专题3.1 椭圆重难点题型讲义（3个知识点+15大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019选修第一册）

专题3.1 椭圆重难点题型专训 （3个知识点+15大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 利用椭圆定义求方程 题型二 椭圆上点到焦点的距离及最值 题型三 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 题型四 椭圆中焦点三角形的面积问题 题型五 椭圆中焦点三角形的其他问题 题型六 根据方程表示椭圆求参数的范围 题型七 求椭圆上点的坐标 题型八 根据a、b、c求椭圆标准方程 题型九 根据椭圆过的点求标准方程 题型十 轨迹问题--椭圆 题型十一 根据椭圆的有界性求范围或最值 题型十二 求椭圆的长轴,短轴 题型十三 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型十四 根据离心率求椭圆的标准方程 题型十五 由椭圆的离心率求参数的取值范围 拓展训练一 椭圆定义与方程相关问题 拓展训练二 椭圆上点的距离及最值问题 拓展训练三  椭圆参数与性质（离心率、长短轴等）相关问题 知识点一：椭圆的定义 1、定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()， 这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 2、注意事项：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 【即时训练】 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2025·湖南娄底·二模）已知椭圆C：上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则 ． 知识点二：椭圆的标准方程 1、怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1. 2、椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数. 图1 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 3、遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有 【即时训练】 1．（24-25高二上·全国·单元测试）若椭圆的短轴顶点为，焦距为8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·单元测试）已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是 ． 知识点三：椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 【即时训练】 1．（24-25高二下·上海·期中）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 ． 【经典例题一 利用椭圆定义求方程】 【例1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）分别根据下列条件，求椭圆的标准方程： (1)一个焦点坐标为，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26； (2)一个焦点坐标为，且椭圆经过点． 1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知点，，设点满足，且为函数图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（   ） A．方程无解 B．方程有两个解 C．的最小值为 D．的最大值为 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆的中心为原点为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的标准方程为 ．    4．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平面直角坐标系中，定点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与半径交于点. (1)求动点的轨迹方程； (2)过且斜率为1的直线交的轨迹于两点，为坐标原点，为椭圆上一点，满足，求的最大值. 【经典例题二 椭圆上点到焦点的距离及最值】 【例1】（24-25高三上·江西·期末）已知椭圆()的左、右焦点分别为，圆 与C在第一象限交于点A，直线与C的另一个交点为B，若 ，则直线的斜率为（   ） A．2 B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，村在地正北处，村与地相距4km，且在地的正东方向.已知公路上任一点到的距离之和都为8km.现在要在公路旁建造一个变电房，分别向村，村送电，但村有一村办工厂，用电须用专用线路，因此向村要架两条线路，分别给村民和工厂送电.要使得所用电线最短，变电房应建在村的什么方位？并求出到村的距离. 1．（23-24高二上·贵州毕节·期末）设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A．4 B． C． D． 2．（23-24高二上·山东济宁·期末）若椭圆：的左、右焦点分别为，，为C上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，给出下列三个判断： ①到、、、四点的距离之和为定值； ②曲线关于直线、均对称； ③曲线所围区域面积必小于36； 上述判断中正确命题的为 ． 4．（23-24高二·江苏·课后作业）已知，．记，，，求证：． 【经典例题三 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 【例1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点在椭圆上，点，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 1．（2024·湖南湘潭·模拟预测）已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 2．（多选题）（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为7 C．的最小值为 D．的最大值为1 3．（24-25高二上·广东汕尾·阶段练习）已知动点P在椭圆上，，，则的最小值为 ． 4．（23-24高二上·陕西安康·期末）已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，求的最大值和最小值． 【经典例题四 椭圆中焦点三角形的面积问题】 【例1】（24-25高二上·全国·单元测试）已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知椭圆的两焦点为，，P为椭圆上一点，且，，求的面积. 1．（23-24高二上·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是上一点，若是直角三角形，则的面积可以是（   ） A． B． C． D．1 3．（24-25高二下·江苏·开学考试）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为 ． 4．（2024高三·全国·专题练习）设点为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，求的面积. 【经典例题五 椭圆中焦点三角形的其他问题】 【例1】（2025·湖南永州·模拟预测）设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【例2】（23-24高二上·广东东莞·期中）平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切. (1)求动圆P的圆心的轨迹方程； (2)当时，求的大小. 1．（23-24高二上·广东·阶段练习）若椭圆的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是椭圆：的左､右焦点，是椭圆上一动点，有（    ） A．时，满足的点有3个 B．时，满足的点有4个 C．时，取得最小值 D．过点作的外角平分线的垂线，垂足为，则 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为 ． 4．（22-23高二·全国·课堂例题）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆E上，. (1)求的面积S； (2)研究的内角的变化规律. 【经典例题六 根据方程表示椭圆求参数的范围】 【例1】（22-23高二上·河南濮阳·阶段练习）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【例2】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：实数m满足. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若“”为假命题，“”为真命题，求实数m的取值范围. 1．（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知p：曲线C：表示焦点在y轴上的椭圆，q：，若p成立的一个必要不充分条件是q，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·河南许昌·期末）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 3．（2024·上海·模拟预测）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 . 4．（2024高三上·北京·竞赛）在平面直角坐标系xOy中，方程表示椭圆，求m的取值范围. 【经典例题七 求椭圆上点的坐标】 【例1】（24-25高二下·河北·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆外一点，且在第一象限，已知，，线段交椭圆于点Q，若，则（   ） A． B． C． D．1 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆上一点P与两个焦点的连线互相垂直，求点P的坐标． 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知点在椭圆上，的左、右焦点分别为，则满足的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23高二上·北京昌平·期中）设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得成立的点的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃庆阳·三模）设点F1，F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得 =m成立的点P恰好有4个，已知实数，则m的值为 . 4．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知是曲线上任一点，过点作轴的垂线，垂足为，动点 满足 (1)求点的轨迹的方程; (2)若点是直线上一点，过点作曲线的切线，切点分别为，，求使四边形面积最小时的值. 【经典例题八 根据a、b、c求椭圆标准方程】 【例1】（2022·云南昆明·一模）已知椭圆，过焦点的直线与交于，两点，坐标原点在以为直径的圆上，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求点的坐标． 1．（24-25高二上·四川攀枝花·阶段练习）阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中提出椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 (大于)的点的轨迹叫做椭圆.已知中，， ， 则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．6 2．（多选题）（2025·河南驻马店·模拟预测）已知P是椭圆上位于第二象限的一点，为C的左、右焦点，O为坐标原点，，的平分线与x轴交与点Q，点M在直线上，，且，则（   ） A．点P在以为直径的圆上 B．的周长为10 C．椭圆C的方程为 D． 3．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）经过点，的椭圆的标准方程为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，以原点为端点的射线与椭圆相交于点，与椭圆相交于点，射线上的动点满足.求动点的轨迹的方程. 【经典例题九 根据椭圆过的点求标准方程】 【例1】（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆，圆交轴负半轴于，与在第一象限的交点为 为坐标原点，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程.； 1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知椭圆C：（）经过和两点，则C上的点到右焦点距离的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点在椭圆上，且，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的一个焦点是，且经过点．则这个椭圆的标准方程为 ． 4．（2023·河南·模拟预测）已知曲线：经过点，． (1)求曲线的方程； (2)已知定点，过的直线与曲线交于A，B两点，过的直线与曲线交于C，D两点．若A，C，M三点共线，证明：B，D，M三点共线． 【经典例题十 轨迹问题--椭圆】 【例1】（24-25高二下·海南海口·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）设是椭圆上一点，分别为关于轴、原点、轴的对称点，为椭圆上异于的点，且，与的交点为，当沿椭圆运动时，求动点的轨迹方程． 1．（24-25高二上·广东梅州·期末）线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知、是轴上两定点，、是轴上两动点，则直线与的交点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块，，它们可分别在横槽和纵槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.现以横槽和纵槽所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系，若，是的中点，则的轨迹方程为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）一张纸上画有半径为的圆和圆内一定点A，且．折叠纸片，使圆周上某一点刚好与点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合． 【经典例题十一 根据椭圆的有界性求范围或最值】 【例1】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆，为椭圆上任意一点，过点分别作与直线和平行的直线，分别交、交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二下·上海静安·阶段练习）一施工队欲使一块边长为2.3米的正方形玻璃板通过一个半椭圆拱形门，门的跨度和高如图所示．请问：该正方形玻璃板能否通过该拱门？请说明理由．（玻璃板厚度不计） 1．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）设M是椭圆C：上位于第一象限内的一个动点，轴，N为垂足．当的面积最大时(O为坐标原点)，其内切圆的半径r等于(    ) A． B． C．2 D． 2．（多选题）（2022·江苏·一模）若椭圆的左，右焦点分别为，则下列的值，能使以为直径的圆与椭圆有公共点的有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）设P为椭圆上任意一点，其中，为它的一个焦点，则的最大值为 ，最小值为 ． 4．（23-24高三·天津·阶段练习）设椭圆：（）的左右焦点分别为，，下顶点为，直线的方程为. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，到直线的距离为，且三角形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆相切，过焦点，分别作，，垂足分别为，，求的最大值. 【经典例题十二 求椭圆的长轴,短轴】 【例1】（24-25高二上·四川绵阳·期中）2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星中心成功发射．约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离进入预定轨道，并按照预定程序与空间站组合体实现圆满的自主快速交会对接．某飞船升空后初始运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，其远地点距地面的距离为S1，近地点距地面的距离为S2，设地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二上·辽宁大连·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点，； (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点． 1．（2024·山东·模拟预测）已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的长轴长为（   ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，于，，，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．3 C． D． 3．（24-25高二上·广东河源·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，上顶点为，若，则的短轴长为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆：的短轴长为2，，分别是的左、右顶点，为坐标原点，的中点为，过点的直线与交于，两点. (1)当轴时，求. (2)若，且直线的斜率大于0， （i）求的方程； （ii）证明：直线与的斜率之比为定值. 【经典例题十三 求椭圆的离心率或离心率的取值范围】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，在高为32的圆柱形筒中，放置两个半径均为6的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，为右端点，在椭圆上存在一点使，求离心率的取值范围． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，若的最大值为5，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025·云南昆明·一模）已知为坐标原点，设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，点在上，且，当的离心率变化时，下列三角形可能为等腰三角形的是（） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）法国著名数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，且方程为，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆的焦点在轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）若椭圆的准线上存在一点，它与焦点弦构成正三角形，求椭圆离心率的取值范围． 【经典例题十四 根据离心率求椭圆的标准方程】 【例1】（24-25高二上·福建泉州·期中）若椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上的动点，的周长为6.求的标准方程. 1．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）已知椭圆的左､右顶点分别为，上顶点为，离心率为.若，则（    ） A．5 B．7 C．21 D．25 2．（多选题）（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知椭圆的离心率为，则的值可以为（    ） A．2 B．3 C．16 D． 3．（24-25高二下·安徽·期末）已知椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在与该椭圆同中心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则该椭圆的蒙日圆方程为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）定义：由椭圆的一个焦点、一个长轴顶点（焦点与长轴顶点在对称轴同一侧）和一个短轴顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似三角形关联椭圆”，并将这两个“特征三角形”的相似比称为“相似三角形关联椭圆”的相似比．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，离心率为，点在C上，焦点在x轴上的椭圆与C是“相似三角形关联椭圆”，且相似比为，的左、右顶点分别为，． (1)求的标准方程； (2)求的离心率，并通过比较与C的离心率，写出一个关于“相似三角形关联椭圆”离心率的结论（写出结论即可，不要求证明）. 【经典例题十五 由椭圆的离心率求参数的取值范围】 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 【例2】（2024·安徽·三模）如图，已知椭圆的中心在原点，长轴左、右端点、在轴上，椭圆的短轴为，且、的离心率都为，直线,与交于两点，与交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为、、、. (1)设，求与的比值； (2)若存在直线,使得∥，求两椭圆离心率的取值范围. 1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，焦点为,，一个短轴顶点为，则（    ） A．40° B．50° C．80° D．100° 2．（多选题）（22-23高二上·辽宁葫芦岛·期中）若椭圆的离心率为，则实数的取值可能是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 3．（2025·上海杨浦·二模）如图，阿基米德椭圆规是由基座､带孔的横杆､两条互相垂直的空槽､两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为 .厘米. 4．（2025·河南信阳·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交于两点（在轴上方)，的周长为，当时，的面积为. (1)求的方程； (2)若的离心率不大于，半径为的圆与的延长线，的延长线及线段均相切. （i）当时，求； （ii）求的最大值. 【拓展训练一 椭圆定义与方程相关问题】 【例1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点P满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二下·上海静安·期末）如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来； (2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？ 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽宿州·期末）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 3．（24-25高三下·安徽阜阳·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，直线l与x轴的交点为，过点F1作于点N，，且的中点P在椭圆C上，则椭圆C的方程为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，设是椭圆上的三点．若，求证：线段的中点在椭圆上． 【拓展训练二 椭圆上点的距离及最值问题】 【例1】（2024·四川泸州·二模）已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动时，求的最大值； 1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知椭圆E：的左焦点为F，离心率为，直线与E交于A，B两点，周长的最大值为8，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，则可以是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为 ，最大值为 ． 4．（24-25高二·全国·课后作业）（1）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，求的最大值； （2）已知，是椭圆的左焦点，点是椭圆上的动点，求的最大值和最小值． 【拓展训练三  椭圆参数与性质（离心率、长短轴等）相关问题】 【例1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·山东威海·期末）如图，已知椭圆： 的离心率为，点为其下焦点，点为坐标原点，过的直线（其中）与椭圆相交于两点，且满足：. （1）试用 表示 ； （2）求的最大值； （3）若，求的取值范围. 1．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·福建莆田·期中）椭圆的左、右焦点分别是、，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是G，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（    ） A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．OG的长度范围是 C．的取值范围是 D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆上存在一点，使得（为长轴端点），则此椭圆的离心率的取值范围是 ． 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知椭圆的离心率为． (1)点P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，A1（﹣a，0），A2（a，0），证明点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值； (2)若椭圆的短轴长为2，动直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O在以AB为直径的圆上． ①判断是否存在定圆与直线l恒相切，若存在，求定圆的方程，若不存在，请说明理由； ②求三角形OAB的面积的取值范围． 1．（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽合肥·三模）已知为坐标原点，椭圆：，平行四边形的三个顶点A，，在椭圆上，若直线和的斜率乘积为，四边形的面积为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·新疆·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二·全国·课后作业）椭圆的离心率为，则k的值为（ ） A．3 B． C．3或 D．或21 6．（多选题）（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知椭圆C：的左焦点为F，点P是C上任意一点，则的值可能是（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 7．（多选题）（23-24高二上·广东广州·期中）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值和最小值分别为（    ） A．最大值为25 B．最小值为15 C．最大值为 D．最小值为 8．（多选题）（23-24高二上·福建漳州·期中）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（多选题）（23-24高二上·四川南充·阶段练习）常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（24-25高二上·河北唐山·期中）已知椭圆C：的离心率为，则k的值可以为（   ） A． B． C．4 D． 11．（24-25高二上·安徽六安·期中）已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为 . 12．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 13．（2024高二上·全国·专题练习）经过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程是 . 14．（23-24高二下·上海·期中）已知点在椭圆上运动，则的取值范围是 . 15．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知椭圆的离心率，则实数 ． 16．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）已知为坐标原点，椭圆，其右焦点为，为椭圆（第一象限部分）上一点，为中点，，面积为． (1)求椭圆的方程； (2)过作圆两条切线，切点分别为，，求的值． 17．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知点，，平面内一动点满足直线与的斜率乘积为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线交轨迹于两点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，求坐标原点到直线的距离的取值范围． 18．（2023·天津·一模）已知椭圆：的右焦点为点，、分别为椭圆的上、下顶点，若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的． (1)求椭圆的离心率； (2)过点且斜率为（）的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点，过点且与平行的直线截椭圆所得弦长为，求椭圆的标准方程． 19．（24-25高三下·山西大同·期末）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 20．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，离心率在，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切. (1)求椭圆及圆的方程； (2)过作两条互相垂直的射线交椭圆于，两点，求面积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 椭圆重难点题型专训 （3个知识点+15大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 利用椭圆定义求方程 题型二 椭圆上点到焦点的距离及最值 题型三 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 题型四 椭圆中焦点三角形的面积问题 题型五 椭圆中焦点三角形的其他问题 题型六 根据方程表示椭圆求参数的范围 题型七 求椭圆上点的坐标 题型八 根据a、b、c求椭圆标准方程 题型九 根据椭圆过的点求标准方程 题型十 轨迹问题--椭圆 题型十一 根据椭圆的有界性求范围或最值 题型十二 求椭圆的长轴,短轴 题型十三 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型十四 根据离心率求椭圆的标准方程 题型十五 由椭圆的离心率求参数的取值范围 拓展训练一 椭圆定义与方程相关问题 拓展训练二 椭圆上点的距离及最值问题 拓展训练三  椭圆参数与性质（离心率、长短轴等）相关问题 知识点一：椭圆的定义 1、定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()， 这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 2、注意事项：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 【即时训练】 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，即可求得答案. 【详解】由于椭圆，故椭圆长半轴长为， 故， 故选：D 2．（2025·湖南娄底·二模）已知椭圆C：上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则 ． 【答案】3 【分析】通过椭圆的焦点在x轴或者y轴上，由椭圆的定义求出即可求解. 【详解】若椭圆的焦点在x轴上，则，由得（舍去）； 若椭圆的焦点在y轴上，则，由得. 故答案为：3． 知识点二：椭圆的标准方程 1、怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1. 2、椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数. 图1 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 3、遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有 【即时训练】 1．（24-25高二上·全国·单元测试）若椭圆的短轴顶点为，焦距为8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据椭圆的定义和已知条件求出椭圆的标准方程；方法二：根据椭圆的定义进行理解辨析，利用排除法求得答案. 【详解】方法一：由题意椭圆的焦点在轴上，且，则，， 所以椭圆的标准方程为． 方法二：由题意，知椭圆长轴在轴上，则下面的分母数值大于下面的分母数值， 则排除C，D；选项B中椭圆的焦距为6，不符合题意，排除B，所以A正确. 故选：A． 2．（24-25高二上·全国·单元测试）已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是 ． 【答案】 【分析】根据已知及椭圆性质有，结合椭圆参数关系求参数，即可得方程. 【详解】椭圆上的点到左焦点距离的最大值为，最小值为， 联立，解得，，根据，得， 则椭圆方程是. 故答案为： 知识点三：椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 【即时训练】 1．（24-25高二下·上海·期中）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的对称性，找到、、与地球半径之间关系，求解即可. 【详解】由题知，记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、，由题可知， 由题意可得， 上述两个等式相乘可得， 因此，卫星运行的轨道的短轴长为千米. 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】依题设椭圆方程，求出相关点坐标，设，利用求得，即得，代入椭圆方程计算即得离心率. 【详解】不妨设椭圆方程为，如图，，设， 由可得，解得，即， 因点在椭圆上，可得，解得. 故答案为：. 【经典例题一 利用椭圆定义求方程】 【例1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可得，，再利用勾股定理，列出方程，求出的值，从而得到椭圆方程. 【详解】因为点在椭圆上，延长线交椭圆于另一点，且， 所以，，则，由于， 所以，即，解得， 所以，则， 则，， 所以椭圆方程为， 故选：C 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）分别根据下列条件，求椭圆的标准方程： (1)一个焦点坐标为，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26； (2)一个焦点坐标为，且椭圆经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆定义求得，结合求得后可得； （2）由椭圆定义求得，结合求得后可得． 【详解】（1）由题意，，又，所以， 椭圆标准方程为； （2）由题意椭圆另一焦点为． ， ，，所以，焦点在轴， 椭圆方程为． 1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知点，，设点满足，且为函数图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，点既在椭圆上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值． 【详解】因为， 可知点在以为焦点，长轴长为，焦距为的椭圆上， 即，可得， 所以椭圆的方程为， 又因为为函数图象上的点， 则，解得， 所以． 故选：C. 2．（多选题）（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（   ） A．方程无解 B．方程有两个解 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】根据两点间距离公式，结合题意可得，取计算可得A、C、D；结合椭圆定义计算可得B. 【详解】， 设，，，则， 如图，取，则， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 又当时，随增大而增大，故无最大值，故C正确、D错误； 由，故有解，故A错误； ，则， 则的轨迹是以，为焦点的椭圆， 此时，，即，， 即椭圆方程为， 当时，得，得，即， 即方程有两个解，故B正确. 故选：BC. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆的中心为原点为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的标准方程为 ．    【答案】 【分析】先根据椭圆的性质确定焦点坐标与焦距，再利用等腰三角形的性质推出垂直关系，通过勾股定理求出相应线段长度，最后依据椭圆的定义即可求出. 【详解】由题意可得，设右焦点为，连接，如图，    由知，，，，，即． 在中，，,由勾股定理，得， 由椭圆的定义，得，从而，于是，椭圆的标准方程为． 故答案为：. 4．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平面直角坐标系中，定点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与半径交于点. (1)求动点的轨迹方程； (2)过且斜率为1的直线交的轨迹于两点，为坐标原点，为椭圆上一点，满足，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，再利用椭圆的定义可求动点的轨迹方程； （2）先求出直线的方程为，代入椭圆方程，得到，设，求得，根据为椭圆上一点，可得，再利用基本不等式求的最大值. 【详解】（1）圆上的圆心为，半径为4， 因为线段的垂直平分线与半径交于点，所以， 所以 由椭圆定义可知，动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆 ， 求动点的轨迹方程为    （2）设， 过且斜率为1的直线的方程为 代入整理得 设，因为点都在椭圆上 代入得 ① 代入①式整理得 （当且仅当时，等号成立） 的最大值为. 【点睛】方法点睛：求最值问题的常见方法：1，利用基本不等式；2，将所求变量表示为函数解析式，利用函数求最值；3，多变量可以利用换元法求解. 【经典例题二 椭圆上点到焦点的距离及最值】 【例1】（24-25高三上·江西·期末）已知椭圆()的左、右焦点分别为，圆 与C在第一象限交于点A，直线与C的另一个交点为B，若 ，则直线的斜率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】若，由椭圆的定义及已知有、、，且求参数，进而可得，即为所求. 【详解】由知为圆的直径，所以， 由题设，若，则，故， 故，而， 故，解得， 则，故直线的斜率为. 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，村在地正北处，村与地相距4km，且在地的正东方向.已知公路上任一点到的距离之和都为8km.现在要在公路旁建造一个变电房，分别向村，村送电，但村有一村办工厂，用电须用专用线路，因此向村要架两条线路，分别给村民和工厂送电.要使得所用电线最短，变电房应建在村的什么方位？并求出到村的距离. 【答案】变电房应建在村的正东方向且距村处 【分析】建立平面直角坐标系，由得点在以为焦点的椭圆上，进而得椭圆的方程，过作于，由椭圆的第二定义得，当共线时，最小，将代入椭圆方程即可求解. 【详解】由题意知，，故点在以为焦点的椭圆上. 如图所示建立平面直角坐标系，则. 所以点的轨迹方程为. 又，右准线. 过作于，则由椭圆的第二定义可知.依题意知求的最小值， 即求的最小值，由平面几何知识可知，当共线时，最小， 当时，，解得， 所以，即变电房应建在村的正东方向且距村处. 1．（23-24高二上·贵州毕节·期末）设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题意，找到垂直关系，利用椭圆的定义表示边长，运用勾股定理消参，用倾斜角和斜率的关系得到答案即可. 【详解】 点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点， ，设 ，在Rt中，， ，解得， 在Rt中， 所以直线的斜率为， 故选：B. 2．（23-24高二上·山东济宁·期末）若椭圆：的左、右焦点分别为，，为C上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的参数方程求出关键点的坐标，将目标式转化为三角函数式子求值域即可. 【详解】易知椭圆的参数方程为(是参数)，， 故，，， 故设，由两点间距离公式得， ， 故， 而，，故，即，故B正确 故选：B 3．（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，给出下列三个判断： ①到、、、四点的距离之和为定值； ②曲线关于直线、均对称； ③曲线所围区域面积必小于36； 上述判断中正确命题的为 ． 【答案】②③ 【分析】当在上时，不为定值，①错误；根据对称性得到②正确；图形在边长为的正方形内部，③正确，得到答案. 【详解】对于①，不考虑交点的情况，当在时，不为定值，故①错误； 对于②，两个椭圆，关于均对称， 故曲线关于直线均对称，故②正确； 对于③，曲线包含在边长为的正方形内部， 故面积小于36，故③正确. 故答案为：②③. 4．（23-24高二·江苏·课后作业）已知，．记，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将点看成椭圆上一点，利用两点间距离公式求得和的长，根据的范围，去掉绝对值，两求和即可得证. 【详解】由已知得点满足方程，即， 则点可以看成椭圆上一点，又因为， 而 ， ， 由，可知， 所以，， 所以，， 所以. 【经典例题三 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 【例1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点在椭圆上，点，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可. 【详解】 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故， 故选：C 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 【分析】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值； (2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案． 【详解】（1）由椭圆可知，，， 则，，    则，当且仅当、、三点共线时成立， 所以， 所以的最大值与最小值分别为和； （2），，， 设是椭圆上任一点，由，， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 由， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 故的最大值与最小值为． 1．（2024·湖南湘潭·模拟预测）已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可：，得，当，，三点共线时取得最小值，进行求解即可． 【详解】解：设椭圆的右焦点为， 易知，， 由，得， 根据椭圆的定义可得：， 所以，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D． 2．（多选题）（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为7 C．的最小值为 D．的最大值为1 【答案】ABD 【分析】根据三点共线、椭圆的定义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，，所以， 的最小值，即是的长，当点在位置时取到， 所以的最小值为，故A正确； 设椭圆的右焦点为，所以， 则当点在位置时取到最大值， 所以的最大值为，故B正确； 的最小值当在位置时取到， 即的最小值为，故C错误； 由， 则当点在位置时取到最大值， 所以的最大值为，故D正确. 故选:ABD    3．（24-25高二上·广东汕尾·阶段练习）已知动点P在椭圆上，，，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】另一焦点为，利用双曲线的定义转化为，然后可得最小值． 【详解】由题意是椭圆的下焦点，如图，设上焦点为， 在椭圆上，则， 所以， 当且仅当是线段与椭圆的焦点时等号成立， 故答案为：1. 4．（23-24高二上·陕西安康·期末）已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，求的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为． 【分析】首先把椭圆的方程转换为标准式，进一步利用椭圆的定义和三点共线建立不等式，最后求出的最大值和最小值 【详解】椭圆转化为，右焦点为，如图所示： ，，，， 故， 由于，（当且仅当P、A、三点共线时，等号成立）， 所以，， 故的最大值为，最小值为． 【经典例题四 椭圆中焦点三角形的面积问题】 【例1】（24-25高二上·全国·单元测试）已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点，设的内切圆半径为r，根据可得答案． 【详解】如图，不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点， 由，得，， ，， 所以． 设的内切圆半径为r， 因为， 所以，得．    故选：B. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知椭圆的两焦点为，，P为椭圆上一点，且，，求的面积. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出焦距，进而求出长短半轴长，在中由余弦定理求出，再由三角形面积公式计算作答. 【详解】依题意，，椭圆长轴长，即长半轴长，短半轴长b，有， 所以椭圆的标准方程为. 在中由余弦定理得： ， 有， 解得，， 所以的面积是. 1．（23-24高二上·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，根据焦点三角形的面积相等列出等式求出即可. 【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得， 所以，所以． 设的内切圆半径为，点的纵坐标为， 根据面积相等得， 所以，解得．    故选：C. 2．（多选题）（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是上一点，若是直角三角形，则的面积可以是（   ） A． B． C． D．1 【答案】BD 【分析】根据给定条件，按直角顶点位置的不同分类求出焦点三角形面积. 【详解】在椭圆中，，半焦距，， 由是直角三角形，得（）或， 若（），由，得，则点到轴距离为， 的面积，B正确； 当是的上顶点或下顶点时，，的面积，D正确. 故选：BD 3．（24-25高二下·江苏·开学考试）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为 ． 【答案】 【分析】延长，交的延长线于点，得为等腰三角形，由中位线定理得，然后结合椭圆定义求得，利用余弦定理和平方关系求得，由三角形面积公式计算面积． 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形， 即，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 故，设， 由椭圆定义知，， 由得，解得， 故，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故. 故答案为： 4．（2024高三·全国·专题练习）设点为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，求的面积. 【答案】4 【分析】先根据勾股定理得，，然后结合椭圆定义及完全平方式得，代入面积公式求解即可. 【详解】，. 又，， . 【经典例题五 椭圆中焦点三角形的其他问题】 【例1】（2025·湖南永州·模拟预测）设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】先由题设求得（t为参数），进而求出取椭圆上顶点时的值，从而得不会为直角即可求解. 【详解】由题，又，. ，即（t为参数）， 取上顶点时最大，此时. 不会为直角，只有当或是直角才符合题意， 所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4. 故选：C. 【例2】（23-24高二上·广东东莞·期中）平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切. (1)求动圆P的圆心的轨迹方程； (2)当时，求的大小. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）作图，根据圆与圆的位置关系和椭圆定义可知所求轨迹为椭圆，然后可得方程； （2）根据椭圆定义和已知，联立余弦定理求解即可. 【详解】（1）圆M的圆心为，半径为， 圆N的圆心为，半径为. 设动圆P的圆心为，半径为r， 则依题意得，， 所以， 所以，点P的轨迹为椭圆，焦点在x轴上，其中，故， 所以，动圆P的圆心的轨迹方程为. 由图可知，当时，不符合题意，故椭圆方程为. （2）记，， 由（1）知，， 由余弦定理可得， 整理得，即， 又，所以，解得， 因为，所以. 1．（23-24高二上·广东·阶段练习）若椭圆的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义及余弦定理即可求解. 【详解】由题意得，，，则， 在中，由余弦定理可得， ，所以. 故选：B． 2．（多选题）（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是椭圆：的左､右焦点，是椭圆上一动点，有（    ） A．时，满足的点有3个 B．时，满足的点有4个 C．时，取得最小值 D．过点作的外角平分线的垂线，垂足为，则 【答案】BCD 【分析】对于A，当a时，椭圆中使得∠F1PF2＝90°点P位于短轴的两个端点，即可求解，对于B，当时，满足∠F1PF2＝90°的点P有四个，分别位于4个象限，即可求解，对于C，利用余弦定理及椭圆的定义结合不等式求出|PF1|•|PF2|的最大值得答案；对于D，设F1P的延长线与F2M交于Q，由题意可得三角形PQF2为等腰三角形，|PQ|＝|PF2|，OM为△F1F2Q的中位线，运用椭圆的定义和中位线定理，计算可得所求值． 【详解】对于A，当a时，此时，所以椭圆中使得∠F1PF2＝90°的点P位于短轴的两个端点，所以有两个点P，故A错误； 对于B，当时，此时，所以满足∠F1PF2＝90°的点P有四个，分别位于4个象限，故B正确， 对于C， ∵cos∠F1PF2， 故当|PF1||PF2|取得最大值时，cos∠F1PF2取最小值． 又∵|PF1|+|PF2|＝，即， 当时，取得最小值， 对于D，如图，设F1P的延长线与F2M交于Q， 由直线l为∠F1PF2的外角平分线，l⊥F2Q， 可得|PQ|＝|PF2|， 又2a＝|PF1|+|PF2|＝|PF1|+|PQ|＝|F1Q|， OM为△F1F2Q的中位线，可得|OM||F1Q|＝a，所以D正确， 故选：BCD． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】连接，利用圆的性质、椭圆的定义，结合勾股定理列式求解即得 【详解】如图，连接，设，则， 由椭圆的定义得， 所以，，． 又为以线段直径的圆上，则， 在中，，即，得， 则， 所以直线的斜率为，    故答案为：-2 4．（22-23高二·全国·课堂例题）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆E上，. (1)求的面积S； (2)研究的内角的变化规律. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）已知，由余弦定理和椭圆的定义，结合三角形面积公式求解； （2）结合图形，利用余弦定理、基本不等式及三角函数的单调性研究的变化规律. 【详解】（1）如图所示，，设，，则，    在中，由余弦定理得 ，即. 所以. （2）方法一：在中运用余弦定理，则有， 由于，且， 所以， 当且仅当，即P为椭圆与y轴交点时取等号，此时最小，取得最大值. 方法二：利用（1）中结论探讨，因为为的内角，所以，即. 如图，令点P按顺时针方向由点A向点B运动， 则的边不变，但边上的高逐渐增大，故S逐渐变大， 从而逐渐变大，由可知，也逐渐变大． 由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，也越大，当点P与点B重合时，达到最大值． 【经典例题六 根据方程表示椭圆求参数的范围】 【例1】（22-23高二上·河南濮阳·阶段练习）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义且焦点在轴，列出相应方程组，从而可求解. 【详解】由题知表示焦点在y轴上的椭圆， 则有：，解得或，故D正确. 故选：D. 【例2】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：实数m满足. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若“”为假命题，“”为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，进而解不等式即可得答案； （2）由题知命题q为真命题时，实数m的取值范围，进而结合题意，分真，假和假，真两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆， 所以，解得， 因为命题p为真命题， 所以实数m的取值范围是 （2）解：解不等式得， 所以命题q为真命题时，实数m的取值范围 因为“”为假命题，“”为真命题， 所以命题，为一真一假命题， 故当真，假时，此时满足且，显然无解； 当假，真时，此时满足且，故， 所以，实数m的取值范围 1．（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知p：曲线C：表示焦点在y轴上的椭圆，q：，若p成立的一个必要不充分条件是q，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据焦点的位置得出，再由充分必要条件的定义结合集合的包含关系求解即可. 【详解】曲线C：表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得： 设，因为若p成立的一个必要不充分条件是q， 所以集合是集合的真子集，则，解得. 由此可知，只有C选项正确； 故选：C 2．（多选题）（24-25高二上·河南许昌·期末）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】BD 【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围，结合选项即可判断. 【详解】由于方程表示椭圆， 所以，解得或， 结合选项，可知的值可以为3和8. 故选：BD 3．（2024·上海·模拟预测）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据方程表示椭圆列出不等式组得解. 【详解】因为方程表示的曲线是椭圆， 所以，解得且， 所以实数k的取值范围是. 故答案为： 4．（2024高三上·北京·竞赛）在平面直角坐标系xOy中，方程表示椭圆，求m的取值范围. 【答案】 【分析】通过换元法，分离参数后根据椭圆的第二定义求解. 【详解】令，将原式整理为， 因此， 易知：其中分式为任意点到定直线距离与定点距离之比为定值， 由椭圆的第二定义知，， 所以，从而. 【经典例题七 求椭圆上点的坐标】 【例1】（24-25高二下·河北·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆外一点，且在第一象限，已知，，线段交椭圆于点Q，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设，由及数量积的坐标运算得，又得，即可得，再由得，代入椭圆方程求解即可. 【详解】由题意，，设， 则， 因为，所以，即， 又，所以，所以， 两式联立求得（负根舍去），所以， 又，，所以， 所以，即， 代入椭圆方程化简得，解得或（负根舍去）. 故选：B 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆上一点P与两个焦点的连线互相垂直，求点P的坐标． 【答案】或或或 【分析】设点坐标，列出坐标满足的等量关系式，求出坐标 【详解】设点，根据椭圆方程得：，所以两个焦点坐标分别为，因为点P与两个焦点的连线互相垂直，所以，且点在椭圆上，所以，联立 得： ，所以点P的坐标为或或或 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知点在椭圆上，的左、右焦点分别为，则满足的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，由题设可得坐标的方程组，求出其解后可判断的个数. 【详解】由椭圆可得半焦距，故. 设，则, 所以即，而， 故，故满足条件的的个数为2， 故选：B. 2．（22-23高二上·北京昌平·期中）设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得成立的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标，利用数量积的坐标表示，整理轨迹方程，联立椭圆方程，可得答案. 【详解】设，由椭圆，则，，即，故，， ，，，整理可得， 联立可得，解得，故点的坐标有，，，， 故选：D. 3．（2025·甘肃庆阳·三模）设点F1，F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得 =m成立的点P恰好有4个，已知实数，则m的值为 . 【答案】2 【分析】设 ，表示向量 ，由条件可得，，结合对称性列不等式，求的范围，由此可得结论.. 【详解】由题意，得， 设点，则， 所以· ① 又因为在椭圆上，所以，所以， 由对称性可得，要使得成立的点恰好是个， 则,解得，又因为， 所以的值可是. 故答案为：2 4．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知是曲线上任一点，过点作轴的垂线，垂足为，动点 满足 (1)求点的轨迹的方程; (2)若点是直线上一点，过点作曲线的切线，切点分别为，，求使四边形面积最小时的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，，则，由可得，再代入化简即可求解； （2）由圆的切线的性质可得，，，求出圆心到直线的距离即为的最小值，进而可得面积的最小值，再由即可得的值. 【详解】（1）设，，则， 由可得， 所以，所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以，整理可得：， 所以点的轨迹方程为. （2）由圆的切线性质知，切线长，， 所以四边形面积， 所以当最小时，面积最小， 而的最小值即为点到直线的距离， 此时， 又因为，可得， 所以四边形面积最小时的值为. 【经典例题八 根据a、b、c求椭圆标准方程】 【例1】（2022·云南昆明·一模）已知椭圆，过焦点的直线与交于，两点，坐标原点在以为直径的圆上，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知坐标原点在以为直径的圆上，即，然后根据椭圆的性质可表示出相关线段长度，再由余弦定理可得关系，最后联立方程即可求解. 【详解】由于坐标原点在以为直径的圆上，所以， 故可设为上顶点，为右焦点，为左焦点. 则，而， 故，，， 由余弦定理，得，得， 结合，，解得，，符合题意， 所以的方程为. 故选：A 【例2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）根据椭圆的顶点及半焦距得出，即可求出椭圆方程； （2）利用点在椭圆上及，解方程组得解. 【详解】（1）因为椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点， 则，，故， 因此，椭圆的方程为. （2）设点，因为， 则，即， 联立，解得，. 当时，，当时，， 所以，点的坐标为或或或. 1．（24-25高二上·四川攀枝花·阶段练习）阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中提出椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 (大于)的点的轨迹叫做椭圆.已知中，， ， 则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】建立适当的直角坐标系，得出点的轨迹是焦点在轴，且以为焦点的椭圆， （去除长轴顶点），再数形结合解出三角形面积最小值即可. 【详解】 如图：以所在直线为轴，以线段中点为原点建立直角坐标系， 则由， 所以点的轨迹是焦点在轴，且以为焦点的椭圆（去除长轴顶点）， 设椭圆的方程为，则 ，， 所以， 所以椭圆方程为：， 当位于短轴顶点时，. 故选：C. 2．（多选题）（2025·河南驻马店·模拟预测）已知P是椭圆上位于第二象限的一点，为C的左、右焦点，O为坐标原点，，的平分线与x轴交与点Q，点M在直线上，，且，则（   ） A．点P在以为直径的圆上 B．的周长为10 C．椭圆C的方程为 D． 【答案】AC 【分析】由已知得出为等腰三角形，过点作，垂足为，由三线合一及中位线得出即可判断A；结合又，得出点在同一直线上，结合平分，得出为等腰直角三角形，进而用表示出，在中利用勾股定理求出，即可判断BCD． 【详解】由题可知，，设，， 又，所以， 过点作，垂足为，则为中点，， 又为中点，所以，，，故A正确； 又，所以， 所以点在同一直线上， 又平分，所以，则， 所以，即，解得，即，， 在中，，即，解得， 所以的周长为，故B错误； 所以，则椭圆C的方程为，故C正确； 因为，所以，故D错误； 故选：AC． 3．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）经过点，的椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆经过的两个点的坐标，确定椭圆焦点位置，进而求出、的值，最后写出椭圆的标准方程. 【详解】已知椭圆经过，两点. 点在轴上，点在轴上，且，所以椭圆的焦点在轴上. 对于焦点在轴上的椭圆，其标准方程为（）， 因为椭圆过点，所以； 椭圆过点，所以. 将，代入椭圆标准方程中，可得，即. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，以原点为端点的射线与椭圆相交于点，与椭圆相交于点，射线上的动点满足.求动点的轨迹的方程. 【答案】 【分析】分射线斜率不存在或存在两种情况讨论即可求解. 【详解】①当射线斜率不存在时，， 由，，. ②当射线斜率存在时，设点的坐标为，射线所在的直线方程为， 分别代入两椭圆方程，解得 或者. 由得. 又，代入上式得. 也满足上述方程，所以点的轨迹的方程为. 【经典例题九 根据椭圆过的点求标准方程】 【例1】（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆，圆交轴负半轴于，与在第一象限的交点为 为坐标原点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得是底角为，腰长为3的等腰三角形，进而可得，代入椭圆方程求参数值. 【详解】由题设是底角为，腰长为3的等腰三角形，得 所以，代入椭圆得，可得， 由，则，可得，即. 故选：C 【例2】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程.； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，设椭圆方程为，代入点解出即可； （2）设椭圆方程为，代入两点解出即可； （3）设椭圆方程为，代入点解出即可； 【详解】（1）由题意可得，设椭圆方程为， 由点在椭圆上可得， 又， 由以上两式消去并整理可得，解得或（舍去）， 所以， 所以椭圆方程为， （2）设椭圆方程为， 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为， （3）由题意可设椭圆方程为， 代入，可得，整理可得， 解得或（舍去） 所以椭圆方程为， 1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知椭圆C：（）经过和两点，则C上的点到右焦点距离的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据已知条件求得以及椭圆方程，进而求解结论即可. 【详解】∵椭圆C：（）经过和两点， ∴，，∴，椭圆方程为：. ∴C上的点到右焦点距离的最小值为：. 故选：B. 2．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点在椭圆上，且，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入得到，将化简为，结合，求出a的取值范围. 【详解】因为点在椭圆上， 所以，即，即， 又因为，，所以， 又，， 即，即， 又，解得， 综上，， 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的一个焦点是，且经过点．则这个椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据焦点坐标得，根据椭圆的定义求出，再根据求出，从而可得椭圆的标准方程. 【详解】由已知，设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的一个焦点是，且经过点， 所以椭圆的另一个焦点为，， ， 则，所以， 所以这个椭圆的标准方程为. 故答案为：. 4．（2023·河南·模拟预测）已知曲线：经过点，． (1)求曲线的方程； (2)已知定点，过的直线与曲线交于A，B两点，过的直线与曲线交于C，D两点．若A，C，M三点共线，证明：B，D，M三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据曲线经过点，列方程，解方程得到，，即可得到曲线的方程； （2）设：，：，联立直线和曲线的方程，利用韦达定理得到，，同理得到，，联立直线AC与曲线的方程得到，，根据，，三点共线和韦达定理得到，然后根据分别得到，，即可得到，即B，D，M三点共线. 【详解】（1）因为曲线：经过点，，所以， 解得，，即曲线的方程为. （2）证明：易知直线，的斜率存在，设：，：， 设，，，， 令直线与曲线联立，， 消去y，整理得， 所以，，同理可得，， 因为A，C，M三点共线，则可设直线AC：，且， 所以，整理得， 令直线AC与曲线联立，消去y，整理得， 所以，，所以， 又， 且， 所以，即B，D，M三点共线． 【点睛】方法点睛：证明，，三点共线的方程： ①向量：可以通过说明与共线得到三点共线； ②斜率：可以通过说明得到三点共线（斜率得存在）； ③直线：可以通过说明点在直线上得到三点共线. 【经典例题十 轨迹问题--椭圆】 【例1】（24-25高二下·海南海口·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点、，则，由中点坐标公式可得，由已知条件可得出，将代入等式，化简可得出轨迹的方程； 【详解】设点、，则， 由中点的坐标公式可得，所以，， 因为点在圆上，则，则，整理可得. 因此，轨迹的方程为. 故选：A. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）设是椭圆上一点，分别为关于轴、原点、轴的对称点，为椭圆上异于的点，且，与的交点为，当沿椭圆运动时，求动点的轨迹方程． 【答案】． 【分析】假设点、的坐标，然后利用点差法得到，联立直线、的方程，可得，，然后代入椭圆方程可得. 【详解】设是椭圆上的任意一点，，动点的坐标为， 则，，． 由，两式作差可知，即， 又，，所以，从而， 所以直线的方程为， 又直线的方程为，联立得，， 因为点在上，所以， 动点的轨迹方程． 1．（24-25高二上·广东梅州·期末）线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、，设线段上靠近点的三等分点为，根据结合平面向量的坐标运算得出，再代入化简即可得出点的轨迹方程. 【详解】设点、，设线段上靠近点的三等分点为， 由题意可得，则， 所以，，所以，， 则，化简得， 故线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为. 故选：C. 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知、是轴上两定点，、是轴上两动点，则直线与的交点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，可得出，，消去参数可得出点的轨迹方程. 【详解】设点，由题意可知，，，即①， ，即②， ①②得，整理可得，即，其中， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 3．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块，，它们可分别在横槽和纵槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.现以横槽和纵槽所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系，若，是的中点，则的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设x轴上的点，y轴上的点，点，利用题设所得和中点坐标公式即可求解. 【详解】设x轴上的点，y轴上的点，点， 则由，又是的中点， 所以， 所以即， 所以的轨迹方程为. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）一张纸上画有半径为的圆和圆内一定点A，且．折叠纸片，使圆周上某一点刚好与点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合． 【答案】所求点的集合为椭圆外（含边界）的部分 【分析】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则有．设与点A重合的点为，折痕上任意一点为，由，可得，据此可得答案. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则有． 设折叠时，上点与点重合，而折痕为直线， 则为线段的中垂线．设为上任一点，则， ， 即，． 可得：， ， 即所求点的集合为椭圆外（含边界）的部分． 【经典例题十一 根据椭圆的有界性求范围或最值】 【例1】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆，为椭圆上任意一点，过点分别作与直线和平行的直线，分别交、交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、、，设过点分别与直线、平行的直线为、，作出图形，分析可知四边形为平行四边形，可得出，利用两点间的距离公式结合椭圆的有界性可求得的最小值. 【详解】设过点分别与直线、平行的直线为、，如图： 设、、，则，， 显然四边形为平行四边形，故的中点与的中点重合， 则，即， 又因为椭圆上任意一点，所以，即， 即， 而，所以当时，. 故选：A. 【例2】（23-24高二下·上海静安·阶段练习）一施工队欲使一块边长为2.3米的正方形玻璃板通过一个半椭圆拱形门，门的跨度和高如图所示．请问：该正方形玻璃板能否通过该拱门？请说明理由．（玻璃板厚度不计） 【答案】能，理由见解析 【分析】建立合适的直角坐标系，写出椭圆方程，作出斜放时的图形，再设点，利用二次函数的性质即可得到最值. 【详解】建立直角坐标系，设椭圆的方程为， 则，则， 得椭圆的方程为，， 斜放进入拱门能使通过玻璃板的面积较大，即按如图所示的位置， 设点的坐标为，而点坐标为， 所以 ， 所以当时，，而根据计算器易知，故能通过. 1．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）设M是椭圆C：上位于第一象限内的一个动点，轴，N为垂足．当的面积最大时(O为坐标原点)，其内切圆的半径r等于(    ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设，根据二次函数求的最大值即可求的最大值，由此可求周长，根据即可求内切圆半径r． 【详解】设， 则， ， ， ，∴当时，， ，，，， ∴， ∴根据等面积法得：． 故选：A﹒ 2．（多选题）（2022·江苏·一模）若椭圆的左，右焦点分别为，则下列的值，能使以为直径的圆与椭圆有公共点的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】依题意可得，再根据，即可取出的取值范围，即可得解； 【详解】解：以为直径的圆的方程为，因为圆与椭圆有公共点，所以，即，所以，即，满足条件的有A、B、C； 故选：ABC 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）设P为椭圆上任意一点，其中，为它的一个焦点，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】代入两点间距离公式，转化为根据定义域求函数的最值. 【详解】设，， , ，函数在区间上单调递增， 当时，的最大值为，当时，的最小值是. 故答案为：； 4．（23-24高三·天津·阶段练习）设椭圆：（）的左右焦点分别为，，下顶点为，直线的方程为. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，到直线的距离为，且三角形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆相切，过焦点，分别作，，垂足分别为，，求的最大值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（1）（2）4 【分析】（Ⅰ） 由直线斜率为 可得 ，从而可得结果；（Ⅱ）（1）先求得 点坐标，根据三角形面积可得 的值，从而可得椭圆方程,(2) 设直线：代入椭圆的方程中， 得,判别式为零，及点到直线的距离公式可将表示为 的函数，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（Ⅰ）由已知，则. ， （Ⅱ）（1）设点，于是， 所以或 而    无解； 由得. 又因为三角形面积，所以， 于是，椭圆的方程为. （2）设直线：代入椭圆的方程中， 得 由已知，即 同时， ①当时， 所以 当且仅当时等号成立 而时，，因此 ②当时，四边形为矩形 此时 综上①②可知，的最大值为4. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程和最值问题，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（Ⅱ）就是用的这种思路，利用均值不等式法的最大值的. 【经典例题十二 求椭圆的长轴,短轴】 【例1】（24-25高二上·四川绵阳·期中）2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星中心成功发射．约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离进入预定轨道，并按照预定程序与空间站组合体实现圆满的自主快速交会对接．某飞船升空后初始运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，其远地点距地面的距离为S1，近地点距地面的距离为S2，设地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质，得到，，结合即可求解. 【详解】 建立适当坐标系画出椭圆，如图所示， 设椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为， 根据题意有，， 所以 又因为，所以. 故选：C 【例2】（22-23高二上·辽宁大连·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点，； (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点． 【答案】(1) (2)或 【分析】分焦点在轴和焦点在轴两种情况设椭圆方程，将点代入列方程，解方程即可. 【详解】（1）①当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，所以此时椭圆方程为； ②当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，不符合要求； 所以椭圆方程为. （2）①当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，所以此时椭圆方程为； ②当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，所以此时椭圆方程为， 所以椭圆方程为或. 1．（2024·山东·模拟预测）已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的长轴长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】借助等边三角形的性质可得点的坐标，结合所得，计算即可得，即可得的长轴长. 【详解】由，，且为等边三角形，故，， 即有，有，又， 故，整理得， 故或（小于1，故舍去）， 即，故， 即的长轴长为. 故选：D. 2．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，于，，，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的性质，根据，，可得，，求解，然后推出椭圆的长轴长． 【详解】 椭圆的焦点分别为，点在椭圆上， 于，，， 可得，，， 解得， 所以所求椭圆的长轴长为， 故选：A． 3．（24-25高二上·广东河源·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，上顶点为，若，则的短轴长为 ． 【答案】 【分析】分析可知，为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的值，即可求得的值，进而可得出结果. 【详解】设，易知， 结合，可知为等腰直角三角形， 所以，故， 所以，所以的短轴长为． 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆：的短轴长为2，，分别是的左、右顶点，为坐标原点，的中点为，过点的直线与交于，两点. (1)当轴时，求. (2)若，且直线的斜率大于0， （i）求的方程； （ii）证明：直线与的斜率之比为定值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题设可得，，结合轴求出，进而求解即可； （2）（i）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，可得，进而求解即可； （ii）由（i）得，则，进而代入求证即可. 【详解】（1）由题意，，，即， 则的中点为， 由于轴，将代入椭圆：， 则，解得，则， 即. （2）（i）由（1）知，，， 椭圆：， 设直线的方程为，，， 联立，得， 则， 又， 由，则， 则， 则， 则， 则， 整理得，，即， 所以椭圆的方程为. （ii）证明：由（i）知，，， 且，则， 则， . 所以直线与的斜率之比为定值3. 【经典例题十三 求椭圆的离心率或离心率的取值范围】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，在高为32的圆柱形筒中，放置两个半径均为6的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由丹德林球求出椭圆的长半轴长和半焦距即可求出椭圆的离心率. 【详解】设平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，如图，作出圆柱过椭圆的长轴的截面图， 设长轴AB与两圆的切点是，．连接，记椭圆长轴与交于点C，过C作交圆柱的母线于点，连接，，则，． 所以，，． 根据对称性可知是，的中点，故，则． 易得，故，则椭圆的长半轴长． 由题意得椭圆的焦点为，所以半焦距，则椭圆的离心率为. 故选：D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，为右端点，在椭圆上存在一点使，求离心率的取值范围． 【答案】 【分析】解法：写出点坐标，设出点的参数坐标，得到的表达式，利用得出，化简方程，利用韦达定理求出，即可求出离心率的取值范围； 解法：写出点坐标，设出点的直角坐标，得到的表达式，利用得出，化简方程，利用韦达定理求出，即可求出离心率的取值范围. 【详解】由题意， 解法1  如图，已知，，    由几何知识得，，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 即，整理得． 当时，， 等式成立，所以其中一个根为， 从而， ∴，即，解得， ∴． 解法2  由，得，，    由几何知识得，，， 设．，， ∵， ∴， ∴，即， 即，整理得． 当时，， 等式成立，所以其中一个根为， ∴，即． ∴，即，解得， ∴， ∴，解得， ∴． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，若的最大值为5，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式可得，从而求出的值，由离心率公式求解即可. 【详解】由椭圆的定义得，又， 故，当且仅当时，等号成立， 则，故，， 所以C的离心率为 故选：B 2．（多选题）（2025·云南昆明·一模）已知为坐标原点，设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，点在上，且，当的离心率变化时，下列三角形可能为等腰三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】假设三角形为等腰三角形，在此基础上能够求出椭圆的离心率即满足题意. 【详解】椭圆方程为，设左焦点为，左顶点为，上顶点为， 点在椭圆上且满足，即点的坐标为，    对于A，顶点坐标为，，三边长度：，， 当时，即离心率，此时，解得， 此时，故为等腰三角形，故A正确； 对于B，顶点坐标为，， 三边长度：， 当时，即，解得，即离心率时成立，故为等腰三角形，故B正确； 对于，顶点坐标为， 三边长度：,， 当时，即，解得，即离心率时成立，故为等腰三角形，故C正确； 对于D，顶点坐标为，， 三边长度：，， 因为，若为等腰三角形，只能，即，即，又， 所以，因为，故该等式无解，故D错误； 故选：ABC. 3．（2025高三·全国·专题练习）法国著名数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，且方程为，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆的焦点在轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由已知分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率的范围. 【详解】由题意知，圆为椭圆的“蒙日圆”， 如图，因为A，B为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外，又动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，得，所以， 则，又椭圆的离心率大于零， 则椭圆的离心率的取值范围是．    4．（2025高三·全国·专题练习）若椭圆的准线上存在一点，它与焦点弦构成正三角形，求椭圆离心率的取值范围． 【答案】 【分析】考虑临界状况，当焦点弦为通径时可求解，进而根据通径为最短的焦点弦，即可列不等式求解. 【详解】如图， ①当焦点弦为通径AB时，若是正三角形，根据对称性可知位于准线与轴相交于处，此时，，且 ②当焦点弦不为通径时，要在准线上找到点D满足条件，此时到焦点弦的距离,则，故 综合①②可知：要使在准线上存在一点，它与焦点弦构成正三角形，则需要 ∴，故 ∴． 【经典例题十四 根据离心率求椭圆的标准方程】 【例1】（24-25高二上·福建泉州·期中）若椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【答案】D 【分析】分类讨论，两种情况，再依据离心率公式代入即可求解. 【详解】当，即焦点在轴上，则, 故，解之可得， 当，即焦点在轴上，， ，解之可得， 综上可得的值为或. 故选：D 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上的动点，的周长为6.求的标准方程. 【答案】 【分析】由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程. 【详解】 设椭圆的焦距， 所以的周长为， 即.又椭圆的离心率为，所以， 所以，所以，所以， 所以的标准方程为. 1．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）已知椭圆的左､右顶点分别为，上顶点为，离心率为.若，则（    ） A．5 B．7 C．21 D．25 【答案】B 【分析】根据离心率及，得到a,b的两个关系式，解方程即可求解. 【详解】因为离心率，解得 因为分别为的左､右顶点，B为上顶点， 则. 所以， 因为.， 所以， 将代入 解得. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知椭圆的离心率为，则的值可以为（    ） A．2 B．3 C．16 D． 【答案】BD 【分析】讨论焦点在轴，轴时，分别求出，由离心率的公式即可求出答案. 【详解】当焦点在轴上时，， 由得，. 当焦点在轴上时，， 由得，. 综上得， 或. 故选：BD. 3．（24-25高二下·安徽·期末）已知椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在与该椭圆同中心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则该椭圆的蒙日圆方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，再求出椭圆在顶点处的切线交点坐标即可求出蒙日圆方程． 【详解】由椭圆的离心率为，得，解得， 椭圆在顶点处的切线分别为，它们交于点， 显然点在椭圆的蒙日圆上，因此， 所以椭圆的蒙日圆方程为． 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）定义：由椭圆的一个焦点、一个长轴顶点（焦点与长轴顶点在对称轴同一侧）和一个短轴顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似三角形关联椭圆”，并将这两个“特征三角形”的相似比称为“相似三角形关联椭圆”的相似比．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，离心率为，点在C上，焦点在x轴上的椭圆与C是“相似三角形关联椭圆”，且相似比为，的左、右顶点分别为，． (1)求的标准方程； (2)求的离心率，并通过比较与C的离心率，写出一个关于“相似三角形关联椭圆”离心率的结论（写出结论即可，不要求证明）. 【答案】(1) (2)；“相似三角形关联椭圆”的离心率相等. 【分析】（1）先根据条件求出椭圆的方程，再根据相似比即可求出的标准方程； （2）结合（1）即可求出离心率. 【详解】（1）设椭圆的焦半距为，椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半距分别为， 则由题意得，，，，解得， 设椭圆的上下顶点分别为，左右焦点分别为， 椭圆的上下顶点分别为，左右焦点分别为， 因，且相似比为，则， 即，得， 则的标准方程为. （2）由（1）可知的离心率为，则与C的离心率相等， 结论：“相似三角形关联椭圆”的离心率相等. 证明：椭圆：， 设椭圆的上下顶点分别为，左右焦点分别为， 椭圆的上下顶点分别为，左右焦点分别为， 因，设相似比为，则， 即，得， 则的离心率为，即“相似三角形关联椭圆”的离心率相等. 【经典例题十五 由椭圆的离心率求参数的取值范围】 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 【答案】C 【分析】通过讨论和，结合离心率，即可求解. 【详解】①当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； ②当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； 综上，的值为或12. 故选：C 【例2】（2024·安徽·三模）如图，已知椭圆的中心在原点，长轴左、右端点、在轴上，椭圆的短轴为，且、的离心率都为，直线,与交于两点，与交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为、、、. (1)设，求与的比值； (2)若存在直线,使得∥，求两椭圆离心率的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用题意写出,两点的坐标，结合纵坐标的值求解与的比值即可； (2) 设直线，时的不符合题意，否则有=，利用直线的斜率相等得出关于离心率的不等式，求解不等式即可求得最终结果. 【详解】（1）因为、的离心率相同， 故依题意可设. 设直线分别和、的方程联立， 求得. 当时，，分别用、表示,的纵坐标， 可知. （2）时的不符合题意， 当时，∥，当且仅当的斜率与的斜率相等， 即：，解得. 因为，又，所以，解得. ∴当时，存在直线,使得∥， 即离心率的取值范围是. 1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，焦点为,，一个短轴顶点为，则（    ） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】D 【分析】由题可得，可得，即可求解. 【详解】设椭圆的中心为，长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则在等腰三角形中，，，． 因为椭圆的离心率为，所以在直角三角形中，，故，． 故选：D 2．（多选题）（22-23高二上·辽宁葫芦岛·期中）若椭圆的离心率为，则实数的取值可能是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】AC 【分析】对椭圆焦点在轴上和在轴上两种情况进行分类讨论，根据离心率的定义即可计算得出实数的取值. 【详解】当焦点在轴上时，由，得； 当焦点在轴上时，由，得． 故选：AC. 3．（2025·上海杨浦·二模）如图，阿基米德椭圆规是由基座､带孔的横杆､两条互相垂直的空槽､两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为 .厘米. 【答案】21 【分析】根据给定条件，确定椭圆的长短半轴长，再利用椭圆离心率求法列式计算得解. 【详解】依题意，当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的短半轴长， 当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的长半轴长，则， 由椭圆的离心率为，得，解得，即，解得， 所以之间的距离为21厘米. 故答案为：21 4．（2025·河南信阳·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交于两点（在轴上方)，的周长为，当时，的面积为. (1)求的方程； (2)若的离心率不大于，半径为的圆与的延长线，的延长线及线段均相切. （i）当时，求； （ii）求的最大值. 【答案】(1)或； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用椭圆的定义可知的周长为，求出，结合三角形面积与勾股定理求出,进而求出，即可求出，最终得到椭圆方程； （2）由的离心率不大于，结合（1）得出的唯一方程，设圆分别切延长线，延长线和线段于点，根据切线长定理，结合椭圆焦距等性质，可知H与重合； （i）由椭圆性质及圆与直线的相切关系，结合周长、切线等条件，得出三边长度，再根据余弦定理求出； （ii）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论：当直线斜率不存在时，求得不符合题意；当直线斜率存在时，设出直线的方程，直曲联立并化简，利用韦达定理与弦长公式求出关于的表达式，结合圆与直线的相切条件，将用表示，代入可得关于的函数，利用导数求的最大值. 【详解】（1）由题意, 的周长为， 所以， 设， 因为当时，的面积为， 所以，即 又， 所以， 将①代入化简得② ①②联立得或 当时，为的上顶点， 所以，则， 所以的方程为，检验符合题意 当时，， ， 所以，所以， 所以的方程为，检验符合题意； 故C的方程为或； （2）因为的离心率不大于， 所以椭圆的方程为， 设圆分别切延长线，延长线和线段于点， 则 ， 又，所以， 即，故H与重合. （i）又圆的半径为， 则在中，， 所以； （ii）当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 在中，， 所以， 则， 即直线的斜率， 即，所以， 联立，整理得， 则， 所以 ， 又，所以， 所以， 令， 则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取得最大值为， 当直线的斜率不存在时，易求得， ∴， ∴的最大值为. 【拓展训练一 椭圆定义与方程相关问题】 【例1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点P满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取弦的中点D，连接，求出，再根据椭圆定义结合勾股定理求出的关系，即可得解． 【详解】如图，取弦的中点D，连接，则，即， 因为， 所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以， 因为，所以OD垂直平分弦， 因为，， 所以，所以， 由椭圆定义可得，， 所以，解得，， 又，，所以，故， 所以椭圆的方程为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法 （1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则； （2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式. 【例2】（23-24高二下·上海静安·期末）如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来； (2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）建立平面直角坐标系后利用圆和椭圆的方程求解即可. （2）依据题意得到方程，求出截面边长最值即可. 【详解】（1）【小问1详解】 如图，以矩形ABCD 的对称中心为原点建立平面直角坐标系 则半圆的方程为设椭圆的标准方程为： 则由已知，有， 得出所以，椭圆部分的方程为： 水平线AB的方程为： （2）提前告诉搬运公司：正方形截面的边长的最大值为3.2米； 三角形截面的边长的最大值为米. 若为正方形截面，设正方形边长为，如图所示放置时正方形截面的边长的最大值 则点在圆上,即，解得 所以正方形截面的边长的最大值为3.2米； 若为等边三角形截面，如图放置： 解法一：因为直线倾斜角为， 所以直线的斜率为，且直线过定点，故直线的方程为， 联立整理得： 解得和 (舍). 所以三角形截面的边长的最大值为米 解法二： 设正三角形边长为 ,则点 在椭圆 上， 由 得 ， 即，解得和(舍) 所以三角形截面的边长的最大值为米. 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是合理设出边长，然后表列出方程求解边长最值，计算得到所要求的数值即可． 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用椭圆定义得到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而得到的方程. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 因为 所以圆在圆内， 所以动圆与圆内切与圆外切， 设动圆半径为r，圆心， 则，， 故， 所以动点的轨迹是以为焦点长轴长为的椭圆. 由， 解得， 所以， 又因为该椭圆的中心在原点，焦点在y轴上， 所以的方程为. 故选：C 2．（24-25高三上·安徽宿州·期末）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【分析】先根据椭圆的标准方程确定的值，判断的形状，确定共线，再根据椭圆的定义求的周长. 【详解】如图：    由椭圆方程可知，，. 所以， 所以为等边三角形， 因此的中垂线过， 结合椭圆的定义，可得周长. 故选：C 3．（24-25高三下·安徽阜阳·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，直线l与x轴的交点为，过点F1作于点N，，且的中点P在椭圆C上，则椭圆C的方程为 . 【答案】 【分析】由是线段的中点，P是线段的中点，可得，进而得到，结合椭圆定义求得，，即可得解. 【详解】 依题意是线段的中点，又P是线段的中点，所以， 因为，所以. 由P是线段的中点，所以. 因为点P在椭圆C上，结合椭圆定义，可得，解得(舍去)， 所以，所以椭圆C的方程为. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，设是椭圆上的三点．若，求证：线段的中点在椭圆上． 【答案】证明见解析 【分析】设，由得代入椭圆方程化简得，线段的中点的坐标为代入椭圆方程验证即可得证. 【详解】设，则， 由，得， 因为是椭圆上一点，所以， 即， 得， 故．又线段的中点的坐标为， 所以， 从而线段的中点在椭圆上． 【拓展训练二 椭圆上点的距离及最值问题】 【例1】（2024·四川泸州·二模）已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】设椭圆右焦点为，利用三角形的中位线定理与圆的半径求出，再利用椭圆的定义即可求解. 【详解】因为椭圆C：，所以，，则， 设椭圆右焦点为，连接，记线段的中点为，链接, 因为，所以， 因为分别为和的中点，所以， 又，所以. 故选：C 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动时，求的最大值； 【答案】 【分析】由椭圆定义，转化，即得解 【详解】如图所示，设是左焦点，则， ， 而． ∴,当点F1在线段AM上时，等号成立， 即的最大值为． 1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知椭圆E：的左焦点为F，离心率为，直线与E交于A，B两点，周长的最大值为8，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义，求解面积的最大值，即可求解椭圆方程. 【详解】设椭圆的右焦点为，得， 而的周长为， 当且仅当过点时，等号成立， 所以，得，椭圆的离心率，所以，， 所以椭圆的方程为. 故选：B 2．（多选题）（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，则可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】作出图形，设直线交椭圆于点、，利用椭圆定义可得，利用点分别与点、重合时取得最小值和最大值可求得的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】在椭圆中，，，，则、，如下图所示： 设直线交椭圆于点、，且， 由椭圆定义可得，则，故， 当点与点重合时，此时取得最小值，即， 当点与点重合时，此时取得最大值，即. 因此，的取值范围是. 故选：ABC. 3．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 7 13 【分析】首先根据椭圆方程求出，由此可知两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，，进而根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程知，两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，， 设两圆半径分别为，，则，. ∴，|， ，|， 故的最小值为； 的最大值为.    故答案为：7；13 4．（24-25高二·全国·课后作业）（1）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，求的最大值； （2）已知，是椭圆的左焦点，点是椭圆上的动点，求的最大值和最小值． 【答案】（1）100；（2）的最大值为，最小值为． 【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求的最值；（2）求的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求的最值，显然当，，三点共线时取得最值． 【详解】（1）∵，，当且仅当时取等号， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为100． （2）设为椭圆的右焦点，可化为， 由已知，得，∴， ∴． ①当时，有，等号成立时，最大，此时点是射线与椭圆的交点，的最大值是． ②当时，有，等号成立时，最小，此时点是射线与椭圆的交点，的最小值是． 综上，可知的最大值为，最小值为． 【拓展训练三  椭圆参数与性质（离心率、长短轴等）相关问题】 【例1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件，分析椭圆的简单性质，列出不等式，求解即可. 【详解】表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得. 故选：D 【例2】（24-25高二上·山东威海·期末）如图，已知椭圆： 的离心率为，点为其下焦点，点为坐标原点，过的直线（其中）与椭圆相交于两点，且满足：. （1）试用 表示 ； （2）求的最大值； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）离心率的最大值为；（3）的取值范围是. 【分析】（1）设，联立椭圆与直线的方程得到，再将韦达定理代入化简即可得到； （2）利用（1）中得到的，即（注意），结合，化简求解即可得出的最大值； （3）利用与先求出的取值范围，最后根据（1）中，求出的取值范围即可. 【详解】（1）联立方程消去，结合 化简得，设，则有，，故 ， 因为，故 ∴即 （2）由（1）知，∴，∴ ∴ ∴离心率的最大值为 (3)∵ ∴ ∴，即， 解得，∴即， ∴的取值范围是 1．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程表示椭圆，则分母均为正，焦点在y轴上，则，取交集即可 【详解】因为方程表示椭圆，且焦点在y轴上，则有：，解得：． 故选：A 2．（多选题）（23-24高二上·福建莆田·期中）椭圆的左、右焦点分别是、，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是G，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（    ） A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．OG的长度范围是 C．的取值范围是 D． 【答案】AD 【分析】A选项，利用重心坐标公式和代入法求轨迹方程；B选项，根据椭圆的性质求长度的范围；C选项，根据角平分线的性质得到，然后求范围即可；D选项，根据列等式，然后整理即可. 【详解】 由题意得，，①，，， 设，因为是的中心，所以，即， 代入中得， 因为，，所以，， 所以的轨迹为椭圆的一部分，故A正确； 因为的轨迹为椭圆的一部分，长半轴长为，短半周长为，所以，故B错； 由椭圆定义得，设，， 根据角平分线的性质可得，故C错； 由得②， 由①得，代入②得，整理得，故D正确. 故选：AD. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆上存在一点，使得（为长轴端点），则此椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】写出所在直线的斜率表达式，利用三角形的外角，得出，两边取正切，得出，由点在椭圆上得出，两式联立求出有关的表达式，即可求解离心率范围. 【详解】由题意，设点的坐标分别为． 由椭圆的对称性，不妨设点在轴上方，即， 则所在直线的斜率分别为，． 设的外角为，， 由外角性质得，即， ∴， ∵， ∴，即， 化简得， 又点在椭圆上，则，即． ，得， ∵，∴． ∵，∴，即， ∴，整理得， 即，解得． ∵，∴． 故答案为：. 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知椭圆的离心率为． (1)点P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，A1（﹣a，0），A2（a，0），证明点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值； (2)若椭圆的短轴长为2，动直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O在以AB为直径的圆上． ①判断是否存在定圆与直线l恒相切，若存在，求定圆的方程，若不存在，请说明理由； ②求三角形OAB的面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，定值为 (2)①存在，定圆为；② 【分析】（1）设，由证得结论成立. （2）①先求得椭圆方程，根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，由列方程，由原点到直线的距离求得所求圆的方程. ②求得三角形面积的表达式，结合二次函数的性质求得面积的取值范围. 【详解】（1）设P（x0，y0），则，整理可得， 则，所以＝， 因为椭圆的离心率为，则， 所以，则，故点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值. （2）因为椭圆的短轴长为2，则b＝1，由（1）可知，a＝2，所以椭圆的方程为，因为坐标原点O在以AB为直径的圆上，所以OA⊥OB， ①假设存在定圆与直线l相切，由对称性可知定圆的圆心在坐标原点O， 当直线l的斜率不存在时，有对称性设A（t，t），则t2+4t2＝4，解得，此时坐标原点O到直线l的距离的平方为， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程组，消去y可得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0， 则△＝16[（4k2+1）﹣m2]＞0，消去x可得，（4k2+1）y2﹣2my+m2﹣4k2＝0， 因为OA⊥OB，则，即5m2＝4（k2+1），此时， 坐标原点O到直线l：y＝kx+m的距离的平方为． 综上所述，存在定圆与直线l恒相切； ②当直线l的斜率不存在时，△OAB的面积， 当直线l的斜率存在时，△OAB的面积S＝＝＝， 令t＝4k2+1，t≥1，则S＝＝，所以． 综上所述，△OAB的面积的取值范围为. 1．（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到垂直平分线段，则，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解． 【详解】 因为椭圆方程为， 所以，，， 又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以垂直平分线段，所以， 又因为，所以，， 在直角三角形中，， 于是的面积为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上转化为垂直平分线段，再结合椭圆定义求解. 2．（2023·安徽合肥·三模）已知为坐标原点，椭圆：，平行四边形的三个顶点A，，在椭圆上，若直线和的斜率乘积为，四边形的面积为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用三角换元设，，代入椭圆方程可得，再根据三角形面积的向量公式及斜率之积计算即可. 【详解】 先证三角形面积公式的向量形式：在中，， 则 ，而 设，，由题意可知;， 所以， 将坐标代入椭圆方程有 ， 则 所以四边形的面积为， 即，又根据和的斜率乘积为知， 所以，解之得：，． 故选：B 3．（22-23高二上·新疆·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题目条件求出椭圆方程，对直线进行分类讨论，求直线与或的交点，利用面积求的取值范围. 【详解】由题意可得解得， 所以椭圆的方程为，. 设直线与轴的交点为. 因为直线将分成面积相等的两部分， 所以，点在射线上. 设直线和的交点为，由可得，即点的坐标为. ①如图1，若点和点重合，则点为线段的中点，即，此时. ②如图2，若点在点和点之间，此时，点在点和点之间. 易得，则，即，整理得，解得，所以. ③如图3，若点在点的左侧，则且，即. 设直线和的交点为， 由，得，即点的坐标为.，即，化简可得，两边开方可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 故选：D 4．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切线长定理可得出，再由椭圆定义可求出，结合勾股定理可得出关于的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值. 【详解】设的内切圆分别切该三角形三边于点，如图所示. 由切线长定理可得， 则 . 因为，所以， 由圆的几何性质可得，故四边形为正方形， 且其边长为. 由对称性可知，由椭圆定义可得，① 又因为，所以，② 联立①②可得. 由勾股定理可得，即， 整理可得，即， 即，整理可得， 因此，. 故选：B. 5．（2024高二·全国·课后作业）椭圆的离心率为，则k的值为（ ） A．3 B． C．3或 D．或21 【答案】C 【分析】分焦点在轴、在轴上求出，根据离心率为可得答案. 【详解】当焦点在轴上时，； 当焦点在轴上时， 故选：C. 6．（多选题）（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知椭圆C：的左焦点为F，点P是C上任意一点，则的值可能是（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】ABC 【分析】根据求出的范围即可. 【详解】由题意可知，， 所以，即． 故选:ABC． 7．（多选题）（23-24高二上·广东广州·期中）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值和最小值分别为（    ） A．最大值为25 B．最小值为15 C．最大值为 D．最小值为 【答案】AB 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】设椭圆的右焦点为，由椭圆的标准方程可知：， 可得，所以， 由椭圆的定义可知：， ， 当且仅当三点依次共线， 当且仅当三点依次共线， 故选：AB 8．（多选题）（23-24高二上·福建漳州·期中）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】根据椭圆的几何性质可判断为椭圆的短轴端点时，此时最大，即可列不等式求解. 【详解】由椭圆的性质可得当点为椭圆的短轴端点时，此时最大， 若不可能为钝角，当点为椭圆的短轴断点时，则， 则，即， 又焦点在轴上，解得， 所以实数的值可以是4，5， 故选：CD    9．（多选题）（23-24高二上·四川南充·阶段练习）常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由椭圆方程得出其长轴与短轴长，再由已知可得参数值． 【详解】由已知椭圆标准方程是， 若，则由已知得，， 若，则，， 故选：BC． 10．（多选题）（24-25高二上·河北唐山·期中）已知椭圆C：的离心率为，则k的值可以为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】BD 【分析】根据离心率公式，结合焦点位置即可分类求解.. 【详解】若焦点在轴上，则，且，故，解得， 若焦点在轴上，则，且，故，解得， 故选：BD 11．（24-25高二上·安徽六安·期中）已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差大小关系求解即得. 【详解】椭圆的长轴长，焦距，则点为左焦点， 设右焦点为， 又在椭圆内，， 于是，， 当且仅当点是射线与椭圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 12．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 【答案】6 【分析】利用求出，然后将转化为求解即可. 【详解】 设，由于， 而，则， 所以， ． 故答案为：6 13．（2024高二上·全国·专题练习）经过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程是 . 【答案】 【分析】利用同焦点的椭圆方程性质处理即可. 【详解】设所求椭圆方程为 椭圆过点， 或（舍），所以所求椭圆方程为. 故答案为： 14．（23-24高二下·上海·期中）已知点在椭圆上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由椭圆方程进行代换得，再结合三角函数的知识即可求得答案. 【详解】椭圆上的点可设为，即， 所以， 故答案为：. 15．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知椭圆的离心率，则实数 ． 【答案】或 【分析】对焦点的位置进行分类讨论，根据离心率的定义结合方程运算求解. 【详解】①若焦点在轴上，则，即，， 则， 可得，解得； ②若焦点在轴上，则，即， 则 可得，即； 故答案为：或. 16．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）已知为坐标原点，椭圆，其右焦点为，为椭圆（第一象限部分）上一点，为中点，，面积为． (1)求椭圆的方程； (2)过作圆两条切线，切点分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆左焦点为，则易知，，则有，由此求解即可； （2）先求出点的坐标与，进而可知，，求出，由数量积的定义即可求解. 【详解】（1）设椭圆左焦点为，则， 又，则， 又， 则， 则， 故， 则椭圆方程为． （2），则， 代入椭圆得，故，， 又过做圆两条切线，切点分别为， 则， 设，， . 17．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知点，，平面内一动点满足直线与的斜率乘积为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线交轨迹于两点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，求坐标原点到直线的距离的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按题意列方程即可，注意取不到的特殊点； （2）设出直线方程后和曲线方程联立，由斜率关系可解得其中一个参数，再表示出点到直线的距离即可求解. 【详解】（1）设，则且 化简得. （2）如图，设， 若，则关于轴对称，有，不合题意 故，同理可知，故 由化简整理可得 所以，且 由可知，故即 于是 解得，满足 坐标原点到直线的距离. 18．（2023·天津·一模）已知椭圆：的右焦点为点，、分别为椭圆的上、下顶点，若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的． (1)求椭圆的离心率； (2)过点且斜率为（）的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点，过点且与平行的直线截椭圆所得弦长为，求椭圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）椭圆中心到直线的距离为其短轴长的，由面积法列出a、c齐次式，可求椭圆的离心率； （2）设出直线的方程，与椭圆联立方程组，求得点坐标，得到直线的方程和点坐标，左顶点，由直线的斜率可得弦为AD，可求出椭圆方程. 【详解】（1）由题意，，椭圆中心到直线的距离为其短轴长的，由直角三角形面积关系得，即， 解得椭圆的离心率. （2）由（1）得，，易得，， 直线的方程为，因为直线不过右顶点，所以， 由，得，， 从而，， 直线的斜率为， 故直线的方程为，令，得， 直线的斜率， ，左顶点，，即， 解得，，． 椭圆的标准方程为 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19．（24-25高三下·山西大同·期末）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，. 【分析】（1）由离心率及椭圆的定义，基本不等式求椭圆参数，即可得方程； （2）①设，，联立直线与椭圆，应用中点公式及中点在直线上得到关于的方程，求参数值； ②设直线的方程为，分别求出的纵坐标，结合韦达公式得，确定的中点坐标，再由平行四边形的性质求坐标，即可得结论. 【详解】（1）因为离心率为，所以，由椭圆的定义知， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 故，所以，所以，故椭圆C的方程为. （2）①设，， 由，得， 由，得，，， 设中点坐标为，则， 因为在直线上，所以，即 所以，解得； ②存在点使得四边形为平行四边形， 因为在椭圆上，所以易知，， 设直线的方程为， 令，得，同理， 又由①知， 所以 所以线段的中点坐标为， 连接，则线段的中点坐标也为， 由于，可得，所以点H的坐标为. 20．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，离心率在，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切. (1)求椭圆及圆的方程； (2)过作两条互相垂直的射线交椭圆于，两点，求面积的取值范围. 【答案】(1)椭圆：，圆：； (2) 【分析】（1）根据离心率以及点在椭圆上，求出的值，得到椭圆方程；根据圆心到切线的距离为半径，求得圆的方程； （2）分类讨论当直线的斜率存在和不存在时，利用，结合韦达定理计算可得圆心到直线的距离，再利用弦长公式求弦长，即可求得的面积. 【详解】（1）由题意，椭圆离心率，点在椭圆上，则， 解得 所以椭圆的方程为 则右顶点，上顶点，直线， 圆心到直线的距离，即圆的半径， 所以圆的方程为； （2）由题意，当直线的斜率不存在时，，或， 此时，圆心到直线的距离，所以， 当直线的斜率存在时，设直线， 由可得， 设，则， ，即， 化简得， 所以，圆心到直线的距离，， ， 当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，， 综上， 学科网（北京）股份有限公司 $$