精品解析：贵州省贵阳市第一中学2025-2026学年高二上学期开学检测数学试题

贵州省贵阳市南明区贵阳市第一中学2025-2026学年高二上学期开学检测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集定义即可求出. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 设函数，则的值是（ ） A. 2022 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】将自变量代入解析式求解即可. 【详解】 故选：A 3. 向量＝(2,4,x),＝(2,y,2)，若||＝6,且⊥，则x＋y的值为 A. －3 B. 1 C. －3或1 D. 3或1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题＝（2,4,x）且||＝6,则；，⊥，可得； ，又＝（2,y,2），代入可得： ，则； 考点：空间向量的坐标运算及垂直的性质. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由可得， 由已知且，若，则，所以，，则，矛盾. 若，则，从而，合乎题意. 综上所述，“”是“”的充要条件. 故选：C. 5. 对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系,下列说法中正确的是(　　) A. 频率分布折线图与总体密度曲线无关 B. 频率分布折线图就是总体密度曲线 C. 样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线 D. 如果样本容量无限增大、分组的组距无限减小,那么频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本频率分布折线图与总体密度曲线的性质逐个选项判断即可. 【详解】总体密度曲线通常是用样本频率分布估计出来的.而频率分布折线图在样本容量无限增大,分组的组距无限减小的情况下会无限接近于一条光滑曲线,这条光滑曲线就是总体密度曲线. 故选：D 6. 正方体的棱长为2，E，F，G，H分别为，AD，，的中点，则过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】取中点为M，连接ME、MF，取CD、CB中点分别为P、Q，连接QH、PQ、QG，证明平面MEF平面PQGH，进而有EF平面PQGH，所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面为矩形PQGH，从而即可求解. 【详解】解：取中点为M，连接ME、MF，取CD、CB中点分别为P、Q，连接QH、PQ、QG， 在正方体中，由题意四边形PQGH为矩形，且MEGH，MFQG， 因为ME平面PQGH，MF平面PQGH，GH平面PQGH，QG平面PQGH， 所以ME平面PQGH，MF平面PQGH， 又MEMF=M， 所以平面MEF平面PQGH， 因为EF平面MEF，所以EF平面PQGH， 所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面为矩形PQGH， 因为正方体的棱长为2，所以, 所以矩形PQGH的面积为, 所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为， 故选：C. 7. 高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为8名同学，所以任选两人，身高都不同，只需将抽取的两人安排到一组，高的同学站后即可. 【详解】名身高都不相同的同学站在8个不同的位置有种站法，将8名同学分为4组，每组2人，则有种分法，4组人有种站法，故所求概率. 故选：D. 8. 已知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，由三点共线，求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为为的中点，， 因为三点共线，可得，解得，即， 又因为是边长为6的等边三角形， 所以 . 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，则下列说法正确的是（ ） A. B. 把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，求出解析式并结合图象变换判断AB；由给定实根计算判断CD. 【详解】依题意，函数， 由的最小正周期为，得，解得， 对于A，，A错误； 对于B，把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 则，B正确； 对于C，当时，，而正弦函数在上的图象关于直线对称， 依题意，，解得，C正确； 对于D，由，得，解得， 由选项C知，，因此，D正确. 故选：BCD 10. 某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（ ） A. 甲企业：均值为5，中位数为8 B. 乙企业：众数为6，中位数为6 C. 丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8 D. 丁企业：均值为5，方差为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据每个企业所给数字特征，找出满足数字特征但不达标的一个特例即可判断ABD，对C中满足条件的数据分析，确定工作时长数据达标. 【详解】甲企业每周7天的工作时间可以为：9,8,8,8,2,0,0，满足均值为5，中位数为8，故不达标，故A正确； 乙企业：众数为6，中位数为6，满足条件的7天工作时间可以为：6,6,6,6,6,6,6,故不达标，故B正确； 丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8， 设7天的工作时间为：4,5,5,8,a,b,c,,与众数矛盾，，为使众数为5，成立，故丙企业达标，故C错误； 丁企业：均值为5，方差为6，7天的工作时间可以为，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 直线BC与平面所成的角等于 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线和所成的角为. D. 线段长度的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断. 【详解】解：由题意得： 正方体的棱长为2 对于选项A：连接，设交于O点 平面 即为直线BC与平面所成的角，且，故A正确； 对于选项B：连接，设交于O点 平面 点到平面的距离为,故B正确； 对于选项C：连接、，由正方体性质可知∥ 故异面直线和所成的角即为和所成的角 又 为等边三角形 故C错误； 对于选项D：过作，过作，连接PQ 为异面直线之间的距离，这时距离最小； 设，为等腰直角三角形，则， 也为等腰直角三角形，则 为直角三角形 故 当时，取最小值，故，故D正确； 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题） 12. 某校高一（1）班有男生20人，女生30人.已知某次数学测验中，男生成绩的平均数为100，方差为11，女生成绩的平均数为95，方差为16，则这次测验中班级总体成绩的方差为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】根据平均数、方差公式计算可得. 【详解】依题意得这次测验中班级总体成绩的平均数为， 方差为. 故答案为： 13. 已知复数，其中且，则的最小值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的模的定义，将进行展开，简化，消元后，转化成关于的一元二次函数，求其最值即得. 【详解】因，， 因，则，， 故当时，取得最小值2，此时的最小值为. 故答案为：. 14. 四边形和均为边长为2的正方形，且它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则四面体外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设外接球的球心坐标为，根据，求得的值，得到外球的半径，即可求解. 【详解】如图所示，以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，， 设外接球的球心坐标为， 可得， 解得，所以， 所以四面体外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题： （1）这一组的频数､频率分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､上四分位数 （3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率. 