专题2.5 圆与方程32道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019选修第一册）

专题2.5 圆与方程32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 直线与圆的位置关系求距离的最值 题型二 直线与圆相交的性质 —— 韦达定理及应用 题型三 直线与圆中的定点定值问题 题型四 过圆外一点的圆的切线方程 题型五 直线与圆的实际应用 题型六 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型七 圆的公切线方程 题型八 两圆的公共弦长 【经典例题一 直线与圆的位置关系求距离的最值】 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知动点在直线上，动点在直线上，记线段的中点为，圆，圆，，分别是圆，上的动点．则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 3．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数，其中a，，的最大值为，则的最小值为 . 4．（22-23高二上·河南郑州·阶段练习）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，求直线的方程. 【经典例题二 直线与圆相交的性质 —— 韦达定理及应用】 5．（22-23高二上·四川南充·阶段练习）已知点是圆与轴的交点，为直线上的动点，直线与圆的另一个交点分别为，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D．(2,0 ) 6．（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）过点的直线l与圆C：交于A,B两点，则∠ACB的值可以是（　　） A．120° B．45° C．60° D．90° 7．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于两点，且直线的斜率分别为，，则= ． 8．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知满足圆的方程. (1)求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围. 【经典例题三 直线与圆中的定点定值问题】 9．（23-24高三下·山西运城·阶段练习）已知直线，圆，若圆上有且只有两点到直线的距离为，则可能为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（    ） ①存在轴上的唯一点对，，使得为常数 ②存在轴上的无数个点对，，使得为常数 ③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数 ④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 11．（22-23高二上·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，已知，圆，在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数），则的坐标为 ． 12．（23-24高三上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，且圆与轴交于，两点（在的左侧），若直线：（）与圆相交于，两点. (1)若，求实数的值； (2)设直线与直线交于点，记直线，直线，直线的斜率分别为，，，求的值. 【经典例题四 过圆外一点的圆的切线方程】 13．（23-24高三下·重庆·阶段练习）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，（    ） A． B． C．4 D． 14．（多选题）（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则下列判断正确的是（   ） A．有一条切线方程为 B．有一条切线方程为 C． D．四边形的面积为2 15．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若过点作圆的切线，则切线方程为 . 16．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知和为圆上两点. (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，求切线的方程； (3)若过的直线交于另一点，且的面积为15，求的方程. 【经典例题五 直线与圆的实际应用】 17．（24-25高二上·四川宜宾·期中）对圆上任意一点，若的值与x，y都无关，则a的取值区间为（    ） A． B． C． D． 18．（多选题）（2023·山东·模拟预测）已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当取最大值时，底边上的高所在的直线方程为 19．（2022高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，对任意的实数，集合中的点都不在直线上，则集合所对应的平面图形的面积为 ． 20．（23-24高二上·重庆·阶段练习）最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，，，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为，，以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求两个军事基地的长； (2)若要塞正北方向距离要塞处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行． 【经典例题六 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 21．（23-24高三下·陕西榆林·阶段练习）已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 22．（多选题）（23-24高三上·河北·阶段练习）若不论取何值时，圆总与圆相切，则圆的方程可为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·安徽合肥·期末）年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：  是圆的圆心，圆过坐标原点；点均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．已知直线过点设该直线的斜率为，若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则 ． 24．（22-23高二上·山西太原·期中）已知直线过点，且被圆截得的弦的长为. (1)求直线的方程； (2)若直线的斜率存在，圆过两点，且圆心在上，求圆的方程. 【经典例题七 圆的公切线方程】 25．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）我校校徽代表三种德性：一是虚心，代表学习；二是不断，代表工作；三是精诚团结，代表最后胜利.如图，这三个圆可看作半径为，且过彼此圆心的圆，圆心分别是、、（都在坐标轴上），是圆与圆位于左下方的公切线，是圆与圆位于右下方的公切线，点在圆上运动，、分别在与上，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（多选题）（22-23高二上·辽宁·期中）已知圆：，圆：，下列直线中，与圆，都相切的是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）写出与和都相切的一条直线的方程 . 28．（2024高三·全国·专题练习）已知两圆和.求： (1)取何值时两圆外切？ (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 【经典例题八 两圆的公共弦长】 29．（22-23高二上·内蒙古包头·期末）已知圆与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高二上·河南安阳·期中）已知圆与圆交于、两点，且四边形的面积为，则（    ） A． B． C． D． 31．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知两圆和，又点的坐标为，，是圆上的动点，为圆上的动点，则四边形能构成的矩形的个数为 ． 32．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知圆：和圆：. (1)若直线过点，且被圆截得的弦长为4，求的方程： (2)求圆与圆的公共弦的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 圆与方程32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 直线与圆的位置关系求距离的最值 题型二 直线与圆相交的性质 —— 韦达定理及应用 题型三 直线与圆中的定点定值问题 题型四 过圆外一点的圆的切线方程 题型五 直线与圆的实际应用 题型六 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型七 圆的公切线方程 题型八 两圆的公共弦长 【经典例题一 直线与圆的位置关系求距离的最值】 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知动点在直线上，动点在直线上，记线段的中点为，圆，圆，，分别是圆，上的动点．则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得点在直线 上，由，而点关于直线对称的点，所以，从而可求得结果. 【详解】由，得，则圆心，半径， 由，得，则圆心，半径， 由题意，动点在直线 上，动点在直线 上， 记线段MN的中点为P，则点P在直线x+y=0 上， 又由， 点关于直线对称的点， 则， 所以的最小值为． 故选：D． 2．（多选题）（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】令，，，根据其几何意义求解判断ABC，作出与圆的图象求最值判断D即可. 【详解】根据题意，方程，即， 表示圆心为，半径为的圆，由此分析选项： 对于A，设，即， 直线与圆有公共点， 所以，解得 则的最大值为，故A正确； 对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 所以的最大值为， 故的最大值为，故B正确； 对于C，设，则，直线与圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，故C错误； 对于D，设，作出图象为正方形，作出圆，如图， 由图象可知，正方形与圆有公共点A时，有最小值， 即的最小值为，故D正确； 故选：ABD 3．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数，其中a，，的最大值为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】数形结合分析可知的最小值为与的纵向距离，从而可以求出结果. 【详解】函数，即四分之一圆上的点到直线上的最大距离为，此时圆上的点记为，如图： 只有过的中点且平行于直线的直线才满足条件，所以当时，的最小值为与的纵向距离，即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 4．（22-23高二上·河南郑州·阶段练习）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，求直线的方程. 【答案】 【分析】根据题意，的值为四边形的面积的二倍，转化为求面积的最小值只需求的最小值，即当时最小，进一步求出最小值时对应的的坐标，写出以为直径的圆的方程，与圆的方程作差即可得到直线的方程. 【详解】由圆，① 得圆，所以圆心， 如图所示， 连接，易知四边形的面积为， 欲使最小，只需四边形的面积最小， 即只需的面积最小，因为，所以只需|最小， 又， 而的最小值是点到直线的距离，其大小为，此时， 所以直线的斜率，方程为整理得， 由解得，所以， 由题意知四点共圆， 为直径，圆心为,其方程为， 即，　② 由②①得直线AB的方程为2x＋y＋1＝0. 【经典例题二 直线与圆相交的性质 —— 韦达定理及应用】 5．（22-23高二上·四川南充·阶段练习）已知点是圆与轴的交点，为直线上的动点，直线与圆的另一个交点分别为，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D．(2,0 ) 【答案】B 【分析】由圆的方程，求得的坐标，设出坐标，写出两直线的方程，分别联立圆与直线，求得的坐标，求特殊位置解得定点，用一般情况的方程进行验证，可得答案. 【详解】由，令，解得，不妨设，， 设，则直线的方程为，直线的方程为， 联立，消去可得：， 设，，则，即，， 联立，消去可得：， 则，即，， 当直线的斜率不存在时，，解得，此时，故直线方程为； 当直线的斜率为时，则直线方程， 联立，可得定点为，下面验证此为真： 当直线的斜率存在且不为零时，则斜率， 则方程为，将代入上式， 则，即，等式成立， 故直线过定点， 故选：B. 6．（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）过点的直线l与圆C：交于A,B两点，则∠ACB的值可以是（　　） A．120° B．45° C．60° D．90° 【答案】AD 【分析】结合圆的几何性质即可求解. 【详解】根据题意可知，圆心，半径r=2，.由圆的几何性质知，当CM⊥AB时，∠ACB最小，此时∠ACM =45°，得∠ACB最小为90°，排除B、C，所以∠ACB还可能是120°. 故选：AD. 7．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于两点，且直线的斜率分别为，，则= ． 【答案】 【分析】先确定直线过定点，再设坐标及直线l方程并与圆方程联立，利用韦达定理计算即可. 【详解】由直线得， 令，解得， 直线l恒过定点. 圆的圆心为，半径为，直线过点， 直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在， 设直线l方程为， 联立，得， 设，，则，， 是定值，定值为 故答案为： 8．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知满足圆的方程. (1)求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将问题化为直线与圆有公共点，应用点线距离公式求范围； （2）设坐标分别为，，联立直线与圆，应用判别式、韦达定理及求参数k范围. 【详解】（1）由，即， 设直线，即该直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径，即， 解得，则． （2）设的坐标分别为，， 将直线代入，整理，得， 则，，且，即， 当为锐角时， ，解得，又， 综上，可得的取值范围为． 【经典例题三 直线与圆中的定点定值问题】 9．（23-24高三下·山西运城·阶段练习）已知直线，圆，若圆上有且只有两点到直线的距离为，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆心到直线的距离，由于圆的半径为1，则可由或求出的值，再结合图形可求出的范围，从而可得答案 【详解】依题可知圆心到直线的距离， 当，所以， 当，所以， 数形结合可知， 选项中只有． 故选：C． 10．（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（    ） ①存在轴上的唯一点对，，使得为常数 ②存在轴上的无数个点对，，使得为常数 ③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数 ④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】易得圆关于直线轴对称，设，（），，再根据对恒成立求出的关系式，再根据关于的方程的解的个数即可得出答案. 【详解】圆心坐标为，圆心在轴上， 所以圆关于直线轴对称， 设，（），， 则， 即对恒成立， 所以，所以，所以， 所以且，所以且且， 即有无数组解，所以①错误，②正确； 因为直线（）定点， 所以圆关于直线（）对称， 根据上推理得，存在直线上的无数个点对，，使得的值与的位置无关， 所以③错误，④正确． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设，（），，再根据对恒成立求出的关系式，判断出关于的方程的解的个数是解决本题的关键. 11．（22-23高二上·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，已知，圆，在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数），则的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，，根据距离公式得到对圆上任意点恒成立，从而得到对任意恒成立，从而得到，即可求出与，从而得解. 【详解】设，， 则，. 若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数， 等价于对圆上任意点恒成立， 即， 整理得， 因为点在直线上，所以， 由于在圆上，所以， 故恒成立， 其中点在圆上，令，则， 所以直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得，即， 所以，显然，所以， 故， 因为，解得或. 当时，，此时重合，舍去. 当时，， 综上，存在满足条件的定点，此时. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用题设条件，结合与化简得恒成立，从而得到关于的方程组，由此得解. 12．（23-24高三上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，且圆与轴交于，两点（在的左侧），若直线：（）与圆相交于，两点. (1)若，求实数的值； (2)设直线与直线交于点，记直线，直线，直线的斜率分别为，，，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由构成方程组得，再结合点，在圆上可求得，则可求； （2）设直线的方程为，联立直线方程与圆的方程可得，B同理可得，再由，，三点共线，得到 ，能得到与的关系式，然后可求，得到与的关系式，则的值可求. 【详解】（1）设，， 由得，即，故. 因为点，在圆上，所以，解得：， 所以，又，所以. （2）依题意，，，直线的方程为， 联立方程组，整理得：， 所以，，故. 同理可得. 因为，，三点共线，所以，即， 整理可得：， 显然，故. 设，则，解得， 即，所以，所以. 【经典例题四 过圆外一点的圆的切线方程】 13．（23-24高三下·重庆·阶段练习）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用数形结合，结合对称性，即可确定点的位置，即可求解. 【详解】 若直线关于直线对称，则直线与直线的夹角相等， 则与垂直，所以等于圆心到直线的距离， 即. 故选：D 14．（多选题）（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则下列判断正确的是（   ） A．有一条切线方程为 B．有一条切线方程为 C． D．四边形的面积为2 【答案】ACD 【分析】利用圆心O到直线的距离d等于半径r求解判断A，B；利用圆的直径垂直平分弦判断C；利用面积公式求解判断D 【详解】由题意可知，过点作圆的两条切线斜率都存在， 所以设直线方程为， 所以圆心O到直线的距离d等于半径r， 即或， 所以切线方程为或，故A对；B错； 因为PA，PB是圆O的切线，所以， 所以四点共圆， 又，所以PO平分AB， 且PO是圆的直径，所以，故C对； ， 所以四边形的面积为，故D对； 故选：ACD 15．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或. 【分析】分直线斜率是否存在及结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】当直线斜率存在时，设切线的方程为:，即， 圆心到切线的距离为， 由得，化简得到， 此时切线方程为：，即； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，满足题意. 故答案为：或. 16．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知和为圆上两点. (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，求切线的方程； (3)若过的直线交于另一点，且的面积为15，求的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或. 【分析】（1）点代入解方程组即可得出结果； （2）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值； （3）分直线l的斜率不存在及存在两种情况，结合的面积为15，可得答案． 【详解】（1）∵和为圆上两点. ∴，解得：. ∴圆的方程为： （2）若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为5，即，解得， 所以切线l的方程为，即． 综上，切线l的方程为或． （3）由（1）可知，圆C的方程为，， 当直线l的斜率不存在时，直线的方程为，易知此时，点到直线的距离为3，则，与已知矛盾； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，设，联立， ， 则， 由弦长公式可得， 点到直线l的距离为，则. 解得或，则直线的方程为或. 【经典例题五 直线与圆的实际应用】 17．（24-25高二上·四川宜宾·期中）对圆上任意一点，若的值与x，y都无关，则a的取值区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】P在圆上，求出P点横纵坐标的范围，以此判断的正负，由此可判断的正负，问题转化为恒成立问题，采用参变分离的方法求解﹒ 【详解】圆的圆心为，半径， 由点在圆上知， ∴，∴， 则 由的值与x、y无关可得恒成立， 即恒成立，从而得 令，即， 易知直线与圆有公共点，则， 解得 故的取值范围是 故选：D 18．（多选题）（2023·山东·模拟预测）已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当取最大值时，底边上的高所在的直线方程为 【答案】ACD 【分析】直线与圆相交，由图分析计算即可. 【详解】如图： 对于A选项，当时，的值最小，， ，故选项A正确； 对于B选项，取的中点的中点， 的轨迹方程为， ，故选项B错误； 对于C选项，设， ，故选项C正确； 对于D选项，当时，的面积最大， ， 所以底边上的高所在的直线方程为，故选项D正确． 故选：ACD． 19．（2022高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，对任意的实数，集合中的点都不在直线上，则集合所对应的平面图形的面积为 ． 【答案】 【分析】将转化为，由集合中的点都不在直线上，可知无解，从而由判别式得出，根据其几何意义即可得解. 【详解】将方程看做关于的一元二次方程，即， 集合中的点都不在直线上， 无解， 即对应的判别式， 即， 整理得， 其几何意义为以为圆心，以为半径的圆内部所有的点组成的集合. 集合所对应的平面图形的面积为 故答案为： 20．（23-24高二上·重庆·阶段练习）最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，，，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为，，以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求两个军事基地的长； (2)若要塞正北方向距离要塞处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行． 【答案】(1) (2)当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行 【分析】（1）利用直线与圆相切求出点坐标，联立直线方程求出点坐标，利用两点的距离公式即可求解 （2）由题意得对恒成立，即对恒成立，然后对进行分类讨论，利用基本不等式即可求解． 【详解】（1）则由题设得：，直线的方程为，， 由，及解得，所以． 所以直线的方程为，即， 由得，，即， 所以， 即基地的长为． （2）设爆炸产生的爆炸波圆， 由题意可得，生成小时时，飞行在线段上的点处， 则，，所以． 爆炸波不会波及卡车的通行，即对恒成立． 所以， 即． 当时，上式恒成立， 当即时，， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，在时，恒最立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行． 答：当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行． 【经典例题六 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 21．（23-24高三下·陕西榆林·阶段练习）已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设，确定的轨迹方程，结合已知可得，再根据切线的性质、勾股定理及面积法得到关于的关系式且△的外接圆以线段为直径，结合两圆的位置关系及其动点距离最值情况，写出外接圆的方程. 【详解】由，则动圆心的轨迹方程为. 为圆上的动点，又， ∴， ∵，，， ∴， ∴当最小时，最小，当最大时，最大. 当时，取最大值，△的外接圆以线段为直径，而中点，即中点为， ∴外接圆方程为，即.    故选：A 22．（多选题）（23-24高三上·河北·阶段练习）若不论取何值时，圆总与圆相切，则圆的方程可为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据圆心，结合消参法可得圆心在圆的圆周上，即可得的圆心为，根据外切以及内切满足的半径关系即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 令，消去得，即圆心在圆的圆周上， 且半径为2． 由于不论取何值时，圆总与圆相切，所以圆的圆心必为， 若圆与圆外切，则圆的方程为，即； 若圆与圆内切，则圆的方程为，即． 故选：AC 23．（24-25高二上·安徽合肥·期末）年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：  是圆的圆心，圆过坐标原点；点均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．已知直线过点设该直线的斜率为，若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则 ． 【答案】 【分析】利用圆、圆均与圆外切，分别求出圆、圆的方程，直线的方程为，由圆的弦长公式建立方程组，求解即得. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为3. 设圆的标准方程为，圆心为，半径为 因为圆与圆外切，所以，解得， 根据对称性得圆、圆的标准方程分别为，. 直线过点，且与三个圆都相交， 设直线的方程为，且存在，则三个圆心到该直线的距离分别为： ， 依题意，， 可得，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 求出三个圆的圆心和半径，设出直线的方程，利用弦长相等，结合点到直线距离公式和弦长公式列等式求. 24．（22-23高二上·山西太原·期中）已知直线过点，且被圆截得的弦的长为. (1)求直线的方程； (2)若直线的斜率存在，圆过两点，且圆心在上，求圆的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论直线斜率存在与不存在两种情况，利用弦长公式与点线距离公式即可得解； （2）利用两圆相减得到公共弦所在直线的结论，假设圆的方程，从而由圆的一般方程可得圆心，将其代入，由此可求得圆的方程. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，易得与圆的交点为，此时弦长为，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线方程，即， 因为圆，所以圆心，半径，设圆心到直线的距离为， 因为，所以由弦长公式得，得， 所以，解得， 所以，直线方程为，即， 综上：直线的方程为或. （2）由（1）得直线的方程为，圆， 根据题意知直线是圆与圆的公共弦所在直线，而公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到， 故设圆的方程为，即， 则其圆心坐标为， 因为圆心在上，所以，解得， 所以圆的方程为. 【经典例题七 圆的公切线方程】 25．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）我校校徽代表三种德性：一是虚心，代表学习；二是不断，代表工作；三是精诚团结，代表最后胜利.如图，这三个圆可看作半径为，且过彼此圆心的圆，圆心分别是、、（都在坐标轴上），是圆与圆位于左下方的公切线，是圆与圆位于右下方的公切线，点在圆上运动，、分别在与上，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线、的方程，设点，利用点到直线的距离公式结合三角函数的有界性可求得的取值范围. 【详解】连接、，设直线分别切圆、圆于点、，连接、， 由题意可知，是边长为的等边三角形， 由于三个圆心、、都在坐标轴上，则为线段的中点， 所以，、、，故圆的方程为， 由圆的几何性质可知，且，故四边形为矩形， 所以，，同理可证，所以，直线的斜率为， 设直线的方程为，由图可知， 因为直线与圆相切，则，因为，解得， 所以，直线的方程为，即， 同理可求得直线的方程为， 设点，则 ， ， 所以， . 故选：A. 26．（多选题）（22-23高二上·辽宁·期中）已知圆：，圆：，下列直线中，与圆，都相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据两圆相切求得公切线方程即可． 【详解】解：、， ， ∴ 两圆相切， 的中点坐标为，， 所以内公切线方程为， 整理得． 设外公切线方程为， 到外公切线的距离为， 解得或， ∴ 外公切线方程为或． 故选：ACD． 27．（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）写出与和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或（答案不唯一，两条直线任写一条即可） 【分析】先判断两圆的位置关系，再判断公切线的斜率存在与否，从而设公切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，则， 所以两圆相交，公切线有两条， 假设与圆相切的直线没有斜率，易得切线的方程为或， 当直线为时，圆心到直线的距离为，故不与圆相切； 当直线为时，圆心到直线的距离为，故不与圆相切； 综上所述，与圆和圆都相切的直线一定存在斜率，不妨设公切线为，即， 所以，则， 故，，则或，即或， 当时，代入，整理得， 因为，所以方程无解； 当时，代入，整理得，解得或， 当时，；当时，， 所以公切线为或. 故答案为：或（答案不唯一，两条直线任写一条即可） 28．（2024高三·全国·专题练习）已知两圆和.求： (1)取何值时两圆外切？ (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）求得两圆心坐标和半径，根据两圆相外切时，利用列出方程，即可求解； （2）利用，求得的值，根据，得到公切线的斜率，设切线方程为，根据点到直线的距离公式列出方程，即可求解； （3）由两圆的方程相减，求得公共弦的方程为，结合弦长公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，两圆和， 可化为和， 可得圆心坐标分别为，半径分别为， 当两圆相外切时，可得，即， 解得. （2）解：由圆心距， 当两圆内切时，可得，即，解得， 因为，可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，则有，解得， 当时，直线与圆相交，舍去； 故所求公切线方程为，即. （3）解：由圆和， 两圆的方程相减，可得, 可得，即两圆的公共弦的方程为， 则圆心到公共弦的距离为 又由弦长公式，可得弦长为. 【经典例题八 两圆的公共弦长】 29．（22-23高二上·内蒙古包头·期末）已知圆与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两圆相交求出公共弦所在直线方程，再根据弦长公式求解即可. 【详解】由题意知，圆与圆相交，且公共弦所在直线方程为. 又圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 由弦长公式得. 故选：B. 30．（22-23高二上·河南安阳·期中）已知圆与圆交于、两点，且四边形的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，分析可知点为的中点，由四边形的面积为，可得出的长，利用勾股定理可得出关于的等式，解出的值，即可求得. 【详解】如下图所示： 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 由题意可知，，，，， 所以，，所以，， 设，则为的中点， 故四边形的面积为，则， 故，所以，， ，又因为， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 31．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知两圆和，又点的坐标为，，是圆上的动点，为圆上的动点，则四边形能构成的矩形的个数为 ． 【答案】无数个 【分析】根据题意画出图形，通过计算得出公共弦也是以为直径的圆的直径，推导四边形为矩形的条件，即可得出结果． 【详解】任取圆上一点，以为直径画圆，交圆于，两点， 则的中点坐标为，又有， 以为直径的圆的方程为， 即， 用圆的方程减去以为直径的圆的方程，可得公共弦所在直线的方程， 即， 将中点坐标代入上式左边得 ，所以公共弦也是以为直径的圆的直径，则， 根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，即可得出四边形是矩形， 由点的任意性知，四边形有无数个． 故答案为：无数个.    32．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知圆：和圆：. (1)若直线过点，且被圆截得的弦长为4，求的方程： (2)求圆与圆的公共弦的长. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求得圆的标准方程，由此求得，再分类讨论直线斜率存在的情况，利用点线距离公式即可求得直线的方程； （2）先由圆心距判断得两圆相交，再由圆的一般方程相减得到公共弦方程，由此利用弦长公式即可求得公共弦长. 【详解】（1）由得，故圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故， 若直线斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线斜率存在，设直线方程为，即， 故，解得，则直线方程为， 所以直线得方程为或. （2）因为圆：，所以圆的圆心为，， 所以，， 故，即圆与圆相交， 联立，两式相减得公共弦方程为， 所以圆心到公共弦的距离为， 又因为，所以公共弦长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$