精品解析：2024年江西省九江市初中学业水平考试复习试卷(一)九年级数学

九江市2024年初中学业水平考试复习试卷（一） 数学 说明： 1.本卷共有六个大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 实数的绝对值是　　 A. 3 B. C. D. 2. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 华氏温度规定：在一个标准大气压下，纯净的冰水混合物的温度为，（，读作华氏度），将（，读作摄氏度）之间划分为180等份，每一等份就是，已知与的换算公式为：．根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A. 相当于 B. 每增加，相当于增加 C. 华氏度与摄氏度是一次函数关系 D. 小明的体温为，他的体温约为 5. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于两点之间．下列结论：     ①； ②； ③； ④若为方程的两个根，则； 其中正确的有（ ） A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 使有意义的取值范围是_____． 8. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米．数据用科学记数法表示为______． 9. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，，时，__________． 10. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 11. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，点到距离为__________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，动点在x轴上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．当为直角三角形时，m的值为________． 三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13 （1）计算： （2）已知，，分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 14. 以下是某同学化简分式的运算过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）上面的运算过程中，第二步的依据是__________（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律；第__________步开始出现错误． （2）请你写出完整的解答过程． 15. 为传承红色文化，增强爱国主义情感，某班打算举办“讲好红色故事，传承红色基因”主题班会，准备了四张完全相同的不透明卡片．卡片正面分别写有四本红色读物名称：——《青春之歌》，——《钢铁是怎样炼成的》，——《长征》，——《永不褪色的精神丰碑》．班长将随机抽取的卡片对应的红色读物作为宣讲材料． （1）班长从四张卡片中随机抽取一张，抽到——《长征》的概率是__________； （2）班长先从四张卡片中随机抽取一张，再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他两次都没有抽到——《青春之歌》的概率． 16. 已知，，为中点，于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中，将绕点逆时针旋转至； （2）图2中，将绕点顺时针旋转 至． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 为弘扬“万众一心、众志成城、不怕困难、顽强拼搏、坚韧不拔、敢于胜利”的伟大抗洪精神，某校组织九年级学生在抗洪广场研学，研学活动中，要测量纪念塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 19. “六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． （1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ （2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 20. 如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若半径为，，则的长为______ ． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了50名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题）．专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，并根据第二次测试数据制作了如图1、图2所示统计图（尚不完整）． 表1 分数/分 2 5 6 7 8 9 人数人 4 10 8 13 12 3 设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 表2 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 第一次 6.4 7 第二次 8 9 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）将图2中的统计图补充完整，表2中__________，__________，__________的值； （2）若全校学生以2400人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数； （3）在（2）的条件下，估计通过本次专项安全教育活动后不合格的学生人数减少了多少？ 22. 已知二次函数的图象经过点，且顶点为． （1）求，，的值； （2）当时，的最大值与最小值的差为4，在图1中画出二次函数的图象，并结合图象直接写出的取值范围； （3）作直线平行于轴，与抛物线的另一个交点为，将抛物线位于直线下方的部分沿直线向上翻折后所得部分记为，原抛物线未翻折的部分记为，与组成的图象记为，设直线与图象的四个交点从左至右依次为，，，，若，求的值． 六、解答题（本大题12分） 23. 在中，，，点是边上一点，，过点作的垂线交边于点，动点在直线上，以为斜边，在右侧作等腰． （1）如图1，当点与点重合时，求的长． （2）如图2，作交直线于点，连接，，求证：； （3）在点运动过程中，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九江市2024年初中学业水平考试复习试卷（一） 数学 说明： 1.本卷共有六个大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 实数的绝对值是　　 A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的意义即可. 【详解】解：= 故选B. 【点睛】本题考查了绝对值的意义，正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数. 2. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的运算法则计算即可； 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 3. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看得到的图形即可得解，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，该几何体的左视图为： ， 故选：D． 4. 华氏温度规定：在一个标准大气压下，纯净的冰水混合物的温度为，（，读作华氏度），将（，读作摄氏度）之间划分为180等份，每一等份就是，已知与的换算公式为：．根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A. 相当于 B. 每增加，相当于增加 C. 华氏度与摄氏度是一次函数关系 D. 小明的体温为，他的体温约为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据与的换算公式为，结合一次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故相当于，此选项正确； B、由与的换算公式可得，每增加，相当于增加，此选项错误； C、由与的换算公式可得，华氏度与摄氏度是一次函数关系，此选项正确； D、当时，，解得，故小明的体温为，他的体温约为，此选项正确； 故选：B． 5. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，将绕点顺时针旋转得到，则，，再证明，得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 如图，将绕点顺时针旋转得到，   ， 则，， ∴，， ∴， ∴点、、在同一直线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于两点之间．下列结论：     ①； ②； ③； ④若为方程的两个根，则； 其中正确的有（ ） A ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】结合二次函数图象得出，，即可判断①②；结合二次函数对称性推出时，即可判断③，由二次函数与一元二次方程的关系即可判断④． 【详解】解：依题得：， ， ，则①错误； 当时，抛物线与轴交点在轴上半轴，即， 又抛物线开口向下，即， ， ，则②正确； 根据抛物线的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点应位于，之间， 即时，， ， ， ，则③错误； 若为方程的两个根， 由函数图象与轴交点可知，， ，则④正确． 综上，正确的结论是②④． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程综合、不等式的性质、二次函数的对称性，解题关键是从抛物线图象中提取信息． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 使有意义的的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米．数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，，时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的新定义题目，根据计算得出的长，再由计算即可得解，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，，再整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，点到距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系的应用、勾股定理、三角形面积公式，由三角形三边关系结合等腰三角形的性质可得，作于，则，由勾股定理求出，设点到距离为，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由三边关系可得：， ∴， 由三边关系可得：， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， 如图，作于， ∵， ∴， ∴， 设点到距离为， ∵， ∴，即点到距离为， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，动点在x轴上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．当为直角三角形时，m的值为________． 【答案】2或或 【解析】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形．分三种情况： 若点P在x轴正半轴，当时； 当时，分点P在x轴正半轴和点P在x轴负半轴两种情况；结合全等三角形的判定和性质解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， 若点P在x轴正半轴，当时，点B在直线上（且不与点P重合）， 则点P不能为直角顶点， 当时，如图， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 当时， 若点P在x轴正半轴，过点C作于点D，如图， 同理， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：或（舍去）， 若点P在x轴负半轴，过点C作于点D，如图， 同理， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：（舍去）或， 综上所述，m是的值为2或或． 故答案为：2或或． 三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）已知，，分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）结合负整数指数幂、特殊角的三角函数值、求一个数的立方根、有理数的加减运算即可得解； （2）结合平行线的性质与判定推出，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查的知识点是负整数指数幂、特殊角的三角函数值、求一个数的立方根、有理数的加减运算、平行线的性质与判定、平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握相关知识点． 14. 以下是某同学化简分式的运算过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）上面的运算过程中，第二步的依据是__________（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律；第__________步开始出现错误． （2）请你写出完整的解答过程． 【答案】（1）③；三； （2），完整过程见解析． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式的化简，解题关键是熟练掌握分式的化简． （1）结合题中的解题步骤分析即可得解； （2）结合乘法分配律进行化简即可． 【小问1详解】 解：依题意得，第二步的依据是乘法分配律， 第三步应为，即第三步错误 故答案为：③；三； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ． 15. 为传承红色文化，增强爱国主义情感，某班打算举办“讲好红色故事，传承红色基因”主题班会，准备了四张完全相同的不透明卡片．卡片正面分别写有四本红色读物名称：——《青春之歌》，——《钢铁是怎样炼成的》，——《长征》，——《永不褪色的精神丰碑》．班长将随机抽取的卡片对应的红色读物作为宣讲材料． （1）班长从四张卡片中随机抽取一张，抽到——《长征》的概率是__________； （2）班长先从四张卡片中随机抽取一张，再从剩下卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他两次都没有抽到——《青春之歌》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率计算，用列表法或树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用概率公式计算即可； （2）先用列表法或树状图法列举出所有可能的情况，再带入公式计算即可． 【小问1详解】 解：班长从四张卡片中随机抽取一张，抽到——《长征》的概率是 ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 第一次 第二次 由表可知，共有12种等可能的结果，其中两次都没有抽到A的结果有6种， 他两次都没有抽到——《青春之歌》的概率为． 16. 已知，，为中点，于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中，将绕点逆时针旋转至； （2）在图2中，将绕点顺时针旋转 至． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长、交于点，即为所求； （2）连接、交于点，连接并延长交于，连接并延长交的延长线于，即为所求． 【小问1详解】 解：如图，延长、交于点，即为所求， ， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如图，连接、交于点，连接并延长交于，连接并延长交的延长线于，即为所求， ， ∵在中，， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴即为所求． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，求出，即可得出，，，即反比例函数的解析式为，再利用待定系数法计算即可得解； （2）根据函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，即反比例函数的解析式为， 将，代入一次函数可得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可得，不等式的解集为或． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 为弘扬“万众一心、众志成城、不怕困难、顽强拼搏、坚韧不拔、敢于胜利”的伟大抗洪精神，某校组织九年级学生在抗洪广场研学，研学活动中，要测量纪念塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 【答案】（1）的长为 （2）塔的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据计算即可得解； （2）由题意可得为等腰直角三角形，从而可得，作于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，再在中，解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， ∴， ∴， 故的长为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，作于， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴米， 故塔的高度为米． 19. “六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． （1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ （2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 【答案】（1）A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个 （2）最多可购进A型玩具25个 【解析】 【分析】（1）设型玩具的单价为元/件．依题意列出分式方程，进行求解； （2）根据题意列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 设型玩具的单价为元/件． 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解 B型玩具的单价为元/个 ∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个． 【小问2详解】 设购进A型玩具个． 解得： ∴最多可购进A型玩具25个． 【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程或不等式． 20. 如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，则的长为______ ． 【答案】（1）证明见解析 （2）8 【解析】 【分析】(1)利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的判定定理解答即可得出结论； (2)利用直角三角形的边角关系定理得到设, 则, 利用x的代数式表示出线段，再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论. 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 为的直径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， 设，则， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， 解得：不合题意，舍去或． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键. 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了50名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题）．专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，并根据第二次测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）． 表1 分数/分 2 5 6 7 8 9 人数人 4 10 8 13 12 3 设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 表2 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 第一次 6.4 7 第二次 8 9 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）将图2中的统计图补充完整，表2中__________，__________，__________的值； （2）若全校学生以2400人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数； （3）在（2）的条件下，估计通过本次专项安全教育活动后不合格的学生人数减少了多少？ 【答案】（1）图见解析，，， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、中位数、平均数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据众数和平均数的定义计算即可得解，求出第二次测试中得分为分的人数以及第二次测试中得分为分的人数，即可补全条形统计图； （2）用乘以专项安全教育活动后的合格率即可得解； （3）用第一次不合格的人数减去第二次不合格的人数即可得解． 【小问1详解】 解：由表1可得，第一次测试得分为分的分数最多有人，故众数； 第二次测试中得分为分的人数有（人）， 第二次测试中得分为分的人数有（人）， 补全条形统计图如图所示： 故第二次测试的得分的平均数为； 第二次测试的合格率为； 【小问2详解】 解：（人）， 故若全校学生以2400人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平学生人数为人； 【小问3详解】 解：（人）， 故在（2）的条件下，估计通过本次专项安全教育活动后不合格的学生人数减少了人． 22. 已知二次函数的图象经过点，且顶点为． （1）求，，的值； （2）当时，的最大值与最小值的差为4，在图1中画出二次函数的图象，并结合图象直接写出的取值范围； （3）作直线平行于轴，与抛物线的另一个交点为，将抛物线位于直线下方的部分沿直线向上翻折后所得部分记为，原抛物线未翻折的部分记为，与组成的图象记为，设直线与图象的四个交点从左至右依次为，，，，若，求的值． 【答案】（1），， （2）的取值范围为 （3）的值为 【解析】 【分析】（1）设二次函数的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）利用描点法画出二次函数的图象，由函数图象可得，抛物线开口向上，当时，二次函数取得最小值为，再分情况讨论，利用二次函数的性质求解即可； （3）画出函数图象，由图象可得，由折叠的性质可得翻折之后部分的顶点为，求出翻折之后部分的解析式为，计算得出，，，，从而可得，，，结合，得出，求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴，，； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， 列表可得： … … … … 画出函数图象如图所示： 由函数图象可得，抛物线开口向上，当时，二次函数取得最小值为， ∵时，的最大值与最小值的差为4， ∴当时，此时的最大值为，最小值大于，故的最大值与最小值的差小于，不符合题意； 当时，此时的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值的差为4，符合题意； 当时，此时的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值的差为4，符合题意； 当时，此时的最大值大于，最小值为，故的最大值与最小值的差大于4，不符合题意； 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 解：如图： ∵二次函数的图象经过点， ∴由图象可得， ∵将抛物线位于直线下方部分沿直线向上翻折后所得部分记为， ∴由折叠的性质可得：翻折之后部分的顶点为， 设翻折后部分的解析式为， 将代入解析式可得，， 解得：， ∴翻折后部分的解析式为， ∵设直线与图象的四个交点从左至右依次为，，，， ∴在中，当时，， 解得或， ∴，， 在中，当时，， 解得或， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， 当时，，，且符合题意， 即的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数的图象，二次函数与折叠问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 六、解答题（本大题12分） 23. 在中，，，点是边上一点，，过点作的垂线交边于点，动点在直线上，以为斜边，在右侧作等腰． （1）如图1，当点与点重合时，求的长． （2）如图2，作交直线于点，连接，，求证：； （3）在点运动过程中，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）由题意可得为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，，再由等腰直角三角形的性质并结合勾股定理可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）连接，证明四边形为平行四边形，得出，再证明，得出，，再证明出为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得证； （3）由（2）可得，为等腰直角三角形，连接、，将绕点顺时针旋转得到，证明为等腰直角三角形，得出，则当最小时，也最小，由（2）可得，四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质可得，由三角形三边关系可得，由垂线段最短可得，当点与点重合时，最小为，此时也最小，由（1）可得，为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，此时点在上，则，，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵右侧作等腰，点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵在右侧作等腰， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得，等腰直角三角形， 如图：连接、，将绕点顺时针旋转得到， 故由旋转的性质可得：，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，也最小， 由（2）可得，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得：， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当点与点重合时，最小为，此时最小，也最小， 由（1）可得，为等腰直角三角形， ∴， ∵在右侧作等腰， ∴由等腰直角三角形的性质可得，此时点在上，如图所示，则，， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$