【答案】（1）， （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，，，各组的频率，再利用对立事件的概率求解，进而得到频数； （2）根据频率分布直方图，利用平均数的平均数､众数､上四分位数的定义求解； （3）易得和之间的人数分别为4人和2人，然后利用古典概型的概率求解. 【小问1详解】 根据题意，的这一组的频率为， 的这一组的频率为， 的这一组的频率为， 的这一组的频率为， 则这一组的频率为， 其频数为； 【小问2详解】 这次竞赛的平均数为， 一组的频率最大，人数最多，则众数为， 前的频率之和为， 前组的频率之和为，故上四分位数在第4组， 设上四分位数为，则，， 故上四分位数（第75百分位数）为； 【小问3详解】 记“取出的人在同一分数段”为事件， 因为之间的人数为，设为､､､， 之间有人，设为､， 从这人中选出人，有 、、、､、、、 、、、､、、、 ，共个基本事件， 其中事件E包括、、、、、、，共个基本事件， 则. 16. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，且，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：方法一：取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以，且， 又因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. 方法二：取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以，可得平面， 因为分别是的中点，所以，可得平面， 因为，所以平面平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：取的中点，连接，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； 方法二：取的中点，连接，分别证得平面和平面，证得平面平面，即可证得平面． （2）连接，求得，以及，及，设点到平面的距离为，结合体积列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，因为，且， 连接，则， 且， ， 所以． 设点到平面的距离为，则，即， 解得，即点到平面的距离为． 【点睛】 17. 设的内角所对的边分别为. （1）求； （2）若，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理和题目条件可得：；再结合特殊角的三角函数值即可求解. （2）先根据题目条件和特殊角的三角函数值求出；再利用诱导公式和两角和的正弦公式求出；最后利用正弦定理求出，结合图形可求解. 【小问1详解】 由余弦定理可知：，即. 因为， 所以，整理可得：. 又因为， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 又因为， 所以. 所以. 由正弦定理，可得， 设边上的高为， 所以. 18. 大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.设各局比赛相互之间没有影响且无平局. （1）求恰好比赛三局，比赛结束的概率； （2）求甲校以3:1获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）就不同学校连胜3场分类讨论后可求比赛结束的概率； （2）就前两局甲校两胜、一胜一负分类讨论后可求甲校以3:1获胜的概率. 【小问1详解】 恰好比赛三局，比赛结束的情况如下： 甲校连胜3局，概率为； 乙校连胜3局，概率为. 故恰好比赛三局，比赛结束的概率. 【小问2详解】 甲校以3:1获胜的情况如下： ①前两局男生排球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜， 概率为； ②前两局男生羽毛球比赛中甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜， 概率为. 故甲校以3:1获胜的概率. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.） ①；②. （1）求A； （2）若的面积为，内角A的角平分线交边于E，求的最大值； （3）若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，再求出，即可得解；选②，利用正弦定理化边为角，再根据余弦定理即可得解； （2）根据，再结合基本不等式即可得解； （3）由题意，两边平方得，结合余弦定理可求出，再根据数量积得几何意义即可得解. 【小问1详解】 若选①， 在中，由及正弦定理， 得， 而，则， 显然，因此，， 则，得，解得， 又，所以； 若选②， 由已知条件及正弦定理，得， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 由得，， 又， ∴， ∴（当且仅当时取等）， 即的最大值为； 【小问3详解】 在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为， 两边平方得， 则，即， 解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，， ， ， 所以. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省贵阳市南明区贵阳市第一中学2025-2026学年高二上学期开学检测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则的值是（ ） A. 2022 B. C. D. 8 3. 向量＝(2,4,x),＝(2,y,2)，若||＝6,且⊥，则x＋y的值为 A. －3 B. 1 C. －3或1 D. 3或1 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系,下列说法中正确的是(　　) A. 频率分布折线图与总体密度曲线无关 B. 频率分布折线图就是总体密度曲线 C. 样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线 D. 如果样本容量无限增大、分组的组距无限减小,那么频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线 6. 正方体的棱长为2，E，F，G，H分别为，AD，，的中点，则过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，则下列说法正确的是（ ） A. B. 把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 C. D. 10. 某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（ ） A. 甲企业：均值为5，中位数为8 B. 乙企业：众数为6，中位数为6 C. 丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8 D. 丁企业：均值为5，方差为6 11. 如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 直线BC与平面所成的角等于 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线和所成的角为. D. 线段长度的最小值为 三、填空题（本大题共3小题） 12. 某校高一（1）班有男生20人，女生30人.已知某次数学测验中，男生成绩的平均数为100，方差为11，女生成绩的平均数为95，方差为16，则这次测验中班级总体成绩的方差为__________. 13. 已知复数，其中且，则的最小值是____________. 14. 四边形和均为边长为2的正方形，且它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则四面体外接球的表面积为______． 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题： （1）这一组的频数､频率分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､上四分位数 （3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率. 16. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，且，求点到平面的距离． 17. 设的内角所对的边分别为. （1）求； （2）若，求边上的高. 18. 大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.设各局比赛相互之间没有影响且无平局. （1）求恰好比赛三局，比赛结束的概率； （2）求甲校以3:1获胜的概率. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.） ①；②. （1）求A； （2）若的面积为，内角A的角平分线交边于E，求的最大值； （3）若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $