 所以，在这1000个里程碑中有40个里程碑只出现过两个不同的数码． 19. 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中取三个不同的数组成三位数，那么的最小值是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整数的运算问题．原式化为，可得当时，取得最小值，再把化为，可得当时，取得最小值，然后把化为，可得当时，的值最大，此时取得最小值，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 当时，取得最小值， 此时 ， 当时，取得最小值， 此时 根据题意得：， ∴当时，的值最大，此时取得最小值， ∴的最小值是． 20. 有一个位数，在它的两头各添上一个1以后就变成一个位的数．若是的99倍，求当最小时，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了除法的应用．根据题意得出，且有：；所以，所以；用1000…除以89直到首次余88为止，不难求出：． 【详解】解：因为，且有：． 故，所以． 用1000…除以89直到首次余88为止， 所以． 五、综合拓展 21. 如图是从一个立体图形的正上面与正侧面看到的图形，试回答下列问题： （1）以每秒1毫升的速度，往容器内注水时，水面到离台面的地方为止，需要多少秒？ （2）求这个立体图形的体积； （3）求这个立体图形的表面积．（） 【答案】（1）需要秒； （2）这个立体图形的体积960立方厘米； （3）表面积是788平方厘米． 【解析】 【分析】本题考查了长方体、圆柱体的相应公式． （1）运用圆柱的体积公式求出注入水的体积，之后除以注水的速度即得答案； （2）用立体图形的体积公式即可求得； （3）这个立体图形的表面积是长方体的表面积与里面圆柱体的表面积之和，然后利用表面积的公式求解即可． 【小问1详解】 解：（立方厘米） 62.8立方厘米毫升 （秒） 答：需要秒； 【小问2详解】 解：（立方厘米） 答：这个立体图形的体积是960立方厘米； 【小问3详解】 解：底面积：（平方厘米） 外侧面的面积：（平方厘米） 内侧面积：（平方厘米） 表面积：（平方厘米） 答：表面积是788平方厘米． 22. 【立体图形的体积】如图1，用塑料制作的三棱柱形的筒里装着水，这个筒的展开图如图2．现在，如图1那样，把这个筒的面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2厘米．按上面讲的条件回答下列问题： （1）把面作为底面，放在水平的桌面上，水面高多少厘米? （2）把面（直角三角形的面）作为底面，放在水平的桌面上，水面高又是多少厘米? 【答案】（1）厘米 （2）厘米 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的体积相关的实际应用，熟悉掌握体积公式是解题的关键． （1）对图形进行标注分析，求出水的体积后，由与完全一样，即可求出水深； （2）体积除以面的面积即可解答． 【小问1详解】 解：如图1所示进行标注： 则，，， ∴是的中点，故也是的中点， ∴，则， ∴水的体积为：， 以作底时，左侧面的图像为图2所示： 当与垂直，交于时，，， 故与完全一样， 当以作底时，左侧面的图像为图3所示： 由与完全一样，故水深为， ∴， 答：把面作为底面，放在水平的桌面上，水面高厘米； 【小问2详解】 解：把面作底面时，的面积为：， 则高为：， 答：把面作为底面，放在水平的桌面上，水面高厘米． 23. 直角梯形的上底是18厘米，下底是27厘米，高是24厘米（如图）．请你过梯形的某一个顶点画两条直线，把这个梯形分成面积相等的三部分（要求写出解答过程，画出示意图，图中的有关线段要标明长度）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了梯形的面积，三角形的面积．把直角梯形分成三部分后每部分的面积是(平方厘米)．又三角形的面积=底高．由于厘米，厘米，由此在上截取厘米，在上截取厘米．连接，，就可以把这个梯形平均分成三部分．这时(平方厘米)，(平方厘米)，据此画图即可． 【详解】解：(平方厘米)． 那么，在上截取厘米，在上截取厘米．连接，，就可以把这个梯形平均分成三部分， 此时 (平方厘米)，(平方厘米)， 如图： ． 24. 有5个砝码，它们的质量分别为1000克、1001克、1002克、1004克和1007克，但砝码上并未注明质量而外观又完全相同．现有一台带指针的台秤，它可以称量物体质量的克数，怎样才能只称3次，就确定出重为1000克的砝码？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了数与代数—找次品．第一步∶任取3个砝码一起称重，得到总质量，于任意3个砝码的质量之和都是唯一的，可通过的值确定这3个砝码的组合；第二步∶分两种情况讨论即可． 【详解】解：第一步∶任取3个砝码一起称重，得到总质量，由于任意3个砝码的质量之和都是唯一的，可通过的值确定这3个砝码的组合； 第二步∶分情况讨论∶ 情况一∶若确定的3个砝码组合中不含1000克，则1000克砝码在另外2个未称量的砝码中；再称量这2个中的任意1个，即可确定哪个是1000克．此过程共称2次； 情况二∶若确定的3个砝码组合中包含1000克，则我们已将范围缩小到这3个砝码．再从中任取1个称量，若为1000克则找到；若不是，再称量第二个，若为1000克则找到；若还不是，则剩下第3个必是1000克．此过程最多称3次； 综上，最多3次即可确定1000克的砝码． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $