2.2直线与圆的位置关系（教学课件）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

2.2直线与圆的位置关系 第二章 圆与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 能够准确说出直线与圆的三种位置关系的定义，熟练掌握用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断位置关系的方法。 通过联立方程判断交点个数来确定位置关系的代数方法 解决直线与圆位置关系的判定、相关距离计算及简单应用问题，提升几何运算与推理能力。 海上日出是非常壮丽的美景．在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采． 在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系． 情景导入 我们以太阳的起落为例.以蓝线为海平面所对应的水平线,圆圈为太阳! 注意观察，回答以下问题 问题1　直线与圆有哪几种位置关系？ 问题2　如何利用直线和圆的方程判断 它们之间的位置关系？ 新知探究 问题1：直线与圆有哪几种位置关系？ 1.相切：直线和圆有且只有一个公共点. 2.相交：直线和圆有两个公共点. 3.相离：直线和圆没有公共点. 新知探究 ● 问题2：怎样根据方程来判断直线与圆的位置关系呢? 在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，那么， 新知探究 设直线 l 和圆 C 的方程分别为 Ax＋By－C＝0，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 如果直线 l 与圆 C 有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是直线 l 与圆 C 的公共点.直线 l 与圆 C 的方程联立方程组 利用方程组解的个数来判断： 我们有如下结论： 方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同的解 直线与圆没有公共点 直线与圆有且只有一个公共点 直线与圆有两个公共点 相离 相切 相交 △<0 △=0 △>0 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 n=0 n=1 n=2 数 形 新知探究 利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断： 你还有其他的办法判断直线与圆的位置关系吗？ d > r d = r d < r 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 数 形 新知探究 求圆心坐标及半径r（配方法） 求圆心到直线的距离d （点到直线距离公式） 判断直线和圆的位置关系 y △>0:相交 △=0 :相切 △<0：相离 新知归纳 典例分析 方法技巧 解题的关键： 根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 例1.求直线 4x＋3y＝40 和圆 x2＋y2＝100 的公共点的坐标，并判断它们的位置关系. 解：直线和圆的公共点的坐标就是方程组的解， 消去得，解得或， 所以方程组的解为或 所以公共点的坐标为，. 因为直线和圆有两个公共点， 所以直线和圆相交. 教材P58 例题 例2.自点 A(－1，4) 作圆 (x－2)2＋(y－3)2＝1 的切线 l ，求切线 l 的方程. 方法技巧 求过某一点的圆的切线方程 先判断点在圆上还是圆外 点(x0，y0) 在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②过圆外一点的切线有两条． 因为直线与圆相切，所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 解法1：当直线l垂直于x轴时，直线l:x=-1与圆相离，不满足条件； 当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为 y-4=k（x+1）， 即 kx-y+k+4=0， 典例分析 教材P59 例题 解法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以方程组仅有一组解， 由方程组消去得， 所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 方法技巧 求过某一点的圆的切线方程 先判断点在圆上还是圆外 点(x0，y0) 在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由 消元得到一元二次方程的判别式Δ，由相切可知方程组有一个解Δ=0求出k ②过圆外一点的切线有两条． 例2.自点 A(－1，4) 作圆 (x－2)2＋(y－3)2＝1 的切线 l ，求切线 l 的方程. 典例分析 当点 A 的坐标为 (2，2) 或 (1，1) 时，结果分别有什么变化? 教材P59 例题 【变式1】过点 A(2，2) 作圆 (x－2)2＋(y－3)2＝1 的切线 l ，求切线 l 的方程. 典例分析 方法技巧 求过某一点的圆的切线方程 先判断点在圆上还是圆外 点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 由题意得A(2,2)在圆(x－2)²＋(y－3)²＝1上,所以切线l的方程为y=2. 【变式2】过点 A(1，1) 作圆 (x－2)2＋(y－3)2＝1 的切线 l ，求切线 l 的方程. 解：当直线l垂直于x轴时，直线l:x=1与圆相切，满足条件； 当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为y-1=k（x-1）， 即kx-y+（1-k）=0， 因为直线与圆相切，所以， 解得，此时切线l的方程为3x-4y+1=0. 因此，切线的方程为或3x-4y+1. 教材P59 例题 例3．求直线被圆截得的弦长. 解法1：直线圆 解这个方程组或 所以公共点的坐标为，（0，,2）. 因为直线圆=2 典例分析 教材P60 例题 典例分析 例3．求直线被圆截得的弦长. 解：设直线与圆交于A，B两点，弦AB的中点为M， 则（O为坐标原点），所以， 从而. 教材P60 例题 1. 分别根据下列条件，判断直线 l 与圆 C 的位置关系： (1) l：x＋y－1＝0， C：x2＋y2＝4； (2) l：4x－3y－8＝0， C：x2＋(y＋1)2＝1； (3) l：x＋y－4＝0， C：x2＋y2＋2x＝0； (4) l：y＝0， C：(x－1)2＋(y－1)2＝1. 解：（1）由，圆可得圆心半径. 圆心到直线的距离d为，所以直线l与圆C相交. （2）由，圆可得圆心半径. 圆心到直线的距离d为，所以直线l与圆C相切. （3）由，圆可得圆心半径. 圆心到直线的距离d为，所以直线l与圆C相离. （4）由，圆可得圆心半径. 圆心到直线的距离d为，所以直线l与圆C相切. 教材P61 练习 2. 设 a，b 为实数，若直线 ax＋by＝1与圆 x2＋y2＝1 相交，则点 P(a，b) 与圆的位置关系是 ( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不能确定 B 教材P61 练习 3.（1）求过点且与圆相切的直线的方程； （2）求过原点且与圆相切的直线的方程； （3）求与圆相切，且斜率为的直线的方程. 解：（1）圆的圆心坐标为，又点在圆上，所以圆心与切线点连线的斜率为： ，所以切线斜率为，切线方程为：，所以切线方程为：； （2）直线过原点且与圆相切，当斜率不存在时，显然与圆相切， 当斜率存在时，设切线方程为：，即，由题意可得，解得：， 所以过原点且与圆相切的直线的方程为：或； （3）设与圆相切，且斜率为的直线方程为，即， 由题意可得，解得， 所以与圆相切，且斜率为的直线方程：或． 教材P61 练习 4. 设 a 为实数，若直线 2x＋y＋a＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 没有公共点，求 a 的取值范围. 解：圆，即，圆心为，半径， 因为直线与圆没有公共点，所以圆心到直线的距离大于半径，即，解得或，即 5. 求直线 x＋2y－3＝0 被圆 (x－2)2＋(y＋1)2＝4 截得的弦长. 解：易知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则弦长； 教材P61 练习 6. 从圆 (x－1)2＋(y－1)2＝1 外一点 P(2，3) 向圆引切线，求此切线的长. 解：由题知，设圆心为，切点为A，半径，如图所示， 由切线性质知，， 则切线长. 7. 若一个圆的圆心在直线 y＝－2x 上，且此圆与直线 y＝1－x 相切于点 (2，－1)，求此圆的方程. 答案：(x－1)2＋(y＋2)2＝2. 教材P61 练习 直线与圆位置关系的判断与应用 题型一 题型探究 【例1】［广东湛江2025高二期中］直线与圆 的位置关系为( ) A A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 解析 圆，圆的圆心，半径， 圆心到直线 的距离， 圆与直线 相交.故选A. 1.［山西太原2024高二期中］已知直线， 圆 ，则直线与圆 的位置关系是( ) A A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 变式训练 解析 已知直线，变形整理得 ， 由得即直线恒过定点， 代入圆的方程的左端有 ， 即点在圆内，所以直线与圆 相交.故选A. 22 2.［河南部分学校2025高二联考］若直线与圆相离， 则点 ( ) B A.在圆外 B.在圆内 C.在圆 上 D.位置不确定 变式训练 解析 若直线与圆相离， 则点到直线的距离 ， 即.圆，圆心，半径 ， 故， 所以点在圆 内.故选B. 23 直线与圆相切的有关问题 题型二 题型探究 【例2】［吉林长春吉大附中2025高二期中］过点作圆 的切线，则切线方程为( ) D A. B. C. D. 解析 由圆的方程，可得圆心坐标 ， 将点的坐标代入圆的方程，得，则点在圆 上， 又，所以过点与圆 相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即 .故选D. 3.已知直线是圆的对称轴，过点 作圆 的一条切线，切点为，则 等于( ) B A.2 B.5 C. D. 变式训练 解析 圆即 ，圆心坐标为 ，半径 . 由题意可知直线经过圆心，则，解得 ， 点的坐标为 ，作示意图如图所示. ,，切点为，则，所以 . 故选B. 25 4.［湖南长沙2024高二期中］过点的直线与圆相切，则直线 的 方程为( ) B A.或 B.或 C.或 D.或 解析 圆化为标准方程得，则圆心为 ， 半径为2. 当直线的斜率不存在时，直线 ， 此时直线与圆 相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 ， 圆心到直线的距离，由相切得，所以，解得 ， 得直线方程为.综上，直线的方程为或 ．故选B. 变式训练 26 【例3】［江苏泰州2025高二期中］直线与圆 交于， 两点，则 的面积为( ) C A.2 B. C. D. 直线与圆相交的有关问题 题型三 题型探究 解析 圆的方程化为标准方程得，则圆的圆心， 半径，点 到直线的距离， 则，所以 的面积 .故选C. 27 5.［江苏扬州2025高二期末］已知直线与圆 相交 于，两点，则 的最小值是( ) D A.1 B.2 C. D. 解析 由直线可得 ， 令解得所以直线恒过定点，且圆的圆心 ， 半径，易知点在圆 内. 当直线与直线垂直时，最小，且 ， 所以 .故选D. 变式训练 28 6.［江苏南京外国语学校2025高二月考］已知以点为圆心的圆与直线 相切. （1）求圆 的方程； 【解析】由题意知点到直线的距离为圆的半径 ， 由点到直线的距离公式可得点到直线的距离 , 所以圆的方程为 . 变式训练 （2）过点的直线与圆相交于，两点，当时，求直线 的方程； [解析] 因为直线与圆相交于,两点，且 ，利用垂径定理和勾股定理， 可得圆心到直线的距离，当直线的斜率不存在时， 直线的方程为 ，圆心到直线 的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意可得，解得 ， 所以直线的方程为，即 . 综上所述，直线的方程为或 . 29 【例4】［重庆合川区2025高二期中］某手机信号检测设备的监测范围是半径为 的圆形区域，一 名人员持手机以的速度从设备正东的处沿西偏北 方向走向位于设备正北 方向的 处，则这名人员被持续监测的时长约为( ) C A. B. C. D. 直线与圆方程的应用 题型四 题型探究 解析 如图，以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、 轴的正方向建立平面 直角坐标系，则直线，即，圆 ， 记从处开始被监测，到处监测结束，过点作交直线于点，连接,,点 到 直线的距离为 ， 则， 所以被监测的时长为 .故选C. 30 7.［河北部分学校2025高二联考］一个小岛（点 ）的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以 小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方向的点处.以小岛中 心为原点 ，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 取 为单位长度. （1）若轮船沿北偏西 的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由； 变式训练 【解】由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘，所对应的圆的方程为 ， 轮船航线所在直线过点，且斜率为，所以航线所在直线的方程为 ， 故原点到直线的距离 ，所以轮船没有触礁风险. （2）若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求 的一般式方程，并求暗礁边 界上动点到直线 的距离的最小值. [解] 记直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角为 ，由题意知， ，则 , ，因此直线的方程为，即 . 易知原点到直线的距离，故直线与圆 相离， 所以圆上动点到直线的距离的最小值为 . 31 【例5】［江苏盐城2024高二段考］已知圆的方程为 ． （1）求过点且与圆相切的直线 的方程； 【解】根据题意，得点在圆 外，分两种情况讨论： 当直线的斜率不存在时，过点的直线方程是，与圆 相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 ， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得， 此时，直线 的方程为 .所以满足条件的直线的方程是或 . 求圆的切线方程考虑不全致错 易错题 题型探究 （2）直线过点，且与圆交于,两点，若，求直线 的方程. [解] 根据题意，若，则圆心到直线的距离 ， 结合（1）知直线 的斜率一定存在.设直线的方程为， 即，则，解得 或 . 所以满足条件的直线的方程是或 . 32 求过某点的圆的切线问题时，应先确定该点与圆的位置关系， 再求直线方程.若点在圆内,则过该点的切线不存在;若点在圆上， 则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条， 此时应注意切线斜率不存在的情况. 易错警示 33 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 个 个 个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ d r d r d r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 课堂小结 34 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 $$